نظرية الناخب الوسيط

في العلوم السياسية والاختيار الاجتماعي ، تنص نظرية الناخب الوسيط لبلاك على أنه إذا توزع الناخبون والمرشحون على طول طيف سياسي أحادي البعد ، فإن أي طريقة تصويت متسقة مع كوندورسيه ستؤدي إلى انتخاب المرشح الذي يفضله الناخب الوسيط . ^{[ 1 ] [ 2 ]} وبالتالي، تُظهر نظرية الناخب الوسيط أنه في ظل نموذج واقعي لسلوك الناخبين، لا تنطبق نظرية آرو ، وأن الاختيار العقلاني ممكن للمجتمعات. وقد اشتق دنكان بلاك هذه النظرية لأول مرة عام 1948، ^{[ 3 ]} ثم اشتقها كينيث آرو بشكل مستقل .

توجد نظريات مماثلة للناخب الوسيط لقواعد مثل التصويت بالنقاط والتصويت بالموافقة ^{[ 4 ] [ 5 ]} عندما يكون الناخبون استراتيجيين ومطلعين أو إذا كانت تقييمات الناخبين للمرشحين تتناقص خطيًا مع المسافة الأيديولوجية .

من النتائج المباشرة لنظرية بلاك، والتي تُعرف أحيانًا بنظرية هوتلينغ-داونز للناخب الوسيط ، أنه إذا تحققت شروط نظرية بلاك، فإن السياسيين الذين لا يهمهم سوى الفوز بالانتخابات سيتبنون الموقف نفسه الذي يتبناه الناخب الوسيط. ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} ومع ذلك، لا يحدث هذا التقارب الاستراتيجي إلا في أنظمة التصويت التي تُحقق بالفعل خاصية الناخب الوسيط ( انظر أدناه )، وهو ما يستبعد جميع القواعد المُستخدمة حاليًا في الانتخابات الوطنية ( الانتخابات التمهيدية للأحزاب ، وأنظمة الجولتين ، ونظام الأغلبية البسيطة ، ونظام الإعادة الفورية ). ^{[ 5 ] [ 9 ] [ 10 ]}

إن النظرة السائدة التي تعكس تفضيلات الناخبين المتوسطة تمنح الشرعية السياسية . ^{[ 11 ]}

لنفترض وجود انتخابات تتوزع فيها آراء المرشحين والناخبين على طيف سياسي أحادي البعد . يُرتب الناخبون المرشحين حسب قربهم، أي أن المرشح الأقرب هو خيارهم الأول، والثاني الأقرب هو خيارهم الثاني، وهكذا. تنص نظرية الناخب الوسيط على أن المرشح الأقرب إلى الناخب الوسيط هو المرشح المفضل لدى الأغلبية (أو مرشح كوندورسيه ) . بعبارة أخرى، يُفضل هذا المرشح على أي من منافسيه من قبل أغلبية الناخبين. عندما يكون هناك مرشحان فقط، فإن التصويت بالأغلبية البسيطة يُحقق هذا الشرط، بينما في حالة وجود أكثر من مرشح، فإن أي طريقة تعتمد على قاعدة الأغلبية (كوندورسيه) تُحققه.

مخطط البرهان: لنفترض أن الناخبة الوسيطة هي مارلين. سيحصل المرشح الأقرب إليها على صوتها التفضيلي الأول. لنفترض أن هذا المرشح هو تشارلز وأنه يقع على يسارها. ستفضل مارلين وجميع الناخبين على يسارها (بحكم التعريف، أغلبية الناخبين) تشارلز على جميع المرشحين على يمينه، وستفضل مارلين وجميع الناخبين على يمينها (أيضًا أغلبية) تشارلز على جميع المرشحين على يساره. ∎

• يمكن تخفيف الافتراض القائل بأن التفضيلات تُصاغ حسب القرب إلى القول ببساطة أنها ذات قمة واحدة . ^{[ 12 ]}
• يمكن تخفيف الافتراض القائل بأن الآراء تقع على خط حقيقي للسماح بتكوينات أكثر عمومية. ^{[ 13 ]}
• النماذج المكانية  /  القيمية: لنفترض أن لكل مرشح قيمة ( جاذبية) بالإضافة إلى موقعه في الفضاء، ولنفترض أن الناخب i يرتب المرشحين j تنازليًا وفقًا لـ v_{_j}  – d_{_ij} ، حيث v _{_j} هي قيمة j و d_{_ij} هي المسافة من i إلى j . عندئذٍ، تظل نظرية الناخب الوسيط سارية: ستختار طرق كوندورسيه المرشح الذي صوت له الناخب الوسيط.  

في الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى، يمكن تعميم الوسيط ليصبح الوسيط الهندسي . ^{[ 15 ]} بالنسبة للنماذج المكانية ، تُظهر نظرية ماكيلفي-سكوفيلد للفوضى أنه قد لا يكون هناك فائز كوندورسيه. [ 16 ^{] ومع ذلك} ، لا يزال من الممكن إثبات نظريات مماثلة في ظل بعض الشروط المحدودة.

يُظهر الجدول مثالًا على انتخاباتٍ قدّمها الماركيز دي كوندورسيه ، الذي خلص إلى أنها تُشير إلى وجود مشكلة في طريقة بوردا . ^{[ 17 ] : 90} الفائز وفقًا لطريقة كوندورسيه على اليسار هو أ، الذي يُفضّل على ب بنسبة 41:40 وعلى ج بنسبة 60:21. بينما الفائز وفقًا لطريقة بوردا هو ب. مع ذلك، يُقدّم دونالد ساري مثالًا ثنائي الأبعاد حيث تُحدّد طريقة بوردا (وليس الفائز وفقًا لطريقة كوندورسيه) المرشح الأقرب إلى المركز (كما يُحدّده الوسيط الهندسي ) بشكل صحيح. ^{[ 18 ]}

يُظهر الرسم التخطيطي توزيعًا محتملاً للناخبين والمرشحين بما يتوافق مع أوراق الاقتراع، حيث يقع الناخبون على محيط دائرة الوحدة. في هذه الحالة، يبلغ متوسط ​​الانحراف المطلق للمرشح (أ ) 1.15، بينما يبلغ متوسط ​​الانحراف المطلق للمرشح (ب) 1.09 (والمرشح (ج) 1.70)، مما يجعل المرشح (ب) هو الفائز مكانيًا.

وبالتالي، فإن الانتخابات تتسم بالغموض، إذ أن تمثيلين مكانيين مختلفين يستلزمان فائزين أمثلين مختلفين. هذا هو الغموض الذي سعينا لتجنبه سابقًا باعتماد مقياس الوسيط للنماذج المكانية؛ ولكن على الرغم من أن مقياس الوسيط يحقق هدفه في بُعد واحد، إلا أن هذه الخاصية لا تُعمم بشكل كامل على الأبعاد الأعلى.

الوسائط متعددة الاتجاهات

على الرغم من هذه النتيجة، يمكن تطبيق نظرية الناخب الوسيط على التوزيعات المتناظرة دورانيًا، مثل التوزيعات الغاوسية ، التي لها وسيط واحد متطابق في جميع الاتجاهات. عندما يكون لتوزيع الناخبين وسيط فريد في جميع الاتجاهات، ويرتب الناخبون المرشحين حسب قربهم، تنطبق نظرية الناخب الوسيط: المرشح الأقرب إلى الوسيط سيحظى بأغلبية الأصوات على جميع منافسيه، وسيتم انتخابه بأي طريقة تصويت تحقق خاصية الناخب الوسيط في بُعد واحد. ^{[ 19 ]}

ويترتب على ذلك أن جميع طرق التصويت الوسيطة تحقق نفس الخاصية في فضاءات من أي بُعد، بالنسبة لتوزيعات الناخبين ذات الوسائط متعددة الاتجاهات.

من السهل إنشاء توزيعات للناخبين لا تحتوي على وسيط في جميع الاتجاهات. أبسط مثال على ذلك هو توزيع يقتصر على 3 نقاط لا تقع على خط مستقيم، مثل 1 و2 و3 في الرسم البياني الثاني. يتطابق موقع كل ناخب مع الوسيط في ظل مجموعة معينة من الإسقاطات أحادية البعد. إذا كان المرشحون هم أ، ب، ج، فإن '1' سيصوت لـ أ ب ج، و'2' سيصوت لـ ب ج أ، و'3' سيصوت لـ ج أ ب، مما يُشكل دورة كوندورسيه. هذا هو موضوع نظرية ماكيلفي-سكوفيلد .

البرهان . انظر إلى الرسم البياني، حيث يمثل القرص الرمادي توزيع الناخبين بشكل منتظم على دائرة، وM هو الوسيط في جميع الاتجاهات. لنفترض أن A وB مرشحان، وA هو الأقرب إلى الوسيط. عندئذٍ، يكون الناخبون الذين يفضلون A على B هم تحديدًا أولئك الذين يقعون على يسار الخط الأحمر المتصل (أي جانب A)؛ وبما أن A أقرب إلى M من B، فإن الوسيط يقع أيضًا على يسار هذا الخط.

بما أن النقطة M تمثل وسيطًا في جميع الاتجاهات، فإنها تتطابق مع الوسيط أحادي البعد في حالة الاتجاه الموضح بالسهم الأزرق، وهو عمودي على الخط الأحمر المتصل. وبالتالي، إذا رسمنا خطًا أحمر متقطعًا يمر عبر M، عموديًا على السهم الأزرق، فيمكننا القول إن نصف الناخبين يقعون على يسار هذا الخط. ولكن بما أن هذا الخط يقع بدوره على يسار الخط الأحمر المتصل، فإنه يترتب على ذلك أن أكثر من نصف الناخبين سيُفضلون الخيار A على الخيار B.

العلاقة بين الوسيط في جميع الاتجاهات والوسيط الهندسي

عندما يوجد وسيط فريد متعدد الاتجاهات، فإنه يحدد نتيجة طرق تصويت كوندورسيه. وفي الوقت نفسه، يمكن اعتبار الوسيط الهندسي الفائز الأمثل في انتخابات التفضيل الترتيبي. لذا، من المهم معرفة العلاقة بينهما. في الواقع، عندما يوجد وسيط في جميع الاتجاهات (على الأقل في حالة التوزيعات المنفصلة)، فإنه يتطابق مع الوسيط الهندسي.

اللمة . عندما يكون للتوزيع المنفصل وسيط M في جميع الاتجاهات، يجب أن تأتي نقاط البيانات غير الموجودة عند M في أزواج متوازنة ( A ، A ') على جانبي M مع خاصية أن A – M – A ' هو خط مستقيم (أي ليس مثل A0 _– M – A2 فيالرسم التخطيطي) _.               

البرهان . تم إثبات هذه النتيجة جبريًا بواسطة تشارلز بلوت في عام 1967. ^{[ 20 ]} نقدم هنا برهانًا هندسيًا بسيطًا بالتناقض في بعدين.

لنفترض، على العكس من ذلك، وجود مجموعة من النقاط Aᵢ التي يكون فيها M  هو الوسيط في جميع الاتجاهات، ولكن النقاط التي لا تتطابق مع M لا تأتي في أزواج متوازنة. عندئذٍ _،  يمكننا إزالة أي نقاط عند M ، وأي أزواج متوازنة حول M ، من هذه المجموعة دون أن يتوقف M  عن كونه وسيطًا في أي اتجاه؛ وبالتالي يبقى M  وسيطًا متعدد الاتجاهات.

إذا كان عدد النقاط المتبقية فرديًا، فيمكننا بسهولة رسم خط يمر عبر M  بحيث تقع غالبية النقاط على جانب واحد منه، مما يتناقض مع خاصية الوسيط لـ M.

إذا كان العدد زوجيًا، ولنقل 2n ، فيمكننا تسمية النقاط A0 ، A1 _، ... بترتيب عقارب الساعة حول  _النقطة M بدءًا من أي نقطة (انظر الرسم التوضيحي). ولتكن θ الزاوية المحصورة بين القوس الواصل من M – A0 إلى M – An . إذا كانت θ < 180° كما هو موضح، فيمكننا رسم خط مشابه للخط الأحمر المتقطع المار بالنقطة M، والذي تقع غالبية نقاط _{البيانات} على أحد جانبيه، مما يناقض خاصية الوسيط للنقطة M ؛ بينما إذا كانت θ > 180 _{° ،} ينطبق الأمر نفسه مع وجود غالبية النقاط على الجانب الآخر. وإذا كانت θ = 180°، فإن A0 و An _تشكلان زوجًا متوازنًا، مما يناقض فرضية أخرى.                

نظرية . عندما يكون للتوزيع المنفصل وسيط M  في جميع الاتجاهات، فإنه يتطابق مع وسيطه الهندسي.

البرهان : مجموع المسافات من أي نقطة P  إلى مجموعة من نقاط البيانات في أزواج متوازنة ( A , A  ' ) يساوي مجموع الأطوال A  – P – A '. كل طول من هذا الشكل يكون في أدنى قيمة له عند النقطة P عندما يكون الخط مستقيمًا، كما يحدث عندماتتطابق P مع M. وبالمثل، يكون مجموع المسافات من P إلى أي نقاط بيانات تقع عند M في أدنى قيمة له عندما تتطابق P و M. وبالتالي ،مجموع المسافات من نقاط البيانات إلى P في أدنى قيمة له عندماتتطابق P مع M.       

يعتمد نموذج داونز ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]} (المعروف أيضًا بنموذج هوتلينغ-داونز ) على مبدأ هارولد هوتلينغ للتمايز الأدنى ، المعروف أيضًا بقانون هوتلينغ . قام أنتوني داونز بتكييف إطار هوتلينغ للمنافسة المكانية مع السياسة في عام 1957، ^{[ 8 ] [ 24 ]} فابتكر نموذجًا يتنبأ بتقارب السياسيين نحو موقف الناخب المتوسط ​​في ظل أربعة شروط:

1. يمكن للمرشحين اختيار مواقف أيديولوجية دون عواقب،
2. لا يهتم المرشحون إلا بالفوز في الانتخابات (وليس بمعتقداتهم الحقيقية)،
3. تم استيفاء جميع المعايير الأخرى لنظرية الناخب الوسيط (أي أن الناخبين يرتبون المرشحين حسب المسافة الأيديولوجية).
4. يلبي نظام التصويت معيار الناخب المتوسط.

كحالة خاصة، ينطبق هذا القانون على الحالة التي يوجد فيها مرشحان بالضبط في السباق، إذا كان من المستحيل أو غير المعقول أن ينضم أي مرشحين آخرين إلى السباق، لأن التصويت بالأغلبية البسيطة بين بديلين يفي بمعيار كوندورسيه .

وُصِفَ مبدأ هوتلينغ الأصلي لأول مرة عام 1929 في سياق المنافسة التجارية، ^{[ 7 ]} بينما طبّق داونز هذا الإطار لاحقًا على السياسة الانتخابية. في حالة قانون دوفيرجيه مع نظام الحزبين، يتوقع نموذج داونز أن يكون الحزبان مُحفَّزين على التوجه نحو الناخب المتوسط. ^{[ 25 ]}

في حالة الانتخابات التمهيدية، يتعين على السياسيين التوفيق بين استمالة الناخب المتوسط ​​في الانتخابات التمهيدية والانتخابات العامة، وبالتالي قد لا يتقارب المرشحون مع الناخب المتوسط ​​في ظل بعض الأنظمة الانتخابية . ^{[ 5 ] [ 26 ]}

تُعد هذه النظرية ذات قيمة لما تسلطه من ضوء على مدى مثالية (وحدود المثالية) أنظمة التصويت المختلفة.

يشير فاليريو دوتي إلى مجالات تطبيق أوسع:

أثبتت نظرية الناخب الوسيط شعبيتها الكبيرة في أدبيات الاقتصاد السياسي. والسبب الرئيسي هو إمكانية استخدامها لاستخلاص نتائج قابلة للاختبار حول العلاقة بين بعض خصائص الناخبين ونتائج السياسات، مع إغفال جوانب أخرى من العملية السياسية. ^{[ 19 ]}

ويضيف أن...

تم تطبيق نتيجة التصويت الوسيط على مجموعة واسعة من القضايا. ومن الأمثلة على ذلك تحليل العلاقة بين عدم المساواة في الدخل وحجم التدخل الحكومي في سياسات إعادة التوزيع (ميلتزر وريتشارد، 1981)، ^{[ 27 ]} ودراسة محددات سياسات الهجرة (رازين وسادكا، 1999)، ^{[ 28 ]} ومدى فرض الضرائب على أنواع الدخل المختلفة (باسيتو وبن حبيب، 2006)، ^{[ 29 ]} وغيرها الكثير.

يمكن استخدام نظرية الناخب الوسيط لتقييم الاستجابة السياسية للسياسيين. ^{[ 30 ]}

في مجلس الشيوخ الأمريكي ، يُخصص لكل ولاية مقعدان. درس ليفيت (1996) أنماط تصويت عضوين من مجلس الشيوخ من الولاية نفسها، أحدهما ينتمي إلى الحزب الديمقراطي والآخر إلى الحزب الجمهوري. وفقًا لنظرية الناخب الوسيط، ينبغي أن تكون أنماط تصويت عضوين يمثلان الولاية نفسها متطابقة، بغض النظر عن انتمائهما الحزبي. إلا أن الواقع مختلف. علاوة على ذلك، وجد ليفيت أن التشابه في أنماط تصويتهما كان أعلى بقليل فقط من التشابه بين عضوين تم اختيارهما عشوائيًا. تشير هذه النتيجة إلى أن الميول الأيديولوجية لأعضاء مجلس الشيوخ تؤثر على قراراتهم بشكل أقوى من تفضيلات الناخبين، مما يناقض تنبؤات نظرية الناخب الوسيط. ^{[ 31 ]}

درست باندي (2003) التغيرات السياسية في الهند بين عامي 1960 و1992 التي زادت من التمثيل السياسي للفئات المهمشة. وأظهرت البيانات التي جمعتها أنه نتيجةً لهذه التغيرات، زادت التحويلات المالية إلى هذه الفئات، على الرغم من بقاء قاعدة الناخبين الإجمالية (التي كانت تضم هذه الفئات بالفعل) دون تغيير. وتتعارض هذه النتيجة مع نظرية الناخب الوسيط، إذ يتوقع النموذج أن مثل هذا التحول السياسي لا ينبغي أن يُغير التوازن السياسي. ^{[ 32 ]}

درس تشاتوبادياي ودوفلو (2004) تغييراً سياسياً آخر في الهند، يقضي بتولي النساء رئاسة ثلث مجالس القرى. وتتولى هذه المجالس مسؤولية توفير مختلف الخدمات العامة للمجتمعات الريفية. ووفقاً لنظرية الناخب المتوسط، كان من المفترض ألا تؤثر هذه السياسة على توزيع الخدمات العامة التي توفرها الحكومات المحلية، إذ لا يزال يتعين انتخاب المرشحة بأغلبية الأصوات. وطالما بقيت تفضيلات الناخب المتوسط ​​ثابتة، فمن المفترض أن يظل توزيع الخدمات العامة مستقراً. إلا أن البيانات التجريبية أظهرت أنه في القرى التي انتُخبت فيها امرأة، تحول توزيع الخدمات العامة نحو ما تفضله النساء. علاوة على ذلك، في المناطق التي انتُخبت فيها النساء لولاية ثانية، استمر توزيع الخدمات العامة في عكس تفضيلات النساء. ومع ذلك، فبينما تغير توزيع الخدمات العامة عندما ترأست امرأة مجلس القرية، فإن هذا لا يعني بالضرورة تحسناً أو تراجعاً في الرفاه الاجتماعي العام. ^{[ 33 ]}

توصلت دراسة ميلر (2008) إلى نتائج مماثلة، حيث حللت أثر منح المرأة حق التصويت في جميع أنحاء الولايات المتحدة عام 1920. استندت ميلر إلى أبحاث سابقة أشارت إلى أن النساء يولين اهتمامًا أكبر لرعاية الطفل من الرجال، وأثبتت أن منح المرأة حق التصويت أدى إلى تحول فوري في السياسة الفيدرالية. نتج عن هذا التغيير زيادة ملحوظة في الإنفاق على الرعاية الصحية، وما ترتب عليه من انخفاض في معدلات وفيات الأطفال بنسبة تتراوح بين 8% و15%. مع ذلك، وخلافًا للحالات السابقة، تدعم نتائج ميلر نظرية الناخب الوسيط. ويعود ذلك إلى أن منح المرأة حق الاقتراع غيّر تركيبة الهيئة الانتخابية، ما أدى إلى تحويل موقف الناخب الوسيط نحو تفضيلات الناخبات الجدد. ^{[ 34 ]}

بحث لي وموريتي وباتلر (2004) فيما إذا كان الناخبون يؤثرون على مواقف السياسيين أم أنهم يختارون ببساطة من بين المواقف السياسية القائمة. وخلصوا إلى أن أي تغيير خارجي في قاعدة الناخبين لا يُغير مواقف المرشحين. فعلى سبيل المثال، لا تؤدي زيادة عدد الناخبين الديمقراطيين في منطقة معينة إلى دفع موقف المرشح الجمهوري نحو اليسار، والعكس صحيح. تشير هذه النتيجة إلى أن الناخبين يختارون من بين المواقف التي يتبناها السياسيون بالفعل، بدلاً من تشكيل تلك المواقف، وهو ما يتناقض مع تنبؤات نظرية الناخب الوسيط، التي تفترض أن المرشحين محايدون أيديولوجيًا. ^{[ 35 ]}

قام جيربر ولويس (2015) بتحليل بيانات التصويت من سلسلة من الاستفتاءات في كاليفورنيا لتقدير تفضيلات الناخب المتوسط. ووجدا أن المسؤولين المنتخبين يتقيدون بتفضيلات الناخب المتوسط ​​في المناطق المتجانسة، ولكن بدرجة أقل في المناطق غير المتجانسة. ^{[ 36 ]}

في المقابل، وجد برونر وروس (2010)، اللذان درسا أيضًا بيانات الناخبين من استفتاءين في كاليفورنيا، أن الناخب الحاسم في التصويت على الإنفاق العام لم يكن الناخب المتوسط، بل ناخبًا من الشريحة الرابعة من حيث الدخل . تتوافق هذه النتيجة مع دراسات أخرى تشير إلى أن الناخبين ذوي الدخل المنخفض غالبًا ما يشكلون تحالفات مع الناخبين ذوي الدخل المرتفع لمعارضة الزيادات في الإنفاق العام. ^{[ 37 ]}

استخدم ستادلمان وبورتمان وإيشنبرغر (2012) بيانات استفتاءات من سويسرا لدراسة مدى توافق تصويت المشرعين مع تفضيلات الناخب المتوسط ​​في دوائرهم الانتخابية. وأظهرت أبحاثهم أن نموذج الناخب المتوسط ​​يفسر سلوك التصويت التشريعي بشكل أفضل من فرضية التصويت العشوائي البديلة، ولكن بفارق طفيف لا يتجاوز 17.6%. بالإضافة إلى ذلك، وجدوا أن دعم الناخب المتوسط ​​في دائرة عضو مجلس الشيوخ يزيد من احتمالية تأييد هذا العضو لمقترح معين في البرلمان بنسبة 8.4%. ^{[ 38 ]}

خلص ميلانوفيتش (2000)، باستخدام بيانات من 79 دولة، إلى أنه كلما زاد التفاوت في توزيع الدخل قبل الضريبة في بلد ما، كلما كانت سياسات إعادة التوزيع للحكومة الفائزة أكثر حزماً. وتدعم هذه النتيجة نظرية الناخب الوسيط. ^{[ 39 ]}

• نظرية آرو للاستحالة
• فرضية كفاءة السوق
• قواعد التصويت ذات أعلى متوسط
• مبدأ اختيار أهون الشرين
• التصويت الترتيبي
• متوسط ​​الدخل
• قاعدة التصويت الوسيط
• نموذج التصويت الاحتمالي
• صوت حاسم

• بوكانان، جيمس م.؛ توليسون، روبرت د. (1984). نظرية الاختيار العام . المجلد  الثاني. آن أربور: مطبعة جامعة ميشيغان. ISBN 0472080415.
• كلينتون، جوشوا د. (2006). " التمثيل في الكونغرس: الناخبون وقوائم التصويت في مجلس النواب رقم 106". مجلة السياسة . 68 (2): 397-409 . doi : 10.1111/j.1468-2508.2006.00415.x
• كونغلتون، روجر (2003). "نموذج الناخب الوسيط" (ملف PDF) . في: رولي، سي كيه؛ شنايدر، إف (محرران). موسوعة الاختيار العام . دار كلوير الأكاديمية للنشر. رقم ISBN 978-0-7923-8607-0.
• Dasgupta, Partha and Eric Maskin, “On Robusness of Majority Rule”, Journal of the European Economic Association, 2008.
• هولكومب، راندال ج. (1980). "اختبار تجريبي لنموذج الناخب الوسيط". البحث الاقتصادي . 18 (2): 260-275 . doi : 10.1111/j.1465-7295.1980.tb00574.x .
• هولكومب، راندال ج.؛ سوبيل، راسل س. (1995). "أدلة تجريبية على علنية الأنشطة التشريعية للولايات". الاختيار العام . 83 ( 1-2 ): 47-58 . doi : 10.1007/BF01047682 . S2CID 44831293 . 
• هوستيد، توماس أ.؛ كيني، لورانس و. (1997). "أثر توسيع حق الاقتراع على حجم الحكومة". مجلة الاقتصاد السياسي . 105 (1): 54-82 . doi : 10.1086/262065 . S2CID 41897793 . 
• كريبيل، كيث (2004). "التنظيم التشريعي" . مجلة وجهات النظر الاقتصادية . 18 (1): 113-128 . doi : 10.1257/089533004773563467 . S2CID 249607866 . 
• ماكيلفي، ريتشارد د. (1976). "الأفعال غير المتعدية في نماذج التصويت متعددة الأبعاد وبعض الآثار المترتبة على التحكم في جدول الأعمال". مجلة النظرية الاقتصادية . 12 (3): 472-482 . doi : 10.1016/0022-0531(76)90040-5 .
• شومر، جيمس؛ فوهرا، راكيش ف. (2013). "تصميم الآليات بدون نقود". في نيسان، نوام؛ رافغاردن، تيم؛ تاردوس، إيفا؛ فازيراني، فيجاي (محررون). نظرية الألعاب الخوارزمية . نيويورك: مطبعة جامعة كامبريدج. ص 246-252 . ISBN  978-0-521-87282-9.
• رايس، توم و. (1985). "دراسة فرضية الناخب الوسيط". المجلة السياسية الغربية الفصلية . 38 (2): 211-223 . doi : 10.2307/448625 . JSTOR 448625 . 
• رومر، توماس؛ روزنتال، هوارد (1979). "الناخب الوسيط المراوغ". مجلة الاقتصاد العام . 12 (2): 143-170 . doi : 10.1016/0047-2727(79)90010-0 .
• سوبل، راسل س.؛ هولكومب، راندال ج. (2001). "قاعدة التصويت بالإجماع ليست المكافئ السياسي للتبادل السوقي". الاختيار العام . 106 ( 3-4 ): 233-242 . doi : 10.1023/A:1005298607876 . S2CID 16736216 . 
• والدفوغل، جويل (2008) . "الناخب المتوسط ​​والمستهلك المتوسط: السلع الخاصة المحلية وتكوين السكان". مجلة الاقتصاد الحضري . 63 (2): 567-582 . doi : 10.1016/j.jue.2007.04.002 . S2CID 152378898. SSRN 878059 .