تكاملات سلاتر

في الرياضيات والفيزياء الرياضية، تُعرف تكاملات سلاتر بأنها تكاملات معينة لحاصل ضرب ثلاثة توافقيات كروية . وتظهر هذه التكاملات بشكل طبيعي عند تطبيق أساس متعامد من الدوال على كرة الوحدة ، والتي تتحول بطريقة محددة عند الدوران في ثلاثة أبعاد. وتُعد هذه التكاملات مفيدة بشكل خاص عند حساب خصائص الذرات التي تتمتع بتناظر كروي طبيعي. وسيتم تعريف هذه التكاملات أدناه مع ذكر بعض خصائصها الرياضية.

في سياق نظرية الكم لبنية الذرة ، عرّف جون سي. سلاتر تكامل ثلاثة توافقيات كروية على أنه معامل${\displaystyle c}$[ ^{1 ]} هذه المعاملات هي في الأساس ناتج ضرب رمزين من ^رموز ويغنر 3jm .

${\displaystyle c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')=\int d^{2}\Omega \ Y_{\ell }^{m}(\Omega )^{*}Y_{\ell '}^{m'}(\Omega )Y_{k}^{mm'}(\Omega )}$

تُعدّ هذه التكاملات مفيدة وضرورية عند إجراء حسابات ذرية من نوع هارتري-فوك ، حيث يلزم معرفة عناصر مصفوفة مؤثر كولوم ومؤثر التبادل . وللحصول على صيغة صريحة، يمكن استخدام صيغة غونت لكثيرات حدود ليجندر المرتبطة .

لاحظ أنه يمكن كتابة حاصل ضرب توافقيين كرويين بدلالة هذه المعاملات. بتوسيع هذا الناتج على أساس توافقي كروي من نفس الرتبة

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}{\hat {A}}^{\ell ''}(\ell ,m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

ثم يمكن للمرء أن يضرب في${\displaystyle Y^{*}}$ثم قم بالتكامل، باستخدام خاصية المرافق مع مراعاة الأطوار والتطبيع:

$$$

لذلك

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}Y_{\ell '}^{m'}=\sum _{\ell ''}(-1)^{m'}c^{\ell ''}(\ell ,-m,\ell ',m',)Y_{\ell ''}^{m+m'},}$

تخضع هذه المعاملات لعدد من المتطابقات، وهي تشمل

$\begin{aligned}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')&=c^{k}(\ell ,-m,\ell ',-m')\\&=(-1)^{mm'}c^{k}(\ell ',m',\ell ,m)\\&=(-1)^{mm'}{\sqrt {\frac {2\ell +1}{2k+1}}}c^{\ell }(\ell ',m',k,m'-m)\\&=(-1)^{m'}{\sqrt {\frac {2\ell '+1}{2k+1}}}c^{\ell '}(k,mm',\ell ,m).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ,m)&=(2\ell +1)\delta _{k,0}.\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }\sum _{m'=-\ell '}^{\ell '}c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')^{2}&={\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m=-\ell }^{\ell }c^{k}(\ell ,m,\ell ',m')c^{k}(\ell ,m,{\tilde {\ell }},m')&=\delta _{\ell ',{\tilde {\ell }}}\cdot {\sqrt {\frac {2\ell +1}{2\ell '+1}}}\cdot c^{k}(\ell ,0,\ell ',0).\\\sum _{m}c^{k}(\ell ,m+r,\ell ',m)c^{k}(\ell ,m+r,{\tilde {\ell }},m)&=\delta _{\ell ,{\tilde {\ell }}}\cdot {\frac {\sqrt {(2\ell +1)(2\ell '+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell \begin{aligned} \sum_{m}c^{k}(\ell,m+r,\ell',m)c^{q}(\ell,m+r,\ell',m)&=\delta_{k,q}\cdot {\frac{\sqrt{(2\ell +1)(2\ell'+1)}}{2k+1}}\cdot c^{k}(\ell,0,\ell',0).\end{aligned}}}$