أساس متعامد

في الرياضيات ، وخاصة الجبر الخطي ، أساس متعامد لفضاء الضرب الداخلي${\displaystyle V}$ذات الأبعاد المحدودة هي أساس لـ${\displaystyle V}$التي تكون متجهاتها متعامدة ، أي أنها جميعها متجهات وحدة ومتعامدة مع بعضها البعض. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} على سبيل المثال، الأساس القياسي للفضاء الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هي أساس متعامد معياري، حيث يكون الضرب الداخلي ذو الصلة هو الضرب القياسي للمتجهات. صورة الأساس القياسي تحت الدوران أو الانعكاس (أو أي تحويل متعامد ) هي أيضًا أساس متعامد معياري، وكل أساس متعامد معياري لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ينشأ ذلك بهذه الطريقة. يمكن اشتقاق أساس متعامد معياري من أساس متعامد عبر التطبيع . إن اختيار نقطة الأصل وقاعدة متعامدة يشكل إطار إحداثيات يُعرف باسم الإطار المتعامد .

لمساحة المنتج الداخلية العامة${\displaystyle V,}$يمكن استخدام أساس متعامد معياري لتعريف الإحداثيات المتعامدة المعيارية على${\displaystyle V.}$في ظل هذه الإحداثيات، يصبح الضرب الداخلي ضربًا قياسيًا للمتجهات. وبالتالي، فإن وجود أساس متعامد يقلل دراسة فضاء الضرب الداخلي ذي الأبعاد المحدودة إلى دراسة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تحت الضرب النقطي. كل فضاء ضرب داخلي محدود الأبعاد له أساس متعامد، والذي يمكن الحصول عليه من أساس اختياري باستخدام عملية غرام-شميدت .

في التحليل الوظيفي ، يمكن تعميم مفهوم الأساس المتعامد ليشمل فضاءات الضرب الداخلي ذات الأبعاد اللانهائية . ^{[ 4 ]} بالنظر إلى فضاء ما قبل هيلبرت${\displaystyle H,}$أساس متعامد لـ${\displaystyle H}$هي مجموعة متعامدة من المتجهات تتميز بخاصية أن كل متجه في${\displaystyle H}$يمكن كتابة المصفوفة كتركيبة خطية لانهائية من المتجهات في الأساس. في هذه الحالة، يُطلق على الأساس المتعامد أحيانًا اسم أساس هيلبرت.${\displaystyle H.}$تجدر الإشارة إلى أن الأساس المتعامد المعياري بهذا المعنى ليس أساس هامل بشكل عام ، نظرًا لاحتياجه إلى عدد لا نهائي من التراكيب الخطية. ^{[ 5 ]} تحديدًا، يجب أن يكون الامتداد الخطي للأساس كثيفًا في${\displaystyle H,}$وإن لم يكن بالضرورة المساحة بأكملها.

إذا انتقلنا إلى فضاءات هيلبرت ، فإن مجموعة المتجهات غير المتعامدة التي لها نفس الامتداد الخطي الذي تمتلكه قاعدة متعامدة قد لا تُعتبر قاعدة على الإطلاق. على سبيل المثال، أي دالة قابلة للتكامل التربيعي على الفترة${\displaystyle [-1,1]}$يمكن التعبير عنها ( في كل مكان تقريبًا ) كمجموع لانهائي من كثيرات حدود ليجندر (أساس متعامد)، ولكن ليس بالضرورة كمجموع لانهائي من أحاديات الحدود${\displaystyle x^{n}.}$

ثمة تعميم مختلف يتمثل في فضاءات الضرب الداخلي الزائف، وفضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة${\displaystyle M}$مزود بصيغة ثنائية خطية متناظرة غير متدهورة تُعرف باسم موتر القياس . في مثل هذا الأساس، يأخذ القياس الشكل التالي${\displaystyle {\text{diag}}(+1,\cdots ,+1,-1,\cdots ,-1)}$مع${\displaystyle p}$الإيجابيات و${\displaystyle q}$السلبيات.

• ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$مجموعة المتجهات${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ={\begin{pmatrix}1&0&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{2}} ={\begin{pmatrix}0&1&0\end{pmatrix}}\ ,\ \mathbf {e_{3}} ={\begin{pmatrix}0&0&1\end{pmatrix}}\right\},}$يُطلق عليه اسم الأساس القياسي ويشكل أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$فيما يتعلق بالضرب النقطي القياسي. لاحظ أن كلاً من الأساس القياسي والضرب النقطي القياسي يعتمدان على الرؤية${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$كحاصل ضرب ديكارتي${\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }$

  البرهان: تُظهر عملية حسابية بسيطة أن حاصل الضرب الداخلي لهذه المتجهات يساوي صفرًا.${\displaystyle \left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{3}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \يمين\rangle =0}$وأن كل مقدار من مقاديرها يساوي واحدًا،${\displaystyle \left\|\mathbf {e_{1}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{2}} \right\|=\left\|\mathbf {e_{3}} \right\|=1.}$هذا يعني أن${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$هي مجموعة متعامدة. جميع المتجهات${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )\in \mathbb {R} ^{3}}$يمكن التعبير عنها كمجموع متجهات الأساس المُقاسة$${\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} )=\mathbf {xe_{1}} +\mathbf {ye_{2}} +\mathbf {ze_{3}} ,}$$لذا${\displaystyle \left\{\mathbf {e_{1}} ,\mathbf {e_{2}} ,\mathbf {e_{3}} \right\}}$يمتد${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$وبالتالي يجب أن يكون أساسًا. ويمكن أيضًا إثبات أن الأساس القياسي الذي يدور حول محور يمر بنقطة الأصل أو ينعكس في مستوى يمر بنقطة الأصل يشكل أيضًا أساسًا متعامدًا.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$.

• ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم تعريف الأساس القياسي والضرب الداخلي بشكل مماثل. أي أساس متعامد آخر يرتبط بالأساس القياسي عن طريق تحويل متعامد في المجموعة O(n).
• للفضاء شبه الإقليدي${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q},}$، أساس متعامد${\displaystyle \{e_{\mu }\}}$بالنظام المتري${\displaystyle \eta }$بل يرضي${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\nu })=0}$لو${\displaystyle \mu \neq \nu }$،${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=+1}$لو${\displaystyle 1\leq \mu \leq p}$، و${\displaystyle \eta (e_{\mu },e_{\mu })=-1}$لو${\displaystyle p+1\leq \mu \leq p+q}$ترتبط أي قاعدتين متعامدتين بتحويل شبه متعامد. في هذه الحالة${\displaystyle (p,q)=(1,3)}$هذه تحويلات لورنتز.
• المجموعة${\displaystyle \left\{f_{n}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$مع${\displaystyle f_{n}(x)=\exp(2\pi inx),}$أين${\displaystyle \exp }$يرمز إلى الدالة الأسية ، ويشكل أساسًا متعامدًا لفضاء الدوال ذات التكاملات المحدودة لـ Lebesgue،${\displaystyle L^{2}([0,1]),}$فيما يتعلق بالمعيار 2. هذا أمر أساسي لدراسة متسلسلات فورييه .
• المجموعة${\displaystyle \left\{e_{b}:b\in B\right\}}$مع${\displaystyle e_{b}(c)=1}$لو${\displaystyle b=c}$و${\displaystyle e_{b}(c)=0}$وإلا فإنه يشكل أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle \ell ^{2}(B).}$
• الوظائف الذاتية لمشكلة Sturm-Liouville الذاتية .
• تشكل متجهات الأعمدة في المصفوفة المتعامدة مجموعة متعامدة معيارية.

لو${\displaystyle B}$هو أساس متعامد لـ${\displaystyle H,}$ثم كل عنصر${\displaystyle x\in H}$يمكن كتابتها على النحو التالي $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}{\frac {\langle x,b\rangle }{\lVert b\rVert ^{2}}}b.}$$

متى${\displaystyle B}$بما أن المصفوفة متعامدة، فإن هذا يتبسط إلى $${\displaystyle x=\sum _{b\in B}\langle x,b\rangle b}$$ ومربع معيار​${\displaystyle x}$يمكن تقديمها بواسطة $${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{b\in B}|\langle x,b\rangle |^{2}.}$$

حتى لو${\displaystyle B}$بما أن المتغير غير قابل للعد ، فإن عددًا قابلًا للعد فقط من الحدود في هذا المجموع سيكون غير صفري، وبالتالي فإن التعبير مُعرَّف جيدًا. يُطلق على هذا المجموع أيضًا اسم متسلسلة فورييه لـ${\displaystyle x,}$وتُعرف هذه الصيغة عادةً باسم متطابقة بارسيفال .

لو${\displaystyle B}$ هو أساس متعامد لـ${\displaystyle H,}$ثم${\displaystyle H}$متماثل مع​${\displaystyle \ell ^{2}(B)}$بالمعنى التالي: توجد دالة خطية تقابلية${\displaystyle \Phi :H\to \ell ^{2}(B)}$بحيث $${\displaystyle \langle \Phi (x),\Phi (y)\rangle =\langle x,y\rangle \ \ \forall \ x,y\in H.}$$

مجموعة${\displaystyle S}$المتجهات المتعامدة المتبادلة في فضاء هيلبرت${\displaystyle H}$يُطلق عليه نظام متعامد معياري. الأساس المتعامد المعياري هو نظام متعامد معياري يتميز بخاصية إضافية وهي أن الامتداد الخطي لـ${\displaystyle S}$كثيف في${\displaystyle H}$[ ^{6 ] أو بدلاً من ذلك} ، المجموعة${\displaystyle S}$يمكن اعتبارها إما كاملة أو غير كاملة فيما يتعلق بـ${\displaystyle H}$أي أنه يمكننا اختيار أصغر فضاء خطي مغلق جزئي${\displaystyle V\subseteq H}$يحتوي على${\displaystyle S.}$ثم${\displaystyle S}$سيكون أساسًا متعامدًا لـ${\displaystyle V;}$والتي قد تكون بالطبع أصغر من${\displaystyle H}$بحد ذاتها، كونها مجموعة متعامدة غير مكتملة ، أو تكون${\displaystyle H,}$عندما تكون مجموعة متعامدة كاملة .

باستخدام مبرهنة زورن وعملية غرام-شميدت (أو ببساطة الترتيب الجيد والتكرار المتسامي)، يمكن إثبات أن كل فضاء هيلبرت يقبل أساسًا متعامدًا معياريًا؛ ^{[ 7 ]} علاوة على ذلك، فإن أي أساسين متعامدين معياريين لنفس الفضاء لهما نفس العدد (يمكن إثبات ذلك بطريقة مشابهة لإثبات نظرية البعد المعتادة للفضاءات المتجهة ، مع حالات منفصلة تعتمد على ما إذا كان الأساس الأكبر المرشح قابلًا للعد أم لا). يكون فضاء هيلبرت قابلًا للفصل إذا وفقط إذا كان يقبل أساسًا متعامدًا معياريًا قابلًا للعد . (يمكن إثبات هذه العبارة الأخيرة دون استخدام بديهية الاختيار . ومع ذلك، سيتعين استخدام بديهية الاختيار القابل للعد ).

وللتوضيح، نناقش الأسس المتعامدة لعدد حقيقي،${\displaystyle n}$فضاء متجهي ذو أبعاد${\displaystyle V}$بصيغة ثنائية خطية متناظرة موجبة محددة${\displaystyle \phi =\langle \cdot ,\cdot \rangle }$.

إحدى طرق النظر إلى الأساس المتعامد بالنسبة إلى${\displaystyle \phi }$هي عبارة عن مجموعة من المتجهات${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}}$مما يسمح لنا بالكتابة${\displaystyle v=v^{i}e_{i}\ \ \forall \ v\in V}$، و${\displaystyle v^{i}\in \mathbb {R} }$أو${\displaystyle (v^{i})\in \mathbb {R} ^{n}}$وبناءً على هذا الأساس، فإن مكونات${\displaystyle \phi }$وهي بسيطة للغاية:${\displaystyle \phi (e_{i},e_{j})=\delta _{ij}}$(أين${\displaystyle \delta _{ij}}$( دلتا كرونكر ).

يمكننا الآن النظر إلى الأساس كخريطة${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:V\rightarrow \mathbb {R} ^{n}}$وهو تماثل بين فضاءات الضرب الداخلي: ولتوضيح ذلك بشكل أكبر، يمكننا كتابة

${\displaystyle \psi _{\mathcal {B}}:(V,\phi )\rightarrow (\mathbb {R} ^{n},\delta _{ij}).}$

يمكننا أن نكتب بشكل صريح${\displaystyle (\psi _{\mathcal {B}}(v))^{i}=e^{i}(v)=\phi (e_{i},v)}$أين${\displaystyle e^{i}}$هو عنصر الأساس المزدوج لـ${\displaystyle e_{i}}$.

المعكوس هو خريطة المكونات

${\displaystyle C_{\mathcal {B}}:\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V,(v^{i})\mapsto \sum _{i=1}^{n}v^{i}e_{i}.}$

توضح هذه التعريفات وجود تقابل ثنائي.

${\displaystyle \{{\text{Space of orthogonal bases }}{\mathcal {B}}\}\leftrightarrow \{{\text{Space of isomorphisms }}V\leftrightarrow \mathbb {R} ^{n}\}.}$

يسمح فضاء التشاكلات بتأثيرات المجموعات المتعامدة إما على${\displaystyle V}$الجانب أو${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$جانب. ولتوضيح الأمر، نثبت التشاكلات لتشير إلى الاتجاه${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\rightarrow V}$وتأمل في مساحة هذه الخرائط،${\displaystyle {\text{Iso}}(\mathbb {R} ^{n}\rightarrow V)}$.

تسمح هذه المساحة بفعل يساري من قبل مجموعة التماثلات لـ${\displaystyle V}$، إنه،${\displaystyle R\in {\text{GL}}(V)}$بحيث${\displaystyle \phi (\cdot ,\cdot )=\phi (R\cdot ,R\cdot )}$، مع الفعل الناتج عن التركيب:${\displaystyle R*C=R\circ C.}$

تسمح هذه المساحة أيضًا بفعل صحيح من قبل مجموعة التماثلات لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$، إنه،${\displaystyle R_{ij}\in {\text{O}}(n)\subset {\text{Mat}}_{n\times n}(\mathbb {R} )}$، مع إعطاء الفعل مرة أخرى عن طريق التركيب:${\displaystyle C*R_{ij}=C\circ R_{ij}}$.

مجموعة القواعد المتعامدة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$مع الضرب الداخلي القياسي، يكون الفضاء المتجانس الرئيسي أو G-torsor للمجموعة المتعامدة${\displaystyle G={\text{O}}(n),}$ويُطلق عليه اسم مشعب ستيفل${\displaystyle V_{n}(\mathbb {R} ^{n})}$من متعامد${\displaystyle n}$-إطارات . ^{[ 8 ]}

بمعنى آخر، يُشبه فضاء القواعد المتعامدة الزمرة المتعامدة، ولكن دون إمكانية اختيار نقطة أساسية: ففي فضاء القواعد المتعامدة، لا يوجد اختيار طبيعي لقاعدة متعامدة، ولكن بمجرد تحديد قاعدة، يكون هناك تناظر أحادي بين القواعد والزمرة المتعامدة. وبالتحديد، تُحدد الدالة الخطية بالنقطة التي تُرسل إليها قاعدة معينة: فكما يمكن للدالة العكسية أن تنقل أي قاعدة إلى أي قاعدة أخرى، يمكن للدالة المتعامدة أن تنقل أي قاعدة متعامدة إلى أي قاعدة متعامدة أخرى .

مشعبات ستيفل الأخرى${\displaystyle V_{k}(\mathbb {R} ^{n})}$ل${\displaystyle k<n}$قواعد متعامدة غير مكتملة (متعامدة${\displaystyle k}$لا تزال الإطارات (-frames) فضاءات متجانسة للمجموعة المتعامدة، ولكنها ليست فضاءات متجانسة رئيسية : أي${\displaystyle k}$يمكن نقل الإطار إلى أي مكان آخر${\displaystyle k}$-إطار بواسطة خريطة متعامدة، لكن هذه الخريطة ليست محددة بشكل فريد.

• مجموعة القواعد المتعامدة لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p,q}}$هو G-torsor لـ${\displaystyle G={\text{O}}(p,q)}$.
• مجموعة القواعد المتعامدة لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$هو G-torsor لـ${\displaystyle G={\text{U}}(n)}$.
• مجموعة القواعد المتعامدة لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{p,q}}$هو G-torsor لـ${\displaystyle G={\text{U}}(p,q)}$.
• مجموعة القواعد المتعامدة ذات اليد اليمنى لـ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو G-torsor لـ${\displaystyle G={\text{SO}}(n)}$

• الأساس المتعامد - أساس يتكون من متجهات متعامدة فيما بينها 
• الأساس (الجبر الخطي) - مجموعة المتجهات المستخدمة لتحديد الإحداثيات 
• الإطار المتعامد المعياري – الفضاء الإقليدي بدون مسافة وزوايا 
• أساس شودر – أداة حسابية 
• طقم كامل

• رومان، ستيفن (2008). الجبر الخطي المتقدم . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات (  الطبعة الثالثة). سبرينغر. ISBN 978-0-387-72828-5.(الصفحة 218، الفصل 9)
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• ستينوارت، إنغو؛ كريستمان، أندرياس (2008). دعم آلات المتجهات . نيويورك: سبرينغر. دوى : 10.1007/978-0-387-77242-4 . رقم ISBN 978-0-387-77241-7.

• يناقش هذا المنشور على Stack Exchange لماذا لا تعتبر مجموعة دوال ديراك دلتا أساسًا لـ L ² ([0,1]).