هوية سومرفيلد

متطابقة سومرفيلد هي متطابقة رياضية، تعود إلى أرنولد سومرفيلد ، وتستخدم في نظرية انتشار الموجات .

${\displaystyle {\frac {e^{ikR}}{R}}=\int \limits _{0}^{\infty }I_{0}(\lambda r)e^{-\mu \left|z\right|}{\frac {\lambda d\lambda }{\mu }}}$

أين

${\displaystyle \mu ={\sqrt {\lambda ^{2}-k^{2}}}}$

يجب أخذ الجزء الحقيقي الموجب لضمان تقارب التكامل وتلاشيه في النهاية.${\displaystyle z\rightarrow \pm \infty }$و

${\displaystyle R^{2}=r^{2}+z^{2}}$.

هنا،${\displaystyle R}$هي المسافة من نقطة الأصل بينما${\displaystyle r}$المسافة من المحور المركزي للأسطوانة كما في${\displaystyle (r,\phi ,z)}$نظام الإحداثيات الأسطوانية . هنا، يتبع ترميز دوال بيسل الاصطلاح الألماني، وذلك للتوافق مع الترميز الأصلي الذي استخدمه سومرفيلد. الدالة${\displaystyle I_{0}(z)}$هي دالة بيسل من الرتبة الصفرية من النوع الأول، والمعروفة بشكل أفضل بالرمز${\displaystyle I_{0}(z)=J_{0}(iz)}$في الأدب الإنجليزي. تُعرف هذه الهوية بهوية سومرفيلد. ^{[ 1 ]}

في تدوين بديل، يمكن اعتبار هوية سومرفيلد بسهولة أكبر بمثابة توسيع لموجة كروية من حيث الموجات المتناظرة أسطوانيًا: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {e^{ik_{0}r}}{r}}=i\int \limits _{0}^{\infty }{dk_{\rho }{\frac {k_{\rho }}{k_{z}}}J_{0}(k_{\rho }\rho )e^{ik_{z}\left|z\right|}}}$

أين

${\displaystyle k_{z}=(k_{0}^{2}-k_{\rho }^{2})^{1/2}}$

تختلف الصيغة المستخدمة هنا عن تلك المستخدمة أعلاه:${\displaystyle r}$وهي الآن المسافة من نقطة الأصل و${\displaystyle \rho }$المسافة القطرية في نظام إحداثيات أسطواني تُعرَّف على النحو التالي:${\displaystyle (\rho ,\phi ,z)}$التفسير الفيزيائي هو أن الموجة الكروية يمكن توسيعها إلى مجموع موجات أسطوانية في${\displaystyle \rho }$الاتجاه، مضروبًا في موجة مستوية ثنائية الجانب في${\displaystyle z}$الاتجاه؛ انظر إلى متسلسلة جاكوبي-أنجر . يجب إجراء عملية الجمع على جميع الأعداد الموجية.${\displaystyle k_{\rho }}$.

ترتبط متطابقة سومرفيلد ارتباطًا وثيقًا بتحويل فورييه ثنائي الأبعاد ذي التناظر الأسطواني، أي تحويل هانكل . ويتم إيجادها عن طريق تحويل الموجة الكروية على طول الإحداثيات المستوية (${\displaystyle x}$،${\displaystyle y}$، أو${\displaystyle \rho }$،${\displaystyle \phi }$) ولكن دون التحويل على طول إحداثية الارتفاع${\displaystyle z}$[ ^{3 ]​}

• سومرفيلد، أرنولد (1964). المعادلات التفاضلية الجزئية في الفيزياء . نيويورك: أكاديميك برس . ISBN 9780126546583.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• تشو، وينغ تشو (1990). الموجات والمجالات في الأوساط غير المتجانسة . نيويورك: فان نوستراند رينهولد . ISBN 9780780347496.