موجة

رياضياً، يتم وصف الموجة بواسطة دالة${\displaystyle F(x,t)}$يُسقط هذا الحقل نقطة في المكان والزمان على حقل . بالنسبة للحقل القياسي، تكون قيمته عددًا؛ وبالنسبة للحقل المتجهي، تكون قيمته متجهًا ؛ وبشكل عام، يكون للحقل الموتري قيمة موترية .

قيمة${\displaystyle x}$هي نقطة في الفضاء، وتحديدًا في المنطقة التي تُعرَّف فيها الموجة. من الناحية الرياضية، هي عادةً متجه في الفضاء الديكارتي ثلاثي الأبعاد.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ومع ذلك، في كثير من الحالات يمكن تجاهل أحد الأبعاد، والسماح${\displaystyle x}$أن تكون نقطة في المستوى الديكارتي${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ينطبق هذا، على سبيل المثال، عند دراسة اهتزازات جلد الطبل. بل يمكن للمرء أن يقيد${\displaystyle x}$إلى نقطة على الخط الديكارتي${\displaystyle \mathbb {R} }$– أي مجموعة الأعداد الحقيقية . وهذا هو الحال، على سبيل المثال، عند دراسة الاهتزازات في وتر الكمان أو آلة التسجيل . الزمن${\displaystyle t}$من ناحية أخرى، يُفترض دائمًا أن يكون عددًا قياسيًا ؛ أي عددًا حقيقيًا.

قيمة${\displaystyle F(x,t)}$يمكن أن تكون أي كمية فيزيائية ذات أهمية مخصصة للنقطة${\displaystyle x}$قد يختلف ذلك بمرور الوقت. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle F}$يمثل الاهتزازات داخل جسم صلب مرن، وقيمة${\displaystyle F(x,t)}$عادةً ما يكون متجهًا يعطي الإزاحة الحالية من${\displaystyle x}$من جزيئات المادة التي ستكون عند النقطة${\displaystyle x}$في غياب الاهتزاز. بالنسبة للموجة الكهرومغناطيسية، تكون قيمة${\displaystyle F}$يمكن أن يكون متجه المجال الكهربائي${\displaystyle E}$أو متجه المجال المغناطيسي${\displaystyle H}$أو أي كمية ذات صلة، مثل متجه بوينتينغ${\displaystyle E\times H}$في ديناميكا الموائع ، قيمة${\displaystyle F(x,t)}$قد يكون متجه سرعة السائل عند النقطة${\displaystyle x}$أو أي خاصية قياسية مثل الضغط أو درجة الحرارة أو الكثافة . في التفاعل الكيميائي،${\displaystyle F(x,t)}$قد يكون ذلك تركيز مادة ما في جوار النقطة${\displaystyle x}$وسط التفاعل.

لأي بُعد${\displaystyle d}$(1 أو 2 أو 3)، يصبح نطاق الموجة مجموعة جزئية${\displaystyle D}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$، بحيث تكون قيمة الدالة${\displaystyle F(x,t)}$يتم تعريفها لأي نقطة${\displaystyle x}$في${\displaystyle D}$على سبيل المثال، عند وصف حركة جلد الطبل ، يمكن للمرء أن يأخذ في الاعتبار${\displaystyle D}$أن يكون قرصًا (دائرة) على المستوى${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$مع وجود المركز عند نقطة الأصل${\displaystyle (0,0)}$ودع${\displaystyle F(x,t)}$ليكن الإزاحة الرأسية للجلد عند النقطة${\displaystyle x}$ل${\displaystyle D}$وفي وقت${\displaystyle t}$.

غالباً ما تتراكب الموجات من النوع نفسه وتلتقي في آن واحد عند نقطة معينة في المكان والزمان. وتكون خصائص الموجة عند تلك النقطة هي مجموع خصائص كل موجة مكونة لها. وبشكل عام، لا تتساوى سرعات هذه الموجات، لذا يتغير شكل الموجة بمرور الوقت والمكان.

طيف الموجة هو تمثيل يصف كيفية توزيع طاقة سطح البحر (أو حقل الموجة) عبر ترددات موجية (أو أعداد موجية) واتجاهات مختلفة. ^{[ 6 ]} تتكون أسطح المحيطات الحقيقية من العديد من الموجات المتداخلة ذات أطوال موجية وفترات وسعات واتجاهات مختلفة. يقدم طيف الموجة وصفًا إحصائيًا (طيفيًا) بدلاً من تتبع الموجات الفردية. ^{[ 7 ]} يمكن اعتبار ارتفاع سطح البحر المرصود عند نقطة ما بمثابة مجموع (تراكب) العديد من مكونات الموجات الجيبية؛ ويحدد طيف الموجة مقدار الطاقة المرتبطة بكل مكون. ^{[ 8 ]}

أحيانًا يهتم المرء بموجة واحدة محددة. ولكن في أغلب الأحيان، يحتاج إلى فهم مجموعة كبيرة من الموجات المحتملة؛ مثل جميع الطرق التي يمكن أن يهتز بها جلد الطبل بعد ضربه مرة واحدة بعصا الطبل ، أو جميع أصداء الرادار المحتملة التي يمكن الحصول عليها من طائرة تقترب من مطار . في بعض هذه الحالات، يمكن وصف هذه المجموعة من الموجات بدالة.${\displaystyle F(A,B,\ldots ;x,t)}$يعتمد ذلك على معايير معينة${\displaystyle A,B,\ldots }$، بجانب${\displaystyle x}$و${\displaystyle t}$ثم يمكن الحصول على موجات مختلفة - أي وظائف مختلفة لـ${\displaystyle x}$و${\displaystyle t}$– عن طريق اختيار قيم مختلفة لتلك المعلمات.

فعلى سبيل المثال، يكون ضغط الصوت داخل آلة التسجيل التي تعزف نغمة "صافية" عادةً عبارة عن موجة ثابتة ، ويمكن كتابتها على النحو التالي:

${\displaystyle F(A,L,n,c;x,t)=A\left(\cos 2\pi x{\frac {2n-1}{4L}}\right)\left(\cos 2\pi ct{\frac {2n-1}{4L}}\right)}$

المعلمة${\displaystyle A}$يحدد سعة الموجة (أي أقصى ضغط صوتي في التجويف، والذي يرتبط بشدة النوتة الموسيقية)؛${\displaystyle c}$هي سرعة الصوت؛${\displaystyle L}$هو طول التجويف؛ و${\displaystyle n}$هو عدد صحيح موجب (1، 2، 3، ...) يحدد عدد العقد في الموجة المستقرة. (الموقع)${\displaystyle x}$ينبغي قياسها من فوهة الجهاز ، والوقت${\displaystyle t}$من أي لحظة يكون فيها الضغط عند فوهة الفم في أقصى حد. الكمية${\displaystyle \lambda =4L/(2n-1)}$يمثل طول موجة النوتة المنبعثة، و${\displaystyle f=c/\lambda }$( ترددها .) يمكن استنتاج العديد من الخصائص العامة لهذه الموجات من هذه المعادلة العامة، دون اختيار قيم محددة للمعلمات.

كمثال آخر، قد يكون اهتزاز جلد الطبل بعد ضربة واحدة يعتمد فقط على المسافة${\displaystyle r}$من مركز الجلد إلى نقطة الضربة، وعلى القوة${\displaystyle s}$من الضربة. عندئذٍ يمكن وصف الاهتزاز لجميع الضربات المحتملة بدالة${\displaystyle F(r,s;x,t)}$.

أحيانًا، تحتوي عائلة الموجات محل الاهتمام على عدد لا نهائي من المعاملات. على سبيل المثال، قد يرغب المرء في وصف ما يحدث لدرجة الحرارة في قضيب معدني عند تسخينه مبدئيًا إلى درجات حرارة مختلفة في نقاط مختلفة على طوله، ثم تركه ليبرد تلقائيًا في الفراغ. في هذه الحالة، بدلًا من أن يكون المعامل كمية قياسية أو متجهة، يجب أن يكون دالة.${\displaystyle h}$بحيث${\displaystyle h(x)}$هي درجة الحرارة الابتدائية عند كل نقطة${\displaystyle x}$من الشريط. ثم يمكن التعبير عن درجات الحرارة في أوقات لاحقة بدالة.${\displaystyle F}$يعتمد ذلك على الوظيفة${\displaystyle h}$(أي، عامل وظيفي )، بحيث تكون درجة الحرارة في وقت لاحق${\displaystyle F(h;x,t)}$

ثمة طريقة أخرى لوصف ودراسة عائلة من الموجات، وهي إعطاء معادلة رياضية لا تُعطي قيمة الموجة بشكل صريح.${\displaystyle F(x,t)}$، يقتصر فقط على تحديد كيفية تغير تلك القيم مع مرور الوقت. عندئذٍ، تتكون عائلة الموجات المعنية من جميع الدوال.${\displaystyle F}$التي تفي بتلك القيود - أي جميع حلول المعادلة.

يُعد هذا النهج بالغ الأهمية في الفيزياء، لأن القيود عادةً ما تكون نتيجةً للعمليات الفيزيائية التي تُسبب تطور الموجة. على سبيل المثال، إذا${\displaystyle F(x,t)}$تمثل درجة الحرارة داخل كتلة من مادة صلبة متجانسة ومتساوية الخواص ، ويخضع تطورها لمعادلة تفاضلية جزئية.

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial t}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta Q(x,t)}$

أين${\displaystyle Q(x,t)}$هي الحرارة المتولدة لكل وحدة حجم وزمن في نطاق${\displaystyle x}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$(على سبيل المثال، عن طريق التفاعلات الكيميائية التي تحدث هناك)؛${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$هي الإحداثيات الديكارتية للنقطة${\displaystyle x}$؛${\displaystyle \partial F/\partial t}$هو المشتق (الأول) لـ${\displaystyle F}$بالنسبة إلى${\displaystyle t}$؛ و${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial x_{i}^{2}}$هي المشتقة الثانية لـ${\displaystyle F}$بالنسبة إلى${\displaystyle x_{i}}$. (الرمز "${\displaystyle \partial }$"يقصد به أن جميع المتغيرات الأخرى يجب اعتبارها ثابتة في المشتق بالنسبة لمتغير معين."

يمكن اشتقاق هذه المعادلة من قوانين الفيزياء التي تحكم انتشار الحرارة في المواد الصلبة. ولهذا السبب، تُسمى معادلة الحرارة في الرياضيات، على الرغم من أنها تنطبق على العديد من الكميات الفيزيائية الأخرى إلى جانب درجات الحرارة.

كمثال آخر، يمكننا وصف جميع الأصوات الممكنة التي تتردد داخل وعاء من الغاز بواسطة دالة${\displaystyle F(x,t)}$وهذا يعطي الضغط عند نقطة معينة${\displaystyle x}$والوقت${\displaystyle t}$داخل تلك الحاوية. إذا كان الغاز في البداية عند درجة حرارة وتركيب موحدين، فإن تطور${\displaystyle F}$يخضع للقيود المنصوص عليها في الصيغة

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}F}{\partial t^{2}}}(x,t)=\alpha \left({\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{1}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{2}^{2}}}(x,t)+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial x_{3}^{2}}}(x,t)\right)+\beta P(x,t)}$

هنا${\displaystyle P(x,t)}$هي قوة ضغط إضافية يتم تطبيقها على الغاز بالقرب من${\displaystyle x}$عن طريق عملية خارجية، مثل مكبر صوت أو مكبس بجواره مباشرة.

تصف هذه المعادلة التفاضلية نفسها سلوك الاهتزازات الميكانيكية والمجالات الكهرومغناطيسية في جسم صلب متجانس ومتناحٍ وغير موصل. لاحظ أن هذه المعادلة تختلف عن معادلة تدفق الحرارة فقط في أن الطرف الأيسر منها${\displaystyle \partial ^{2}F/\partial t^{2}}$، المشتق الثاني لـ${\displaystyle F}$فيما يتعلق بالزمن، بدلاً من المشتقة الأولى${\displaystyle \partial F/\partial t}$ومع ذلك، يُحدث هذا التغيير البسيط فرقًا كبيرًا في مجموعة الحلول.${\displaystyle F}$تُسمى هذه المعادلة التفاضلية في الرياضيات " معادلة الموجة " ، على الرغم من أنها تصف نوعًا واحدًا خاصًا جدًا من الموجات.

يتضمن شكل الدالة F في صيغة دالمبير الوسيط x − vt . تتوافق القيم الثابتة لهذا الوسيط مع قيم ثابتة للدالة F ، وتحدث هذه القيم الثابتة إذا زادت قيمة x بنفس معدل زيادة vt . أي أن الموجة التي تتخذ شكل الدالة F ستتحرك في الاتجاه الموجب لمحور x بسرعة v ( وستنتشر G بنفس السرعة في الاتجاه السالب لمحور x ). ^{[ 14 ]}

في حالة الدالة الدورية F ذات الدورة λ ، أي F ( x + λ − vt ) = F ( x − vt )، فإن دورية F في الفضاء تعني أن لقطة للموجة عند زمن معين t تُظهر تغير الموجة دوريًا في الفضاء بدورة λ ( طول الموجة). وبالمثل، فإن دورية F هذه تستلزم دورية زمنية أيضًا: F ( x − v ( t + T )) = F ( x − vt ) بشرط أن vT = λ ، لذا فإن رصد الموجة عند موقع ثابت x يُظهر تذبذبها دوريًا في الزمن بدورة T = λ / v . ^{[ 15 ]}

قد تكون سعة الموجة ثابتة (وفي هذه الحالة تُسمى موجة مستمرة ) ، أو قد تتغير مع الزمن و/أو الموضع. يُطلق على شكل تغير السعة اسم غلاف الموجة. رياضياً، يمكن كتابة الموجة المتغيرة بالشكل التالي: ^{[ 16 ] [ 17 ] [ 18 ]}$${\displaystyle u(x,t)=A(x,t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ أين${\displaystyle A(x,\ t)}$هو غلاف سعة الموجة،${\displaystyle k}$هو العدد الموجي و${\displaystyle \phi }$هي المرحلة . إذا كانت سرعة المجموعة${\displaystyle v_{g}}$(انظر أدناه) مستقلة عن الطول الموجي، ويمكن تبسيط هذه المعادلة على النحو التالي: ^{[ 19 ]}$${\displaystyle u(x,t)=A(x-v_{g}t)\sin \left(kx-\omega t+\phi \right),}$$ يُظهر ذلك أن الغلاف يتحرك مع سرعة المجموعة ويحافظ على شكله. أما في الحالات التي تتغير فيها سرعة المجموعة مع الطول الموجي، فإن شكل النبضة يتغير بطريقة تُوصف غالبًا باستخدام معادلة الغلاف . ^{[ 19 ] [ 20 ]}

هناك سرعتان مرتبطتان بالأمواج، سرعة الطور وسرعة المجموعة .

سرعة الطور هي معدل انتشار طور الموجة في الفضاء : أي طور معين للموجة (على سبيل المثال، القمة ) سيبدو وكأنه ينتقل بسرعة الطور. تُعطى سرعة الطور بدلالة الطول الموجي λ (لامدا) والدورة T كما يلي:

$${\displaystyle v_{\mathrm {p} }={\frac {\lambda }{T}}.}$$

سرعة المجموعة هي خاصية للموجات التي لها غلاف محدد، وتقيس الانتشار عبر الفضاء (أي سرعة الطور) للشكل العام لسعات الموجات - تعديل أو غلاف الموجة.

الموجة المستوية هي نوع من الموجات تتغير قيمتها في اتجاه مكاني واحد فقط. أي أن قيمتها ثابتة على مستوى عمودي على ذلك الاتجاه. ويمكن تحديد الموجات المستوية بواسطة متجه طوله وحدة واحدة.${\displaystyle {\hat {n}}}$يشير إلى الاتجاه الذي تتغير فيه الموجة، وملف تعريف الموجة الذي يصف كيفية تغير الموجة كدالة للإزاحة على طول ذلك الاتجاه (${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$) والوقت (${\displaystyle t}$بما أن شكل الموجة يعتمد فقط على الموقع${\displaystyle {\vec {x}}}$في المجموعة${\displaystyle {\hat {n}}\cdot {\vec {x}}}$أي إزاحة في اتجاهات عمودية على${\displaystyle {\hat {n}}}$لا يمكن أن يؤثر على قيمة الحقل.

تُستخدم الموجات المستوية غالبًا لنمذجة الموجات الكهرومغناطيسية البعيدة عن مصدرها. في الموجات الكهرومغناطيسية المستوية، يكون المجال الكهربائي والمجال المغناطيسي متعامدين على اتجاه الانتشار، ومتعامدين على بعضهما البعض.

الموجة المستقرة، أو الموجة الثابتة ، هي موجة يبقى غلافها في موضع ثابت. تنشأ هذه الظاهرة نتيجة تداخل موجتين تنتشران في اتجاهين متعاكسين. ينتج عن مجموع موجتين متضادتين في الانتشار (متساويتين في السعة والتردد) موجة مستقرة . عادةً ما تنشأ الموجات المستقرة عندما يعيق حدٌّ ما انتشار الموجة، مما يؤدي إلى انعكاسها، وبالتالي ظهور موجة معاكسة في الانتشار. على سبيل المثال، عند تحريك وتر الكمان ، تنتشر الموجات المستعرضة إلى موضع تثبيت الوتر عند الجسر والجوزة ، حيث تنعكس الموجات عائدةً. عند الجسر والجوزة، تكون الموجتان المتعاكستان في طورين متعاكسين ، فتلغي إحداهما الأخرى، مُنتجةً عقدة . في منتصف المسافة بين عقدتين، توجد بطن ، حيث تتعاكس الموجتان في الانتشار إلى أقصى حد. لا يوجد انتشار صافٍ للطاقة مع مرور الوقت.

• 
  الموجات المستقرة أحادية البعد؛ النمط الأساسي وأول 5 نغمات توافقية
• 
  موجة واقفة ثنائية الأبعاد على قرص ؛ هذا هو النمط الأساسي.
• 
  موجة مستقرة على قرص مع خطين عقديين يتقاطعان في المركز؛ هذا هو النغمة التوافقية.

الموجة المنفردة أو السوليتون هي حزمة موجية ذاتية التعزيز تحافظ على شكلها أثناء انتشارها بسرعة ثابتة. تنشأ السوليتونات نتيجةً لتلاشي التأثيرات غير الخطية والتشتتية في الوسط. (التأثيرات التشتتية هي خاصية لبعض الأنظمة حيث تعتمد سرعة الموجة على ترددها). السوليتونات هي حلول لفئة واسعة من المعادلات التفاضلية الجزئية التشتتية غير الخطية الضعيفة التي تصف الأنظمة الفيزيائية.

انتشار الموجات هو أي من الطرق التي تنتقل بها الموجات. وبالنظر إلى اتجاه التذبذب بالنسبة لاتجاه الانتشار، يمكننا التمييز بين الموجات الطولية والموجات المستعرضة .

تنتشر الموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ وكذلك في الأوساط المادية. أما انتشار أنواع أخرى من الموجات، كالصوت، فقد يحدث فقط في وسط ناقل .

انتشار الموجة SV

يُشير الحل التحليلي لموجة SV في نصف الفضاء إلى أن موجة SV المستوية تنعكس عائدةً إلى المجال على هيئة موجتين P وSV، باستثناء حالات خاصة. زاوية انعكاس موجة SV مطابقة لزاوية انعكاس الموجة الساقطة، بينما زاوية انعكاس موجة P أكبر من زاوية انعكاس موجة SV. عند نفس تردد الموجة، يكون طول موجة SV أصغر من طول موجة P. وقد تم توضيح هذه الحقيقة في الصورة المتحركة. ^{[ 21 ]}

سرعة الموجة مفهوم عام يشمل أنواعًا مختلفة من سرعات الموجات، ويشير إلى طور الموجة وسرعتها فيما يتعلق بانتشار الطاقة (والمعلومات). تُعطى سرعة الطور كما يلي:

$${\displaystyle v_{\rm {p}}={\frac {\omega }{k}},}$$ أين:

• v _p هي سرعة الطور (بوحدة متر/ثانية في النظام الدولي للوحدات).
• ω هي التردد الزاوي (بوحدة راديان/ثانية في النظام الدولي للوحدات).
• k هو العدد الموجي (بوحدة SI rad/m).

تُعطي سرعة الطور السرعة التي تنتقل بها نقطة ذات طور ثابت للموجة عند تردد منفصل. لا يمكن اختيار التردد الزاوي ω بشكل مستقل عن العدد الموجي k ، ولكنهما مرتبطان من خلال علاقة التشتت . $${\displaystyle \omega =\Omega (k).}$$

في الحالة الخاصة Ω( k ) = ck ، حيث c ثابت، تُسمى الموجات غير تشتتية، لأن جميع الترددات تنتقل بنفس سرعة الطور c . على سبيل المثال، الموجات الكهرومغناطيسية في الفراغ غير تشتتية. أما في حالة الأشكال الأخرى لعلاقة التشتت، فنحصل على موجات تشتتية. وتعتمد علاقة التشتت على الوسط الذي تنتشر فيه الموجات وعلى نوع الموجات (مثل الموجات الكهرومغناطيسية أو الصوتية أو المائية ).

تُسمى السرعة التي ستتحرك بها حزمة الموجات الناتجة عن نطاق ضيق من الترددات بالسرعة الجماعية ، ويتم تحديدها من خلال تدرج علاقة التشتت : $${\displaystyle v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$$

في معظم الحالات، تُعتبر الموجة في الأساس حركة للطاقة عبر وسط ما. وغالبًا ما تكون سرعة المجموعة هي السرعة التي تتحرك بها الطاقة عبر هذا الوسط.

تُظهر الأمواج سلوكيات شائعة في ظل عدد من الحالات القياسية، على سبيل المثال:

تنتقل الموجات عادةً في خط مستقيم (أي بشكل مستقيم) عبر وسط ناقل . ويمكن تصنيف هذه الأوساط إلى فئة واحدة أو أكثر من الفئات التالية:

• الوسط محدود إذا كان ذا امتداد محدود، وإلا فهو وسط غير محدود
• الوسط الخطي هو الوسط الذي يمكن فيه جمع سعات الموجات المختلفة عند أي نقطة معينة فيه.
• الوسط المتجانس أو الموحد هو الوسط الذي لا تتغير خصائصه الفيزيائية في مواقع مختلفة في الفضاء.
• الوسط غير المتجانس هو الوسط الذي تختلف فيه خاصية فيزيائية واحدة أو أكثر في اتجاه واحد أو أكثر.
• الوسط متجانس الخواص إذا كانت خصائصه الفيزيائية متماثلة في جميع الاتجاهات

تُعرَّف الموجات عادةً في الأوساط التي تسمح بانتشار معظم أو كل طاقة الموجة دون فقد . مع ذلك، يمكن وصف المواد بأنها "مُبدِّدة" للطاقة إذا امتصت طاقة الموجة، وعادةً ما حوّلتها إلى حرارة. يُطلق على هذه الظاهرة اسم "الامتصاص". تتميز المادة التي تمتص طاقة الموجة، سواءً في حالة انتقالها أو انعكاسها، بمعامل انكسار مُركَّب . يعتمد مقدار الامتصاص عمومًا على تردد الموجة (طولها الموجي)، وهو ما يُفسِّر، على سبيل المثال، سبب ظهور الأجسام بألوان مختلفة .

عندما تصطدم موجة بسطح عاكس، فإنها تغير اتجاهها، بحيث تكون الزاوية التي تصنعها الموجة الساقطة والخط العمودي على السطح مساوية للزاوية التي تصنعها الموجة المنعكسة والخط العمودي نفسه.

الانكسار هو ظاهرة تغير سرعة الموجة. رياضياً، يعني هذا تغير مقدار سرعة الطور . يحدث الانكسار عادةً عند انتقال الموجة من وسط إلى آخر. يُحدد معامل انكسار المادة مقدار انكسار الموجة فيها. ويرتبط اتجاها السقوط والانكسار بمعاملَي انكسار المادتين وفقاً لقانون سنيل .

تُظهر الموجة حيودًا عندما تصطدم بعائق يُغيّر شكلها، أو عندما تنتشر بعد خروجها من فتحة. وتكون تأثيرات الحيود أكثر وضوحًا عندما يكون حجم العائق أو الفتحة مُقاربًا لطول الموجة.

عندما تتقاطع الموجات في وسط خطي (وهو الوضع المعتاد) في منطقة من الفضاء، فإنها لا تتفاعل فعليًا، بل تستمر كما لو أن الموجة الأخرى غير موجودة. ومع ذلك، عند أي نقطة في تلك المنطقة، تتجمع كميات المجال التي تصف تلك الموجات وفقًا لمبدأ التراكب . إذا كانت الموجات من نفس التردد وفي علاقة طور ثابتة ، فستكون هناك عمومًا مواضع تكون فيها الموجتان متوافقتين في الطور وتتضافر سعاتهما ، ومواضع أخرى تكون فيها الموجتان غير متوافقتين في الطور وتتلاش سعاتهما (جزئيًا أو كليًا) . يُسمى هذا نمط التداخل .

تنشأ ظاهرة الاستقطاب عندما تتحرك الموجات في اتجاهين متعامدين في آنٍ واحد . على سبيل المثال، يمكن استقطاب الموجات المستعرضة . وعند استخدام مصطلح الاستقطاب كصفة عامة، فإنه يشير عادةً إلى حالة الاستقطاب الخطي البسيطة . تُعتبر الموجة المستعرضة مستقطبة خطيًا إذا كانت تتذبذب في اتجاه واحد أو مستوى واحد فقط. في حالة الاستقطاب الخطي، من المفيد غالبًا تحديد اتجاه ذلك المستوى، العمودي على اتجاه حركة الموجة، الذي يحدث فيه التذبذب، مثل "أفقي" إذا كان مستوى الاستقطاب موازيًا للأرض. الموجات الكهرومغناطيسية المنتشرة في الفضاء الحر، على سبيل المثال، هي موجات مستعرضة؛ ويمكن استقطابها باستخدام مرشح استقطابي .

لا تُظهر الموجات الطولية، مثل الموجات الصوتية، استقطاباً. فهذه الموجات لها اتجاه تذبذب واحد فقط، أي في اتجاه انتشارها.

التشتت هو اعتماد معامل الانكسار على التردد ، وهو نتيجة للطبيعة الذرية للمواد. ^{[ 22 ] : 67} يحدث التشتت عندما تعتمد سرعة الطور أو سرعة المجموعة على تردد الموجة. يُلاحظ التشتت عند تمرير الضوء الأبيض عبر منشور ، مما ينتج عنه طيف ألوان قوس قزح. كان إسحاق نيوتن أول من أدرك أن هذا يعني أن الضوء الأبيض هو مزيج من أطياف ضوئية بألوان مختلفة. ^{[ 22 ] : 190}

تأثير دوبلر أو انزياح دوبلر هو تغير في تردد الموجة بالنسبة لمراقب يتحرك بالنسبة لمصدر الموجة. ^{[ 23 ]} وقد سُمي هذا التأثير نسبةً إلى الفيزيائي النمساوي كريستيان دوبلر ، الذي وصف هذه الظاهرة عام 1842.

يعتمد الاهتزاز العرضي للوتر على الشد والقصور الذاتي، ويتقيد بطول الوتر نظرًا لتثبيت طرفيه. هذا القيد يحد من أنماط الحالة المستقرة الممكنة، وبالتالي من الترددات.

سرعة الموجة المستعرضة التي تنتقل على طول وتر مهتز ( v ) تتناسب طرديًا مع الجذر التربيعي لشد الوتر ( T ) مقسومًا على كثافة الكتلة الخطية ( μ ):

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

حيث أن الكثافة الخطية μ هي الكتلة لكل وحدة طول من الخيط.

الموجات الصوتية هي موجات ضغط تنتشر عبر الغازات والسوائل والمواد الصلبة والبلازما. وتنتقل بسرعة محددة بالمعادلة التالية:

${\displaystyle v={\sqrt {\frac {B}{\rho _{0}}}},}$

أو الجذر التربيعي لمعامل الحجم الأديباتي مقسومًا على الكثافة المحيطة للوسط (انظر سرعة الصوت ).

موجات الجاذبية هي موجات تتولد في وسط سائل أو عند السطح الفاصل بين وسطين عندما تعمل قوة الجاذبية أو الطفو على استعادة التوازن. وتُعد الموجات السطحية على الماء المثال الأكثر شيوعًا.

• إن التموجات على سطح البركة هي في الواقع مزيج من الموجات المستعرضة والطولية؛ لذلك، فإن النقاط الموجودة على السطح تتبع مسارات مدارية.
• الموجات القصور الذاتي ، التي تحدث في السوائل الدوارة ويتم استعادتها بواسطة تأثير كوريوليس .
• أمواج سطح المحيط ، وهي اضطرابات تنتشر عبر الماء.

تنتقل الموجات الحجمية عبر باطن الوسط على مسارات تتحكم بها خصائص المادة من حيث الكثافة ومعامل المرونة (الصلابة). وتتغير الكثافة ومعامل المرونة تبعًا لدرجة الحرارة والتركيب والطور المادي. يشبه هذا التأثير انكسار موجات الضوء. ينتج عن نوعين من حركة الجسيمات نوعان من الموجات الحجمية: الموجات الأولية والموجات الثانوية.

الموجات الزلزالية هي موجات طاقة تنتقل عبر طبقات الأرض، وتنتج عن الزلازل، والانفجارات البركانية، وحركة الصهارة، والانهيارات الأرضية الكبيرة، والانفجارات الضخمة التي يصنعها الإنسان والتي تُصدر طاقة صوتية منخفضة التردد. وتشمل هذه الموجات الموجات الداخلية - الموجات الأولية ( موجات P ) والموجات الثانوية ( موجات S ) - والموجات السطحية، مثل موجات رايلي ، وموجات لوف ، وموجات ستونلي . ^{[ 25 ]}

الموجة الصدمية هي نوع من الاضطرابات المنتشرة. عندما تتحرك الموجة بسرعة تفوق سرعة الصوت المحلية في سائل ما ، فإنها تُسمى موجة صدمية. ومثل الموجة العادية، تحمل الموجة الصدمية طاقة وتستطيع الانتشار عبر الوسط؛ إلا أنها تتميز بتغير مفاجئ، يكاد يكون غير متصل، في الضغط ودرجة الحرارة وكثافة الوسط . ^{[ 26 ]}

الموجات القصية هي موجات داخلية ناتجة عن صلابة القص والقصور الذاتي. ولا يمكن أن تنتقل إلا عبر المواد الصلبة، وبدرجة أقل عبر السوائل ذات اللزوجة العالية بما فيه الكفاية.

تنتقل موجات الجاذبية أيضًا عبر الفضاء. أُعلن عن أول رصد لموجات الجاذبية في 11 فبراير 2016. ^{[ 27 ]} موجات الجاذبية هي اضطرابات في انحناء الزمكان ، تنبأت بها نظرية النسبية العامة لأينشتاين .

• موجات المرور ، أي انتشار كثافات مختلفة من المركبات الآلية، وما إلى ذلك، والتي يمكن نمذجتها على أنها موجات حركية ^{[ 28 ] [ 29 ]}
• تشير الموجة المتزامنة إلى ظهور موجة متحركة ناتجة عن إجراءات متسلسلة منسقة.

تصف معادلة شرودنغر السلوك الموجي للجسيمات في ميكانيكا الكم . حلول هذه المعادلة هي دوال موجية يمكن استخدامها لوصف كثافة الاحتمال للجسيم.

معادلة ديراك هي معادلة موجية نسبية تُفصّل التفاعلات الكهرومغناطيسية. وقد فسّرت موجات ديراك أدق تفاصيل طيف الهيدروجين بدقة متناهية. كما أشارت المعادلة الموجية إلى وجود شكل جديد من المادة، وهو المادة المضادة، لم يكن متوقعًا أو مُرصَدًا من قبل، وقد تم تأكيده تجريبيًا. وفي سياق نظرية الحقل الكمومي، أُعيد تفسير معادلة ديراك لوصف الحقول الكمومية التي تُقابل جسيمات ذات لف مغزلي يساوي 1/2 .

افترض لويس دي بروي أن جميع الجسيمات ذات الزخم لها طول موجي

${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}$

حيث h هو ثابت بلانك ، و p هو مقدار زخم الجسيم . كانت هذه الفرضية أساس ميكانيكا الكم . يُطلق على هذا الطول الموجي اليوم اسم طول موجة دي برولي . على سبيل المثال، يبلغ طول موجة دي برولي للإلكترونات في شاشة CRT حوالي 10⁻¹³ ^متر  .

يتم التعبير عن الموجة التي تمثل مثل هذا الجسيم المتحرك في اتجاه k بواسطة دالة الموجة على النحو التالي:

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,\,t=0)=Ae^{i\mathbf {k\cdot r} },}$

حيث يتم تحديد الطول الموجي بواسطة متجه الموجة k على النحو التالي:

${\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{k}},}$

والزخم من خلال:

${\displaystyle \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} .}$

مع ذلك، فإن موجة كهذه ذات طول موجي محدد لا تكون متمركزة في الفضاء، وبالتالي لا يمكنها تمثيل جسيم متمركز فيه. ولتحديد موقع الجسيم، اقترح دي برولي تراكب أطوال موجية مختلفة تدور حول قيمة مركزية في حزمة موجية ^{[ 31 ]} ، وهي شكل موجي يُستخدم غالبًا في ميكانيكا الكم لوصف الدالة الموجية للجسيم. في الحزمة الموجية، لا يكون طول موجة الجسيم دقيقًا، وينحرف الطول الموجي المحلي على جانبي قيمة الطول الموجي الرئيسية.

عند تمثيل الدالة الموجية لجسيم موضعي، يُفترض عادةً أن حزمة الموجة لها شكل غاوسي ، وتُسمى حزمة موجة غاوسية . ^{[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]} تُستخدم حزم الموجات الغاوسية أيضًا لتحليل أمواج الماء. ^{[ 35 ]}

على سبيل المثال، قد تأخذ دالة الموجة الغاوسية ψ الشكل التالي: ^{[ 36 ]}

${\displaystyle \psi (x,\,t=0)=A\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2\sigma ^{2}}}+ik_{0}x\right),}$

عند لحظة زمنية ابتدائية t = 0، حيث يرتبط الطول الموجي المركزي بمتجه الموجة المركزي k₀ بالعلاقة λ₀ ₌ 2π / k₀ _. من المعروف جيدًا من نظرية تحليل فورييه ^{[ 37 ]} ، أو من مبدأ هايزنبرغ للشك (في حالة ميكانيكا الكم) _، أن نطاقًا ضيقًا من الأطوال الموجية ضروري لإنتاج حزمة موجية موضعية، وكلما زاد موضع الغلاف، زاد اتساع نطاق الأطوال الموجية المطلوبة. تحويل فورييه لدالة غاوسية هو دالة غاوسية بحد ذاتها ^{[ 38 ]} . بمعلومية الدالة الغاوسية:

${\displaystyle f(x)=e^{-x^{2}/\left(2\sigma ^{2}\right)},}$

تحويل فورييه هو:

${\displaystyle {\tilde {f}}(k)=\sigma e^{-\sigma ^{2}k^{2}/2}.}$

وبالتالي، فإن التوزيع الغاوسي في الفضاء يتكون من موجات:

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }\ {\tilde {f}}(k)e^{ikx}\ dk;}$

أي عدد من الموجات ذات الأطوال الموجية λ بحيث يكون kλ = 2 π.

يُحدد المعامل σ الانتشار المكاني للتوزيع الغاوسي على طول المحور x ، بينما يُظهر تحويل فورييه انتشارًا في متجه الموجة k يُحدد بـ 1/ σ . أي أنه كلما صغر الامتداد المكاني، زاد الامتداد في k ، وبالتالي في λ = 2π/ k .