ديناميكيات ستوكس

تُعدّ ديناميكيات ستوكس ^{[ 1 ]} تقنيةً لحل معادلة لانجفين ، وهي الصيغة المناسبة لقانون نيوتن الثاني للجسيمات البراونية . تتعامل هذه الطريقة مع الجسيمات المعلقة بشكلٍ منفصل، بينما يظل تقريب الوسط المتصل صالحًا للسائل المحيط، أي يُفترض عمومًا أن الجسيمات المعلقة أكبر بكثير من جزيئات المذيب. تتفاعل الجسيمات بعد ذلك من خلال قوى ديناميكية مائية تنتقل عبر السائل المتصل، وعندما يكون عدد رينولدز للجسيم صغيرًا، تُحدد هذه القوى من خلال معادلات ستوكس الخطية (ومن هنا جاء اسم الطريقة). إضافةً إلى ذلك، يمكن لهذه الطريقة أيضًا حل القوى غير الديناميكية المائية، مثل القوى البراونية، الناشئة عن الحركة المتذبذبة للسائل، والقوى بين الجسيمات أو القوى الخارجية. وبالتالي، يمكن تطبيق ديناميكيات ستوكس على مجموعة متنوعة من المشكلات، بما في ذلك الترسيب والانتشار وعلم الريولوجيا، وتهدف إلى توفير نفس مستوى الفهم لأنظمة الجسيمات متعددة الأطوار كما تفعل الديناميكيات الجزيئية للخصائص الإحصائية للمادة. ل${\displaystyle N}$جسيمات صلبة نصف قطرها${\displaystyle a}$معلق في سائل نيوتوني غير قابل للانضغاط ذو لزوجة${\displaystyle \eta }$الكثافة${\displaystyle \rho }$تخضع حركة السائل لمعادلات نافيير-ستوكس، بينما توصف حركة الجسيمات بمعادلة الحركة المقترنة:

${\displaystyle \mathbf {m} {\frac {d\mathbf {U} }{dt}}=\mathbf {F} ^{\mathrm {H} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }+\mathbf {F} ^{\mathrm {P} }.}$

في المعادلة أعلاه${\displaystyle \mathbf {U} }$يمثل متجه سرعة الانتقال/الدوران للجسيم ذو البعد 6 N.${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }}$هي القوة الهيدروديناميكية، أي القوة التي يمارسها السائل على الجسيم بسبب الحركة النسبية بينهما.${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$هي قوة براون العشوائية الناتجة عن الحركة الحرارية لجزيئات السائل.${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {P} }}$هي القوة غير الهيدروديناميكية الحتمية، والتي قد تكون أي شكل من أشكال القوى بين الجسيمات أو القوى الخارجية، مثل التنافر الكهروستاتيكي بين الجسيمات المتشابهة الشحنة. تُعد ديناميكا براون إحدى التقنيات الشائعة لحل معادلة لانجفين ، إلا أن التفاعل الهيدروديناميكي فيها مُبسط للغاية، وعادةً ما يقتصر على مقاومة الجسم المعزول. في المقابل، تشمل ديناميكا ستوكس التفاعلات الهيدروديناميكية بين الأجسام المتعددة. يُعد التفاعل الهيدروديناميكي بالغ الأهمية في المعلقات غير المتوازنة، مثل المعلقات المعرضة للقص ، حيث يلعب دورًا حيويًا في بنيتها المجهرية، وبالتالي في خصائصها. تُستخدم ديناميكا ستوكس بشكل أساسي في المعلقات غير المتوازنة، حيث أثبتت قدرتها على تقديم نتائج تتوافق مع التجارب. ^{[ 2 ]}

عندما تكون الحركة على مستوى الجسيمات بحيث يكون عدد رينولدز للجسيمات صغيرًا، فإن القوة الهيدروديناميكية المؤثرة على الجسيمات في معلق يخضع لتدفق قص خطي كبير هي:

${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {H} }=-\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }(\mathbf {U} -\mathbf {U} ^{\infty })+\mathbf {R} ^{\mathrm {FE} }:\mathbf {E} ^{\infty }.}$

هنا،${\displaystyle \mathbf {U} ^{\infty }}$تمثل سرعة تدفق القص الكلي المحسوبة عند مركز الجسيم،${\displaystyle \mathbf {E} ^{\infty }}$هو الجزء المتناظر من موتر تدرج السرعة؛ ${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$و${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$هي مصفوفات المقاومة التي تعتمد على التكوين والتي تعطي القوة/العزم الهيدروديناميكي المؤثر على الجسيمات نتيجة حركتها بالنسبة للسائل (${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FU} }}$) وبسبب تدفق القص المفروض (${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {FE} }}$لاحظ أن الرموز السفلية على المصفوفات تشير إلى الاقتران بين الحركة (${\displaystyle \mathbf {U} }$) وديناميكي (${\displaystyle \mathbf {F} }$) الكميات.

إحدى السمات الرئيسية لديناميكيات ستوكس هي معالجتها للتفاعلات الهيدروديناميكية، والتي تتسم بدقة عالية دون أن تكون مكلفة حسابيًا (مثل طرق التكامل الحدودي ) لعدد كبير من الجسيمات. تتطلب ديناميكيات ستوكس الكلاسيكية${\displaystyle O(N^{3})}$العمليات حيث N هو عدد الجسيمات في النظام (عادةً ما يكون صندوقًا دوريًا). وقد أدت التطورات الحديثة إلى تقليل التكلفة الحسابية إلى حوالي${\displaystyle O(N^{1.25}\,\log N).}$^{[ 3 ] [ 4 ]}

القوة العشوائية أو البراونية${\displaystyle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }}$ينشأ عن التقلبات الحرارية في السائل ويتسم بما يلي:

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }\right\rangle =0}$

${\displaystyle \left\langle \mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(0)\mathbf {F} ^{\mathrm {B} }(t)\right\rangle =2kT\mathbf {R} _{\mathrm {FU} }\delta (t)}$

تشير الأقواس الزاوية إلى متوسط ​​المجموعة،${\displaystyle k}$هو ثابت بولتزمان،${\displaystyle T}$هي درجة الحرارة المطلقة و${\displaystyle \delta (t)}$هي دالة دلتا. سعة الارتباط بين قوى براون عند الزمن${\displaystyle 0}$وفي وقت${\displaystyle t}$النتائج المستخلصة من نظرية التذبذب والتبدد لنظام الأجسام المتعددة.

• طرق الحدود المغمورة
• طرق لاغرانجية أويلرية عشوائية