طريقة لاغرانجية أويلرية عشوائية

في ديناميكا الموائع الحسابية ، تُعدّ طريقة لاغرانج الإيلرية العشوائية (SELM) ^{[ 1 ]} منهجًا لالتقاط الخصائص الأساسية لتفاعلات الموائع مع الهياكل الخاضعة للتقلبات الحرارية ، مع إدخال تقريبات تُسهّل التحليل وتطوير طرق عددية قابلة للتطبيق. تُعتبر SELM منهجًا هجينًا يستخدم وصفًا إيلريًا لحقول الموائع المتصلة ووصفًا لاغرانجيًا للهياكل المرنة. يتم إدخال التقلبات الحرارية من خلال حقول القيادة العشوائية. كما تُقدّم مناهج للحقول العشوائية لمعادلات التفاضل الجزئي العشوائية (SPDEs) للحصول على طرق عددية تأخذ في الحسبان آثار التقطيع العددي للحفاظ على المبادئ الإحصائية، مثل توازن التقلب والتبدد وخصائص أخرى في الميكانيكا الإحصائية . ^{[ 1 ]}

معادلات SELM لتفاعل الموائع مع الهياكل المستخدمة عادةً هي

${\displaystyle \rho {\frac {d{u}}{d{t}}}=\mu \,\Delta u-\nabla p+\Lambda [\Upsilon (V-\Gamma {u})]+\lambda +f_{\mathrm {thm} }(x,t)}$

${\displaystyle m{\frac {d{V}}{d{t}}}=-\Upsilon (V-\Gamma {u})-\nabla \Phi [X]+\xi +F_{\mathrm {thm} }}$

${\displaystyle {\frac {d{X}}{d{t}}}=V.}$

يتم تحديد الضغط p من خلال شرط عدم انضغاط السائل

${\displaystyle \nabla \cdot u=0.\,}$

ال${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$تربط المؤثرات درجات الحرية الأويلرية واللاغرانجية.${\displaystyle X,V}$تشير إلى المتجهات المركبة لمجموعة إحداثيات لاغرانج الكاملة للهياكل.${\displaystyle \Phi }$تمثل طاقة الوضع لتكوين الهياكل.${\displaystyle f_{\mathrm {thm} },F_{\mathrm {thm} }}$هي حقول قيادة عشوائية تُفسر التقلبات الحرارية.${\displaystyle \lambda ,\xi }$تُعدّ مُضاعفات لاغرانج من العوامل التي تفرض قيودًا، مثل التشوهات الموضعية للجسم الصلب . ولضمان حدوث التبديد فقط من خلال${\displaystyle \Upsilon }$الاقتران وليس نتيجة للتحويل المتبادل بواسطة المؤثرات${\displaystyle \Gamma ,\Lambda }$يتم فرض الشروط المرافقة التالية

${\displaystyle \Gamma =\Lambda ^{T}.}$

يتم إدخال التقلبات الحرارية من خلال حقول عشوائية غاوسية ذات متوسط ​​صفر وبنية التغاير

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)f_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-\left(2k_{B}{T}\right)\left(\mu \Delta -\Lambda \Upsilon \Gamma \right)\delta (ts).}$

${\displaystyle \langle F_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =2k_{B}{T}\Upsilon \delta (ts).}$

${\displaystyle \langle f_{\mathrm {thm} }(s)F_{\mathrm {thm} }^{T}(t)\rangle =-2k_{B}{T}\Lambda \Upsilon \delta (ts).}$

للحصول على أوصاف مبسطة وطرق عددية فعالة، تمّ النظر في تقريبات ضمن أنظمة فيزيائية حدية مختلفة لإزالة الديناميكيات على نطاقات زمنية صغيرة أو درجات حرية القصور الذاتي. في هذه الأنظمة الحدية المختلفة، يمكن ربط إطار عمل SELM بطريقة الحدود المغمورة ، وديناميكيات ستوكس المعجلة ، وطريقة لاغرانج-أويلر العشوائية . وقد ثبت أن منهج SELM يُنتج ديناميكيات عشوائية بين الموائع والهياكل تتوافق مع الميكانيكا الإحصائية. على وجه الخصوص، ثبت أن ديناميكيات SELM تُحقق التوازن التفصيلي لمجموعة جيبس-بولتزمان . كما تمّ تقديم أنواع مختلفة من عوامل الاقتران، مما يسمح بوصف الهياكل التي تتضمن إحداثيات معممة ودرجات حرية انتقالية أو دورانية إضافية. لتقسيم معادلات SELM التفاضلية الجزئية عدديًا، تم أيضًا تقديم طرق عامة لاستخلاص الحقول العشوائية العددية لهذه المعادلات، والتي تأخذ في الاعتبار آثار التقسيم للحفاظ على المبادئ الإحصائية، مثل توازن التذبذب والتبدد وخصائص أخرى في الميكانيكا الإحصائية. ^{[ 1 ]}

استُخدمت طرق SELM لمحاكاة السوائل المرنة اللزجة والمواد اللينة، ^{[ 2 ]} واحتواء الجسيمات داخل أسطح السوائل المنحنية ^{، [ 3 ] [ 4 ]} وغيرها من الأنظمة المجهرية والأجهزة الهندسية. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}

• طريقة الحدود المغمورة
• ديناميكيات ستوكس
• طريقة حجم السائل
• طريقة تحديد المستوى
• طريقة العلامات والخلايا

• مانجو-سيلم  : حزمة محاكاة ثلاثية الأبعاد، طرق لاغرانجية أويلرية عشوائية وطرق الحدود المغمورة (واجهة بايثون، تكامل ديناميكيات الجزيئات LAMMPS)، بي. أتزبيرجر، جامعة كاليفورنيا في سانتا باربرا