معادلات سترومينجر

في نظرية الأوتار غير المتجانسة ، تُعدّ معادلات سترومينجر مجموعة المعادلات التي تُمثّل الشروط اللازمة والكافية لتناظر الزمكان الفائق . وقد تمّ اشتقاقها من خلال اشتراط أن يكون الزمكان رباعي الأبعاد متناظرًا إلى أقصى حد، وإضافة عامل انحناء على المتشعب الداخلي سداسي الأبعاد. ^{[ 1 ]}

ضع في اعتبارك مقياسًا${\displaystyle \omega }$على الفضاء الداخلي الحقيقي ذي الأبعاد الستة Y ومقياس هيرميتي h على حزمة متجهة V. المعادلات هي:

1. الزمكان رباعي الأبعاد هو زمكان مينكوفسكي ، أي${\displaystyle g=\eta }$.
2. يجب أن يكون الفضاء الداخلي Y معقدًا، أي يجب أن يتلاشى موتر ناينهاوس.${\displaystyle N=0}$.
3. الشكل الهرميتي${\displaystyle \omega }$على الفضاء الثلاثي المعقد Y ، ويجب أن يحقق المقياس الهرميتي h على حزمة متجهة V ما يلي:
   1. ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}\omega =i{\text{Tr}}F(h)\wedge F(h)-i{\text{Tr}}R^{-}(\omega )\wedge R^{-}(\omega ),}$
   2. ${\displaystyle d^{\dagger }\omega =i(\partial -{\bar {\partial }}){\text{ln}}||\Omega ||,}$ أين${\displaystyle R^{-}}$هو الشكل الثنائي لانحناء الهيكل لـ${\displaystyle \omega }$، و F هو انحناء h ، و$أوميغا$هي الصيغة الهولومورفية من الرتبة n ؛ وتُعرف F أيضًا في الأدبيات الفيزيائية باسم شدة مجال يانغ-ميلز . وقد أظهر لي وياو أن الشرط الثاني مكافئ لـ${\displaystyle \omega }$أن تكون متوازنة بشكل متطابق، أي${\displaystyle d(||\Omega ||_{\omega }\omega ^{2})=0}$[ ^{2 ]​}
4. يجب أن تستوفي قوة مجال يانغ-ميلز الشروط التالية:
   1. ${\displaystyle \omega ^{a{\bar {b}}}F_{a{\bar {b}}}=0,}$
   2. ${\displaystyle F_{ab}=F_{{\bar {a}}{\bar {b}}}=0.}$

هذه المعادلات تستلزم معادلات المجال المعتادة، وبالتالي فهي المعادلات الوحيدة التي يجب حلها.

ومع ذلك، توجد عوائق طوبولوجية في الحصول على حلول المعادلات؛

1. يجب أن تتساوى فئة تشيرن الثانية للمتشعب، وفئة تشيرن الثانية لحقل القياس، أي${\displaystyle c_{2}(M)=c_{2}(F)}$
2. شكل هولومورفي من الرتبة n$أوميغا$يجب أن يكون موجودًا، أي${\displaystyle h^{n,0}=1}$و${\displaystyle c_{1}=0}$.

في حالة كون V هي الحزمة المماسية${\displaystyle T_{Y}}$و${\displaystyle \omega }$إذا كان Kähler، فيمكننا الحصول على حل لهذه المعادلات بأخذ مقياس Calabi–Yau على${\displaystyle Y}$و${\displaystyle T_{Y}}$.

بمجرد الحصول على حلول معادلات سترومينجر، يتم حساب عامل الالتواء.${\displaystyle \Delta }$، تمدد${\displaystyle \phi }$ويتم تحديد التدفق الخلفي H بواسطة

1. ${\displaystyle \Delta (y)=\phi (y)+{\text{constant}}}$،
2. ${\displaystyle \phi (y)={\frac {1}{8}}{\text{ln}}||\Omega ||+{\text{constant}}}$،
3. ${\displaystyle H={\frac {i}{2}}({\bar {\partial }}-\partial )\omega .}$

• كاردوسو، كوريو، دال أغاتا، لوست، مانوسليس، وزوبانوس، خلفيات الأوتار غير الكاهلرية وفئاتها الخمس للالتواء ، hep-th/0211118