فئة تشيرن

تُعدّ فئات تشيرن فئات مميزة ، وهي ثوابت طوبولوجية مرتبطة بحزم المتجهات على مشعب أملس. قد يكون من الصعب الإجابة على سؤال ما إذا كانت حزمتان متجهتان مختلفتان ظاهريًا متطابقتين. توفر فئات تشيرن اختبارًا بسيطًا: إذا لم تتطابق فئات تشيرن لزوج من حزم المتجهات، فإن حزم المتجهات مختلفة. أما العكس، فلا يصح.

في علم الطوبولوجيا والهندسة التفاضلية والهندسة الجبرية، من المهم غالبًا حساب عدد المقاطع المستقلة خطيًا في حزمة متجهة. توفر فئات تشيرن بعض المعلومات حول هذا الأمر من خلال، على سبيل المثال، نظرية ريمان-روخ ونظرية مؤشر أتياس-سينجر .

من الممكن أيضاً حساب فئات تشيرن عملياً. في الهندسة التفاضلية (وبعض أنواع الهندسة الجبرية)، يمكن التعبير عن فئات تشيرن كمتعددات حدود بدلالة معاملات شكل الانحناء .

هناك طرق مختلفة لتناول الموضوع، كل منها يركز على نكهة مختلفة قليلاً من فئة Chern.

كان النهج الأصلي لدراسة فئات تشيرن يعتمد على الطوبولوجيا الجبرية: تنشأ فئات تشيرن من خلال نظرية التماثل التي توفر تطبيقًا مرتبطًا بحزمة متجهة إلى فضاء تصنيفي (فضاء غراسماني لانهائي في هذه الحالة). لأي حزمة متجهة مركبة V على مشعب M ، يوجد تطبيق f من M إلى الفضاء التصنيفي بحيث تكون الحزمة V مساويةً للسحب العكسي، بواسطة f ، لحزمة شاملة على الفضاء التصنيفي، وبالتالي يمكن تعريف فئات تشيرن لـ V على أنها السحب العكسي لفئات تشيرن للحزمة الشاملة. بدورها، يمكن كتابة فئات تشيرن الشاملة هذه صراحةً بدلالة دورات شوبرت .

يمكن إثبات أنه لأي دالتين f و g من M إلى فضاء التصنيف، واللتين تكون عمليات سحبهما العكسية هي نفس الحزمة V ، يجب أن تكون الدالتان متماثلتين. وبالتالي، فإن السحب العكسي بواسطة f أو g لأي فئة تشيرن شاملة إلى فئة تماثلية لـ M يجب أن يكون هو نفس الفئة. وهذا يدل على أن فئات تشيرن لـ V مُعرَّفة تعريفًا جيدًا.

استخدم تشيرن في منهجه الهندسة التفاضلية، عبر منهج الانحناء الموصوف بشكل أساسي في هذه المقالة. وقد أثبت أن التعريف السابق كان في الواقع مكافئًا لتعريفه. وتُعرف النظرية الناتجة باسم نظرية تشيرن-ويل .

وهناك أيضًا نهج ألكسندر غروتينديك الذي يوضح أنه من الناحية البديهية، لا يحتاج المرء إلا إلى تعريف حالة حزمة الخط.

تنشأ فئات تشيرن بشكل طبيعي في الهندسة الجبرية . ويمكن تعريف فئات تشيرن المعممة في الهندسة الجبرية لحزم المتجهات (أو بتعبير أدق، الحزم الحرة محليًا ) على أي تنوع غير شاذ. ولا تتطلب فئات تشيرن الجبرية الهندسية أي خصائص خاصة للحقل الأساسي. وعلى وجه الخصوص، لا يشترط أن تكون حزم المتجهات مركبة.

بغض النظر عن النموذج المحدد، فإن المعنى البديهي لفئة تشيرن يتعلق بـ "الأصفار المطلوبة" لجزء من حزمة متجهة: على سبيل المثال، النظرية التي تنص على أنه لا يمكن تسطيح كرة شعرية ( نظرية الكرة الشعرية ). على الرغم من أن هذا السؤال يتعلق تحديدًا بحزمة متجهة حقيقية (حيث أن "الشعيرات" على الكرة هي في الواقع نسخ من خط الأعداد الحقيقية)، إلا أن هناك تعميمات تكون فيها الشعيرات مركبة (انظر مثال نظرية الكرة الشعرية المركبة أدناه)، أو بالنسبة للفضاءات الإسقاطية أحادية البعد على العديد من الحقول الأخرى.

راجع نظرية تشيرن-سيمونز لمزيد من المناقشة.

بفرض وجود حزمة متجهات معقدة V ذات رتبة معقدة n على مشعب أملس M، قم بتثبيت اتصال حزمة المتجهات${\displaystyle \nabla }$ثم ممثلون عن كل فئة من فئات تشيرن (وتسمى أيضًا شكل تشيرن )${\displaystyle c_{k}(V)}$تُعطى قيم V كمعاملات لكثير الحدود المميز لشكل الانحناء$أوميغا$ل${\displaystyle \nabla }$.

$${\displaystyle \det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+I\right)=\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}}$$

المحدد يقع فوق حلقة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات التي تكون عناصرها متعددة الحدود في t بمعاملات في الجبر التبادلي للأشكال التفاضلية المركبة ذات الدرجة الزوجية على M. شكل الانحناء${\displaystyle \Omega }$يُعرَّف V على النحو التالي:$${\displaystyle \Omega =d\omega +{\frac {1}{2}}[\omega ,\omega ]}$$ حيث ω هي صيغة الاتصال و d هي المشتقة الخارجية ، أو عبر نفس التعبير حيث ω هو حقل قياس لمجموعة القياس لـ V. يُستخدم العدد القياسي t هنا فقط كمتغير غير محدد لتوليد المجموع من المحدد، و I تشير إلى مصفوفة الوحدة من الرتبة n × n .

إن القول بأن التعبير المعطى يُمثل فئة تشيرن يُشير إلى أن "الفئة" هنا تعني، حتى إضافة شكل تفاضلي تام، فئات تشيرن. أي أن فئات تشيرن هي فئات تماثلية بالمعنى المقصود في تماثل دي رام . ويمكن إثبات أن فئات التماثل لأشكال تشيرن لا تعتمد على اختيار الاتصال.${\displaystyle \nabla }$.

ويترتب على ذلك هوية المصفوفة${\displaystyle \mathrm {tr} (\ln(X))=\ln(\det(X))}$الذي - التي${\displaystyle \det(X)=\exp(\mathrm {tr} (\ln(X)))}$والآن، تطبيق متسلسلة ماكلورين لـ${\displaystyle \ln(X+I)}$، نحصل على التعبير التالي لأشكال تشيرن:

$${\displaystyle \sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[1+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{\frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\frac {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \right].}$$

يمكن تعريف فئة تشيرن بدلالة فئة أويلر. هذا هو النهج المتبع في كتاب ميلنور وستاشيف، ويؤكد على دور توجيه حزمة المتجهات .

الملاحظة الأساسية هي أن حزمة المتجهات المعقدة تأتي مع اتجاه معياري، وذلك في نهاية المطاف لأن${\displaystyle \operatorname {GL} _{n}(\mathbb {C} )}$متصل. ومن ثم، يتم تعريف فئة Chern العليا للحزمة ببساطة على أنها فئة Euler الخاصة بها (فئة Euler لحزمة المتجهات الحقيقية الأساسية) ويتم التعامل مع فئات Chern الأدنى بطريقة استقرائية.

البناء الدقيق هو كما يلي. الفكرة هي إجراء تغيير أساسي للحصول على حزمة ذات رتبة أقل بواحد. ليكن${\displaystyle \pi \colon E\to B}$ليكن حزمة متجهات معقدة فوق فضاء شبه متراص B. وباعتبار B مضمنة في E كمقطع صفري، فلنفترض${\displaystyle B'=E\setminus B}$وحدد حزمة المتجهات الجديدة: $${\displaystyle E'\to B'}$$ بحيث يكون كل ليف ناتج قسمة ليف F من E على الخط الممتد بواسطة متجه غير صفري v في F ( تُحدد نقطة B′ بواسطة ليف F من E ومتجه غير صفري على F ). ^{[ 4 ]} إذن${\displaystyle E'}$رتبته أقل بواحد من رتبة E. من تسلسل Gysin لحزمة الألياف${\displaystyle \pi |_{B'}\colon B'\to B}$: $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname {H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,}$$ نرى ذلك${\displaystyle \pi |_{B'}^{*}}$هو تماثل لـ${\displaystyle k<2n-1}$. يترك $${\displaystyle c_{k}(E)={\begin{cases}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E')&k<n\\e(E_{\mathbb {R} })&k=n\\0&k>n\end{cases}}}$$

ثم يتطلب الأمر بعض العمل للتحقق من استيفاء بديهيات فئات تشيرن لهذا التعريف.

انظر أيضًا: تماثل ثوم .

يترك${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$لتكن كرة ريمان : فضاء إسقاطي عقدي أحادي البعد . لنفترض أن z إحداثي محلي هولومورفي لكرة ريمان.${\displaystyle V=T\mathbb {CP} ^{1}}$لتكن حزمة من متجهات المماس المعقدة التي لها الشكل${\displaystyle a\partial /\partial z}$عند كل نقطة، حيث a عدد مركب . نبرهن على الصيغة المركبة لنظرية الكرة المشعرة : V ليس لها مقطع غير صفري في كل مكان.

ولذلك، نحتاج إلى الحقيقة التالية: فئة تشيرن الأولى لحزمة تافهة تساوي صفرًا، أي $${\displaystyle c_{1}(\mathbb {CP} ^{1}\times \mathbb {C} )=0.}$$

ويتضح ذلك من حقيقة أن الحزمة التافهة تقبل دائمًا اتصالًا مسطحًا. لذلك، سنبين أن $${\displaystyle c_{1}(V)\not =0.}$$

ضع في اعتبارك مقياس كاهلر$${\displaystyle h={\frac {dz\,d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

يمكن إثبات بسهولة أن شكل الانحناء من الدرجة الثانية يُعطى بواسطة $${\displaystyle \Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.}$$

علاوة على ذلك، وفقًا لتعريف فئة تشيرن الأولى $${\displaystyle c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\operatorname {tr} \Omega \right].}$$

يجب أن نثبت أن فئة التماثل هذه غير صفرية. يكفي حساب تكاملها على كرة ريمان: $${\displaystyle \int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}=2}$$ بعد التحويل إلى الإحداثيات القطبية . وبحسب نظرية ستوكس ، فإن الصيغة الدقيقة ستتكامل إلى 0، لذا فإن فئة التماثل غير صفرية.

وهذا يثبت أن${\displaystyle T\mathbb {CP} ^{1}}$ليست حزمة متجهات تافهة.

يوجد تسلسل دقيق للحزم/الحزم: ^{[ 5 ]}$${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {CP} ^{n}\to 0}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}}$هي حزمة البنية (أي حزمة الخط التافهة)،${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {CP} ^{n}}(1)}$هي حزمة سير الملتوية (أي حزمة المستوى الفائق ) والحد الأخير غير الصفري هو حزمة / حزمة المماس.

هناك طريقتان للحصول على التسلسل المذكور أعلاه:

بفضل خاصية الجمع لفئة تشيرن الكلية${\displaystyle c=1+c_{1}+c_{2}+\cdots }$(أي صيغة مجموع ويتني)، $${\displaystyle c(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {CP} ^{n})=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1},}$$ حيث a هو المولد الكنسي لمجموعة التماثل${\displaystyle H^{2}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n},\mathbb {Z} )}$أي، معكوس فئة تشيرن الأولى لحزمة الخط التكرارية${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n}}(-1)}$(ملحوظة:${\displaystyle c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)}$متى${\displaystyle E^{*}}$هو ثنائي E. )

على وجه الخصوص، لأي${\displaystyle k\geq 0}$، $${\displaystyle c_{k}(\mathbb {C} \mathbb {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.}$$

يمكننا استخدام هذه الخصائص المجردة لحساب بقية فئات تشيرن لحزم الخطوط على${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$تذكر أن${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)^{*}\cong {\mathcal {O}}(1)}$عرض${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(1))=1\in H^{2}(\mathbb {CP} ^{1};\mathbb {Z} )}$ثم باستخدام قوى الموتر، يمكننا ربطها بفئات تشيرن لـ${\displaystyle c_{1}({\mathcal {O}}(n))=n}$لأي عدد صحيح.

تُحقق فئات تشيرن البديهيات الأربع التالية:

1. ${\displaystyle c_{0}(E)=1}$لكل E.​
2. الطبيعية: إذا${\displaystyle f:Y\to X}$إذا كانت الدالة متصلة، و f*E هي سحب حزمة المتجهات لـ E ، فإن${\displaystyle c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)}$[ ^{15 ] [ 16 ]​}
3. صيغة مجموع ويتني : إذا${\displaystyle F\to X}$إذا كانت حزمة متجهات معقدة أخرى، فإن فئات تشيرن للمجموع المباشر${\displaystyle E\oplus F}$يتم تحديدها بواسطة ^{[ 17 ] [ 18 ] [ 16 ]}$${\displaystyle c(E\oplus F)=c(E)\smile c(F);}$$إنه،$${\displaystyle c_{k}(E\oplus F)=\sum _{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{k-i}(F).}$$
4. التطبيع: فئة تشيرن الكلية لحزمة الخط التكرارية على${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k}}$هو 1− H ، حيث H هو ثنائي بوانكاريه للمستوى الفائق${\displaystyle \mathbb {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbb {CP} ^{k}}$[ ^{16 ]​}

أو بدلاً من ذلك، استبدل ألكسندر غروتينديك ( 1958 ) هذه بمجموعة أصغر قليلاً من البديهيات: 

• الطبيعة: (كما سبق)
• خاصية الإضافة: إذا${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$إذا كانت متتالية تامة من حزم المتجهات، فإن${\displaystyle c(E)=c(E')\smile c(E'')}$.
• التطبيع: إذا كانت E حزمة خطية ، فإن${\displaystyle c(E)=1+e(E_{\mathbb {R} })}$أين${\displaystyle e(E_{\mathbb {R} })}$هي فئة أويلر لحزمة المتجهات الحقيقية الأساسية.

لقد أظهر باستخدام نظرية ليري-هيرش أنه يمكن تعريف فئة تشيرن الكلية لحزمة متجهات معقدة ذات رتبة محدودة عشوائية من حيث فئة تشيرن الأولى لحزمة خطية معرفة بشكل منطقي.

أي إدخال عملية الإسقاط${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$من حزمة المتجهات المركبة من الرتبة n، E → B، باعتبارها حزمة الألياف على B التي أليافها عند أي نقطة${\displaystyle b\in B}$هو الفضاء الإسقاطي للألياف E _b . الفضاء الكلي لهذه الحزمة${\displaystyle \mathbb {P} (E)}$وهي مزودة بحزمة خطية معقدة ذاتية التكرار، والتي نرمز إليها${\displaystyle \tau }$وأول فئة تشيرن $${\displaystyle c_{1}(\tau )=:-a}$$ قيود على كل نوع من الألياف${\displaystyle \mathbb {P} (E_{b})}$لطرح فئة (Poincaré-dual) للمستوى الفائق، الذي يمتد على تماثل الألياف، في ضوء تماثل الفضاءات الإسقاطية المعقدة .

الصفوف $${\displaystyle 1,a,a^{2},\ldots ,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbb {P} (E))}$$ وبالتالي، تشكل عائلة من فئات التماثل المحيطي التي تقتصر على أساس تماثل الألياف. وتنص نظرية ليري-هيرش على أن أي فئة في${\displaystyle H^{*}(\mathbb {P} (E))}$يمكن كتابتها بشكل فريد كتركيبة خطية من 1، a ، a2 ^، ...، an ^{- 1} مع فئات على الأساس كمعاملات.

على وجه الخصوص، يمكن تعريف فئات تشيرن لـ E بالمعنى الذي وضعه غروتينديك، ويرمز لها بـ${\displaystyle c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)}$من خلال توسيع الفئة بهذه الطريقة${\displaystyle -a^{n}}$، مع العلاقة التالية: $${\displaystyle -a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E).}$$

يمكن للمرء بعد ذلك التحقق من أن هذا التعريف البديل يتطابق مع أي تعريف آخر قد يفضله، أو استخدام التوصيف البديهي السابق.

في الواقع، هذه الخصائص تميز فئات تشيرن بشكل فريد. وهي تعني، من بين أمور أخرى:

• إذا كانت n هي الرتبة المركبة للمجموعة V ، فإن${\displaystyle c_{k}(V)=0}$لكل k > n . وبالتالي تنتهي فئة Chern الكلية.
• أعلى فئة من فئات تشيرن V (بمعنى${\displaystyle c_{n}(V)}$، حيث n هي رتبة V ) تساوي دائمًا فئة أويلر لحزمة المتجهات الحقيقية الأساسية.

هناك بنية أخرى لفئات تشيرن تأخذ قيمًا في النظير الجبري الهندسي لحلقة التماثل، وهي حلقة تشاو .

يترك${\displaystyle X}$أن تكون مجموعة متنوعة شبه إسقاطية غير مفردة ذات بُعد${\displaystyle n}$يمكن إثبات وجود نظرية فريدة لفئات تشيرن تُسند حزمة متجهة جبرية${\displaystyle E\to X}$إلى العناصر${\displaystyle c_{i}(E)\in A^{i}(X)}$تُسمى فئات تشيرن، مع متعددة حدود تشيرن${\displaystyle c_{t}(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}}$، بما يحقق ما يلي (على غرار نهج غروتينديك البديهي ). ^{[ 19 ]}

1. إذا كان ذلك لمقسم كارتييه${\displaystyle D}$لدينا${\displaystyle E\cong {\mathcal {O}}_{X}(D)}$، ثم${\displaystyle c_{t}(E)=1+Dt}$.
2. لو${\displaystyle f:X'\to X}$إذا كان تشاكلاً،${\displaystyle c_{i}(f^{*}E)=f^{*}c_{i}(E)}$.
3. لو${\displaystyle 0\to E'\to E\to E''\to 0}$هي متتالية تامة من حزم المتجهات على${\displaystyle X}$، تنطبق صيغة مجموع ويتني:${\displaystyle c_{t}(E)=c_{t}(E')c_{t}(E'')}$.

يشكل حساب الفئات المميزة للفضاء الإسقاطي أساسًا للعديد من حسابات الفئات المميزة، لأنه لأي صنف فرعي إسقاطي أملس${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$يوجد تسلسل دقيق قصير $${\displaystyle 0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N}}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\to 0}$$

يمكن استخدام فئات تشيرن لإنشاء تشاكل بين الحلقات من نظرية K الطوبولوجية للفضاء إلى (إكمال) تماثلها العقلاني. بالنسبة لحزمة خطية L ، يُعرَّف رمز تشيرن ch كما يلي:

$${\displaystyle \operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^{m}}{m!}}.}$$

وبشكل أعم، إذا${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n}}$هو مجموع مباشر لحزم الخطوط، مع فئات تشيرن الأولى${\displaystyle x_{i}=c_{1}(L_{i}),}$يتم تعريف خاصية تشيرن بشكل إضافي $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).}$$

يمكن إعادة كتابة هذا على النحو التالي: ^{[ 20 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2}-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_{3}(V))+\cdots .}$$

هذا التعبير الأخير، الذي تم تبريره باستدعاء مبدأ التقسيم ، يعتبر بمثابة تعريف ch(V) لحزم المتجهات V العشوائية .

إذا تم استخدام اتصال لتعريف فئات تشيرن عندما تكون القاعدة متعددة الشعب (أي نظرية تشيرن-ويل )، فإن الشكل الصريح لخاصية تشيرن هو $${\displaystyle \operatorname {ch} (V)=\left[\operatorname {tr} \left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\right)\right]}$$ حيث Ω هو انحناء الوصلة.

تُعدّ خاصية تشيرن مفيدة جزئيًا لأنها تُسهّل حساب فئة تشيرن لجداء الموتر. وتحديدًا، فهي تُحقق المتطابقات التالية: ^{[ 21 ] [ 22 ]}

$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\oplus W)=\operatorname {ch} (V)+\operatorname {ch} (W)}$$$${\displaystyle \operatorname {ch} (V\otimes W)=\operatorname {ch} (V)\operatorname {ch} (W).}$$

كما ذُكر أعلاه، باستخدام بديهية غروتينديك للجمعية لفئات تشيرن، يمكن تعميم المتطابقة الأولى لتُشير إلى أن ch هو تشاكل بين الزمر الأبيلية من نظرية K ( X ) إلى علم التماثل العقلاني لـ X. وتُثبت المتطابقة الثانية أن هذا التشاكل يحترم أيضًا الضرب في K ( X )، وبالتالي فإن ch هو تشاكل بين الحلقات.

يُستخدم رمز تشيرن في نظرية هيرزبروش-ريمان-روخ .

إذا عملنا على مشعب موجه ذي بُعد${\displaystyle 2n}$ثم أي ناتج من فئات تشيرن ذات درجة كلية${\displaystyle 2n}$(أي أن مجموع مؤشرات فئات تشيرن في المنتج يجب أن يكون${\displaystyle n}$يمكن إقران ) بفئة التماثل الاتجاهي (أو "التكامل على المتشعب") لإعطاء عدد صحيح، وهو عدد تشيرن لحزمة المتجهات. على سبيل المثال، إذا كان للمتشعب بُعد 6، فهناك ثلاثة أعداد تشيرن مستقلة خطيًا، تُعطى بواسطة${\displaystyle c_{1}^{3}}$،${\displaystyle c_{1}c_{2}}$، و${\displaystyle c_{3}}$بشكل عام، إذا كان للمتشعب بُعد${\displaystyle 2n}$عدد أعداد تشيرن المستقلة الممكنة هو عدد تقسيمات${\displaystyle n}$.

تُسمى أعداد تشيرن للحزمة المماسية لمتشعب معقد (أو شبه معقد) بأعداد تشيرن للمتشعب، وهي ثوابت مهمة.

يوجد تعميم لنظرية فئات تشيرن، حيث تُستبدل نظرية التماثل العادية بنظرية تماثل معممة . تُسمى النظريات التي يُمكن تطبيق هذا التعميم عليها نظريات قابلة للتوجيه المركب . تبقى الخصائص الشكلية لفئات تشيرن كما هي، مع اختلاف جوهري واحد: القاعدة التي تحسب فئة تشيرن الأولى لحاصل ضرب موتر لحزم خطية بدلالة فئات تشيرن الأولى للعوامل ليست عملية جمع (عادية)، بل هي قانون زمرة شكلي .

في الهندسة الجبرية، توجد نظرية مشابهة لفئات تشيرن للحزم المتجهة. وتوجد عدة اختلافات تبعاً للمجموعات التي تنتمي إليها فئات تشيرن.

• بالنسبة للأصناف المعقدة، يمكن أن تأخذ فئات تشيرن قيمًا في علم التماثل العادي، كما هو مذكور أعلاه.
• بالنسبة للتنوعات على الحقول العامة، يمكن أن تأخذ فئات تشيرن قيمًا في نظريات التماثل مثل التماثل الإيتالي أو التماثل l-adic .
• بالنسبة للأصناف V على الحقول العامة، يمكن أن تأخذ فئات Chern أيضًا قيمًا في تشاكلات مجموعات Chow CH(V): على سبيل المثال، فئة Chern الأولى لحزمة خطية على صنف V هي تشاكل من CH( V ) إلى CH( V ) مما يقلل الدرجات بمقدار 1. وهذا يتوافق مع حقيقة أن مجموعات Chow هي نوع من نظير مجموعات التماثل، ويمكن اعتبار عناصر مجموعات التماثل المشترك بمثابة تشاكلات لمجموعات التماثل باستخدام حاصل الضرب العلوي .

تؤدي نظرية فئات تشيرن إلى ظهور ثوابت التماثل للمشعبات المعقدة تقريبًا .

إذا كانت M متعددة شعب شبه عقدية، فإن حزمة المماس الخاصة بها هي حزمة متجهات عقدية. وبالتالي، تُعرَّف فئات تشيرن لـ M بأنها فئات تشيرن لحزمة المماس الخاصة بها. إذا كانت M أيضًا متراصة وذات بُعد 2d ، فيمكن إقران كل حد أحادي من الدرجة الكلية 2d في فئات تشيرن بالفئة الأساسية لـ M ، مما يُعطي عددًا صحيحًا، وهو عدد تشيرن لـ M. إذا كانت M ′ متعددة شعب شبه عقدية أخرى من نفس البُعد، فإنها تكون متطابقة مع M إذا وفقط إذا تطابقت أعداد تشيرن لـ M ′ مع أعداد تشيرن لـ M.

تمتد هذه النظرية أيضاً إلى حزم المتجهات التبسيطية الحقيقية ، وذلك عن طريق وساطة البنى شبه المعقدة المتوافقة. وعلى وجه الخصوص، تمتلك المشعبات التبسيطية فئة تشيرن محددة جيداً.

(انظر هندسة أراكيلوف )