تخمين سوليفان

في الرياضيات ، يمكن أن تشير حدسية سوليفان ، أو حدسية سوليفان حول التطبيقات من الفضاءات التصنيفية، إلى أي من النتائج والفرضيات العديدة التي استُلهمت من أعمال دينيس سوليفان في نظرية التماثل . ويتمحور موضوعها الأساسي ودوافعها حول مجموعة النقاط الثابتة في تأثيرات الزمر المنتهية .${\displaystyle G}$لكن أبسط صيغة هي تلك المتعلقة بفضاء التصنيف .${\displaystyle BG}$من مثل هذه المجموعة. وبشكل عام، من الصعب رسم خريطة لمثل هذه المساحة${\displaystyle BG}$بشكل مستمر إلى مجمع CW محدود${\displaystyle X}$بطريقة غير بديهية. وقد أثبت هاينز ميلر هذا النوع من حدسية سوليفان لأول مرة . ^{[ 1 ]} تحديدًا، في عام 1984، أثبت ميلر أن فضاء الدوال ، الذي يحمل طوبولوجيا مفتوحة مضغوطة ، للتطبيقات التي تحافظ على نقطة الأساس من${\displaystyle BG}$ل${\displaystyle X}$قابل للانقباض بشكل ضعيف .

هذا يعادل القول بأن الخريطة${\displaystyle X}$→${\displaystyle F(BG,X)}$من X إلى فضاء الدوال للخرائط${\displaystyle BG}$→${\displaystyle X}$، وليس بالضرورة الحفاظ على نقطة الأساس، التي يتم الحصول عليها عن طريق إرسال نقطة${\displaystyle x}$ل${\displaystyle X}$إلى الخريطة الثابتة التي صورتها هي${\displaystyle x}$هو تكافؤ ضعيف . فضاء التعيين${\displaystyle F(BG,X)}$يُعد مثالاً على مجموعة نقاط ثابتة للتماثل. تحديداً،${\displaystyle F(BG,X)}$هي مجموعة النقاط الثابتة للتماثل للمجموعة${\displaystyle G}$التصرف من خلال الفعل التافه على${\displaystyle X}$بشكل عام، بالنسبة لمجموعة${\displaystyle G}$التأثير على الفضاء${\displaystyle X}$، نقاط التماثل الثابتة هي النقاط الثابتة${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$مساحة التخطيط${\displaystyle F(EG,X)}$خرائط من الغلاف العالمي${\displaystyle EG}$ل${\displaystyle BG}$ل${\displaystyle X}$تحت${\displaystyle G}$- إجراء بشأن${\displaystyle F(EG,X)}$مقدم من${\displaystyle g}$في${\displaystyle G}$يتصرف على الخريطة${\displaystyle f}$في${\displaystyle F(EG,X)}$عن طريق إرسالها إلى${\displaystyle gfg^{-1}}$. ال${\displaystyle G}$خريطة متغيرة من${\displaystyle EG}$إلى نقطة واحدة${\displaystyle *}$يُحفز خريطة طبيعية η:${\displaystyle X^{G}=F(*,X)^{G}}$→${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$من النقاط الثابتة إلى النقاط الثابتة للتماثل لـ${\displaystyle G}$العمل على${\displaystyle X}$تنص نظرية ميلر على أن η هي تكافؤ ضعيف للأمور التافهة${\displaystyle G}$- التأثيرات على مركبات CW ذات الأبعاد المحدودة. أحد المكونات المهمة والدافع وراء برهانه هو نتيجة غونار كارلسون حول علم التماثل لـ${\displaystyle BZ/2}$كوحدة غير مستقرة على جبر ستينرود . ^{[ 2 ]}

تُعمم نظرية ميلر إلى صيغة من حدسية سوليفان حيث يكون الفعل على${\displaystyle X}$يُسمح بأن يكون غير تافه. في عام 1971 ^{[ 3 ]} ، افترض سوليفان أن η هو تكافؤ ضعيف بعد إجراء معين من الإكمال p الذي وضعه أ. بوسفيلد ود . كان للمجموعة${\displaystyle G=Z/2}$كان هذا التخمين خاطئًا كما هو مذكور، ولكن قدم ميلر نسخة صحيحة، وأثبتها بشكل مستقل كل من دوير-ميلر-نيسندورفر، ^{[ 4 ]} وكارلسون، ^{[ 5 ]} وجان لان ، ^{[ 6 ]} موضحين أن الخريطة الطبيعية${\displaystyle (X^{G})_{p}}$→${\displaystyle F(EG,(X)_{p})^{G}}$تُعتبر هذه العلاقة تكافؤًا ضعيفًا عندما يكون ترتيب${\displaystyle G}$هي قوة لعدد أولي p، وحيث${\displaystyle (X)_{p}}$يشير إلى إكمال بوسفيلد-كان p لـ${\displaystyle X}$يتضمن برهان ميلر متتالية طيفية غير مستقرة لآدامز ، بينما يستخدم برهان كارلسون حله الإيجابي لتخمين سيغال ، كما يقدم معلومات حول النقاط الثابتة للتماثل.${\displaystyle F(EG,X)^{G}}$قبل اكتمالها، ويتضمن برهان لان دالة T الخاصة به. ^{[ 7 ]}

• غوتليب، دانيال هـ. (2001) [1994]، "تخمين سوليفان" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS
• مقتطف من كتاب
• ملاحظات ج. لوري الدراسية