التشابه (الرياضيات)

في الرياضيات ، مصطلح التماثل ^[a] ، الذي تم تقديمه في الأصل في الطوبولوجيا الجبرية ، له ثلاثة استخدامات أساسية وثيقة الصلة. الاستخدام الأكثر مباشرة للمصطلح هو أخذ تماثل مركب سلسلة ، مما يؤدي إلى تسلسل من المجموعات الإبيلية تسمى مجموعات التماثل. تسمح هذه العملية، بدورها، بربط التماثلات المسماة المختلفة أو نظريات التماثل بأنواع أخرى مختلفة من الكائنات الرياضية. أخيرًا، نظرًا لوجود العديد من نظريات التماثل للمساحات الطوبولوجية التي تنتج نفس الإجابة، فغالبًا ما يتحدث المرء أيضًا عن تماثل الفضاء الطوبولوجي . (يسمح هذا المفهوم الأخير للتماثل بأوصاف أكثر بديهية للمساحات الطوبولوجية أحادية أو ثنائية الأبعاد، ويُشار إليه أحيانًا في الرياضيات الشعبية .) هناك أيضًا مفهوم مرتبط بالتماثل لمركب سلسلة مشتركة ، مما أدى إلى ظهور نظريات تماثل مختلفة، بالإضافة إلى مفهوم تماثل الفضاء الطوبولوجي .

لأخذ تشابه مركب سلسلة ، نبدأ بمركب سلسلة، وهو عبارة عن تسلسل من المجموعات الإبيلية (التي تسمى عناصرها سلاسل ) وتماثلات المجموعة (تسمى خرائط الحدود ) بحيث يكون تكوين أي خريطتين متتاليتين صفرًا: ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$ ${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle d_{n}}$

${\displaystyle C_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C_{n+1}{\stackrel {d_{n+1}}{\longrightarrow }}C_{n}{\stackrel {d_{n}}{\longrightarrow }}C_{n-1}{\stackrel {d_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d_{n}\circ d_{n+1}=0.}$

إن المجموعة المتجانسة رقم th لهذا المركب السلسلي هي إذن المجموعة الحاصلة على الدورات مع تعديل الحدود، حيث تُعطى المجموعة رقم th من الدورات بواسطة المجموعة الفرعية للنواة ، وتُعطى المجموعة رقم th من الحدود بواسطة المجموعة الفرعية للصورة . يمكن للمرء أن يمنح المجمعات السلسلية بنية إضافية بشكل اختياري، على سبيل المثال عن طريق أخذ المجموعات لتكون وحدات على حلقة معامل ، وأخذ خرائط الحدود لتكون متجانسات وحدات - ، مما يؤدي إلى مجموعات متجانسة هي أيضًا وحدات حاصلة . يمكن استخدام أدوات من الجبر المتجانس لربط مجموعات متجانسة من المجمعات السلسلية المختلفة. ${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}}$ ${\displaystyle H_{n}=Z_{n}/B_{n}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle Z_{n}}$${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle B_{n}}$${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$${\displaystyle C_{n}}$ ${\displaystyle R}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle H_{n}}$

لربط نظرية التماثل بأنواع أخرى من الكائنات الرياضية، يُعطى المرء أولاً وصفة لربط مجمعات السلسلة بهذا الكائن، ثم يأخذ تماثل مثل هذا المركب السلسلي. لكي تكون نظرية التماثل صالحة، يجب أن يكون لجميع مجمعات السلسلة المرتبطة بنفس الكائن الرياضي نفس التماثل. غالبًا ما يتم تسمية نظرية التماثل الناتجة وفقًا لنوع المركب السلسلي الموصوف. على سبيل المثال، يتم الحصول على التماثل المفرد وتماثل مورس وتماثل خوفانوف وتماثل هوشيلد على التوالي من مجمعات السلسلة المفردة ومجمعات مورس ومجمعات خوفانوف ومجمعات هوشيلد. في حالات أخرى، مثل تماثل المجموعة ، توجد طرق مشتركة متعددة لحساب نفس مجموعات التماثل.

في لغة نظرية الفئات ، نظرية التماثل هي نوع من المشتقات من فئة الكائن الرياضي الذي تتم دراسته إلى فئة المجموعات الإبيلية وتماثلات المجموعات، أو بشكل عام إلى الفئة المقابلة للمركبات المتسلسلة المرتبطة. يمكن للمرء أيضًا صياغة نظريات التماثل كمشتقات مشتقة على فئات أبيلية مناسبة ، وقياس فشل المشتق المناسب بدقة . يمكن للمرء وصف هذا البناء الأخير صراحةً من حيث الدقة ، أو بشكل أكثر تجريدًا من منظور الفئات المشتقة أو فئات النموذج .

بغض النظر عن كيفية صياغتها، تساعد نظريات التشابه في توفير معلومات حول بنية الكائنات الرياضية المرتبطة بها، ويمكن أن تساعد في بعض الأحيان في التمييز بين الكائنات المختلفة.

ربما يكون الاستخدام الأكثر شيوعًا لمصطلح التماثل هو تماثل الفضاء الطوبولوجي . بالنسبة للفضاءات الطوبولوجية الجيدة بدرجة كافية والاختيارات المتوافقة لحلقات المعاملات، فإن أي نظرية تماثل تلبي بديهيات إيلينبيرج-ستينرود تنتج نفس مجموعات التماثل مثل التماثل المفرد (انظر أدناه) لتلك الفضاء الطوبولوجي، مع النتيجة التي غالبًا ما يشير إليها المرء ببساطة "تماثل" تلك المساحة، بدلاً من تحديد نظرية التماثل التي تم استخدامها لحساب مجموعات التماثل المعنية.

بالنسبة للمساحات الطوبولوجية أحادية البعد، ربما تكون نظرية التماثل الأكثر بساطة للاستخدام هي تماثل الرسم البياني ، والتي يمكن اعتبارها حالة خاصة أحادية البعد للتماثل التبسيطي ، والذي يتضمن الأخير تحلل الفضاء الطوبولوجي إلى مبسطات . (المبسطات هي تعميم للمثلثات إلى أبعاد عشوائية؛ على سبيل المثال، الحافة في الرسم البياني متماثلة مع المبسط أحادي البعد، والهرم القائم على المثلث هو مبسط ثلاثي الأبعاد.) يمكن تعميم التماثل التبسيطي بدوره إلى التماثل المفرد ، والذي يسمح بخرائط أكثر عمومية للمبسطات في الفضاء الطوبولوجي. يؤدي استبدال المبسطات بأقراص ذات أبعاد مختلفة إلى إنشاء ذي صلة يسمى التماثل الخلوي .

توجد أيضًا طرق أخرى لحساب مجموعات التماثل هذه، على سبيل المثال عبر تماثل مورس ، أو عن طريق أخذ ناتج نظرية المعامل الشامل عند تطبيقها على نظرية التماثل مثل تماثل تشيك أو (في حالة المعاملات الحقيقية) تماثل دي رام .

كانت إحدى الأفكار التي أدت إلى تطوير علم التماثل هي ملاحظة أن بعض الأشكال منخفضة الأبعاد يمكن تمييزها طوبولوجيًا عن طريق فحص "ثقوبها". على سبيل المثال، يحتوي الشكل الذي يشبه الرقم ثمانية على ثقوب أكثر من الدائرة ، ويحتوي الشكل الدائري ثنائي الأبعاد (سطح ثنائي الأبعاد على شكل أنبوب داخلي) على ثقوب مختلفة عن الكرة ثنائية الأبعاد (سطح ثنائي الأبعاد على شكل كرة سلة). ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

أدت دراسة السمات الطوبولوجية مثل هذه إلى فكرة الدورات التي تمثل فئات التماثل (عناصر مجموعات التماثل). على سبيل المثال، توفر الدائرتان المضمنتان في شكل الرقم ثمانية أمثلة على الدورات أحادية البعد، أو الدورات أحادية البعد، وتمثل الطورتان والكرة ثنائية الأبعاد دورات ثنائية الأبعاد. تشكل الدورات مجموعة تحت عملية الجمع الرسمي، والتي تشير إلى إضافة الدورات رمزيًا بدلاً من دمجها هندسيًا. يُطلق على أي مجموع رسمي للدورات مرة أخرى دورة. ${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$

إن الإنشاءات الصريحة لمجموعات التماثل تقنية إلى حد ما. وكما ذكرنا أعلاه، فإن الإدراك الصريح لمجموعات التماثل في الفضاء الطوبولوجي يتم تعريفه من حيث دورات وحدود مجمع السلسلة المرتبط بـ ، حيث يعتمد نوع مجمع السلسلة على اختيار نظرية التماثل المستخدمة. هذه الدورات والحدود هي عناصر من المجموعات الإبيلية ، ويتم تعريفها من حيث تماثلات حدود مجمع السلسلة، حيث كل منها عبارة عن مجموعة إبيلية، و هي تماثلات مجموعات تلبي جميع . ${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle X}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\إلى C_{n-1}}$${\displaystyle C_{n}}$${\displaystyle d_{n}}$${\displaystyle d_{n-1}\circ d_{n}=0}$${\displaystyle n}$

وبما أن مثل هذه الإنشاءات تقنية إلى حد ما، فإن المناقشات غير الرسمية حول التماثل تركز أحيانًا بدلاً من ذلك على المفاهيم الطوبولوجية التي توازي بعض الجوانب النظرية للمجموعة الخاصة بالدورات والحدود.

على سبيل المثال، في سياق المجمعات المتسلسلة ، يكون الحد أي عنصر من عناصر صورة التماثل الحدي ، لبعض . في الطوبولوجيا، يتم الحصول على حدود الفضاء من الناحية الفنية عن طريق أخذ إغلاق الفضاء ناقص داخله ، ولكنه أيضًا مفهوم مألوف من الأمثلة، على سبيل المثال، حدود القرص الوحدوي هي الدائرة الوحدوية، أو من الناحية الطوبولوجية، حدود هي . ${\displaystyle B_{n}:=\mathrm {im} \,d_{n+1}:=\{d_{n+1}(c)\,|\;c\in C_{n+1}\}}$${\displaystyle d_{n}:C_{n}\إلى C_{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

من الناحية الطوبولوجية، يتم تحديد حدود الفاصل المغلق من خلال الاتحاد المنفصل ، وفيما يتعلق باتفاقيات التوجيه المناسبة، يتم تحديد الحدود الموجهة لـ من خلال اتحاد متجه إيجابيًا مع موجه سلبيًا . إن نظير المعقد السلسلي البسيط لهذا البيان هو أن . (نظرًا لأن هو تماثل، فهذا يعني لأي عدد صحيح .) ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{0\}\,\amalg \,\{1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle \{0\}.}$${\displaystyle d_{1}([0,1])=\{1\}-\{0\}}$${\displaystyle d_{1}}$${\displaystyle d_{1}(k\cdot [0,1])=k\cdot \{1\}-k\cdot \{0\}}$${\displaystyle k}$

في سياق المجمعات المتسلسلة، تكون الدورة أي عنصر من عناصر النواة ، لبعض . بعبارة أخرى، تكون دورة إذا وفقط إذا . سيكون أقرب نظير طوبولوجي لهذه الفكرة هو الشكل الذي "ليس له حدود"، بمعنى أن حدوده هي المجموعة الفارغة. على سبيل المثال، بما أن و ليس لها حدود، فيمكن للمرء أن يربط الدورات بكل من هذه المساحات. ومع ذلك، فإن مفهوم المجمع المتسلسلة للدورات (العناصر التي تكون حدودها "سلسلة صفرية") أكثر عمومية من المفهوم الطوبولوجي لشكل ليس له حدود. ${\displaystyle Z_{n}:=\ker d_{n}:=\{c\in C_{n}\,|\;d_{n}(c)=0\}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\displaystyle d_{n}(c)=0}$${\displaystyle S^{1},S^{2}}$${\displaystyle T^{2}}$

إن هذا المفهوم الطوبولوجي لعدم وجود حدود هو ما يدور في أذهان الناس عمومًا عندما يزعمون أنه يمكن التفكير في الدورات بشكل حدسي على أنها تكشف عن ثغرات. والفكرة هي أنه بالنسبة للأشكال التي لا حدود لها مثل و و و فمن الممكن في كل حالة لصق شكل أكبر يكون الشكل الأصلي هو حدوده. على سبيل المثال، بدءًا من الدائرة ، يمكن للمرء لصق قرص ثنائي الأبعاد إلى ذلك بحيث يكون هو حدود ذلك . وبالمثل، في حالة وجود كرة ثنائية ، يمكن للمرء لصق كرة إلى ذلك بحيث يكون هو حدود ذلك . توصف هذه الظاهرة أحيانًا بأنها تقول أن بها "ثقب" على شكل - أو أنه يمكن "ملؤه" بـ . ${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle T^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle B^{3}}$${\displaystyle B^{3}}$

بشكل عام، يمكن "ملء" أي شكل بدون حدود بمخروط ، لأنه إذا لم يكن لمساحة معينة حدود، فإن حدود المخروط على تُعطى بواسطة ، وبالتالي إذا "ملئت" عن طريق لصق المخروط على على ، فإن ذلك سيكون حدود ذلك المخروط. (على سبيل المثال، المخروط على متماثل الشكل مع قرص حدوده هي أن . ) ومع ذلك، من المرغوب فيه أحيانًا تقييد المساحات الأجمل مثل المتشعبات ، وليس كل مخروط متماثل الشكل مع متشعب. تسمح جميع الممثلين المضمنين لدورات 1 ودورات 3 ودورات 2 الموجهة بثقوب على شكل متشعب، ولكن على سبيل المثال، فإن المستوى الإسقاطي الحقيقي والمستوى الإسقاطي المعقد لهما فئات كوبوردية غير تافهة وبالتالي لا يمكن "ملؤهما" بالمتشعبات. ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S^{1}}$${\displaystyle D^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}}$${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$

من ناحية أخرى، فإن الحدود التي تمت مناقشتها في تماثل الفضاء الطوبولوجي تختلف عن حدود الثقوب "المملوءة"، لأن تماثل الفضاء الطوبولوجي يتعلق بالفضاء الأصلي ، وليس بالأشكال الجديدة المبنية من لصق قطع إضافية على . على سبيل المثال، أي دائرة مدمجة في تحد بالفعل بعض الأقراص المدمجة في ، وبالتالي فإن هذا يؤدي إلى ظهور فئة حدود في تماثل . وعلى النقيض من ذلك، لا يؤدي تضمين في أحد فصي الشكل رقم ثمانية إلى إعطاء حدود، على الرغم من حقيقة أنه من الممكن لصق قرص على فص رقم ثمانية. ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle S^{2}}$${\displaystyle S^{1}}$

بالنظر إلى مساحة طوبولوجي لطيفة بدرجة كافية ، واختيار نظرية تماثل مناسبة، ومركب سلسلة مرتبط بذلك متوافق مع نظرية التماثل تلك، فإن مجموعة التماثل th تُعطى بعد ذلك بواسطة مجموعة حاصل الدورات - ( الدورات - الأبعاد) الحدود المعيارية - الأبعاد. بعبارة أخرى، فإن عناصر ، تسمى فئات التماثل ، هي فئات تكافؤ يكون ممثلوها دورات -، ويتم اعتبار أي دورتين متساويتين في إذا وفقط إذا اختلفا عن طريق إضافة حد. وهذا يعني أيضًا أن عنصر "الصفر" في يُعطى بواسطة مجموعة الحدود - الأبعاد، والتي تتضمن أيضًا مجموعات رسمية لهذه الحدود. ${\displaystyle X}$${\displaystyle (C_{\bullet },d_{\bullet })}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle H_{n}(X)}$ ${\displaystyle H_{n}(X)=Z_{n}/B_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle H_{n}(X)}$${\displaystyle n}$

إن تماثل الفضاء الطوبولوجي X هو مجموعة من الثوابت الطوبولوجية لـ X ممثلة بمجموعات التماثل الخاصة بها حيث تصف مجموعة التماثل ، بشكل غير رسمي، عدد الثقوب في X بحدود ذات أبعاد k . الثقب ذو الحدود ذات الأبعاد 0 هو ببساطة فجوة بين مكونين . وبالتالي، يصف المكونات المتصلة بالمسار لـ X . ^[1]$${\displaystyle H_{0}(X),H_{1}(X),H_{2}(X),\ldots }$$${\displaystyle k^{\rm {th}}}$${\displaystyle H_{k}(X)}$${\displaystyle H_{0}(X)}$

الكرة أحادية البعد هي دائرة . لها مكون متصل واحد وثقب حدودي أحادي البعد، ولكن لا توجد ثقوب ذات أبعاد أعلى. يتم إعطاء مجموعات التماثل المقابلة على النحو التالي حيث هي مجموعة الأعداد الصحيحة و هي المجموعة التافهة . تمثل المجموعة مجموعة أبيلية متولدة بشكل محدود ، مع مولد واحد يمثل الثقب أحادي البعد الموجود في الدائرة. ^[2]${\displaystyle S^{1}}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{1}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle H_{1}\left(S^{1}\right)=\mathbb {Z} }$

تحتوي الكرة ثنائية الأبعاد على مكون متصل واحد، ولا توجد ثقوب حدودية أحادية البعد، وثقب حدودي ثنائي الأبعاد، ولا توجد ثقوب ذات أبعاد أعلى. مجموعات التماثل المقابلة هي ^{[2] [3]}${\displaystyle S^{2}}$ $${\displaystyle H_{k}\left(S^{2}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

بشكل عام، بالنسبة للكرة ذات الأبعاد n، تكون مجموعات التماثل هي ${\displaystyle S^{n},}$$${\displaystyle H_{k}\left(S^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

الكرة ثنائية الأبعاد عبارة عن قرص صلب. تحتوي على مكون واحد متصل بمسار، ولكن على النقيض من الدائرة، ليس بها ثقوب ذات أبعاد أعلى. مجموعات التماثل المقابلة كلها تافهة باستثناء . بشكل عام، بالنسبة للكرة ذات الأبعاد n ^[2]${\displaystyle B^{2}}$${\displaystyle H_{0}\left(B^{2}\right)=\mathbb {Z} }$${\displaystyle B^{n},}$

$${\displaystyle H_{k}\left(B^{n}\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

يتم تعريف الطور على أنه حاصل ضرب دائرتين . يحتوي الطور على مكون واحد متصل بمسار، وثقبين مستقلين أحاديي البعد (يشار إليهما بدوائر باللونين الأحمر والأزرق) وثقب ثنائي الأبعاد داخل الطور. مجموعات التماثل المقابلة هي ^[4]${\displaystyle T^{2}=S^{1}\times S^{1}}$ $${\displaystyle H_{k}(T^{2})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} &k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

إذا تم كتابة n من حاصل ضرب الفضاء الطوبولوجي X على النحو التالي ، فعندئذٍ بشكل عام، بالنسبة إلى حلقة ذات أبعاد n ، ${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle T^{n}=(S^{1})^{n}}$

$${\displaystyle H_{k}(T^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}&0\leq k\leq n\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

(انظر الطور #الطور ذو الأبعاد n ورقم بيتي #المزيد من الأمثلة لمزيد من التفاصيل).

تشكل الفتحتان المستقلتان أحاديتا الأبعاد مولدات مستقلة في مجموعة أبيلية متولدة بشكل محدود، يتم التعبير عنها كمجموعة المنتج ${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

بالنسبة للمستوى الإسقاطي P ، يظهر حساب بسيط (حيث هي المجموعة الدورية من الدرجة 2): ^[5]${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ $${\displaystyle H_{k}(P)={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$

${\displaystyle H_{0}(P)=\mathbb {Z} }$يتوافق، كما في الأمثلة السابقة، مع حقيقة وجود مكون متصل واحد. إنها ظاهرة جديدة: بديهيًا، تتوافق مع حقيقة وجود "حلقة" واحدة غير قابلة للانكماش، ولكن إذا قمنا بعمل الحلقة مرتين، تصبح قابلة للانكماش إلى الصفر. تسمى هذه الظاهرة الالتواء . ${\displaystyle H_{1}(P)=\mathbb {Z} _{2}}$

يصف النص التالي خوارزمية عامة لبناء مجموعات التماثل. قد يكون من الأسهل على القارئ أن ينظر إلى بعض الأمثلة البسيطة أولاً: تماثل الرسم البياني والتماثل التبسيطي .

يبدأ البناء العام بجسم مثل الفضاء الطوبولوجي X ، حيث يتم أولاً تعريف مركب سلسلة C ( X ) الذي يشفر معلومات حول X. المركب السلسلي هو عبارة عن تسلسل من المجموعات أو الوحدات الإبيلية . متصلة بواسطة تماثلات تسمى مشغلات الحدود . ^[4] أي، ${\displaystyle C_{0},C_{1},C_{2},\ldots }$ ${\displaystyle \partial _{n}:C_{n}\to C_{n-1},}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\partial _{0}}{\longrightarrow \,}}0}$

حيث يشير 0 إلى المجموعة التافهة و بالنسبة لـ i < 0. كما يلزم أن يكون تكوين أي عاملين حدوديين متتاليين تافهًا. أي أنه بالنسبة لجميع n ، ${\displaystyle C_{i}\equiv 0}$

${\displaystyle \partial _{n}\circ \partial _{n+1}=0_{n+1,n-1},}$

أي أن الخريطة الثابتة ترسل كل عنصر إلى هوية المجموعة في${\displaystyle C_{n+1}}$${\displaystyle C_{n-1}.}$

العبارة التي تقول إن حدود الحدود تافهة تعادل العبارة التي تقول إن حيث تشير إلى صورة عامل الحدود ونواته . تسمى عناصر حدود وتسمى عناصر دورات . ${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle B_{n}(X)=\mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle Z_{n}(X)=\ker(\partial _{n})}$

نظرًا لأن كل مجموعة سلسلة C _n هي مجموعة أبيلية، فإن جميع مجموعاتها الفرعية طبيعية. إذن، لأن هي مجموعة فرعية من C _n ، فهي أبيلية، ولأن لذلك فهي مجموعة فرعية طبيعية من . إذن، يمكننا إنشاء مجموعة الحاصل${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})\subseteq \ker(\partial _{n})}$${\displaystyle \mathrm {im} (\partial _{n+1})}$${\displaystyle \ker(\partial _{n})}$

${\displaystyle H_{n}(X):=\ker(\partial _{n})/\mathrm {im} (\partial _{n+1})=Z_{n}(X)/B_{n}(X),}$

تُسمى المجموعة المتجانسة n لـ X. تُسمى عناصر H _n ( X ) فئات متجانسة . كل فئة متجانسة هي فئة تكافؤ على الدورات ويقال إن دورتين في نفس فئة المتجانس متجانستان . ^[6]

يقال إن مركب السلسلة دقيق إذا كانت صورة الخريطة ( n +1) دائمًا مساوية لنواة الخريطة n . وبالتالي فإن مجموعات التماثل لـ X تقيس "مدى" أن مركب السلسلة المرتبط بـ X بعيد عن الدقة. ^[7]

يتم تعريف مجموعات التماثل المخفضة لمركب السلسلة C ( X ) على أنها متماثلات لمركب السلسلة الموسع ^[8]

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}C_{n}{\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}C_{n-1}{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}C_{1}{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}C_{0}{\overset {\epsilon }{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0}$

أين عامل الحدود هو ${\displaystyle \epsilon }$

${\displaystyle \epsilon \left(\sum _{i}n_{i}\sigma _{i}\right)=\sum _{i}n_{i}}$

لمجموعة من النقاط التي تعد مولدات ثابتة لـ C _0. تتطابق مجموعات التماثل المخفضة مع بالنسبة إلى يمثل الإضافي في مجمع السلسلة الخريطة الفريدة من البسيط الفارغ إلى X.${\displaystyle \sum n_{i}\sigma _{i},}$${\displaystyle \sigma _{i},}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{i}(X)}$${\displaystyle H_{i}(X)}$${\displaystyle i\neq 0.}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle [\emptyset ]\longrightarrow X}$

عادةً ما يكون حساب مجموعات الدورة والحدود أمرًا صعبًا إلى حد ما نظرًا لوجود عدد كبير جدًا من المولدات. من ناحية أخرى، توجد أدوات تجعل المهمة أسهل. ${\displaystyle Z_{n}(X)}$${\displaystyle B_{n}(X)}$

يتم تعريف مجموعات التماثل التبسيطي H _n ( X ) لمركب تبسيطي X باستخدام مركب السلسلة التبسيطي C ( X )، مع C _n ( X ) المجموعة الإبيلية الحرة الناتجة عن n من التماثلات التبسيطية لـ X. راجع التماثل التبسيطي للحصول على التفاصيل.

يتم تعريف مجموعات التماثل المفردة H _n ( X ) لأي فضاء طوبولوجي X ، وتتفق مع مجموعات التماثل التبسيطية لمركب تبسيطي.

تتشابه مجموعات التماثل رسميًا مع مجموعات التماثل: تبدأ المجموعة بمركب تسلسلي مشترك ، وهو نفس مركب السلسلة ولكن أسهمه، المشار إليها الآن، تشير إلى اتجاه زيادة n بدلاً من تناقص n ؛ ثم تتبع مجموعات الحلقات المشتركة والحدود المشتركة نفس الوصف. تكون مجموعة التماثل n لـ X هي مجموعة الحاصل ${\displaystyle d_{n},}$${\displaystyle \ker \left(d^{n}\right)=Z^{n}(X)}$${\displaystyle \mathrm {im} \left(d^{n-1}\right)=B^{n}(X)}$

${\displaystyle H^{n}(X)=Z^{n}(X)/B^{n}(X),}$

بالقياس إلى المجموعة المتجانسة رقم n .

المجموعة المتجانسة n للفضاء الطوبولوجي هي مجموعة فئات المتجانسة للخرائط المحافظة على النقطة الأساسية من الكرة - إلى ، تحت عملية المجموعة للتسلسل. المجموعة المتجانسة الأكثر أساسية هي المجموعة الأساسية . بالنسبة لـ متصل ، تصف نظرية هوريفيتش تماثلًا يسمى تماثل هوريفيتش. بالنسبة لـ ، يمكن أن يكون هذا التماثل معقدًا، ولكن عندما ، يتطابق تماثل هوريفيتش مع الإبليانية . أي أنه متجانس ونواته هي المجموعة الفرعية المبدلة لـ ، مع النتيجة التي تكون متماثلة مع الإبليانية لـ . يصعب أحيانًا حساب مجموعات المتجانسة الأعلى. على سبيل المثال، مجموعات متجانسة الكرات غير مفهومة جيدًا وغير معروفة بشكل عام، على عكس الوصف المباشر المقدم أعلاه لمجموعات التماثل. ${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle S^{n}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{n}(X)\to H_{n}(X)}$${\displaystyle n>1}$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle h_{*}:\pi _{1}(X)\to H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$

على سبيل المثال، افترض أن الرقم ثمانية هو . وكما هي العادة، فإن أول مجموعة تماثلية له، أو المجموعة الأساسية ، هي مجموعة فئات التماثلية للحلقات الموجهة التي تبدأ وتنتهي عند نقطة محددة مسبقًا (مثل مركزها). وهي متماثلة مع المجموعة الحرة من الرتبة 2، ، والتي ليست تبديلية: فالدوران حول الدورة اليسرى ثم حول الدورة اليمنى يختلف عن الدوران حول الدورة اليمنى ثم الدوران حول الدورة اليسرى. وعلى النقيض من ذلك، فإن أول مجموعة تماثلية للرقم ثمانية هي أبيلية. للتعبير عن هذا صراحةً من حيث فئات التماثل للدورات، يمكن للمرء أن يأخذ فئة التماثل للدورة اليسرى وفئة التماثل للدورة اليمنى كعناصر أساسية لـ ، مما يسمح لنا بكتابة . ${\displaystyle n=1}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)\cong \mathbb {Z} *\mathbb {Z} }$${\displaystyle H_{1}(X)\cong \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }$${\displaystyle l}$${\displaystyle r}$${\displaystyle H_{1}(X)}$${\displaystyle H_{1}(X)=\{a_{l}l+a_{r}r\,|\;a_{l},a_{r}\in \mathbb {Z} \}}$

تنشأ الأنواع المختلفة من نظرية التماثل من تعيين المتجه من فئات مختلفة من الكائنات الرياضية إلى فئة المجمعات المتسلسلة. في كل حالة، يحدد تكوين المتجه من الكائنات إلى المجمعات المتسلسلة والمتجه من المجمعات المتسلسلة إلى مجموعات التماثل المتجه المتماثل الإجمالي للنظرية. ^[9]

يأتي المثال التحفيزي من الطوبولوجيا الجبرية : التماثل البسيط لمركب بسيط X. هنا، المجموعة المتسلسلة C _n هي المجموعة الإبيلية الحرة أو الوحدة النمطية الحرة التي تكون مولداتها هي المعقدات الموجهة ذات الأبعاد n لـ X. يتم التقاط الاتجاه عن طريق ترتيب رؤوس المركب والتعبير عن المعقد الموجه كثنائي n من رؤوسه المدرجة بترتيب متزايد (أي في ترتيب رؤوس المركب، حيث تظهر الرأس th في الثنائي). يسمى التعيين من C _n إلى C _n−1 تعيين الحدود ويرسل المعقد ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle (\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$${\displaystyle \sigma [0]<\sigma [1]<\cdots <\sigma [n]}$${\displaystyle \sigma [i]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \partial _{n}}$

${\displaystyle \sigma =(\sigma [0],\sigma [1],\dots ,\sigma [n])}$

إلى المبلغ الرسمي

${\displaystyle \partial _{n}(\sigma )=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\left(\sigma [0],\dots ,\sigma [i-1],\sigma [i+1],\dots ,\sigma [n]\right),}$

والذي يعتبر 0 إذا كان هذا السلوك على المولدات يحث على تماثل الشكل على كل من C _n على النحو التالي. بالنظر إلى عنصر ، اكتبه كمجموع المولدات حيث هو مجموعة من n -simplexes في X و m _i هي معاملات من الحلقة C _n يتم تعريفها (عادةً أعداد صحيحة، ما لم يتم تحديد خلاف ذلك). ثم حدد ${\displaystyle n=0.}$${\displaystyle c\in C_{n}}$${\textstyle c=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\sigma _{i},}$${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \partial _{n}(c)=\sum _{\sigma _{i}\in X_{n}}m_{i}\partial _{n}(\sigma _{i}).}$

يتبين أن بُعد التماثل n لـ X هو عدد "الثقوب" في X عند البعد n . ويمكن حسابه عن طريق وضع تمثيلات مصفوفة لهذه التعيينات الحدودية في شكل سميث الطبيعي .

باستخدام مثال التماثل البسيط كنموذج، يمكن للمرء أن يحدد تماثلًا مفردًا لأي فضاء طوبولوجي X. يتم تعريف مركب السلسلة لـ X من خلال أخذ C _n لتكون المجموعة الإبيلية الحرة (أو الوحدة الحرة) التي تكون مولداتها كلها خرائط مستمرة من التماثلات ذات الأبعاد n إلى X. تنشأ التماثلات ∂ _n من خرائط حدود التماثلات.

في الجبر المجرد ، يستخدم المرء التماثل لتحديد المشتقات ، على سبيل المثال، المشتقات Tor . هنا يبدأ المرء ببعض المشتقات الإضافية المتغيرة F وبعض الوحدات النمطية X. يتم تعريف المركب المتسلسل لـ X على النحو التالي: أولاً، ابحث عن وحدة نمطية حرة وتماثل شكلي شامل ثم ابحث عن وحدة نمطية حرة وتماثل شكلي شامل . بالاستمرار على هذا النحو، يمكن تعريف تسلسل من الوحدات النمطية الحرة والتماثلات . من خلال تطبيق المشتق F على هذا التسلسل، نحصل على مركب متسلسل؛ يعتمد تماثل هذا المركب على F و X فقط وهو، بحكم التعريف، المشتق المشتق رقم n لـ F ، المطبق على X.${\displaystyle F_{1}}$${\displaystyle p_{1}:F_{1}\to X.}$${\displaystyle F_{2}}$${\displaystyle p_{2}:F_{2}\to \ker \left(p_{1}\right).}$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle p_{n}}$${\displaystyle H_{n}}$

الاستخدام الشائع لتشابه المجموعة (التماثل) هو تصنيف مجموعات التمديد المحتملة E التي تحتوي على وحدة G معينة M كمجموعة فرعية طبيعية ولها مجموعة حاصل معينة G ، بحيث${\displaystyle H^{2}(G,M)}$ ${\displaystyle G=E/M.}$

تشكل المجمعات السلسلية فئة : التماثل من المجمع السلسلي ( ) إلى المجمع السلسلي ( ) هو سلسلة من التماثلات بحيث يكون لجميع n . يمكن _اعتبار التماثل n -h n كمتجه متغاير من فئة المجمعات السلسلية إلى فئة المجموعات (أو الوحدات) الإبلية. ${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$${\displaystyle e_{n}:B_{n}\to B_{n-1}}$${\displaystyle f_{n}:A_{n}\to B_{n}}$${\displaystyle f_{n-1}\circ d_{n}=e_{n}\circ f_{n}}$

إذا كان المركب المتسلسل يعتمد على الكائن X بطريقة متغيرة (بمعنى أن أي تماثل يحفز تماثلًا من المركب المتسلسل X إلى المركب المتسلسل Y )، فإن H _n عبارة عن متجهات متغيرة من الفئة التي ينتمي إليها X إلى فئة المجموعات (أو الوحدات) الإبيلية. ${\displaystyle X\to Y}$

الفرق الوحيد بين التماثل والتجانس هو أنه في التجانس تعتمد معقدات السلسلة بطريقة معاكسة على X ، وبالتالي فإن مجموعات التجانس (والتي تسمى مجموعات التجانس في هذا السياق ويشار إليها بـ H ⁿ ) تشكل متجهات معاكسة من الفئة التي ينتمي إليها X إلى فئة المجموعات أو الوحدات الإبيلية.

إذا كانت ( ) عبارة عن سلسلة معقدة بحيث تكون جميع A _n باستثناء عدد محدود منها صفرًا، وتكون المجموعات الأخرى عبارة عن مجموعات أبيلية متولدة بشكل محدود (أو مساحات متجهة ذات أبعاد محدودة)، فيمكننا تعريف خاصية أويلر${\displaystyle d_{n}:A_{n}\to A_{n-1}}$

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (A_{n})}$

(باستخدام الرتبة في حالة المجموعات الإبلية وبُعد هامل في حالة فضاءات المتجهات). اتضح أن خاصية أويلر يمكن حسابها أيضًا على مستوى التشابه:

${\displaystyle \chi =\sum (-1)^{n}\,\mathrm {rank} (H_{n})}$

وفي الطوبولوجيا الجبرية بشكل خاص، يوفر هذا طريقتين لحساب الثابت المهم للكائن X الذي أدى إلى ظهور المركب المتسلسل. ${\displaystyle \chi }$

كل تسلسل قصير دقيق

${\displaystyle 0\rightarrow A\rightarrow B\rightarrow C\rightarrow 0}$

تؤدي مجمعات السلسلة إلى ظهور تسلسل دقيق طويل من مجموعات التماثل

${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to H_{n}(B)\to H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)\to H_{n-1}(B)\to H_{n-1}(C)\to H_{n-2}(A)\to \cdots }$

يتم استحثاث جميع الخرائط في هذا التسلسل الدقيق الطويل من خلال الخرائط بين مجمعات السلسلة، باستثناء الخرائط الأخيرة التي تسمى متماثلات الترابط ويتم توفيرها من خلال مبرهنة متعرجة . يمكن تطبيق هذه المبرهنة على التماثل بطرق عديدة تساعد في حساب مجموعات التماثل، مثل نظريات التماثل النسبي وتسلسلات ماير-فييتوريس . ${\displaystyle H_{n}(C)\to H_{n-1}(A)}$

تتضمن النظريات البارزة التي تم إثباتها باستخدام التماثل ما يلي:

• نظرية النقطة الثابتة لـ بروير : إذا كانت f عبارة عن أي خريطة متصلة من الكرة B ⁿ إلى نفسها، فهناك نقطة ثابتة ذات${\displaystyle a\in B^{n}}$${\displaystyle f(a)=a.}$
• ثبات المجال : إذا كانت U مجموعة فرعية مفتوحة من و هي خريطة مستمرة حقنية ، فإن تكون مفتوحة و f هي تماثل بين U و V.${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle V=f(U)}$
• نظرية الكرة المشعرة : أي حقل متجه مستمر على الكرة 2 (أو بشكل عام، الكرة 2 k لأي ) يختفي في مرحلة ما.${\displaystyle k\geq 1}$
• نظرية بورسوك-أولام : أي دالة متصلة من كرة ذات n إلى فضاء إقليدي ذي n تربط زوجًا من النقاط المتقابلة بنفس النقطة. (تسمى نقطتان على كرة متقابلتين إذا كانتا في اتجاهين متعاكسين تمامًا من مركز الكرة).
• ثبات البعد: إذا كانت المجموعات المفتوحة غير الفارغة و متماثلة الشكل، فإن ^[10]${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle m=n.}$

في تحليل البيانات الطوبولوجية ، تعتبر مجموعات البيانات بمثابة عينة من سحابة نقطية لمجموعة متعددة أو تنوع جبري مضمن في الفضاء الإقليدي . من خلال ربط أقرب نقاط مجاورة في السحابة في مثلث، يتم إنشاء تقريب مبسط لمجموعة متعددة ويمكن حساب تشابهها المبسط. إن إيجاد تقنيات لحساب التشابه بشكل قوي باستخدام استراتيجيات مثلثية مختلفة على مقاييس طول متعددة هو موضوع التشابه المستمر . ^[11]

في شبكات الاستشعار ، قد تتواصل أجهزة الاستشعار بالمعلومات عبر شبكة مخصصة تتغير ديناميكيًا بمرور الوقت. لفهم السياق العالمي لهذه المجموعة من القياسات المحلية ومسارات الاتصال، من المفيد حساب تشابه طوبولوجيا الشبكة لتقييم، على سبيل المثال، الثغرات في التغطية. ^[12]

في نظرية الأنظمة الديناميكية في الفيزياء ، كان بوانكاريه من أوائل من فكروا في التفاعل بين المتشعب الثابت لنظام ديناميكي وثوابته الطوبولوجية. تربط نظرية مورس ديناميكيات تدفق التدرج على متشعب بتجانسه على سبيل المثال. ووسعت تجانس فلور هذا إلى المتشعبات ذات الأبعاد اللانهائية. أثبتت نظرية كام أن المدارات الدورية يمكن أن تتبع مسارات معقدة؛ على وجه الخصوص، قد تشكل ضفائر يمكن التحقيق فيها باستخدام تجانس فلور. ^[13]

في إحدى فئات طرق العناصر المحدودة ، قد يلزم حل مشكلات القيمة الحدية للمعادلات التفاضلية التي تتضمن عامل هودج-لابلاس على مجالات غير تافهة طوبولوجيًا، على سبيل المثال، في عمليات المحاكاة الكهرومغناطيسية . في هذه المحاكاة، يتم مساعدة الحل من خلال تحديد فئة التجانس للحل بناءً على الظروف الحدودية المختارة وتجانس المجال. يمكن مثلث مجالات العناصر المحدودة، والتي يمكن من خلالها حساب التجانس البسيط. ^{[14] [15]}

تم تطوير حزم برامج مختلفة لأغراض حساب مجموعات التماثل لمجمعات الخلايا المحدودة. Linbox هي مكتبة C++ لإجراء عمليات مصفوفة سريعة، بما في ذلك الشكل الطبيعي لسميث ؛ وهي تتفاعل مع كل من Gap وMaple. Chomp، CAPD::Redhom أرشيف 2013-07-15 على موقع Wayback Machine وPerseus مكتوبة أيضًا بلغة C++. تنفذ الثلاثة خوارزميات المعالجة المسبقة القائمة على تكافؤ التماثل البسيط ونظرية مورس المنفصلة لإجراء عمليات اختزال تحافظ على التماثل لمجمعات الخلايا المدخلة قبل اللجوء إلى جبر المصفوفات. كنزو مكتوب بلغة ليسب، وبالإضافة إلى التماثل، يمكن استخدامه أيضًا لإنشاء عروض لمجموعات التماثل للمجمعات البسيطة المحدودة. يتضمن Gmsh مُحلل تماثل لشبكات العناصر المحدودة، والذي يمكنه إنشاء قواعد تماثل يمكن استخدامها مباشرة بواسطة برنامج العناصر المحدودة. ^[14]

يمكن القول أن نظرية التماثل بدأت بصيغة متعدد السطوح أويلر، أو خاصية أويلر . ^[16] تبع ذلك تعريف ريمان للثوابت العددية للجنس والاتصال n -fold في عام 1857 وإثبات بيتي في عام 1871 لاستقلال "أرقام التماثل" عن اختيار الأساس. ^[17]

على الكرة العادية ، يمكن تقليص المنحنى b في الرسم البياني إلى القطب، وحتى الدائرة الاستوائية العظمى a يمكن تقليصها بنفس الطريقة. تُظهر نظرية منحنى جوردان أنه يمكن تقليص أي منحنى مغلق مثل c على نحو مماثل إلى نقطة. وهذا يعني أن له مجموعة أساسية تافهة ، وبالتالي، فإنه يحتوي أيضًا على مجموعة تشابه أولى تافهة. ${\displaystyle S^{2}}$ ${\displaystyle S^{2}}$

يحتوي الطور على منحنيات مغلقة لا يمكن تشويهها باستمرار في بعضها البعض، على سبيل المثال في الرسم البياني لا يمكن تشويه أي من الدورات أ أو ب أو ج في بعضها البعض. على وجه الخصوص، لا يمكن تقليص الدورتين أ وب إلى نقطة بينما يمكن تقليص الدورة ج . ${\displaystyle T^{2}}$

إذا تم قطع سطح الحلقة على طول كل من a و b ، فيمكن فتحه وتسويته على شكل مستطيل أو، وهو الأنسب، مربع. يمثل زوج واحد من الأضلاع المقابلة القطع على طول a ، ويمثل الزوج الآخر المقابل القطع على طول b .

يمكن بعد ذلك لصق حواف المربع معًا بطرق مختلفة. يمكن لف المربع للسماح للحواف بالالتقاء في الاتجاه المعاكس، كما هو موضح بواسطة الأسهم في الرسم التخطيطي. تسفر الطرق المختلفة للصق الجوانب عن أربعة أسطح مميزة طوبولوجيًا فقط:

${\displaystyle K^{2}}$هي زجاجة كلاين ، وهي حلقة بها التواء (في الرسم التخطيطي للمربع، يمكن رؤية الالتواء على أنه عكس السهم السفلي). إنها نظرية مفادها أن السطح المعاد لصقه يجب أن يتقاطع ذاتيًا (عند غمره في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ). مثل الحلقة، لا يمكن تقليص الدورتين أ وب بينما يمكن تقليص ج . ولكن على عكس الحلقة، فإن اتباع ب للأمام واليمين والعودة ينعكس يسارًا ويمينًا، لأن ب تصادف أن تعبر عن الالتواء المعطى لوصلة واحدة. إذا تم إجراء قطع متساوي المسافة على أحد جانبي ب ، فإنه يعود على الجانب الآخر ويدور حول السطح مرة ثانية قبل العودة إلى نقطة البداية، ويقطع شريط موبيوس ملتوي . نظرًا لأنه يمكن إعادة توجيه اليسار واليمين المحليين بشكل تعسفي بهذه الطريقة، يُقال إن السطح ككل غير قابل للتوجيه.

المستوى الإسقاطي له مفصلان ملتويان. الشكل غير المقطوع، والذي يتم تمثيله عمومًا على أنه سطح الصبي ، معقد بصريًا، لذلك يظهر تضمين نصف كروي في الرسم التخطيطي، حيث يتم تحديد النقاط المتقابلة حول الحافة مثل A و A′ على أنها نفس النقطة. مرة أخرى، a غير قابل للانكماش بينما c كذلك. إذا تم لف b مرة واحدة فقط، فسيكون أيضًا غير قابل للانكماش وينعكس إلى اليسار واليمين. ومع ذلك، يتم لفه مرة ثانية، مما يؤدي إلى تبديل اليمين واليسار مرة أخرى؛ يمكن انكماشه إلى نقطة وهو متماثل مع c . ${\displaystyle P^{2}}$

يمكن ضم أو إضافة الدورات معًا، كما كانت الحال مع أ وب على الحلقة عندما تم قطعها وتسويتها. في مخطط زجاجة كلاين ، تدور أ في اتجاه واحد وتدور − أ في الاتجاه المعاكس. إذا تم اعتبار أ بمثابة قطع، فيمكن اعتبار − أ بمثابة عملية لصق. لا يؤدي إجراء قطع ثم إعادة لصقه إلى تغيير السطح، لذا فإن أ + (− أ ) = 0.

لكن الآن فكر في دورتين أ . نظرًا لأن زجاجة كلاين غير قابلة للتوجيه، يمكنك نقل إحداهما طوال الطريق حول الزجاجة (على طول الدورة ب )، وستعود على أنها − أ . وذلك لأن زجاجة كلاين مصنوعة من أسطوانة، حيث يتم لصق طرفي دورة أ معًا باتجاهات متعاكسة. ومن ثم فإن 2 أ = أ + أ = أ + (− أ ) = 0. وتسمى هذه الظاهرة الالتواء . وبالمثل، في المستوى الإسقاطي، يؤدي اتباع الدورة غير القابلة للانكماش ب مرتين بشكل ملحوظ إلى إنشاء دورة تافهة يمكن تقليصها إلى نقطة؛ أي ب + ب = 0. ونظرًا لأنه يجب اتباع ب مرتين لتحقيق دورة صفرية، يُقال إن السطح له معامل التواء 2. ومع ذلك، فإن اتباع دورة ب مرتين في زجاجة كلاين يعطي ببساطة ب + ب = 2 ب ، لأن هذه الدورة تعيش في فئة متجانسة خالية من الالتواء. يتوافق هذا مع حقيقة أنه في المضلع الأساسي لزجاجة كلاين، يتم لصق زوج واحد فقط من الجوانب بلف، بينما في المستوى الإسقاطي يكون كلا الجانبين ملتويين.

المربع هو فضاء طوبولوجي قابل للانكماش ، مما يعني أنه يتمتع بتجانس تافه. وبالتالي، فإن القطع الإضافية تفصله. المربع ليس الشكل الوحيد في المستوى الذي يمكن لصقه على سطح. على سبيل المثال، يؤدي لصق الجوانب المتقابلة لمثمن إلى إنتاج سطح به فتحتان. في الواقع، يمكن إنتاج جميع الأسطح المغلقة عن طريق لصق جوانب بعض المضلعات ويمكن لصق جميع المضلعات ذات الأضلاع المتساوية (2 n - ضلع) لعمل متشعبات مختلفة. وعلى العكس من ذلك، يمكن قطع سطح مغلق به n فئة غير صفرية إلى 2 n - ضلع. الاختلافات ممكنة أيضًا، على سبيل المثال، يمكن أيضًا لصق مسدس لتشكيل حلقة. ^[18]

نُشرت أول نظرية يمكن التعرف عليها للتماثل بواسطة هنري بوانكاريه في ورقته البحثية الرائدة " تحليل الموقع "، J. Ecole polytech. (2) 1. 1–121 (1895). قدمت الورقة فئات التماثل والعلاقات. يتم تصنيف التكوينات المحتملة للدورات القابلة للتوجيه من خلال أرقام بيتي للمتعدد الشعب (أرقام بيتي هي تحسين لخاصية أويلر). يتطلب تصنيف الدورات غير القابلة للتوجيه معلومات إضافية حول معاملات الالتواء. ^[19]

التصنيف الكامل للمتعدّدات 1 و2 موجود في الجدول.

الخصائص الطوبولوجية للمتعددات الأحادية والمتعددة الثنائية المغلقة ^[20]

متعدد		رقم أويلر ، χ	القدرة على التوجيه	أرقام بيتي			معامل الالتواء (أحادي الأبعاد)
الرمز [18]	اسم			ب 0	ب 1	ب 2
${\displaystyle S^{1}}$	الدائرة (متعددة الأشكال)	0	قابل للتوجيه	1	1	—	—
${\displaystyle S^{2}}$	جسم كروي	2	قابل للتوجيه	1	0	1	لا أحد
${\displaystyle T^{2}}$	حلقة	0	قابل للتوجيه	1	2	1	لا أحد
${\displaystyle P^{2}}$	المستوى الإسقاطي	1	غير قابل للتوجيه	1	0	0	2
${\displaystyle K^{2}}$	زجاجة كلاين	0	غير قابل للتوجيه	1	1	0	2
	حلقة ذات فتحتين	-2	قابل للتوجيه	1	4	1	لا أحد
	حلقة ذات ثقب على شكل حرف g ( g هو الجنس )	2 − 2 جرام	قابل للتوجيه	1	2 جرام	1	لا أحد
	كرة ذات أغطية متقاطعة على شكل حرف C	2 − ج	غير قابل للتوجيه	1	ج − 1	0	2
	2-مشعب مع فتحات g وأغطية متقاطعة c ( c > 0)	2  −  (2 ج  + ج )	غير قابل للتوجيه	1	(2 ج  + ج ) − 1	0	2

ملحوظات

1. بالنسبة لسطح غير قابل للتوجيه، فإن الثقب يعادل غطائين متقاطعين.
2. يمكن تحقيق أي متعدد شعب مغلق ثنائي الأبعاد كمجموع متصل لمستويات إسقاطية g tori و c ، حيث يُنظر إلى الكرة ثنائية الأبعاد كمجموع متصل فارغ. يتم الحفاظ على التماثل من خلال عملية المجموع المتصل.${\displaystyle S^{2}}$

في بحثه عن صرامة متزايدة، واصل بوانكاريه تطوير التماثل البسيط لمتعدد الشعب المثلث وإنشاء ما يسمى الآن بالمجمع السلسلي البسيط . ^{[21] [22]} تشكل المجمعات السلسلية (التي تم تعميمها على نطاق واسع منذ ذلك الحين) الأساس لمعظم المعالجات الحديثة للتماثل.

طورت إيمي نوثر ، وبشكل مستقل ليوبولد فيتوريس ووالتر ماير، نظرية مجموعات التماثل الجبرية في الفترة 1925-1928. ^{[23] [24] [25] عالجت} الطوبولوجيا التوافقية الجديدة رسميًا الفئات الطوبولوجية كمجموعات أبيلية . مجموعات التماثل هي مجموعات أبيلية متولدة بشكل محدود، وفئات التماثل هي عناصر هذه المجموعات. أرقام بيتي للمتعدد هي رتبة الجزء الحر من مجموعة التماثل، وفي الحالة الخاصة للأسطح، يحدث جزء الالتواء من مجموعة التماثل فقط للدورات غير القابلة للتوجيه.

أدى الانتشار اللاحق لمجموعات التماثل إلى تغيير المصطلحات ووجهة النظر من "الطوبولوجيا التوليفية" إلى " الطوبولوجيا الجبرية ". ^[26] تظل التماثلات الجبرية هي الطريقة الأساسية لتصنيف المتشعبات. ^[27]

• رقم بيتي
• مساحة للدراجات
• علم التماثل دي رام
• مسلمات إيلينبيرج-ستينرود
• نظرية التشابه غير العادية
• الجبر المتماثل
• التخمينات المتماثلة في الجبر التبادلي
• اتصال متماثل
• البعد المتماثل
• مجموعة التماثل
• نظرية كونيث
• قائمة نظريات التماثل - تحتوي أيضًا على قائمة بنظريات التماثل
• ثنائية بوانكاريه

• كارتان، هنري بول ؛ إيلينبرج، صموئيل (1956). الجبر المتماثل . سلسلة برينستون الرياضية. المجلد 19. مطبعة جامعة برينستون. رقم ISBN 9780674079779. OCLC  529171.
• إيلينبرج، صموئيل؛ مور، جيه سي (1965). أسس الجبر المتجانس النسبي . مذكرات الجمعية الرياضية الأمريكية، العدد 55. الجمعية الرياضية الأمريكية. رقم ISBN 9780821812556. OCLC  1361982.
• جاورز، تيموثي ؛ بارو-جرين، جون ؛ ليدر، إيمري، محرران (2010)، رفيق برينستون للرياضيات ، مطبعة جامعة برينستون، رقم ISBN 9781400830398.
• هاتشر، أ. (2002)، الطوبولوجيا الجبرية، مطبعة جامعة كامبريدج، رقم ISBN 0-521-79540-0مناقشة تفصيلية لنظريات التماثل للمجمعات البسيطة والمتعددات، والتماثل المفرد، وما إلى ذلك.
• هيلتون، بيتر (1988)، "تاريخ موجز وذاتي لنظرية التماثل والتماثل في هذا القرن"، مجلة الرياضيات ، 60 (5)، الجمعية الرياضية الأمريكية: 282-291، doi :10.1080/0025570X.1988.11977391، JSTOR  2689545
• ريتشيسون، د. (2008)، جوهرة أويلر: صيغة متعدد السطوح وميلاد الطوبولوجيا ، جامعة برينستون.
• سبانير ، إدوين هـ. (1966)، الطوبولوجيا الجبرية ، سبرينغر، ص. 155، ردمك 0-387-90646-0.
• ستيلويل، جون (1993)، "نظرية التماثل والتحويل إلى أبيلية"، الطوبولوجيا الكلاسيكية ونظرية المجموعة التوافقية ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 72، سبرينغر، ص 169-184، doi :10.1007/978-1-4612-4372-4_6، ISBN 978-0-387-97970-0.
• تيتشر، م. ، محرر (1999)، تراث إيمي نوثر ، وقائع مؤتمر الرياضيات الإسرائيلي، جامعة بار إيلان / الجمعية الرياضية الأمريكية / مطبعة جامعة أكسفورد ، رقم ISBN 978-0-19-851045-1، OCLC  223099225
• Weibel, Charles A. (1999), "28. History of Homological Algebra" (PDF) ، في James, IM (محرر)، تاريخ الطوبولوجيا ، Elsevier، ISBN 9780080534077.

• مجموعة التشابه في موسوعة الرياضيات
• [1] مقدمة لـ NJ Windberger في الطوبولوجيا الجبرية، آخر ست محاضرات مع مقدمة سهلة لعلم التماثل
• [2] الطوبولوجيا الجبرية ألين هاتشر - الفصل الثاني عن التماثل