نظرية تيلجين

تُعدّ نظرية تيلجين من أقوى النظريات في نظرية الشبكات . ويمكن اشتقاق معظم نظريات توزيع الطاقة ومبادئ القيم القصوى في نظرية الشبكات منها. وقد نُشرت عام 1952 على يد برنارد تيلجين . ^{[ 1 ]} وتُقدّم نظرية تيلجين، في جوهرها، علاقةً بسيطةً بين المقادير التي تُحقّق قوانين كيرشوف في نظرية الدوائر الكهربائية .

تُطبَّق نظرية تيلجين على العديد من أنظمة الشبكات. وتتمثل الافتراضات الأساسية لهذه الأنظمة في حفظ تدفق الكميات الشاملة ( قانون كيرشوف للتيار ) وتفرد الجهود عند عقد الشبكة ( قانون كيرشوف للجهد ). تُوفِّر نظرية تيلجين أداةً مفيدةً لتحليل أنظمة الشبكات المعقدة ، بما في ذلك الدوائر الكهربائية، والشبكات البيولوجية والأيضية ، وشبكات نقل الأنابيب ، وشبكات العمليات الكيميائية .

لنفترض شبكة مجمعة عشوائية تحتوي على${\displaystyle b}$الفروع و${\displaystyle n}$العقد. في الشبكة الكهربائية ، تمثل الفروع مكونات ثنائية الأطراف، بينما تمثل العقد نقاط التوصيل. لنفترض أننا نُعيّن لكل فرع فرق جهد عشوائي.${\displaystyle W_{k}}$وتيار فرعي${\displaystyle F_{k}}$ل${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$ولنفترض أنها تُقاس بالنسبة إلى اتجاهات مرجعية مرتبطة مختارة بشكل عشوائي . إذا كانت فروق جهد الفروع${\displaystyle W_{1},W_{2},\dots ,W_{b}}$يجب استيفاء جميع القيود التي يفرضها قانون كيرشوف للجهد، وإذا كانت تيارات الفروع${\displaystyle F_{1},F_{2},\dots ,F_{b}}$استوفِ جميع القيود التي يفرضها قانون كيرشوف للتيارات، ثم

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=0.}$

تُعدّ نظرية تيلجين عامة للغاية؛ فهي صالحة لأي شبكة مُجمّعة تحتوي على أي عناصر، خطية أو غير خطية ، سلبية أو فعّالة ، متغيرة مع الزمن أو ثابتة مع الزمن . ويتسع نطاق عموميتها عندما${\displaystyle W_{k}}$و${\displaystyle F_{k}}$تُعتبر العمليات الخطية عملياتٍ على مجموعة فروق الجهد وعلى مجموعة تيارات الفروع (على التوالي)، لأن العمليات الخطية لا تؤثر على قانوني كيرشوف للجهد والتيار. على سبيل المثال، قد تكون العملية الخطية هي المتوسط ​​أو تحويل لابلاس . وبشكلٍ عام، تُسمى المؤثرات التي تحافظ على قانون كيرشوف للجهد بمؤثرات جهد كيرشوف، والمؤثرات التي تحافظ على قانون كيرشوف للتيار بمؤثرات تيار كيرشوف، والمؤثرات التي تحافظ على كليهما تُسمى ببساطة مؤثرات كيرشوف. ولا يشترط أن تكون هذه المؤثرات خطية حتى تصح نظرية تيلجين. ^{[ 2 ]}

يمكن أيضًا أخذ عينات من مجموعة التيارات في وقت مختلف عن مجموعة فروق الجهد، لأن قانوني كيرشوف للجهد والتيار صحيحان في جميع اللحظات الزمنية. وهناك امتداد آخر يتمثل في عندما تكون مجموعة فروق الجهد${\displaystyle W_{k}}$هي من شبكة واحدة ومجموعة التيارات${\displaystyle F_{k}}$إذا كان أحد الشبكتين من شبكة مختلفة تمامًا، فما دامت الشبكتان لهما نفس البنية (نفس مصفوفة الوقوع )، فإن نظرية تيلجين تظل صحيحة. ويؤدي هذا التوسع في نظرية تيلجين إلى العديد من النظريات المتعلقة بالشبكات ثنائية المنافذ. ^{[ 3 ]}

نحتاج إلى تقديم بعض تعريفات الشبكة الضرورية لتقديم برهان موجز.

مصفوفة الحدوث :${\displaystyle n\times b}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$تُسمى مصفوفة وقوع العقدة إلى الفرع لعناصر المصفوفة${\displaystyle a_{ij}}$كون

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{إذا كان التيار في الفرع }}j{\text{ يغادر العقدة }}i\\-1,&{\text{إذا كان التيار في الفرع }}j{\text{ يدخل العقدة }}i\\0,&{\text{فيما عدا ذلك}}\end{cases}}}$

عقدة مرجعية أو عقدة بيانات${\displaystyle P_{0}}$تم إدخالها لتمثيل البيئة وربطها بجميع العقد والمحطات الطرفية الديناميكية.${\displaystyle (n-1)\times b}$مصفوفة${\displaystyle \mathbf {A} }$، حيث يمثل الصف الذي يحتوي على العناصر${\displaystyle a_{0j}}$عقدة المرجع${\displaystyle P_{0}}$يتم استبعادها، وتسمى مصفوفة الحدوث المخفضة.

قوانين الحفظ (KCL) في شكل مصفوفة متجهة:

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {F} =\mathbf {0} }$

شرط التفرد للجهود (قانون كيرشوف للفولتية) في شكل مصفوفة متجهة:

${\displaystyle \mathbf {W} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {w} }$

أين${\displaystyle w_{k}}$تمثل هذه القيم الجهد المطلق عند العقد بالنسبة للعقدة المرجعية${\displaystyle P_{0}}$.

باستخدام قانون كيرشوف للجهد:

$\displaystyle \begin{aligned}\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(A^{T}w)^{T}} \mathbf {F} =\mathbf {(w^{T}A)} \mathbf {F} =\mathbf {w^{T}AF} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

لأن${\displaystyle \mathbf {AF} =\mathbf {0} }$بواسطة جامعة كينجز كوليدج لندن. لذا:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}W_{k}F_{k}=\mathbf {W^{T}} \mathbf {F} =0}$

تم بناء نماذج شبكية لمجموعة واسعة من الأنظمة الفيزيائية، وأثبتت فائدتها الكبيرة في تحليل سلوكها الديناميكي. يُعد مجال تطبيق نظرية الشبكات ونظرية تيلجين الكلاسيكي هو نظرية الدوائر الكهربائية، حيث تُستخدم بشكل أساسي في تصميم المرشحات في تطبيقات معالجة الإشارات .

يُعدّ تطبيق نظرية تيلجين في مجال العمليات الكيميائية والبيولوجية من التطبيقات الحديثة. إذ تُعمّم افتراضات الدوائر الكهربائية ( قوانين كيرشوف ) لتشمل الأنظمة الديناميكية التي تخضع لقوانين الديناميكا الحرارية غير العكوسية. ويمكن تحليل بنية وطوبولوجيا شبكات التفاعلات (آليات التفاعلات، والشبكات الأيضية ) باستخدام نظرية تيلجين.

يُستخدم مبدأ تيلجين أيضًا لتحديد استقرار وكفاءة أنظمة العمليات المعقدة، مثل المصانع الكيميائية أو أنظمة إنتاج النفط. ويمكن صياغة هذا المبدأ لأنظمة العمليات التي تستخدم نقاطًا طرفية، ومحطات، ووصلات تدفق، مع مراعاة مصادر ومصارف إنتاج أو تدمير كميات كبيرة.

صياغة لنظرية تيلجين لأنظمة العمليات:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{b}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

أين${\displaystyle p_{j}}$شروط الإنتاج،${\displaystyle t_{j}}$هي وصلات الطرفية، و${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$هي مصطلحات التخزين الديناميكية للمتغيرات الشاملة.

المراجع المضمنة

مراجع عامة

• مثال حلبة لنظرية تيليجن
• جي إف أوستر وسي إيه ديزور، نظرية تيلجين والمتباينات الديناميكية الحرارية
• الديناميكا الحرارية للشبكة