الشكل الأساسي الثالث

في الهندسة التفاضلية ، الشكل الأساسي الثالث هو مقياس سطحي يُرمز إليه بـ${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} }$على عكس الشكل الأساسي الثاني ، فهو مستقل عن العمودي على السطح .

ليكن S مؤثر الشكل، وليكن M سطحًا أملسًا. وليكن u و v عنصرين من الفضاء المماسي Tp ₍ M ₎ . عندئذٍ ، يُعطى الشكل _{الأساسي} الثالث كما يلي:

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (\mathbf {u} _{p},\mathbf {v} _{p})=S(\mathbf {u} _{p})\cdot S(\mathbf {v} _{p})\,.}$

يمكن التعبير عن الشكل الأساسي الثالث بالكامل بدلالة الشكل الأساسي الأول والشكل الأساسي الثاني . إذا اعتبرنا H متوسط ​​انحناء السطح و K انحناء غاوس للسطح، فإننا نحصل على

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} -2H\mathrm {I\!I} +K\mathrm {I} =0\,.}$

بما أن عامل الشكل ذاتي الترافق، فإنه بالنسبة لـ u و v ∈ T _p ( M ) ، نجد

${\displaystyle \mathrm {I\!I\!I} (u,v)=\langle Su,Sv\rangle =\langle u,S^{2}v\rangle =\langle S^{2}u,v\rangle \,.}$

• موتر متري
• الشكل الأساسي الأول
• الشكل الأساسي الثاني
• شكل واحد تكراري