الشكل الأساسي الثاني

قدّم غاوس الشكل الأساسي الثاني للسطح البارامتري S في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ( R³ ⁾ ودرسه . لنفترض أولًا أن السطح هو تمثيل بياني لدالة قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر ، z = f ( x , y ) ، وأن المستوى z = 0 مماس للسطح عند نقطة الأصل. عندئذٍ، تتلاشى الدالة f ومشتقاتها الجزئية بالنسبة إلى x و y عند النقطة (0,0). لذلك، يبدأ مفكوك تايلور للدالة f عند النقطة (0,0) بحدود تربيعية.

${\displaystyle z=L{\frac {x^{2}}{2}}+Mxy+N{\frac {y^{2}}{2}}+{\text{حدود الرتبة العليا}}\,,}$

والشكل الأساسي الثاني عند نقطة الأصل في الإحداثيات ( س ، ص ) هو الشكل التربيعي

${\displaystyle L\,dx^{2}+2M\,dx\,dy+N\,dy^{2}\,.}$

بالنسبة لنقطة ملساء P على S ، يمكن للمرء اختيار نظام الإحداثيات بحيث يكون المستوى z = 0 مماسًا لـ S عند P ، وتحديد الشكل الأساسي الثاني بنفس الطريقة.

يُعرَّف الشكل الأساسي الثاني للسطح البارامتري العام كما يلي. ليكن r = r ( u , v ) تمثيلًا بارامتريًا منتظمًا لسطح في R³ ^، حيث r دالة متجهة سلسة لمتغيرين. من الشائع الإشارة إلى المشتقات الجزئية لـ r بالنسبة إلى u و v بالرمزين rₑ و _rₑ . تعني انتظامية التمثيل البارامتري أن rₑ و rₑ مستقلان خطيًا لأي (u, v) في مجال _r ، وبالتالي _يمتدان على المستوى _المماس للسطح S _{عند كل نقطة. وبالمثل، فإن الضرب الاتجاهي rₑ × rₑ} هو متجه عمودي غير _صفري على السطح . وبذلك ، يُعرِّف التمثيل البارامتري حقلًا من متجهات الوحدة العمودية n .

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}}{|\mathbf {r} _{u}\times \mathbf {r} _{v}|}}\,.}$

عادةً ما يُكتب الشكل الأساسي الثاني على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =L\,du^{2}+2M\,du\,dv+N\,dv^{2}\,;}$

مصفوفة هذه الدالة في أساس { r _u , r _v } للمستوى المماسي هي

${\displaystyle {\begin{bmatrix}L&M\\M&N\end{bmatrix}}\,.}$

يتم إعطاء المعاملات L و M و N عند نقطة معينة في المستوى البارامتري uv بواسطة إسقاطات المشتقات الجزئية الثانية لـ r عند تلك النقطة على الخط العمودي على S ويمكن حسابها بمساعدة الضرب النقطي كما يلي:

${\displaystyle L=\mathbf {r} _{uu}\cdot \mathbf {n} \,,\quad M=\mathbf {r} _{uv}\cdot \mathbf {n} \,,\quad N=\mathbf {r} _{vv}\cdot \mathbf {n} \,.}$

بالنسبة لحقل المسافة الموقّع لمصفوفة هيسيان H ، يمكن حساب معاملات الشكل الأساسي الثاني على النحو التالي:

${\displaystyle L=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{u}\,,\quad M=-\mathbf {r} _{u}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,,\quad N=-\mathbf {r} _ {v}\cdot \mathbf {H} \cdot \mathbf {r} _{v}\,.}$

يتم تعريف الشكل الأساسي الثاني للسطح البارامتري العام S على النحو التالي.

ليكن r = r ( u₁ ^, u₂ ⁾ تمثيلًا منتظمًا لسطح في R³ ^، حيث r دالة متجهة سلسة لمتغيرين. من الشائع الإشارة إلى المشتقات الجزئية لـ r بالنسبة إلى uα بالرمز ^rα ، حيث _α = 1, 2. تعني انتظامية التمثيل أن r₁ و r₂ مستقلان خطيًا لأي ( _u₁ ^, _u₂ ⁾ في مجال r ، وبالتالي يمتدان على المستوى المماس للسطح S عند كل نقطة. وبالمثل، فإن حاصل الضرب الاتجاهي r₁ _× r₂ هو متجه عمودي غير صفري على السطح. وبذلك ، يُعرّف التمثيل حقلًا من متجهات الوحدة _{العمودية} n .

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}}{|\mathbf {r} _{1}\times \mathbf {r} _{2}|}}\,.}$

عادةً ما يُكتب الشكل الأساسي الثاني على النحو التالي:

${\displaystyle \mathrm {I\!I} =b_{\alpha \beta }\,du^{\alpha }\,du^{\beta }\,.}$

تستخدم المعادلة أعلاه اصطلاح جمع أينشتاين .

يتم إعطاء المعاملات b _αβ عند نقطة معينة في المستوى البارامتري u ¹ u ² بواسطة إسقاطات المشتقات الجزئية الثانية لـ r عند تلك النقطة على الخط العمودي على S ويمكن حسابها بدلالة المتجه العمودي n على النحو التالي:

${\displaystyle b_{\alpha \beta }=r_{,\alpha \beta }^{\ \ \,\gamma }n_{\gamma }\,.}$

يمكن تعميم الشكل الأساسي الثاني إلى أي بُعد مشترك . في هذه الحالة، يكون شكلاً تربيعياً على الفضاء المماسي بقيم في الحزمة العمودية ، ويمكن تعريفه بواسطة

${\displaystyle \mathrm {I\!I} (v,w)=(\nabla _{v}w)^{\bot }\,,}$

أين${\displaystyle (\nabla _{v}w)^{\bot }}$يشير إلى الإسقاط المتعامد للمشتقة المتغيرة${\displaystyle \nabla _{v}w}$إلى الحزمة العادية.

في الفضاء الإقليدي ، يمكن وصف موتر الانحناء لمتشعب فرعي بالصيغة التالية:

${\displaystyle \langle R(u,v)w,z\rangle =\mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z)\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)-\mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w)\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z).}$

يُطلق على هذا اسم معادلة جاوس ، حيث يمكن اعتبارها تعميمًا لنظرية جاوس إيغريغيوم .

بالنسبة للمشعبات الريمانية العامة، يجب إضافة انحناء الفضاء المحيط؛ إذا كان N مشعبًا مضمنًا في مشعب ريماني ( M ، g ) ، فيمكن التعبير عن موتر الانحناء R_{_N} لـ N مع المقياس المستحث باستخدام الشكل الأساسي _الثاني و RM ، موتر الانحناء لـ M :

${\displaystyle \langle R_{N}(u,v)w,z\rangle =\langle R_{M}(u,v)w,z\rangle +\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,z),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,w)\rangle -\langle \mathrm {I} \!\mathrm {I} (u,w),\mathrm {I} \!\mathrm {I} (v,z)\rangle \,.}$