التحويل بين التوزيعات في تحليل الزمن والتردد

في مجال تحليل الزمن والتردد ، تُستخدم العديد من صيغ الإشارة لتمثيل الإشارة في مجال مشترك للزمن والتردد. ^{[ 1 ]}

توجد عدة طرق وتحويلات تُعرف باسم "توزيعات الزمن-التردد" (TFDs)، وقد رتب ليون كوهين ترابطاتها. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]} تُشكل الطرق الأكثر فائدة وشيوعًا فئة تُعرف باسم " توزيعات الزمن-التردد التربيعية" أو الثنائية الخطية . يُعد توزيع ويغنر-فيل (WVD) عنصرًا أساسيًا في هذه الفئة ، حيث يمكن كتابة جميع توزيعات الزمن-التردد الأخرى كصيغ مُنعّمة أو مُلتفة من توزيع ويغنر-فيل. ومن العناصر الشائعة الأخرى في هذه الفئة المخطط الطيفي ، وهو مربع قيمة تحويل فورييه قصير المدى (STFT). يتميز المخطط الطيفي بكونه موجبًا وسهل التفسير، ولكنه يعاني أيضًا من عيوب، مثل كونه غير قابل للعكس، مما يعني أنه بمجرد حساب المخطط الطيفي لإشارة ما، لا يمكن استخلاص الإشارة الأصلية منه. تُقدَّم النظرية والمنهجية لتحديد دالة التوزيع الزمني التي تحقق خصائص مرغوبة معينة في "نظرية دوال التوزيع الزمني التربيعية". ^{[ 6 ]}

يهدف هذا المقال إلى توضيح بعض عناصر عملية تحويل توزيع إلى آخر. وتستند طريقة التحويل إلى صياغة فضاء الطور في ميكانيكا الكم ، على الرغم من أن موضوع هذا المقال هو " معالجة الإشارات ". مع ملاحظة أنه يمكن استعادة إشارة من توزيع معين في ظل شروط محددة، بمعرفة _توزيع زمني-ترددي معين ρ₁ ( t , f ) يمثل الإشارة في مجال زمني-ترددي مشترك، يمكن الحصول على _توزيع زمني-ترددي آخر مختلف ρ₂ ( t , f ) لنفس الإشارة لحساب أي توزيع آخر، وذلك عن طريق التنعيم أو الترشيح البسيط؛ بعض هذه العلاقات موضحة أدناه. ويمكن الاطلاع على معالجة شاملة للموضوع في كتاب كوهين.

إذا استخدمنا المتغير ω = 2πf ، فباستخدام الرموز المستخدمة في مجال ميكانيكا الكم، يمكننا أن نُبين أن تمثيل الزمن-التردد ، مثل دالة توزيع ويغنر (WDF) وغيرها من توزيعات الزمن-التردد الثنائية الخطية ، يمكن التعبير عنه على النحو التالي:

$$// +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta ,}$$

1

أين${\displaystyle \phi (\theta ,\tau )}$هي دالة ثنائية الأبعاد تسمى النواة، والتي تحدد التوزيع وخصائصه (للحصول على مصطلحات معالجة الإشارات ومعالجة هذا السؤال، يُرجى الرجوع إلى المراجع المذكورة بالفعل في المقدمة).

نواة دالة توزيع ويغنر (WDF) تساوي واحدًا. مع ذلك، لا ينبغي إيلاء أهمية خاصة لذلك، إذ من الممكن كتابة الصيغة العامة بحيث تكون نواة أي توزيع تساوي واحدًا، وفي هذه الحالة ستكون نواة دالة توزيع ويغنر (WDF) شيئًا آخر.

الدالة المميزة هي تحويل فورييه المزدوج للتوزيع. من خلال فحص المعادلة ( 1 )، يمكننا استنتاج أن

$${\displaystyle C(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint M(\theta ,\tau )e^{-j\theta tj\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$$

2

أين

$$// (\theta ,\tau )A(\theta ,\tau )\\\end{alignat}}}$$

3

وأين${\displaystyle A(\theta ,\tau )}$هي دالة الغموض المتناظرة . ويمكن تسمية الدالة المميزة بشكل مناسب بدالة الغموض المعممة.

للحصول على تلك العلاقة، افترض وجود توزيعين،${\displaystyle C_{1}}$و${\displaystyle C_{2}}$، مع النوى المقابلة،${\displaystyle \phi _{1}}$و${\displaystyle \phi _{2}}$. وظائفها المميزة هي

$$//$$

4

$${\displaystyle M_{2}(\phi ,\tau )=\phi _{2}(\theta ,\tau )\int s^{*}\left(u-{\tfrac {\tau }{2}}\right)s\left(u+{\tfrac {\tau }{2}}\right)e^{j\theta u}\,du}$$

5

اقسم إحدى المعادلتين على الأخرى لتحصل على

$${\displaystyle M_{1}(\phi ,\tau )={\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\phi ,\tau )}$$

6

هذه علاقة مهمة لأنها تربط الدوال المميزة. ولكي تكون عملية القسمة صحيحة، لا يمكن أن تكون دالة النواة صفراً في منطقة محدودة.

للحصول على العلاقة بين التوزيعات، قم بإجراء تحويل فورييه المزدوج لكلا الجانبين واستخدم المعادلة ( 2 ) .

$${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}M_{2}(\theta ,\tau )e^{-j\theta t-j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$$

7

الآن عبر${\displaystyle M_{2}}$من ناحية${\displaystyle C_{2}}$للحصول على

$${\displaystyle C_{1}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiiint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}C_{2}(t,\omega ')e^{j\theta (t'-t)+j\tau (\omega '-\omega )}\,d\theta \,d\tau \,dt'\,d\omega '}$$

8

يمكن كتابة هذه العلاقة على النحو التالي:

$${\displaystyle C_{1}(t,\omega )=\iint g_{12}(t'-t,\omega '-\omega )C_{2}(t,\omega ')\,dt'\,d\omega '}$$

9

مع

$${\displaystyle g_{12}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {\phi _{1}(\theta ,\tau )}{\phi _{2}(\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau }$$

10

ننتقل الآن إلى الحالة التي يتم فيها التحويل من تمثيل عشوائي إلى مخطط الطيف. في المعادلة ( 9 )، كلاهما${\displaystyle C_{1}}$أن يكون مخطط الطيف و${\displaystyle C_{2}}$يتم تحديد القيم التي يمكن اعتبارها عشوائية. بالإضافة إلى ذلك، ولتبسيط الترميز،${\displaystyle \phi _{SP}=\phi _{1},\phi =\phi _{2}}$، و${\displaystyle g_{SP}=g_{12}}$يتم تحديدها وكتابتها على النحو التالي:

$${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint g_{SP}\left(t'-t,\omega '-\omega \right)C\left(t,\omega '\right)\,dt'\,d\omega '}$$

11

النواة الخاصة بالمخطط الطيفي مع النافذة،${\displaystyle h(t)}$، يكون${\displaystyle A_{h}(-\theta ,\tau )}$وبالتالي

$${\displaystyle {\begin{aligned}g_{SP}(t,\omega )&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {A_{h}(-\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )}}e^{j\theta t+j\tau \omega }\,d\theta \,d\tau \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint {\dfrac {1}{\phi (\theta ,\tau )}}h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})e^{j\theta t+j\tau \omega -j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\&={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}}){\dfrac {\phi (\theta ,\tau )}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta \\\end{aligned}}}$$

إذا اقتصرنا على النظر في النوى التي${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )=1}$ثم يحفظ $${\displaystyle g_{SP}(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iiint h^{*}(u-{\tfrac {\tau }{2}})h(u+{\tfrac {\tau }{2}})\phi (\theta ,\tau )e^{-j\theta t+j\tau \omega +j\theta u}\,du\,d\tau \,d\theta =C_{h}(t,-\omega )}$$ وبالتالي $${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iint C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t'-t,\omega '-\omega )\,dt'\,d\omega '}$$

وقد أثبت ذلك جانسن. ^{[ 4 ]} عندما${\displaystyle \phi (-\theta ,\tau )\phi (\theta ,\tau )}$إذا لم يكن مساوياً للواحد، فإذن $${\displaystyle C_{SP}(t,\omega )=\iiiint G(t'',\omega '')C_{s}(t',\omega ')C_{h}(t''+t'-t,-\omega ''+\omega -\omega ')\,dt'\,dt''\,d\omega '\,d\omega ''}$$ أين $${\displaystyle G(t,\omega )={\dfrac {1}{4\pi ^{2}}}\iint {\dfrac {e^{-j\theta t-j\tau \omega }}{\phi (\theta ,\tau )\phi (-\theta ,\tau )}}\,d\theta \,d\tau }$$