دالة توزيع ويغنر

تُستخدم دالة توزيع ويغنر (WDF) في معالجة الإشارات كتحويل في تحليل التردد الزمني .

تم اقتراح دالة ويغنر لأول مرة في الفيزياء لتفسير التصحيحات الكمومية للميكانيكا الإحصائية الكلاسيكية في عام 1932 بواسطة يوجين ويغنر ، وهي ذات أهمية في ميكانيكا الكم في فضاء الطور (انظر، على سبيل المقارنة: توزيع ويغنر شبه الاحتمالي ، والذي يسمى أيضًا دالة ويغنر أو توزيع ويغنر-فيل ).

نظراً للبنية الجبرية المشتركة بين أزواج الموضع والزخم وأزواج الزمن والتردد المترافقة ، فإن دالة توزيع ويغنر تُستخدم أيضاً في معالجة الإشارات، كتحويل في تحليل الزمن والتردد، وهو موضوع هذه المقالة. بالمقارنة مع تحويل فورييه قصير المدى ، مثل تحويل غابور ، توفر دالة توزيع ويغنر أعلى دقة زمنية مقابل التردد ممكنة رياضياً ضمن حدود مبدأ عدم اليقين. أما عيبها فيكمن في إدخال حدود تقاطع كبيرة بين كل زوج من مكونات الإشارة وبين الترددات الموجبة والسالبة، مما يجعل الصيغة الأصلية للدالة غير ملائمة لمعظم تطبيقات التحليل. وقد اقتُرحت تعديلات لاحقة تحافظ على دقة دالة توزيع ويغنر مع تقليل حدود التقاطع بشكل كبير.

توجد عدة تعريفات مختلفة لدالة توزيع ويغنر. التعريف الوارد هنا خاص بتحليل التردد الزمني. بالنظر إلى السلسلة الزمنية${\displaystyle x[t]}$، ودالة التغاير الذاتي غير المستقرة الخاصة بها معطاة بواسطة

${\displaystyle C_{x}(t_{1},t_{2})=\left\langle \left(x[t_{1}]-\mu [t_{1}]\right)\left(x[t_{2}]-\mu [t_{2}]\right)^{*}\right\rangle ,}$

أين${\displaystyle \langle \cdots \rangle }$يشير إلى المتوسط ​​لجميع النتائج الممكنة للعملية و${\displaystyle \mu (t)}$هو المتوسط، الذي قد يكون أو لا يكون دالة للزمن. دالة ويغنر${\displaystyle W_{x}(t,f)}$ثم يتم التعبير عن دالة الارتباط الذاتي بدلالة متوسط ​​الزمن${\displaystyle t=(t_{1}+t_{2})/2}$والتأخر الزمني${\displaystyle \tau =t_{1}-t_{2}}$ثم تحويل التأخير باستخدام تحويل فورييه.

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }C_{x}\left(t+{\frac {\tau }{2}},t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

لذا، بالنسبة لسلسلة زمنية واحدة (متوسطها صفر) ، تُعطى دالة ويغنر ببساطة بواسطة

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\,x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)\,e^{-2\pi i\tau f}\,d\tau .}$

يكمن الدافع وراء دالة ويغنر في أنها تختزل إلى دالة الكثافة الطيفية في جميع الأوقات${\displaystyle t}$بالنسبة للعمليات المستقرة، إلا أنها مكافئة تمامًا لدالة الارتباط الذاتي غير المستقرة. لذلك، تخبرنا دالة ويغنر (تقريبًا) كيف تتغير الكثافة الطيفية مع الزمن.

فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح كيفية استخدام WDF في تحليل التردد الزمني.

دالة توزيع ويغنر ليست تحويلاً خطياً. يظهر حدٌّ مختلط ("نبضات زمنية") عندما يحتوي إشارة الإدخال على أكثر من مُكوِّن، وهو مُشابه في الزمن للنبضات الترددية . ^{[ 1 ]} في توزيع ويغنر شبه الاحتمالي في الفيزياء القديمة ، لهذا الحدّ تبعات فيزيائية مهمة ومفيدة، ضرورية للحصول على قيم متوقعة دقيقة. على النقيض من ذلك، لا يمتلك تحويل فورييه قصير المدى هذه الخاصية. تعكس الخصائص السلبية لدالة توزيع ويغنر حد غابور للإشارة الكلاسيكية، وهي غير مرتبطة فيزيائياً بأي بنية كمومية كامنة محتملة.

فيما يلي بعض الأمثلة التي توضح خاصية الحدود المتقاطعة لدالة توزيع ويغنر.

• ${\displaystyle x(t)={\begin{cases}\cos(2\pi t)&t\leq -2\\\cos(4\pi t)&-2<t\leq 2\\\cos(3\pi t)&t>2\end{cases}}}$
• ${\displaystyle x(t)=e^{it^{3}}}$

من أجل تقليل صعوبة الحدود المتقاطعة، تم اقتراح العديد من الأساليب في الأدبيات، ^{[ 2 ] [ 3 ]} بعضها يؤدي إلى تحويلات جديدة مثل دالة توزيع ويغنر المعدلة ، وتحويل غابور-ويغنر ، ودالة توزيع تشوي-ويليامز ، وتوزيع كوهين الفئوي .

تتمتع دالة توزيع ويغنر بالعديد من الخصائص الواضحة المدرجة في الجدول التالي.

خاصية الإسقاط

${\displaystyle {\begin{aligned}|x(t)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\\|X(f)|^{2}&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

خصائص الطاقة

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,f)\,df\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|x(t)|^{2}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }|X(f)|^{2}\,df}$

ممتلكات الاسترداد

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left({\frac {t}{2}},f\right)e^{i2\pi ft}\,df&=x(t)x^{*}(0)\\\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}\left(t,{\frac {f}{2}}\right)e^{i2\pi ft}\,dt&=X(f)X^{*}(0)\end{aligned}}}$

متوسط ​​تكرار الحالة ومتوسط ​​وقت الحالة

${\displaystyle {\begin{aligned}X(f)&=|X(f)|e^{i2\pi \psi (f)},\quad x(t)=|x(t)|e^{i2\pi \phi (t)},\\{\text{if }}\phi '(t)&=|x(t)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }fW_{x}(t,f)\,df\\{\text{ and }}-\psi '(f)&=|X(f)|^{-2}\int _{-\infty }^{\infty }tW_{x}(t,f)\,dt\end{aligned}}}$

خصائص العزوم

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }t^{n}|x(t)|^{2}\,dt\\\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}W_{x}(t,f)\,dt\,df&=\int _{-\infty }^{\infty }f^{n}|X(f)|^{2}\,df\end{aligned}}}$

العقارات

${\displaystyle W_{x}^{*}(t,f)=W_{x}(t,f)}$

خصائص المنطقة

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t>t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t>t_{0}\\{\text{If }}x(t)&=0{\text{ for }}t<t_{0}{\text{ then }}W_{x}(t,f)=0{\text{ for }}t<t_{0}\end{aligned}}}$

نظرية الضرب

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t)h(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(t,\rho )W_{h}(t,f-\rho )\,d\rho \end{aligned}}}$

نظرية الالتفاف

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t-\tau )h(\tau )\,d\tau \\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,f)W_{h}(t-\rho ,f)\,d\rho \end{aligned}}}$

نظرية الارتباط

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=\int _{-\infty }^{\infty }x(t+\tau )h^{*}(\tau )\,d\tau {\text{ then }}\\W_{y}(t,\omega )&=\int _{-\infty }^{\infty }W_{x}(\rho ,\omega )W_{h}(-t+\rho ,\omega )\,d\rho \end{aligned}}}$

التغاير المتغير مع الزمن

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=x(t-t_{0})\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t-t_{0},f)\end{aligned}}}$

تباين التعديل

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&=e^{i2\pi f_{0}t}x(t)\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(t,f-f_{0})\end{aligned}}}$

تباين المقياس

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{If }}y(t)&={\sqrt {a}}x(at){\text{ for some }}a>0{\text{ then }}\\{\text{then }}W_{y}(t,f)&=W_{x}(at,{\frac {f}{a}})\end{aligned}}}$

عندما لا تكون الإشارة محدودة زمنيًا، يصعب تطبيق دالة توزيع ويغنر الخاصة بها. لذا، نضيف دالة جديدة (قناعًا) إلى جزء التكامل، بحيث لا نحتاج إلا إلى تطبيق جزء من الدالة الأصلية بدلًا من إجراء التكامل على كامل النطاق من سالب ما لا نهاية إلى موجب ما لا نهاية.

الوظيفة الأصلية:

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

دالة مع قناع:

${\displaystyle W_{x}(t,f)=\int _{-\infty }^{\infty }w(\tau )x\left(t+{\frac {\tau }{2}}\right)\cdot x^{*}\left(t-{\frac {\tau }{2}}\right)e^{-j2\pi \tau f}\cdot d\tau }$

أين${\displaystyle w(\tau )}$حقيقي ومحدود المدة

• تمثيل التردد الزمني
• تحويل فورييه قصير المدى
• مخطط الطيف
• تحويل غابور
• الارتباط الذاتي
• تحويل غابور-ويغنر
• دالة توزيع ويغنر المعدلة
• نظرية التكافؤ البصري
• توزيع ويغنر-فيل متعدد الحدود
• دالة توزيع فئات كوهين
• توزيع ويغنر شبه الاحتمالي
• التحويل بين التوزيعات في تحليل التردد الزمني
• التوزيع الزمني الترددي الثنائي الخطي

• ويغنر، إي. (1932). "حول التصحيح الكمي للتوازن الديناميكي الحراري" (ملف PDF) . مجلة Physical Review . 40 (5): 749-759 . Bibcode : 1932PhRv...40..749W . doi : 10.1103/PhysRev.40.749 . hdl : 10338.dmlcz/141466 .
• جي فيل ، 1948. "Théorie et Applications de la Notion de Signal Analytique"، الكابلات والإرسال ، 2 ، 61–74.
• TACM Classen و WFG Mecklenbrauker، 1980. "توزيع ويغنر - أداة لتحليل الإشارات الزمنية والترددية؛ الجزء الأول"، مجلة فيليبس للأبحاث، المجلد 35، الصفحات  217-250 .
• ل. كوهين (1989): وقائع معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات، 77 صفحة،  941-981، توزيعات الزمن والتردد - مراجعة
• ل. كوهين، تحليل الزمن والتردد ، برنتيس هول، نيويورك، 1995. ISBN 978-0135945322
• S. Qian and D. Chen, Joint Time-Frequency Analysis: Methods and Applications , Chap. 5 , Prentice Hall, NJ, 1996.
• ب. بوشاش، "ملاحظة حول استخدام توزيع ويغنر لتحليل إشارات التردد الزمني"، مجلة IEEE للمعاملات في الصوتيات والكلام ومعالجة الإشارات ، المجلد 36 ، العدد 9، الصفحات  1518-1521، سبتمبر 1988. doi : 10.1109/29.90380 . ب. بوشاش (محرر)، تحليل ومعالجة إشارات التردد الزمني - مرجع شامل ، دار نشر إلسيفير للعلوم، أكسفورد، 2003، ISBN 0-08-044335-4.
• F. Hlawatsch, GF Boudreaux-Bartels : "التمثيل الخطي والتربيعي للإشارة الزمنية الترددية"، مجلة معالجة الإشارات IEEE، ص 21-67  ، أبريل 1992.
• RL Allen و DW Mills، تحليل الإشارة: الوقت، التردد، المقياس، والبنية ، Wiley- Interscience، نيوجيرسي، 2004.
• جيان جيون دينغ، تحليل التردد الزمني وتحويل المويجات، قسم الهندسة الكهربائية، جامعة تايوان الوطنية (NTU)، تايبيه، تايوان، 2015.
• كاكوفينجيتس، د.، وستويرناجل، أ. (2017). "تيار فضاء الطور الكمومي لويغنر في أنظمة ثنائية الحالة ضعيفة الإثارة وغير توافقية" المجلة الأوروبية للفيزياء بلس ، 14 يوليو 2017

• برنامج Sonogram Visible Speech مرخص بموجب رخصة GPL كبرنامج مجاني لاستخراج البيانات المرئية من توزيعة Wigner.