رقم براندتل المضطرب

يُعرَّف عدد برانتل المضطرب ( Pr t ₎ بأنه نسبة بين معامل انتشار دوامات الزخم ومعامل انتشار دوامات انتقال الحرارة، وهو مصطلح لا بُعدي يُستخدم في حل مسائل انتقال الحرارة في تدفقات الطبقة الحدية المضطربة. يُعدّ نموذج رينولدز أبسط نموذج لحساب Pr _t ، حيث يُعطي قيمة تساوي 1 لعدد برانتل المضطرب. وتشير البيانات التجريبية إلى أن متوسط ​​قيمة Pr _t هو 0.85، ولكنه يتراوح بين 0.7 و0.9 تبعًا لعدد برانتل الخاص بالسائل المدروس.

يُعدّ إدخال معامل الانتشار الدوامي، ومن ثمّ رقم برانتل المضطرب، وسيلةً لتحديد علاقة بسيطة بين إجهاد القص الإضافي وتدفق الحرارة الموجودين في التدفق المضطرب. إذا كان معامل الانتشار الدوامي للزخم والحرارة يساويان صفرًا (أي لا يوجد إجهاد قص اضطرابي واضح ولا تدفق حرارة)، فإن معادلات التدفق المضطرب تختزل إلى معادلات التدفق الصفائحي. ويمكننا تعريف معامل الانتشار الدوامي للزخم.${\displaystyle \varepsilon _{M}}$ومعامل انتشار دوامات انتقال الحرارة${\displaystyle \varepsilon _{H}}$مثل:

${\displaystyle -{\overline {u'v'}}=\varepsilon _{M}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}}$

و

${\displaystyle -{\overline {v'T'}}=\varepsilon _{H}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}}$

أين${\displaystyle -\rho {\overline {u'v'}}}$هو إجهاد رينولدز و${\displaystyle -\rho c_{p}{\overline {v'T'}}}$يمثل التدفق الحراري المضطرب. ويُعرَّف عدد برانتل المضطرب على النحو التالي:${\displaystyle \mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }={\frac {\varepsilon _{M}}{\varepsilon _{H}}}.}$

لقد ثبت أن عدد برانتل المضطرب لا يساوي الواحد عمومًا (على سبيل المثال، مالهوترا وكانغ، 1984؛ كايز، 1994؛ ماكليغوت وتايلور، 1996؛ وتشرشل، 2002). وهو دالة قوية لعدد برانتل الجزيئي، من بين معايير أخرى، ولا ينطبق تشبيه رينولدز عندما يختلف عدد برانتل الجزيئي اختلافًا كبيرًا عن الواحد، كما حدده مالهوترا وكانغ؛ ^{[ 1 ]} وفصّله ماكليغوت وتايلور ^{[ 2 ]} وتشرشل ^{[ 3 ].}

معادلة طبقة الزخم الحدية المضطربة هي:

$${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {d{\bar {P}}}{dx}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\nu +\varepsilon _{M}){\frac {\partial {\bar {u}}}{\partial y}}\right]}$$

معادلة الطبقة الحدية الحرارية المضطربة هي:

$${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[(\alpha +\varepsilon _{H}){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right]}$$

بإدخال تعريف رقم برانتل المضطرب في المعادلة الحرارية، نحصل على:

$${\displaystyle {\bar {u}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial x}}+{\bar {v}}{\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left[\left(\alpha +{\frac {\varepsilon _{M}}{\mathrm {Pr} _{\mathrm {t} }}}\right){\frac {\partial {\bar {T}}}{\partial y}}\right].}$$

في الحالة الخاصة التي يكون فيها كل من عدد برانتل وعدد برانتل المضطرب مساويًا للواحد (كما في تشبيه رينولدز )، يكون كل من توزيع السرعة وتوزيع درجة الحرارة متطابقين. وهذا يُبسط حل مسألة انتقال الحرارة بشكل كبير. أما إذا كان عدد برانتل وعدد برانتل المضطرب مختلفين عن الواحد، فيمكن إيجاد حل بمعرفة عدد برانتل المضطرب، مما يسمح بحل معادلات الزخم والحرارة. وغالبًا ما تُستخدم الآلات الحاسبة التفاعلية لتحديد هذه النسب غير البُعدية لمختلف السوائل وظروف التدفق. ^{[ 4 ]}

في الحالة العامة للاضطراب ثلاثي الأبعاد، لا يكون مفهوم لزوجة الدوامة وانتشارية الدوامة صالحًا. وبالتالي، فإن رقم برانتل المضطرب لا معنى له. ^{[ 5 ]}

• كايز، ويليام؛ كروفورد، م.؛ ويغاند، ب. (2005). انتقال الحرارة والكتلة بالحمل الحراري، الطبعة الرابعة . ماكجرو هيل. ISBN 978-0-07-246876-2.