موتر ثنائي النقاط

الموترات ثنائية النقاط ، أو المتجهات المزدوجة ، هي كميات شبيهة بالموترات تتحول كمتجهات إقليدية بالنسبة لكل من مؤشراتها. تُستخدم في ميكانيكا الأوساط المتصلة للتحويل بين إحداثيات مرجعية ("المادة") وإحداثيات حالية ("التكوين"). ^{[ 1 ]} ومن الأمثلة عليها تدرج التشوه وموتر إجهاد بيولا-كيرشوف الأول .

كما هو الحال في العديد من تطبيقات الموترات، يُستخدم ترميز جمع أينشتاين بكثرة. ولتوضيح هذا الترميز، تُستخدم الأحرف الكبيرة عادةً للإشارة إلى إحداثيات المرجع، والأحرف الصغيرة للإحداثيات الحالية. وبالتالي، سيحتوي الموتر ذو النقطتين على حرف كبير وحرف صغير في الفهرس؛ على سبيل المثال، A _jM .

يمكن النظر إلى الموتر التقليدي على أنه تحويل للمتجهات في نظام إحداثيات معين إلى متجهات أخرى في نفس نظام الإحداثيات. في المقابل، يحوّل الموتر ثنائي النقاط المتجهات من نظام إحداثيات إلى آخر. أي أن الموتر التقليدي،

${\displaystyle \mathbf {Q} =Q_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {e} _{q})}$،

يقوم بتحويل المتجه u إلى متجه v بشكل فعال بحيث

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {Q} \mathbf {u} }$

حيث يتم قياس v و u في نفس الفضاء ويتم تمثيل إحداثياتهما بالنسبة لنفس الأساس (يرمز له بـ " e ").

في المقابل، يُكتب الموتر ذو النقطتين، G ، على النحو التالي:

${\displaystyle \mathbf {G} =G_{pq}(\mathbf {e} _{p}\otimes \mathbf {E} _{q})}$

وسيحوّل متجهًا، U ، في النظام E إلى متجه، v ، في النظام e كما يلي:

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {GU} }$.

لنفترض أن لدينا نظامي إحداثيات، أحدهما مُعَلَّم والآخر غير مُعَلَّم، وأن مركبات المتجهات تتحول بينهما كما يلي:

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}v_{q}}$.

بالنسبة للموترات، لنفترض أن لدينا

${\displaystyle T_{pq}(e_{p}\otimes e_{q})}$.

موتر في النظام${\displaystyle e_{i}}$في نظام آخر، لنفترض أن الموتر نفسه يُعطى بواسطة

${\displaystyle T'_{pq}(e'_{p}\otimes e'_{q})}$.

يمكننا القول

${\displaystyle T'_{ij}=Q_{ip}Q_{jr}T_{pr}}$.

ثم

${\displaystyle T'=QTQ^{\mathsf {T}}}$

هو تحويل الموتر الروتيني. لكن الموتر ذو النقطتين بين هذه الأنظمة هو مجرد

${\displaystyle F_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$

والذي يتحول إلى

${\displaystyle F'=QF}$.

أبسط مثال على موتر ثنائي النقاط هو موتر التحويل، وهو Q في المناقشة السابقة. لاحظ أن

${\displaystyle v'_{p}=Q_{pq}u_{q}}$.

والآن، سأكتبها كاملةً،

${\displaystyle u=u_{q}e_{q}}$

وأيضًا

${\displaystyle v=v'_{p}e'_{p}}$.

وهذا يتطلب أن يكون Q على الشكل التالي

${\displaystyle Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q})}$.

بحسب تعريف الضرب الموتري ،

${\displaystyle (e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}=(e_{q}.e_{q})e'_{p}=3e'_{p}}$

1

لذا يمكننا الكتابة

${\displaystyle u_{p}e_{p}=(Q_{pq}(e'_{p}\otimes e_{q}))(v_{q}e_{q})}$

هكذا

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}(e'_{p}\otimes e_{q})e_{q}}$

وبدمج ( 1 )، لدينا

${\displaystyle u_{p}e_{p}=Q_{pq}v_{q}e_{p}}$.

• موتر مختلط
• التغاير والتغاير العكسي للمتجهات

• الأسس الرياضية للمرونة، بقلم جيرولد إي. مارسدن وتوماس جيه آر هيوز
• موترات ثنائية النقاط في iMechanica