التحول النشط والتحول السلبي

📅 آخر تحديث: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٥ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 51 صور
الموسوعة الحرة
الدوران السلبي مقابل الدوران النشط
في التحويل السلبي (يسار)، تبقى النقطة P ثابتة، بينما يدور نظام الإحداثيات عكس اتجاه عقارب الساعة بزاوية θ حول نقطة الأصل. أما في التحويل الفعال (يمين)، فتتحول النقطة P إلى النقطة P ′ عن طريق الدوران مع اتجاه عقارب الساعة بزاوية θ حول نقطة الأصل لنظام إحداثيات ثابت. وتكون إحداثيات P ′ بعد التحويل الفعال بالنسبة لنظام الإحداثيات الأصلي هي نفسها إحداثيات P بالنسبة لنظام الإحداثيات بعد الدوران.

يمكن تصنيف التحويلات الهندسية إلى نوعين: التحويلات الفعّالة أو التحويلات البديلة، التي تُغيّر الموضع الفيزيائي لمجموعة من النقاط بالنسبة إلى إطار مرجعي أو نظام إحداثيات ثابت ( البديلة تعني "التواجد في مكان آخر في نفس الوقت")؛ والتحويلات السلبية أو التحويلات البديلة ، التي تُبقي النقاط ثابتة ولكنها تُغيّر الإطار المرجعي أو نظام الإحداثيات الذي تُوصف بالنسبة إليه ( البديلة تعني "العمل تحت اسم مختلف"). [ 1 ] [ 2 ]

على سبيل المثال، تُعدّ التحويلات النشطة مفيدة لوصف المواضع المتتالية لجسم صلب . من ناحية أخرى، قد تكون التحويلات السلبية مفيدة في تحليل حركة الإنسان لمراقبة حركة عظم الساق بالنسبة لعظم الفخذ ، أي حركته بالنسبة لنظام إحداثيات ( محلي ) يتحرك مع عظم الفخذ، بدلاً من نظام إحداثيات ( عالمي ) ثابت على الأرض. [ 2 ]

في الفضاء الإقليدي ثلاثي الأبعاد ، يمكن تمثيل أي تحويل صلب مناسب ، سواء كان نشطًا أو سلبيًا، على أنه إزاحة لولبية ، وهو عبارة عن تركيب انتقال على طول محور ودوران حول ذلك المحور.

تم تقديم مصطلحي التحويل النشط والتحويل السلبي لأول مرة في عام 1957 من قبل فالنتين بارغمان لوصف تحويلات لورنتز في النسبية الخاصة . [ 3 ]

مثال

يُعتبر الدوران تحويلاً فعالاً ( ذريعة ) أو تحويلاً سلبياً ( بديلاً )
الترجمة والدوران كتحويلات سلبية ( بديلة ) أو فعالة ( ذريعة )

على سبيل المثال، لنفترض المتجهv=(v1،v2)∈R2{\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})\in \mathbb {R} ^{2}}ليكن متجهًا في المستوى. دوران المتجه بزاوية θ عكس اتجاه عقارب الساعة يُعطى بواسطة مصفوفة الدوران : R=(كوس⁡θ-الخطيئة⁡θالخطيئة⁡θكوس⁡θ)،{\displaystyle R={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}},} والتي يمكن اعتبارها إما تحويلًا نشطًا أو تحويلًا سلبيًا (حيث سيتم عكس المصفوفة أعلاه )، كما هو موضح أدناه.

التحولات المكانية في الفضاء الإقليدي R 3

بشكل عام، التحول المكانيتي:R3→R3{\displaystyle T\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}}قد يتألف من إزاحة وتحويل خطي. فيما يلي، سيتم حذف الإزاحة، وسيتم تمثيل التحويل الخطي بمصفوفة 3×3تي{\displaystyle T}.

التحول النشط

كعملية تحويل فعّالة،تي{\displaystyle T}يحوّل المتجه الأوليv=(vx،vy،vz){\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}إلى متجه جديدv′=(vx′،vy′،vz′)=تيv=تي(vx،vy،vz){\displaystyle \mathbf {v} '=(v'_{x},v'_{y},v'_{z})=T\mathbf {v} =T(v_{x},v_{y},v_{z})}.

إذا نظر المرء{هـx′=تي(1،0،0)، هـy′=تي(0،1،0)، هـz′=تي(0،0،1)}{\displaystyle \{\mathbf {e} '_{x}=T(1,0,0),\ \mathbf {e} '_{y}=T(0,1,0),\ \mathbf {e} '_{z}=T(0,0,1)\}}كأساس جديد ، ثم إحداثيات المتجه الجديدv′=vxهـx′+vyهـy′+vzهـz′{\displaystyle \mathbf {v} '=v_{x}\mathbf {e} '_{x}+v_{y}\mathbf {e} '_{y}+v_{z}\mathbf {e} '_{z}}في الأساس الجديد، تكون هي نفسها فيv=vxهـx+vyهـy+vzهـz{\displaystyle \mathbf {v} =v_{x}\mathbf {e} _{x}+v_{y}\mathbf {e} _{y}+v_{z}\mathbf {e} _{z}}في الأساس الأصلي. لاحظ أن التحويلات الفعالة منطقية حتى كتحويل خطي إلى فضاء متجهي مختلف . من المنطقي كتابة المتجه الجديد في الأساس غير المُعَلَّم (كما سبق) فقط عندما يكون التحويل من الفضاء إلى نفسه.

التحول السلبي

من ناحية أخرى، عندما ينظر المرءتي{\displaystyle T}كتحويل سلبي، المتجه الأوليv=(vx،vy،vz){\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}يبقى دون تغيير، بينما يتم تحويل نظام الإحداثيات ومتجهاته الأساسية في الاتجاه المعاكس، أي بالتحويل العكسي.تي-1{\displaystyle T^{-1}}[ 4 ] وهذا يعطي نظام إحداثيات جديد XYZ مع متجهات أساسية: هـX=تي-1(1،0،0)، هـY=تي-1(0،1،0)، هـZ=تي-1(0،0،1){\displaystyle \mathbf {e} _{X}=T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf {e} _{Y}=T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf {e} _{Z}=T^{-1}(0,0,1)}

الإحداثيات الجديدة(vX،vY،vZ){\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})}لv{\displaystyle \mathbf {v} }بالنسبة لنظام الإحداثيات الجديد XYZ ، يتم تحديدها كما يلي: v=(vx،vy،vz)=vXهـX+vYهـY+vZهـZ=تي-1(vX،vY،vZ).$

يتضح من هذه المعادلة أن الإحداثيات الجديدة تُعطى بواسطة (vX،vY،vZ)=تي(vx،vy،vz).{\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=T(v_{x},v_{y},v_{z}).}

كتحول سلبيتي{\displaystyle T}يحوّل الإحداثيات القديمة إلى الإحداثيات الجديدة.

لاحظ التكافؤ بين نوعي التحويل: إحداثيات النقطة الجديدة في التحويل الفعال هي نفسها إحداثيات النقطة الجديدة في التحويل غير الفعال، أي (vX،vY،vZ)=(vx′،vy′،vz′).{\displaystyle (v_{X},v_{Y},v_{Z})=(v'_{x},v'_{y},v'_{z}).}

في فضاءات المتجهات المجردة

يمكن رؤية الفرق بين التحويلات النشطة والسلبية رياضياً من خلال النظر في فضاءات المتجهات المجردة .

حدد فضاء متجهي محدود الأبعادV{\displaystyle V}فوق حقلك{\displaystyle K}(يُعتقد أنهR{\displaystyle \mathbb {R} }أوج{\displaystyle \mathbb {C} })، وأساسب={هـأنا}1≤أنا≤ن{\displaystyle {\mathcal {B}}=\{e_{i}\}_{1\leq i\leq n}}لV{\displaystyle V}يوفر هذا الأساس تماثلًاج:كن→V{\displaystyle C:K^{n}\rightarrow V}عبر خريطة المكونات(vأنا)1≤أنا≤ن=(v1،⋯،vن)↦∑أناvأناهـأنا{\textstyle (v_{i})_{1\leq i\leq n}=(v_{1},\cdots ,v_{n})\mapsto \sum _{i}v_{i}e_{i}}.

التحويل الفعال هو تشاكل داخلي علىV{\displaystyle V}أي، خريطة خطية منV{\displaystyle V}إلى ذاتها. اتخاذ مثل هذا التحولτ∈نهاية(V){\displaystyle \tau \in {\text{End}}(V)}متجهv∈V{\displaystyle v\in V}يتحول معv↦τv{\displaystyle v\mapsto \tau v}مكوناتτ{\displaystyle \tau }فيما يتعلق بالأساسب{\displaystyle {\mathcal {B}}}يتم تعريفها من خلال المعادلةτهـأنا=∑جτجأناهـج{\textstyle \tau e_{i}=\sum _{j}\tau _{ji}e_{j}}ثم مكوناتv{\displaystyle v}تحويل كـvأنا↦τأناجvج{\displaystyle v_{i}\mapsto \tau _{ij}v_{j}}.

التحويل السلبي هو في الواقع تشاكل داخلي علىكن{\displaystyle K^{n}}ينطبق هذا على المكونات:vأنا↦تيأناجvج=:vأنا′{\displaystyle v_{i}\mapsto T_{ij}v_{j}=:v'_{i}}بشرط أنتي{\displaystyle T}قابلة للعكس، الأساس الجديدب′={هـأنا′}{\displaystyle {\mathcal {B}}'=\{e'_{i}\}}يتم تحديد ذلك من خلال السؤال عنvأناهـأنا=vأنا′هـأنا′{\displaystyle v_{i}e_{i}=v'_{i}e'_{i}}، ومنها جاء التعبيرهـأنا′=(تي-1)جأناهـج{\displaystyle e'_{i}=(T^{-1})_{ji}e_{j}}يمكن استخلاصها.

على الرغم من المساحاتنهاية(V){\displaystyle {\text{نهاية}}(V)}ونهاية(كن){\displaystyle {\text{End}}({K^{n}})}على الرغم من أنها متماثلة، إلا أنها ليست متماثلة بشكل قانوني. ومع ذلك، فإن اختيار الأساسب{\displaystyle {\mathcal {B}}}يسمح بإنشاء تماثل.

كأفعال يسارية ويمينية

غالباً ما يقتصر المرء على الحالة التي تكون فيها الخرائط قابلة للعكس، بحيث تكون التحويلات النشطة هي المجموعة الخطية العامةGL(V){\displaystyle {\text{GL}}(V)}من التحولات بينما التحولات السلبية هي المجموعةGL(ن،ك){\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}.

ويمكن فهم هذه التحويلات على أنها تؤثر على فضاء القواعد لـV{\displaystyle V}التحول النشطτ∈GL(V){\displaystyle \tau \in {\text{GL}}(V)}يرسل الأساس{هـأنا}↦{τهـأنا}{\displaystyle \{e_{i}\}\mapsto \{\tau e_{i}\}}وفي الوقت نفسه، يحدث تحول سلبيتي∈GL(ن،ك){\displaystyle T\in {\text{GL}}(n,K)}يرسل الأساس{هـأنا}↦{∑ج(تي-1)جأناهـج}{\textstyle \{e_{i}\}\mapsto \left\{\sum _{j}(T^{-1})_{ji}e_{j}\right\}}.

يضمن العكس في التحويل السلبي أن تتحول المكونات بشكل متطابق تحتτ{\displaystyle \tau }وتي{\displaystyle T}وهذا يعطي تمييزًا حادًا بين التحويلات النشطة والتحويلات السلبية: فالتحويلات النشطة تعمل من اليسار على القواعد، بينما التحويلات السلبية تعمل من اليمين، بسبب العكس.

تصبح هذه الملاحظة أكثر طبيعية عند مشاهدة القواعدب{\displaystyle {\mathcal {B}}}كخيار للتماثلΦب:كن→V{\displaystyle \Phi _{\mathcal {B}}:K^{n}\rightarrow V}فضاء القواعد هو، بشكل مكافئ، فضاء هذه التشاكلات، ويرمز له بـIso(كن،V){\displaystyle {\text{Iso}}(K^{n},V)}التحولات النشطة، التي تم تحديدها بواسطةGL(V){\displaystyle {\text{GL}}(V)}، تصرف بناءً علىIso(كن،V){\displaystyle {\text{Iso}}(K^{n},V)}من اليسار حسب التكوين، أي إذاτ{\displaystyle \tau }يمثل تحولاً فعالاً، لديناΦب′=τ∘Φب{\displaystyle \Phi _{\mathcal {B'}}=\tau \circ \Phi _{\mathcal {B}}}وعلى النقيض من ذلك، فإن التحولات السلبية، التي تُعرف بـGL(ن،ك){\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}أعمال بشأنIso(كن،V){\displaystyle {\text{Iso}}(K^{n},V)}من اليمين عن طريق التأليف المسبق، أي إذاتي{\displaystyle T}يمثل تحولاً سلبياً، لديناΦب"=Φب∘تي{\displaystyle \Phi _{\mathcal {B''}}=\Phi _{\mathcal {B}}\circ T}.

هذا يحول مساحة القواعد إلى اليسارGL(V){\displaystyle {\text{GL}}(V)}- جذع ويمين​GL(ن،ك){\displaystyle {\text{GL}}(n,K)}-torsor.

من منظور فيزيائي، يمكن وصف التحويلات الفعالة بأنها تحويلات للفضاء الفيزيائي، بينما تُوصف التحويلات السلبية بأنها تكرارات في وصف هذا الفضاء. ويلعب هذا دورًا هامًا في نظرية القياس الرياضية ، حيث تُوصف تحويلات القياس رياضيًا بواسطة خرائط انتقالية تعمل من اليمين على الألياف.

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ كرامبين، م.؛ بيراني، ف. أ. إ. (1986). الهندسة التفاضلية التطبيقية . مطبعة جامعة كامبريدج. ص  22. ISBN 978-0-521-23190-9.
  2. 1 2 جوزيف ك. ديفيدسون، كينيث هندرسون هانت (2004). "الفقرة 4.4.1 التفسير الفعال والتحويل الفعال" . الروبوتات ونظرية اللولب: تطبيقات علم الحركة وعلم السكون في الروبوتات . مطبعة جامعة أكسفورد. ص 74 وما بعدها . ISBN  0-19-856245-4.
  3. ↑ بارغمان، فالنتاين (1957). "النسبية". مراجعات الفيزياء الحديثة . 29 (2): 161-174 . Bibcode : 1957RvMP...29..161B . doi : 10.1103/RevModPhys.29.161 .
  4. ↑ أميدرور، إسحاق (2007). "الملحق د: الملاحظة د.12" . نظرية ظاهرة موير: الطبقات غير الدورية . سبرينغر. ص 346. ISBN  978-1-4020-5457-0.
  • غموض واجهة المستخدم