أقوى اختبار موحد

في اختبار الفرضيات الإحصائية ، يُعرف اختبار الفرضيات الأكثر قوة بشكل موحد ( UMP ) بأنه الاختبار الذي يتمتع بأكبر قوة.${\displaystyle 1-\beta }$من بين جميع الاختبارات الممكنة لحجم معين α . على سبيل المثال، وفقًا لنظرية نيمان-بيرسون ، فإن اختبار نسبة الاحتمال هو الاختبار الأمثل لاختبار الفرضيات البسيطة (النقطية).

يترك${\displaystyle X}$يشير إلى متجه عشوائي (يتوافق مع القياسات)، مأخوذ من عائلة معلمات من دوال كثافة الاحتمال أو دوال كتلة الاحتمال${\displaystyle f_{\theta }(x)}$، والذي يعتمد على المعلمة الحتمية غير المعروفة${\displaystyle \theta \in \Theta }$فضاء المعلمات${\displaystyle \Theta }$يتم تقسيمها إلى مجموعتين منفصلتين${\displaystyle \Theta _{0}}$و${\displaystyle \Theta _{1}}$. يترك${\displaystyle H_{0}}$تشير إلى الفرضية التي${\displaystyle \theta \in \Theta _{0}}$ودع${\displaystyle H_{1}}$تشير إلى الفرضية التي${\displaystyle \theta \in \Theta _{1}}$يتم إجراء اختبار الفرضيات الثنائي باستخدام دالة اختبار${\displaystyle \varphi (x)}$مع منطقة رفض${\displaystyle R}$(مجموعة فرعية من فضاء القياس).

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\in R\\0&{\text{if }}x\in R^{c}\end{cases}}}$

وهذا يعني أن${\displaystyle H_{1}}$يكون ساري المفعول إذا كان القياس${\displaystyle X\in R}$وذلك${\displaystyle H_{0}}$يكون ساري المفعول إذا كان القياس${\displaystyle X\in R^{c}}$. لاحظ أن${\displaystyle R\cup R^{c}}$هو غطاء منفصل لمساحة القياس.

دالة اختبار${\displaystyle \varphi (x)}$وحدة UMP بحجم${\displaystyle \alpha }$إذا كان ذلك لأي دالة اختبار أخرى${\displaystyle \varphi '(x)}$مُرضٍ

${\displaystyle \sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=\alpha '\leq \alpha =\sup _{\theta \in \Theta _{0}}\;\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ]\,}$

لدينا

${\displaystyle \forall \theta \in \Theta _{1},\quad \operatorname {E} [\varphi '(X)|\theta ]=1-\beta '(\theta )\leq 1-\beta (\theta )=\operatorname {E} [\varphi (X)|\theta ].}$

يمكن اعتبار نظرية كارلين-روبين (نسبةً إلى صموئيل كارلين وهيرمان روبين ) امتدادًا لنظرية نيمان-بيرسون للفرضيات المركبة. ^{[ 1 ]} لنفترض قياسًا قياسيًا له دالة كثافة احتمالية مُعَلمة بمعامل قياسي θ ، ونُعرّف نسبة الاحتمال.${\displaystyle l(x)=f_{\theta _{1}}(x)/f_{\theta _{0}}(x)}$. لو${\displaystyle l(x)}$دالة رتيبة غير متناقصة، في${\displaystyle x}$، لأي زوج${\displaystyle \theta _{1}\geq \theta _{0}}$(بمعنى أن الأكبر${\displaystyle x}$أي، كلما زاد الاحتمال${\displaystyle H_{1}}$ثم اختبار العتبة:

${\displaystyle \varphi (x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x>x_{0}\\0&{\text{if }}x<x_{0}\end{cases}}}$

أين${\displaystyle x_{0}}$يتم اختيارها بحيث${\displaystyle \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (X)=\alpha }$

اختبار UMP بحجم α لاختبار${\displaystyle H_{0}:\theta \leq \theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

لاحظ أن نفس الاختبار تمامًا هو أيضًا اختبار UMP للاختبار${\displaystyle H_{0}:\theta =\theta _{0}{\text{ vs. }}H_{1}:\theta >\theta _{0}.}$

على الرغم من أن نظرية كارلين-روبين قد تبدو ضعيفة بسبب اقتصارها على المعاملات والقياسات العددية، إلا أنه يتضح وجود العديد من المسائل التي تنطبق عليها هذه النظرية. وعلى وجه الخصوص، عائلة الدوال الأسية أحادية البعد لكثافة الاحتمال أو دوال كتلة الاحتمال ذات

${\displaystyle f_{\theta }(x)=g(\theta )h(x)\exp(\eta (\theta )T(x))}$

لها نسبة احتمالية رتيبة غير متناقصة في الإحصائية الكافية${\displaystyle T(x)}$بشرط أن${\displaystyle \eta (\theta )}$غير متناقصة.

يترك${\displaystyle X=(X_{0},\ldots ,X_{M-1})}$يرمز إلى التوزيع الطبيعي المستقل والمتطابق التوزيع${\displaystyle N}$متجهات عشوائية ذات أبعاد n بمتوسط${\displaystyle \theta m}$ومصفوفة التغاير${\displaystyle R}$ثم لدينا

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{\theta }(X)={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}(X_{n}-\theta m)^{T}R^{-1}(X_{n}-\theta m)\right\}\\[4pt]={}&(2\pi )^{-MN/2}|R|^{-M/2}\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}\left(\theta ^{2}m^{T}R^{-1}m\right)\right\}\\[4pt]&\exp \left\{-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}^{T}R^{-1}X_{n}\right\}\exp \left\{\theta m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}\right\}\end{aligned}}}$

وهو بالضبط على شكل العائلة الأسية الموضحة في القسم السابق، مع كون الإحصائية الكافية هي

${\displaystyle T(X)=m^{T}R^{-1}\sum _{n=0}^{M-1}X_{n}.}$

وبناءً على ذلك، نستنتج أن الاختبار

${\displaystyle \varphi (T)={\begin{cases}1&T>t_{0}\\0&T<t_{0}\end{cases}}\qquad \operatorname {E} _{\theta _{0}}\varphi (T)=\alpha }$

اختبار UMP للحجم${\displaystyle \alpha }$للاختبار${\displaystyle H_{0}:\theta \leqslant \theta _{0}}$مقابل${\displaystyle H_{1}:\theta >\theta _{0}}$

بشكل عام، لا توجد اختبارات UMP للمعاملات المتجهة أو للاختبارات ثنائية الجانب (اختبار تكون فيه إحدى الفرضيتين على جانبي الفرضية البديلة). والسبب هو أنه في هذه الحالات، يكون الاختبار الأقوى لحجم معين لقيمة واحدة محتملة للمعامل (على سبيل المثال لـ${\displaystyle \theta _{1}}$أين${\displaystyle \theta _{1}>\theta _{0}}$يختلف هذا الاختبار عن أقوى اختبار من نفس الحجم لقيمة مختلفة للمعامل (على سبيل المثال لـ${\displaystyle \theta _{2}}$أين${\displaystyle \theta _{2}<\theta _{0}}$ونتيجة لذلك، لا يوجد اختبار هو الأقوى بشكل موحد في هذه الحالات.

• فيرغسون، تي إس (1967). "القسم 5.2: الاختبارات الأكثر قوة بشكل موحد ". الإحصاء الرياضي: منهج نظرية القرار . نيويورك: دار النشر الأكاديمية.
• مود، أ.م.؛ غرايبيل، ف.أ.؛ بوس، د.س. (1974). "القسم التاسع.3.2: الاختبارات الأكثر قوة بشكل موحد ". مقدمة في نظرية الإحصاء (  الطبعة الثالثة). نيويورك: ماكجرو هيل.
• LL Scharf، معالجة الإشارات الإحصائية ، Addison-Wesley، 1991، القسم 4.7.