اختبار نسبة الاحتمالية

في الإحصاء ، اختبار نسبة الاحتمالية هو اختبار فرضية يتضمن مقارنة مدى ملاءمة نموذجين إحصائيين متنافسين ، عادةً ما يتم العثور على أحدهما عن طريق التعظيم على مساحة المعلمة بأكملها ويتم العثور على الآخر بعد فرض بعض القيود ، بناءً على نسبة احتمالاتهما . إذا كان النموذج الأكثر تقييدًا (أي الفرضية الصفرية ) مدعومًا بالبيانات المرصودة ، فيجب ألا يختلف الاحتمالان بأكثر من خطأ العينة . ^[1] وبالتالي، يختبر اختبار نسبة الاحتمالية ما إذا كانت هذه النسبة مختلفة بشكل كبير عن واحد، أو ما إذا كان اللوغاريتم الطبيعي الخاص بها مختلفًا بشكل كبير عن الصفر.

اختبار نسبة الاحتمالية، المعروف أيضًا باسم اختبار ويلكس ، ^[2] هو أقدم الأساليب الثلاثة الكلاسيكية لاختبار الفرضيات، جنبًا إلى جنب مع اختبار مضاعف لاجرانج واختبار والد . ^[3] في الواقع، يمكن تصور الاثنين الأخيرين كتقريبات لاختبار نسبة الاحتمالية، وهما متكافئان بشكل مقارب. ^{[4] [5] [6]} في حالة مقارنة نموذجين لا يحتوي كل منهما على معلمات غير معروفة ، يمكن تبرير استخدام اختبار نسبة الاحتمالية من خلال مبرهنة نيمان-بيرسون . توضح المبرهنة أن الاختبار يتمتع بأعلى قوة بين جميع المنافسين. ^[7]

لنفترض أن لدينا نموذجًا إحصائيًا بمساحة معلمات . غالبًا ما يتم ذكر الفرضية الصفرية بالقول إن المعلمة تقع في مجموعة فرعية محددة من . وبالتالي فإن الفرضية البديلة هي أن تقع في المكمل لـ ، أي في ، والتي يشار إليها بـ . يتم إعطاء إحصائية اختبار نسبة الاحتمالية للفرضية الصفرية بواسطة: ^[8]${\displaystyle \ثيتا }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta _{0}}$${\displaystyle \ثيتا }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle \Theta _{0}}$${\displaystyle \Theta ~\backslash ~\Theta _{0}}$${\displaystyle \Theta _{0}^{\text{c}}}$${\displaystyle H_{0}\,:\,\theta \in \Theta _{0}}$

${\displaystyle \lambda _{\text{LR}}=-2\ln \left[{\frac {~\sup _{\theta \in \Theta _{0}}{\mathcal {L}}(\theta )~}{~\sup _{\theta \in \Theta }{\mathcal {L}}(\theta )~}}\right]}$

حيث تسمى الكمية الموجودة داخل الأقواس بنسبة الاحتمالية. هنا، يشير الترميز إلى الحد الأقصى . ونظرًا لأن جميع الاحتمالات إيجابية، ولأن الحد الأقصى المقيد لا يمكن أن يتجاوز الحد الأقصى غير المقيد، فإن نسبة الاحتمالية محدودة بين الصفر والواحد. ${\displaystyle \sup }$

غالبًا ما يتم التعبير عن إحصائية اختبار نسبة الاحتمالية على أنها الفرق بين احتمالات السجل

${\displaystyle \lambda _{\text{LR}}=-2\left[~\ell (\theta _{0})-\ell ({\hat {\theta }})~\right]}$

أين

${\displaystyle \ell ({\hat {\theta }})\equiv \ln \left[~\sup _{\theta \in \Theta }{\mathcal {L}}(\theta )~\right]~}$

هو لوغاريتم دالة الاحتمالية القصوى ، وهو القيمة القصوى في الحالة الخاصة التي تكون فيها الفرضية الصفرية صحيحة (ولكنها ليست بالضرورة قيمة تصل إلى الحد الأقصى للبيانات المأخوذة من العينة) و ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$${\displaystyle \ell (\theta _{0})}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle \theta _{0}\in \Theta _{0}\qquad {\text{ و }}\qquad {\hat {\theta }}\in \Theta ~}$

تشير إلى الحجج الخاصة بالقيم القصوى والنطاقات المسموح بها التي تم تضمينها فيها. يضمن الضرب في −2 رياضيًا أن (بموجب نظرية ويلكس ) يتقارب بشكل مقارب ليكون موزعًا بـ χ ² إذا كانت الفرضية الصفرية صحيحة. ^[9] توزيعات العينة المحدودة لإحصاءات نسبة الاحتمالية غير معروفة عمومًا. ^[10]${\displaystyle \lambda _{\text{LR}}}$

يتطلب اختبار نسبة الاحتمالية أن تكون النماذج متداخلة - أي أنه يمكن تحويل النموذج الأكثر تعقيدًا إلى نموذج أبسط من خلال فرض قيود على معلمات النموذج الأول. العديد من إحصاءات الاختبار الشائعة هي اختبارات للنماذج المتداخلة ويمكن صياغتها على أنها نسب احتمالية لوغاريتمية أو تقريبات لها: على سبيل المثال اختبار Z واختبار F واختبار G واختبار مربع كاي لبيرسون ؛ للحصول على توضيح باختبار t لعينة واحدة ، انظر أدناه .

إذا لم تكن النماذج متداخلة، فبدلاً من اختبار نسبة الاحتمالية، يكون هناك تعميم للاختبار يمكن استخدامه عادةً: للحصول على التفاصيل، راجع الاحتمالية النسبية .

يتضمن اختبار الفرضية البسيطة مقابل البسيطة نماذج محددة بالكامل في ظل كل من الفرضية الصفرية والفرضية البديلة، والتي تمت كتابتها من أجل الراحة من حيث القيم الثابتة للمعلمة الافتراضية : ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}&:&\theta =\theta _{0},\\H_{1}&:&\theta =\theta _{1}.\end{aligned}}}$

في هذه الحالة، بموجب أي من الفرضيتين، يتم تحديد توزيع البيانات بالكامل: لا توجد معلمات غير معروفة لتقديرها. في هذه الحالة، يتوفر متغير لاختبار نسبة الاحتمالية: ^{[11] [12]}

${\displaystyle \Lambda (x)={\frac {~{\mathcal {L}}(\theta _{0}\mid x)~}{~{\mathcal {L}}(\theta _{1}\mid x)~}}.}$

قد تستخدم بعض المراجع القديمة مقلوب الدالة أعلاه كتعريف. ^[13] وبالتالي، تكون نسبة الاحتمالية صغيرة إذا كان النموذج البديل أفضل من النموذج الصفري.

يوفر اختبار نسبة الاحتمالية قاعدة القرار على النحو التالي:

إذا لا ترفض ؛${\displaystyle ~\لامدا >c~}$${\displaystyle H_{0}}$

إذا رفض ؛${\displaystyle ~\لامدا <c~}$${\displaystyle H_{0}}$

إذا ، رفض مع الاحتمال .${\displaystyle ~\لامدا =c~}$${\displaystyle H_{0}}$${\displaystyle ~q~}$

يتم اختيار القيم و عادة للحصول على مستوى أهمية محدد ، من خلال العلاقة ${\displaystyle c}$${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle ~q~}$ ${\displaystyle \operatorname {P} (\Lambda =c\mid H_{0})~+~\operatorname {P} (\Lambda <c\mid H_{0})~=~\alpha ~.}$

تنص نظرية نيمان-بيرسون على أن اختبار نسبة الاحتمالية هذا هو الأقوى بين جميع اختبارات المستوى لهذه الحالة. ^{[7] [12]}${\displaystyle \alpha }$

نسبة الاحتمالية هي دالة للبيانات ؛ وبالتالي، فهي إحصائية ، على الرغم من أنها غير معتادة في أن قيمة الإحصائية تعتمد على معلمة، . يرفض اختبار نسبة الاحتمالية الفرضية الصفرية إذا كانت قيمة هذه الإحصائية صغيرة جدًا. يعتمد مدى صغر هذه الإحصائية على مستوى أهمية الاختبار، أي على احتمالية الخطأ من النوع الأول التي تعتبر مقبولة (تتكون أخطاء النوع الأول من رفض الفرضية الصفرية الصحيحة). ${\displaystyle x}$${\displaystyle \theta }$

يتوافق البسط مع احتمالية حدوث نتيجة ملحوظة في ظل الفرضية الصفرية . يتوافق المقام مع أقصى احتمالية لحدوث نتيجة ملحوظة ، مع تغيير المعلمات على مساحة المعلمات بالكامل. يكون البسط لهذه النسبة أقل من المقام؛ لذا، تكون نسبة الاحتمالية بين 0 و1. تعني القيم المنخفضة لنسبة الاحتمالية أن النتيجة الملحوظة كانت أقل احتمالية للحدوث في ظل الفرضية الصفرية مقارنة بالبديل. تعني القيم المرتفعة للإحصاء أن النتيجة الملحوظة كانت احتمالية حدوثها في ظل الفرضية الصفرية تقريبًا مثل البديل، وبالتالي لا يمكن رفض الفرضية الصفرية.

المثال التالي مقتبس ومختصر من Stuart, Ord & Arnold (1999, §22.2).

لنفترض أن لدينا عينة عشوائية بحجم n من مجتمع موزع بشكل طبيعي. كل من المتوسط، μ ، والانحراف المعياري، σ ، للمجتمع غير معروفين. نريد اختبار ما إذا كان المتوسط ​​يساوي قيمة معينة، μ ₀ .

وبالتالي، فإن فرضيتنا الصفرية هي H ₀ :  μ = μ ₀  وفرضيتنا البديلة هي H ₁ :  μ ≠ μ _0.  دالة الاحتمالية هي

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\mu ,\sigma \mid x)=\left(2\pi \sigma ^{2}\right)^{-n/2}\exp \left(-\sum _{i=1}^{n}{\frac {(x_{i}-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,.}$

وباستخدام بعض الحسابات (التي تم حذفها هنا)، يمكننا بعد ذلك إثبات أن

${\displaystyle \lambda _{LR}=n\ln \left[1+{\frac {t^{2}}{n-1}}\right]}$

حيث t هي إحصائية t ذات درجات حرية n  − 1. وبالتالي، يمكننا استخدام التوزيع الدقيق المعروف لـ t _{n −1} لاستخلاص الاستنتاجات.

إذا كان من الممكن تحديد توزيع نسبة الاحتمالية المقابلة لفرضية صفرية وبديلة معينة بشكل صريح، فيمكن استخدامه مباشرة لتشكيل مناطق القرار (لدعم أو رفض الفرضية الصفرية). ومع ذلك، في معظم الحالات، من الصعب للغاية تحديد التوزيع الدقيق لنسبة الاحتمالية المقابلة لفرضيات محددة. ^{[ بحاجة لمصدر ]}

بافتراض أن H ₀ صحيح، فهناك نتيجة أساسية لصامويل إس ويلكس : مع اقتراب حجم العينة من ، وإذا كانت الفرضية الصفرية تقع بدقة داخل مساحة المعلمة، فإن إحصائية الاختبار المحددة أعلاه ستكون موزعة بشكل مقارب مربع كاي ( ) بدرجات حرية تساوي الفرق في أبعاد و . ^[14] وهذا يعني أنه بالنسبة لمجموعة كبيرة ومتنوعة من الفرضيات، يمكننا حساب نسبة الاحتمالية للبيانات ثم مقارنة الملاحظة بالقيمة المقابلة للأهمية الإحصائية المرغوبة كاختبار إحصائي تقريبي . توجد امتدادات أخرى. ^{[ أي منها؟ ]}${\displaystyle n}$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \lambda _{\text{LR}}}$ ${\displaystyle \chi ^{2}}$${\displaystyle \ثيتا }$${\displaystyle \Theta _{0}}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda _{\text{LR}}}$${\displaystyle \chi ^{2}}$

• معيار معلومات أكايكي
• عامل بايز
• اختبار يوهانسن
• اختيار النموذج
• اختبار القرب لفونج
• اختبار Sup-LR
• أسس الخطأ في اختبار الفرضيات

• جلوفر، سكوت؛ ديكسون، بيتر (2004)، "نسب الاحتمالية: إحصائية بسيطة ومرنة لعلماء النفس التجريبيين"، مجلة سايكونوميك بوليتين آند ريفيو ، 11 (5): 791– 806، doi : 10.3758/BF03196706 ، PMID  15732688
• هيلد، ليونهارد؛ سابانيس بوفي، دانييل (2014)، الاستدلال الإحصائي التطبيقي - الاحتمالية وباييس ، سبرينغر
• Kalbfleisch، JG (1985)، الاحتمالية والاستدلال الإحصائي ، المجلد. 2، سبرينغر-فيرلاغ
• بيرلمان، مايكل د.؛ وو، لانج (1999)، "اختبارات الإمبراطور الجديدة"، العلوم الإحصائية ، 14 (4): 355- 381، doi : 10.1214/ss/1009212517
• بيرنيجر، توماس ف. (2001)، "غربلة الأدلة: نسب الاحتمالية هي بدائل لقيم P"، المجلة الطبية البريطانية ، 322 (7295): 1184– 5، doi :10.1136/bmj.322.7295.1184، PMC  1120301 ، PMID  11379590
• بينهيرو، خوسيه سي؛ بيتس، دوغلاس إم. (2000)، نماذج التأثيرات المختلطة في S وS-PLUS ، Springer -Verlag ، ص  82-93
• ريتشارد، مارك؛ فيسر، جان (2021). "اختبار كفاءة أسواق التنبؤ: نهج مارتينجال ونسبة الاحتمال وتحليل عامل بايز". المخاطر . 9 (2): 31. doi : 10.3390/risks9020031 . hdl : 10419/258120 .
• سليمان، دانييل ل. (1975)، "ملاحظة حول عدم تكافؤ اختبار نيمان-بيرسون واختبار نسبة الاحتمالية المعممة لاختبار الفرضية الصفرية البسيطة مقابل الفرضية البديلة البسيطة" (ملف PDF) ، الإحصائي الأمريكي ، 29 (2): 101-102 ، doi :10.1080/00031305.1975.10477383، hdl : 1813/32605

• تطبيق عملي لاختبار نسبة الاحتمالية
• حزمة R: اختبار نسبة الاحتمالية المتسلسلة لوالد
• حاسبة ريتشارد لوري للقيم التنبؤية ونسب الاحتمالية السريرية عبر الإنترنت