معادلة فان ديمتر

تربط معادلة فان ديمتر في الكروماتوغرافيا ، نسبةً إلى يان فان ديمتر ، التباين لكل وحدة طول في عمود الفصل بالسرعة الخطية للطور المتحرك، وذلك من خلال مراعاة الخصائص الفيزيائية والحركية والديناميكية الحرارية لعملية الفصل. ^{[ 1 ]} تشمل هذه الخصائص المسارات داخل العمود، والانتشار ( المحوري والطولي)، وحركية انتقال الكتلة بين الطورين الثابت والمتحرك. في الكروماتوغرافيا السائلة، تُعتبر سرعة الطور المتحرك هي سرعة الخروج، أي نسبة معدل التدفق (مل/ثانية) إلى مساحة المقطع العرضي لمسار التدفق عند مخرج العمود. بالنسبة للعمود المعبأ، تُعتبر مساحة المقطع العرضي لمسار التدفق عند مخرج العمود عادةً 0.6 من مساحة المقطع العرضي للعمود. بدلاً من ذلك، يمكن اعتبار السرعة الخطية هي نسبة طول العمود إلى زمن التوقف. إذا كان الطور المتحرك غازًا، فيجب تطبيق تصحيح الضغط . يُحسب التباين لكل وحدة طول من العمود كنسبة بين طول العمود وكفاءته بوحدة الصفائح النظرية . معادلة فان ديمتر هي دالة زائدية تتنبأ بوجود سرعة مثلى تُحقق عندها أقل تباين لكل وحدة طول من العمود، وبالتالي أعلى كفاءة. وقد نتجت معادلة فان ديمتر عن أول تطبيق لنظرية المعدلات على عملية الاستخلاص الكروماتوغرافي.

تربط معادلة فان ديمتر الارتفاع المكافئ للصفيحة النظرية (HETP) لعمود كروماتوغرافي بالمعلمات المختلفة للتدفق والحركية التي تسبب اتساع الذروة، على النحو التالي:

${\displaystyle HETP=A+{\frac {B}{u}}+C\cdot u}$

أين

• HETP = مقياس لقوة الفصل للعمود [م]
• A = معامل الانتشار الدوامي ، المرتبط بالتوجيه عبر تعبئة غير مثالية [م]
• B = معامل انتشار الجسيمات الخارجة في الاتجاه الطولي، مما يؤدي إلى التشتت [م ² ث ⁻¹ ]
• C = مقاومة معامل انتقال الكتلة للمادة المراد تحليلها بين الطور المتحرك والطور الثابت [ثانية]
• u = السرعة [م/ ^ث ]

في الأنابيب الشعرية المفتوحة ، يكون الحد A مساويًا للصفر، إذ أن عدم وجود تعبئة يمنع حدوث التوجيه. أما في الأعمدة المعبأة، فتوجد مسارات متعددة ومتميزة ("قنوات") عبر تعبئة العمود، مما يؤدي إلى انتشار النطاق. في هذه الحالة الأخيرة، لا يكون A مساويًا للصفر. تُعرف صيغة معادلة فان ديمتر التي تنطبق على الأعمدة الشعرية بمعادلة غولاي، وهي كالتالي:

${\displaystyle HETP={\frac {B}{u}}+(C_{s}+C_{m})\cdot u}$

تُصاغ معادلة فان ديمتر بحيث تصل قيمة HETP إلى أدنى قيمة لها عند سرعة تدفق معينة. عند هذه السرعة، تكون قدرة الفصل للعمود في أقصى حالاتها، مع أن زمن الإذابة عمليًا قد يكون غير عملي. باشتقاق معادلة فان ديمتر بالنسبة للسرعة، ومساواة الناتج بالصفر، ثم حل المعادلة لإيجاد السرعة المثلى، نحصل على ما يلي:

${\displaystyle u={\sqrt {\frac {B}{C}}}}$

ارتفاع اللوحة كما يلي:

${\displaystyle H={\frac {L}{N}}\,}$

مع${\displaystyle L\,}$طول العمود و${\displaystyle N\,}$يمكن تقدير عدد الصفائح النظرية من مخطط كروماتوغرافي عن طريق تحليل زمن الاحتفاظ${\displaystyle t_{R}\,}$لكل مكون وانحرافه المعياري${\displaystyle \sigma \,}$كمقياس لعرض الذروة، بشرط أن يمثل منحنى الإذابة منحنى غاوسي .

في هذه الحالة، يتم تحديد عدد اللوحات بواسطة: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle N=\left({\frac {t_{R}}{\sigma }}\right)^{2}\,}$

باستخدام عرض الذروة الأكثر عملية عند نصف الارتفاع${\displaystyle W_{1/2}\,}$المعادلة هي:

${\displaystyle N=8\ln(2)\cdot \left({\frac {t_{R}}{W_{1/2}}}\right)^{2}\,}$

أو بعرض قاعدة القمة:

${\displaystyle N=16\cdot \left({\frac {t_{R}}{W_{base}}}\right)^{2}\,}$

يمكن توسيع معادلة فان ديمتر بشكل أكبر إلى: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle H=2\lambda d_{p}+{2\gamma D_{m} \over u}+{\omega (d_{p}{\mbox{ or }}d_{c})^{2}u \over D_{m}}+{Rd_{f}^{2}u \over D_{s}}}$

أين:

• H هو ارتفاع اللوحة
• λ هو شكل الجسيم (فيما يتعلق بالتعبئة)
• d _p ​​هو قطر الجسيم
• γ و ω و R هي ثوابت
• D _m هو معامل انتشار الطور المتحرك
• d _c هو قطر الشعيرة الدموية
• d _f هو سمك الفيلم
• D _s هو معامل الانتشار للمرحلة الثابتة.
• u هي السرعة الخطية

معادلة رودريغز ، التي سميت على اسم أليريو رودريغز ، هي امتداد لمعادلة فان ديمتر المستخدمة لوصف كفاءة طبقة من الجسيمات النفاذة (ذات المسام الكبيرة). ^{[ 4 ]}

المعادلة هي:

${\displaystyle HETP=A+{\frac {B}{u}}+C\cdot f(\lambda )\cdot u}$

أين

${\displaystyle f(\lambda )={\frac {3}{\lambda }}\left[{\frac {1}{\tanh(\lambda )}}-{\frac {1}{\lambda }}\right]}$

و${\displaystyle \lambda }$هو عدد بيكلي داخل الجسيم .

• الفصل (الكروماتوغرافيا)
• يان فان ديمتر