الدوال الزائدية

في الرياضيات ، تُعدّ الدوال الزائدية نظائر للدوال المثلثية العادية ، ولكنها تُعرَّف باستخدام القطع الزائد بدلاً من الدائرة . فكما تُشكِّل النقطتان (cos t , sin t ) دائرةً نصف قطرها وحدة واحدة ، تُشكِّل النقطتان (cosh t , sinh t ) النصف الأيمن من القطع الزائد الذي نصف قطره وحدة واحدة . وبالمثل، كما أن مشتقات sin( t ) و cos( t ) هي cos( t ) و -sin( t ) ، فإن مشتقات sinh( t ) و cosh( t ) هي cosh( t ) و sinh( t ) .

تُستخدم الدوال الزائدية للتعبير عن زاوية التوازي في الهندسة الزائدية . كما تُستخدم للتعبير عن تحويلات لورنتز كدورانات زائدية في النسبية الخاصة . وتظهر أيضًا في حلول العديد من المعادلات التفاضلية الخطية (مثل معادلة تعريف السلسلة )، والمعادلات التكعيبية ، ومعادلة لابلاس في الإحداثيات الديكارتية . وتُعد معادلات لابلاس مهمة في العديد من مجالات الفيزياء ، بما في ذلك النظرية الكهرومغناطيسية ، وانتقال الحرارة ، وديناميكا الموائع .

الدوال الزائدية الأساسية هي: ^{[ 1 ]}

• جيب القطع ^الزائد " سينه " ( / ˈsɪŋ , ˈsɪntʃ , ˈʃaɪn / ) ، ^{[ 2} ]​​​​​​
• جيب التمام الزائدي " cosh " ( / ˈ k ɒ ʃ , ˈ k oʊ ʃ / ), ^{[ 3 ]}

والتي اشتُقت منها: ^{[ 4 ]}

• الظل الزائدي " تانه " ( / ˈtæŋ , ˈtæntʃ , ˈθæn / ) ، ^{[ 5 ]}​​​​​​​
• الظل الزائدي " coth " ( / ˈ k ɒ θ , ˈ k oʊ θ / ), ^{[ 6 ] [ 7 ]}
• القاطع الزائدي " sech " ( / ˈ s ɛ tʃ , ˈ ʃ ɛ k / ) ، ^{[ 8 ]}
• قاطع التمام الزائدي " csch ^" أو " cosech " ( / ˈkoʊsɛtʃ , ˈkoʊʃɛk / ^{[ 3} ] )​​​​​

بما يتوافق مع الدوال المثلثية المشتقة.

الدوال الزائدية العكسية هي:

• الجيب الزائدي العكسي " arsinh " (يرمز له أيضًا بـ " sinh ⁻¹ " أو " asinh " أو أحيانًا " arcsinh ") ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}
• دالة جيب التمام الزائدية العكسية " arcosh " (يشار إليها أيضًا باسم " cosh ⁻¹ " أو " acosh " أو أحيانًا " arccosh ").
• الظل الزائدي العكسي " artanh " (يُشار إليه أيضًا بـ " tanh ⁻¹ " أو " atanh " أو أحيانًا " arctanh ")
• دالة الظل الزائدي العكسي " arcoth " (يشار إليها أيضًا باسم " coth ⁻¹ " أو " acoth " أو أحيانًا " arccoth ")
• القاطع الزائدي العكسي " arsech " (يُشار إليه أيضًا بـ " sech ⁻¹ " أو " asech " أو أحيانًا " arcsech ")
• دالة القاطع الزائدي العكسي " arcsch " (يشار إليها أيضًا باسم " arcosech " أو " csch ⁻¹ " أو " cosech ⁻¹ " أو " acsch " أو " acosech " أو أحيانًا " arccsch " أو " arccosech ").

تأخذ الدوال الزائدية وسيطًا يُسمى الزاوية الزائدية . مقدار الزاوية الزائدية هو مساحة قطاعها الزائدي حتى النقطة xy = 1. يمكن تعريف الدوال الزائدية بدلالة ضلعي المثلث القائم الزاوية اللذين يغطيان هذا القطاع.

في التحليل المركب ، تنشأ الدوال الزائدية عند تطبيق دالتي الجيب وجيب التمام العاديتين على زاوية تخيلية. الجيب الزائدي وجيب التمام الزائدي دالتان تامتان . ونتيجة لذلك، فإن الدوال الزائدية الأخرى ميرومورفية في المستوى المركب بأكمله.

بحسب نظرية ليندمان-فايرشتراس ، فإن للدوال الزائدية قيمة متسامية لكل قيمة جبرية غير صفرية للمتغير. ^{[ 12 ]}

يُنسب أول حساب معروف لمسألة حساب المثلثات الزائدية إلى جيراردوس ميركاتور عند إصداره إسقاط ميركاتور للخريطة حوالي عام 1566. ويتطلب ذلك جدولة حلول معادلة متسامية تتضمن دوال زائدية. ^{[ 13 ]}

كان إسحاق نيوتن أول من اقترح وجود تشابه بين قطاع الدائرة وقطاع القطع الزائد في كتابه "برينسيبيا ماثيماتيكا" عام 1687. ^{[ 14 ]}

اقترح روجر كوتس تعديل الدوال المثلثية باستخدام الوحدة التخيلية${\displaystyle i={\sqrt {-1}}}$للحصول على شكل كروي مفلطح من شكل كروي مستطيل. ^{[ 14 ]}

تم تقديم الدوال الزائدية رسميًا عام 1757 على يد فينتشنزو ريكاتي . ^{[ 14 ] [ 13 ] [ 15 ]} استخدم ريكاتي اختصارَي Sc. و Cc. ( الجيب/جيب التمام الدائري ) للإشارة إلى الدوال الدائرية، و Sh. و Ch. ( الجيب/جيب التمام الزائدي ) للإشارة إلى الدوال الزائدية. ^{[ 14 ]} وفي وقت مبكر من عام 1759، بيّن دافييه دي فونسينكس إمكانية التبادل بين الدوال المثلثية والزائدية باستخدام الوحدة التخيلية، ووسّع صيغة دي موافر لتشمل الدوال الزائدية. ^{[ 15 ] [ 14 ]}

خلال ستينيات القرن الثامن عشر، قام يوهان هاينريش لامبرت بتنظيم استخدام الدوال وقدم تعابير أسية في منشورات مختلفة. ^{[ 14 ] [ 15 ]} نسب لامبرت الفضل إلى ريكاتي في المصطلحات وأسماء الدوال، لكنه عدّل الاختصارات إلى تلك المستخدمة اليوم. ^{[ 15 ] [ 16 ]}

باستخدام الزاوية الزائدية u ، يمكن تعريف الدالتين الزائديتين sinh و cosh باستخدام الدالة الأسية e ^u . ^{[ 1 ] [ 4 ]} في الشكل ${\displaystyle A=(e^{-u},e^{u}),\ ​​B=(e^{u},\ e^{-u}),\ ​​OA+OB=OC}$.

التعريفات الأسية

• الجيب الزائدي: الجزء الفردي من الدالة الأسية، أي$${\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}.}$$
• جيب التمام الزائدي: الجزء الزوجي من الدالة الأسية، أي$${\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}.}$$

• الظل الزائدي:$${\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.}$$
• ظل التمام الزائدي: لـ x ≠ 0 ،$${\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.}$$
• القاطع الزائدي:$${\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.}$$
• قاطع التمام الزائدي: لـ x ≠ 0 ،$${\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.}$$

تُحقق الدوال الزائدية العديد من المتطابقات، وكلها متشابهة في شكلها مع المتطابقات المثلثية . في الواقع، تنص قاعدة أوزبورن ^{[ 20 ]} (نسبةً إلى جورج أوزبورن ) على أنه يمكن تحويل أي متطابقة مثلثية (حتى دالة الجيب الزائدي أو الجيب الزائدي الضمني من الدرجة الرابعة، ولكن ليس بما في ذلك) إلى${\displaystyle \theta }$،${\displaystyle 2\theta }$،${\displaystyle 3\theta }$أو${\displaystyle \theta }$و${\displaystyle \varphi }$إلى هوية زائدية، بواسطة:

1. بتوسيعها بالكامل من حيث القوى التكاملية للجيب وجيب التمام،
2. تغيير دالة الجيب إلى دالة الجيب الزائدي ودالة جيب التمام إلى دالة جيب التمام الزائدي، و
3. تغيير إشارة كل حد يحتوي على حاصل ضرب اثنين من الجيب الزائدي.

الدوال الفردية والزوجية : $${\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}$$

المعكوسات:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}}$$

على غرار صيغة أويلر :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}$$

مماثل لهوية فيثاغورس المثلثية :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\\1-\tanh ^{2}x&=\operatorname {sech} ^{2}x\\\coth ^{2}x-1&=\operatorname {csch} ^{2}x\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}}$$

كل من الدالتين sinh و cosh تساوي مشتقتها الثانية ، أي: $${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x}$$$${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.}$$

جميع الدوال التي تتمتع بهذه الخاصية هي تركيبات خطية من دالتي sinh و cosh ، وخاصة الدوال الأسية.${\displaystyle e^{x}}$و${\displaystyle e^{-x}}$[ ^{22 ]​}

$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}}$$

يمكن إثبات التكاملات التالية باستخدام التعويض الزائدي : $${\displaystyle {\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}$$

حيث C هو ثابت التكامل .

من الممكن التعبير بشكل صريح عن متسلسلة تايلور عند الصفر (أو متسلسلة لوران ، إذا لم تكن الدالة معرفة عند الصفر) للدوال المذكورة أعلاه.

$${\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}$$ هذه المتسلسلة متقاربة لكل قيمة عقدية لـ x . وبما أن دالة sinh x فردية ، فإن الأسس الفردية فقط لـ x تظهر في متسلسلة تايلور الخاصة بها.

$${\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}$$ هذه المتسلسلة متقاربة لكل قيمة عقدية لـ x . وبما أن الدالة cosh x زوجية ، فإن الأسس الزوجية فقط لـ x تظهر في متسلسلة تايلور الخاصة بها.

مجموع متسلسلتي sinh و cosh هو تعبير المتسلسلة اللانهائية للدالة الأسية .

تلي السلسلة التالية وصف لمجموعة فرعية من مجال تقاربها ، حيث تكون السلسلة متقاربة ومجموعها يساوي الدالة. $${\displaystyle {\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}}$$

أين:

• ${\displaystyle B_{n}}$هو العدد النوني لبرنولي
• ${\displaystyle E_{n}}$هو العدد النوني لأويلر

تكون التوسعات التالية صالحة في المستوى المركب بأكمله:

${\displaystyle \sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}}$

${\displaystyle \tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}}$

تمثل الدوال الزائدية امتداداً لعلم المثلثات يتجاوز الدوال الدائرية . ويعتمد كلا النوعين على وسيط ، إما زاوية دائرية أو زاوية زائدية .

بما أن مساحة القطاع الدائري الذي نصف قطره r وزاويته u (بالراديان) تساوي r²u / ² ، فإنها تساوي u عندما r = √2 . في الرسم التوضيحي، تُمسّ هذه الدائرة القطع الزائد xy = 1 عند النقطة (1, 1) . يُمثل القطاع الأصفر مساحة وزاوية. وبالمثل، تُمثل المنطقتان الصفراء والحمراء معًا قطاعًا زائديًا مساحته تُقابل زاوية القطع الزائد.

يبلغ طول ساقي المثلثين القائمين مع الوتر الموجود على الشعاع الذي يحدد الزوايا √ 2 ضعف الدوال الدائرية والزائدية.

الزاوية الزائدية هي مقياس ثابت بالنسبة لتطبيق الضغط ، تمامًا كما أن الزاوية الدائرية ثابتة تحت الدوران. ^{[ 23 ]}

تعطي دالة غودرمان علاقة مباشرة بين الدوال الدائرية والدوال الزائدية التي لا تتضمن أعدادًا مركبة.

رسم بياني للدالة${\displaystyle a\cosh(x/a)}$⁠ هو المنحنى السلسلي ، وهو المنحنى الذي تشكله سلسلة مرنة منتظمة، معلقة بحرية بين نقطتين ثابتتين تحت تأثير جاذبية منتظمة.

يؤدي تحليل الدالة الأسية إلى أجزائها الزوجية والفردية إلى الحصول على المتطابقات التالية: $${\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x,}$$ و $${\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.}$$ بالإضافة إلى صيغة أويلر$${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$$ هذا يعطي $${\displaystyle e^{x+iy}=(\cosh x+\sinh x)(\cos y+i\sin y)}$$ بالنسبة للدالة الأسية المركبة العامة .

بالإضافة إلى ذلك، $${\displaystyle e^{x}={\sqrt {\frac {1+\tanh x}{1-\tanh x}}}={\frac {1+\tanh {\frac {x}{2}}}{1-\tanh {\frac {x}{2}}}}}$$

الدوال الزائدية في المستوى المركب

${\displaystyle \sinh(z)}$	${\displaystyle \cosh(z)}$	${\displaystyle \tanh(z)}$	${\displaystyle \coth(z)}$	${\displaystyle \operatorname {sech} (z)}$	${\displaystyle \operatorname {csch} (z)}$

بما أن الدالة الأسية يمكن تعريفها لأي عدد مركب ، يمكننا أيضًا توسيع تعريفات الدوال الزائدية لتشمل الأعداد المركبة. وبالتالي، فإن الدالتين sinh z و cosh z دالتان تحليليتان .

تُعطى العلاقات مع الدوال المثلثية العادية بواسطة صيغة أويلر للأعداد المركبة: $${\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}}$$ لذا: $${\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(x+iy)&={\frac {\tanh(x)+i\tan(y)}{1+i\tanh(x)\tan(y)}}\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}}$$

وبالتالي، فإن الدوال الزائدية دورية بالنسبة للمكون التخيلي، ولها دورة.${\displaystyle 2\pi i}$(${\displaystyle \pi i}$(للدالة الظل الزائدي ودالة ظل التمام).

• e (ثابت رياضي)
• نظرية الدوائر الداخلية المتساوية ، بناءً على دالة الجيب الزائدي
• الدوال الزائدية
• النمو الزائدي
• الدوال الزائدية العكسية
• قائمة تكاملات الدوال الزائدية
• حلزونات بوينسو
• دالة سيجمويد
• الدوال المثلثية

• "الدوال الزائدية" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
• الدوال الزائدية على موقع PlanetMath
• GonioLab : تصور دائرة الوحدة والدوال المثلثية والزائدية ( جافا ويب ستارت )
• حاسبة الدوال الزائدية عبر الإنترنت