اختبار فان دير فاردن

اختبار فان دير فاردن، نسبةً إلى عالم الرياضيات الهولندي بارتل ليندرت فان دير فاردن ، هو اختبار إحصائي يُستخدم للتحقق من تساوي دوال توزيع k لمجتمع إحصائي. يحوّل هذا الاختبار الرتب الناتجة عن اختبار كروسكال-واليس القياسي إلى كميات مئوية من التوزيع الطبيعي القياسي (التفاصيل أدناه). تُعرف هذه الكميات المئوية بالدرجات الطبيعية، ويُحسب الاختبار بناءً عليها.

يُعد إصدار k من الاختبار امتدادًا للاختبار الخاص بمجموعتين سكانيتين والذي نشره فان دير واردن (1952، 1953).

تحليل التباين (ANOVA) هو أسلوب لتحليل البيانات يُستخدم لدراسة أهمية العوامل ( المتغيرات المستقلة ) في نموذج متعدد العوامل. يُمكن اعتبار نموذج العامل الواحد تعميمًا لاختبار t لعينتين . أي أن اختبار t لعينتين يختبر فرضية تساوي متوسطي مجتمعين. بينما يختبر تحليل التباين لعامل واحد فرضية تساوي k من متوسطات المجتمعات. يفترض تحليل التباين القياسي أن الأخطاء (أي البواقي) موزعة توزيعًا طبيعيًا . إذا لم يكن هذا الافتراض صحيحًا، يُمكن استخدام اختبار لا معلمي كبديل .

لنفترض أن n _{_j} ( حيث j = 1، 2، ...، k ) يمثل حجم العينة لكل مجموعة من المجموعات k (أي العينات) في البيانات. ولنفترض أن N يمثل حجم العينة لجميع المجموعات. ولنفترض أن X_{_ij} يمثل ^القيمة i في ^{المجموعة} j . يتم حساب الدرجات المعيارية كما يلي:

${\displaystyle A_{ij}=\Phi ^{-1}\left({\frac {R(X_{ij})}{N+1}}\right)}$

حيث يرمز R ( Xij ₎ إلى رتبة المشاهدة Xij _، وحيث يرمز Φ⁻¹ إلى دالة الكمية الطبيعية . ويمكن بعد ذلك حساب متوسط ​​الدرجات الطبيعية لكل عينة على النحو التالي ^:

${\displaystyle {\bar {A}}_{j}={\frac {1}{n_{j}}}\sum _{i=1}^{n_{j}}A_{ij}\quad j=1,2,\ldots ,k}$

يمكن حساب تباين الدرجات المعيارية على النحو التالي:

${\displaystyle s^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum _{j=1}^{k}\sum _{i=1}^{n_{j}}A_{ij}^{2}}$

ويمكن تعريف اختبار فان دير فاردن على النحو التالي:

الفرضية الصفرية (H0 ₎ : تميل جميع دوال توزيع السكان k إلى إعطاء نفس الملاحظة

H _a : يميل أحد المجموعات السكانية على الأقل إلى إعطاء ملاحظات أكبر من واحد على الأقل من المجموعات السكانية الأخرى

إحصائية الاختبار هي

${\displaystyle T_{1}={\frac {1}{s^{2}}}\sum _{j=1}^{k}n_{j}{\bar {A}}_{j}^{2}}$

بالنسبة لمستوى الدلالة α، فإن المنطقة الحرجة هي

${\displaystyle T_{1}>\chi _{\alpha ,k-1}^{2}}$

حيث يمثل Χ _{α,k − 1} ² الكمية α لتوزيع كاي تربيع بدرجات حرية k − 1. تُرفض الفرضية الصفرية إذا كانت إحصائية الاختبار في المنطقة الحرجة. في حال رفض فرضية التوزيعات المتطابقة، يمكن إجراء مقارنة متعددة لتحديد أزواج المجتمعات التي تميل إلى الاختلاف. يبدو أن المجتمعين j ₁ و j ₂ مختلفان إذا تحققت المتباينة التالية:

${\displaystyle \left\vert {\bar {A}}_{j_{1}}-{\bar {A}}_{j_{2}}\right\vert >s\,t_{1-\alpha /2}{\sqrt {\frac {N-1-T_{1}}{Nk}}}{\sqrt {{\frac {1}{n_{j_{1}}}}+{\frac {1}{n_{j_{2}}}}}}}$

مع t _{1 − α/2} الكمية (1 − α/2) لتوزيع t .

يُعد اختبار كروسكال-واليس الاختبار اللامعلمي الأكثر شيوعًا لنموذج العامل الواحد . يعتمد هذا الاختبار على رتب البيانات. أما اختبار فان دير فاردن، فيتميز بكفاءة عالية تُضاهي تحليل التباين القياسي (ANOVA) عند استيفاء شروط التوزيع الطبيعي، ولكنه في الوقت نفسه يتمتع بمتانة اختبار كروسكال-واليس عند عدم استيفاء هذه الشروط.

• كونوفير، دبليو جيه (1999). الإحصاءات العملية غير البارامترية (  الطبعة الثالثة). وايلي. ص 396-406 . 

• van der Waerden, BL (1952). "اختبارات الترتيب لمشكلة العينتين وقوتها"، Indagationes Mathematicae ، 14، 453-458 .
• فان دير وايردن، بي إل (1953). “اختبارات الترتيب لمشكلة العينتين. II، III”، وقائع Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen، Serie A ، 564، 303 – 310، 311 – 316.

 تتضمن هذه المقالة موادًا متاحة للعموم من المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا