توزيع مربع كاي

يُستخدم توزيع كاي تربيع بشكل أساسي في اختبار الفرضيات، وبدرجة أقل في حساب فترات الثقة لتباين المجتمع عندما يكون التوزيع الأساسي طبيعيًا. وعلى عكس التوزيعات الأكثر شيوعًا، كالتوزيع الطبيعي والتوزيع الأسي ، لا يُستخدم توزيع كاي تربيع بكثرة في النمذجة المباشرة للظواهر الطبيعية. ويظهر في اختبارات الفرضيات التالية، من بين أمور أخرى:

• اختبار مربع كاي للاستقلال في جداول التوافق
• اختبار مربع كاي لمدى ملاءمة البيانات المرصودة للتوزيعات الافتراضية
• اختبار نسبة الاحتمال للنماذج المتداخلة
• اختبار لوغ رانك في تحليل البقاء
• اختبار كوكران-مانتل-هينزل لجداول التوافق الطبقية
• اختبار والد
• اختبار النتيجة

كما أنه عنصر من عناصر تعريف توزيع t وتوزيع F المستخدم في اختبارات t وتحليل التباين وتحليل الانحدار.

السبب الرئيسي لاستخدام توزيع كاي تربيع على نطاق واسع في اختبار الفرضيات هو علاقته بالتوزيع الطبيعي. تستخدم العديد من اختبارات الفرضيات إحصائية اختبار، مثل إحصائية t في اختبار t . في هذه الاختبارات، مع ازدياد حجم العينة ( n )، يقترب توزيع المعاينة لإحصائية الاختبار من التوزيع الطبيعي ( نظرية النهاية المركزية ). ولأن إحصائية الاختبار (مثل t ) تتبع التوزيع الطبيعي تقاربياً، فإنه بشرط أن يكون حجم العينة كبيراً بما يكفي، يمكن تقريب التوزيع المستخدم لاختبار الفرضيات بتوزيع طبيعي. يُعد اختبار الفرضيات باستخدام التوزيع الطبيعي مفهوماً جيداً وسهلاً نسبياً. أبسط توزيع كاي تربيع هو مربع التوزيع الطبيعي القياسي. لذا، حيثما أمكن استخدام التوزيع الطبيعي لاختبار الفرضيات، يمكن استخدام توزيع كاي تربيع.

لنفترض أن${\displaystyle Z}$هو متغير عشوائي مأخوذ من التوزيع الطبيعي القياسي، حيث يكون المتوسط ​​هو${\displaystyle 0}$والتباين هو${\displaystyle 1}$:${\displaystyle Z\sim N(0,1)}$والآن، لننظر إلى المتغير العشوائي${\displaystyle X=Z^{2}}$توزيع المتغير العشوائي${\displaystyle X}$هذا مثال على توزيع كاي تربيع:${\displaystyle \ X\ \sim \ \chi _{1}^{2}}$يشير الرقم السفلي 1 إلى أن توزيع كاي تربيع هذا مُشتق من توزيع طبيعي معياري واحد فقط. ويُقال إن توزيع كاي تربيع المُشتق من تربيع توزيع طبيعي معياري واحد له درجة حرية واحدة. وبالتالي، مع ازدياد حجم العينة لاختبار الفرضية، يقترب توزيع إحصائية الاختبار من التوزيع الطبيعي. وكما أن القيم المتطرفة في التوزيع الطبيعي لها احتمالية منخفضة (وتعطي قيم p صغيرة)، فإن القيم المتطرفة في توزيع كاي تربيع لها احتمالية منخفضة أيضًا.

من الأسباب الإضافية لانتشار استخدام توزيع كاي تربيع أنه يظهر كتوزيع مناسب للعينات الكبيرة في اختبارات نسبة الاحتمال المعممة (LRT). ^{[ 8 ]} تتمتع اختبارات نسبة الاحتمال بعدة خصائص مرغوبة؛ فعلى وجه الخصوص، توفر اختبارات نسبة الاحتمال البسيطة عادةً أعلى قدرة على رفض الفرضية الصفرية ( مبدأ نيمان-بيرسون )، وهذا بدوره يؤدي إلى خصائص مثالية لاختبارات نسبة الاحتمال المعممة. مع ذلك، فإن تقريبي التوزيع الطبيعي وكاي تربيع صالحان فقط عند التقارب. لهذا السبب، يُفضل استخدام توزيع t بدلاً من تقريب التوزيع الطبيعي أو تقريب كاي تربيع في حالة العينات الصغيرة. وبالمثل، في تحليلات جداول التوافق، يكون تقريب كاي تربيع ضعيفًا في حالة العينات الصغيرة، ويُفضل استخدام اختبار فيشر الدقيق . يُبين رامزي أن اختبار ذي الحدين الدقيق يكون دائمًا أقوى من تقريب التوزيع الطبيعي. ^{[ 9 ]}

يوضح لانكستر الروابط بين التوزيعات ذات الحدين، والتوزيع الطبيعي، وتوزيع كاي تربيع، كما يلي. ^{[ 10 ]} أثبت دي مويفر ولابلاس أن التوزيع ذي الحدين يمكن تقريبه بتوزيع طبيعي. وعلى وجه التحديد، أظهرا التقارب الطبيعي للمتغير العشوائي.

$${\displaystyle \chi ={\frac {m-Np}{\sqrt {Npq}}}}$$

أين${\displaystyle m}$يمثل عدد النجاحات الملحوظة في${\displaystyle N}$التجارب، حيث احتمال النجاح هو${\displaystyle p}$، و${\displaystyle q=1-p}$.

بتربيع طرفي المعادلة نحصل على

$${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\left(m-Np\right)^{2}}{Npq}}}$$

استخدام${\displaystyle N=Np+N(1-p)}$،${\displaystyle N=m+(N-m)}$، و${\displaystyle q=1-p}$يمكن إعادة كتابة هذه المعادلة على النحو التالي

$${\displaystyle \chi ^{2}={\frac {\left(m-Np\right)^{2}}{Np}}+{\frac {\left(N-m-Nq\right)^{2}}{Nq}}}$$

العبارة الموجودة على اليمين هي من الشكل الذي سيعممه كارل بيرسون إلى الشكل التالي:

$${\displaystyle \chi ^{2}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\left(O_{i}-E_{i}\right)^{2}}{E_{i}}}}$$

أين

• ${\displaystyle \chi ^{2}}$= إحصائية اختبار بيرسون التراكمية، والتي تقترب بشكل مقارب من a${\displaystyle \chi ^{2}}$توزيع؛
• ${\displaystyle O_{i}}$= عدد الملاحظات من النوع${\displaystyle i}$؛
• ${\displaystyle E_{i}=Np_{i}}$= التردد المتوقع (النظري) للنوع${\displaystyle i}$، كما تؤكد الفرضية الصفرية أن نسبة النوع${\displaystyle i}$في السكان${\displaystyle p_{i}}$؛ و
• ${\displaystyle n}$= عدد الخلايا في الجدول.

في حالة النتيجة ذات الحدين (رمي قطعة نقدية)، يمكن تقريب التوزيع ذي الحدين بتوزيع طبيعي (لعدد كبير بما فيه الكفاية).${\displaystyle n}$بما أن مربع التوزيع الطبيعي القياسي هو توزيع كاي تربيع بدرجة حرية واحدة، فإن احتمال الحصول على نتيجة مثل ظهور صورة واحدة في عشر محاولات يمكن تقريبه إما باستخدام التوزيع الطبيعي مباشرةً، أو باستخدام توزيع كاي تربيع للفرق التربيعي المعياري بين القيمة المرصودة والقيمة المتوقعة. مع ذلك، تتضمن العديد من المسائل أكثر من نتيجتين محتملتين للتوزيع ذي الحدين، وتتطلب بدلاً من ذلك ثلاث فئات أو أكثر، مما يؤدي إلى التوزيع متعدد الحدود. وكما سعى دي مويفر ولابلاس إلى إيجاد التقريب الطبيعي للتوزيع ذي الحدين ووجداه، سعى بيرسون إلى إيجاد تقريب طبيعي متعدد المتغيرات متدهور للتوزيع متعدد الحدود ووجده (حيث مجموع الأعداد في كل فئة يساوي حجم العينة الكلي، والذي يُعتبر ثابتًا). وقد بيّن بيرسون أن توزيع كاي تربيع نشأ من هذا التقريب الطبيعي متعدد المتغيرات للتوزيع متعدد الحدود، مع مراعاة دقيقة للتبعية الإحصائية (الارتباطات السلبية) بين أعداد المشاهدات في الفئات المختلفة. ^{[ 10 ]}

دالة كثافة الاحتمال (pdf) لتوزيع كاي تربيع هي $${\displaystyle f(x;\,k)={\begin{cases}{\dfrac {x^{k/2-1}e^{-x/2}}{2^{k/2}\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}},&x>0;\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$ أين${\textstyle \Gamma (k/2)}$يرمز إلى دالة جاما ، والتي لها قيم مغلقة الشكل للأعداد الصحيحة${\displaystyle k}$.

للحصول على اشتقاقات دالة كثافة الاحتمال في حالات واحد، واثنين، و${\displaystyle k}$درجات الحرية، انظر البراهين المتعلقة بتوزيع مربع كاي .

دالة التوزيع التراكمي الخاصة بها هي: $${\displaystyle F(x;\,k)={\frac {\gamma {\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}=P{\left({\frac {k}{2}},\,{\frac {x}{2}}\right)},}$$ أين${\displaystyle \gamma (s,t)}$هي دالة غاما غير المكتملة الدنيا و${\textstyle P(s,t)}$هي دالة غاما المنتظمة .

في حالة خاصة من${\displaystyle k=2}$تأخذ هذه الدالة الشكل البسيط التالي: $${\displaystyle F(x;\,2)=1-e^{-x/2}}$$ والتي يمكن اشتقاقها بسهولة عن طريق التكامل${\textstyle f(x;\,2)={\frac {1}{2}}e^{-x/2}}$بشكل مباشر. إن التكرار الصحيح لدالة جاما يجعل حسابها سهلاً.${\displaystyle F(x;\,k)}$أما بالنسبة للأشياء الصغيرة الأخرى، حتى${\displaystyle k}$.

تتوفر جداول دالة التوزيع التراكمي لـ χ² على نطاق واسع، ويتم تضمين هذه الدالة في العديد من جداول البيانات وجميع الحزم الإحصائية .

تأجير${\displaystyle z\equiv x/k}$يمكن الحصول على حدود تشيرنوف على الطرفين السفلي والعلوي لدالة التوزيع التراكمي. ^[11 ] ^{في الحالات} التي${\displaystyle 0<z<1}$(والتي تشمل جميع الحالات التي تكون فيها قيمة دالة التوزيع التراكمي هذه أقل من النصف): ${\displaystyle F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$

الحد الأقصى للذيل في الحالات التي${\displaystyle z>1}$وبالمثل، هو $${\displaystyle 1-F(zk;\,k)\leq (ze^{1-z})^{k/2}.}$$

للحصول على تقريب آخر لدالة التوزيع التراكمي المصممة على غرار مكعب التوزيع الغاوسي، انظر تحت توزيع مربع كاي غير المركزي .

فيما يلي حالة خاصة من نظرية كوكران.

نظرية. إذا${\displaystyle Z_{1},...,Z_{n}}$إذا كانت متغيرات عشوائية مستقلة ومتطابقة التوزيع (iid) وطبيعية قياسية ، فإن${\textstyle \sum _{t=1}^{n}\left(Z_{t}-{\bar {Z}}\right)^{2}\sim \chi _{n-1}^{2}}$ أين${\textstyle {\bar {Z}}={\frac {1}{n}}\sum _{t=1}^{n}Z_{t}.}$

يستنتج من تعريف توزيع كاي تربيع أن مجموع متغيرات كاي تربيع المستقلة يتبع أيضًا توزيع كاي تربيع. تحديدًا، إذا${\displaystyle X_{i},i={\overline {1,n}}}$هي متغيرات مستقلة من نوع مربع كاي مع${\displaystyle k_{i}}$،${\displaystyle i={\overline {1,n}}}$درجات الحرية، على التوالي، ثم${\displaystyle Y=X_{1}+\cdots +X_{n}}$يتم توزيعها وفقًا لتوزيع كاي تربيع مع${\displaystyle k_{1}+\cdots +k_{n}}$درجات الحرية.

متوسط ​​العينة لـ${\displaystyle n}$متغيرات مربع كاي مستقلة ومتطابقة التوزيع من الدرجة${\displaystyle k}$يتم توزيعها وفقًا لتوزيع جاما ذي شكل${\displaystyle \alpha }$والمقياس${\displaystyle \theta }$حدود: $${\displaystyle {\overline {X}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Gamma} \left(\alpha {=}{\tfrac {nk}{2}},\,\theta {=}{\tfrac {2}{n}}\right)\qquad {\text{where }}X_{i}\sim \chi ^{2}(k)}$$

تقاربياً ، بالنظر إلى ذلك بالنسبة لمعامل الشكل${\displaystyle \alpha }$عندما تؤول قيمة توزيع جاما إلى اللانهاية، فإنها تتقارب نحو التوزيع الطبيعي بقيمة متوقعة.${\displaystyle \mu =\alpha \theta }$والتباين${\displaystyle \sigma ^{2}=\alpha \theta ^{2}}$، يتقارب متوسط ​​العينة نحو:

$${\displaystyle {\overline {X}}\xrightarrow {n\to \infty } N{\left(\mu {=}k,\,\sigma ^{2}{=}{\tfrac {2k}{n}}\right)}}$$

لاحظ أنه كان بإمكاننا الحصول على النتيجة نفسها باستخدام نظرية النهاية المركزية بدلاً من ذلك ، مع ملاحظة أنه لكل متغير مربع كاي من الدرجة${\displaystyle k}$المتوقع هو${\displaystyle k}$وتباينها​${\displaystyle 2k}$(وبالتالي تباين متوسط ​​العينة)${\displaystyle {\overline {X}}}$كون${\textstyle \sigma ^{2}={\tfrac {2k}{n}}}$).

يُعطى الانتروبيا التفاضلية بالصيغة التالية :$${\displaystyle {\begin{aligned}h&=\int _{0}^{\infty }f(x;\,k)\ln f(x;\,k)\,dx\\&={\frac {k}{2}}+\ln \left[2\,\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}\right]+\left(1-{\frac {k}{2}}\right)\psi \!\left({\frac {k}{2}}\right),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \psi (x)}$هي دالة ديجاما .

يُعد توزيع كاي تربيع توزيع الاحتمالية ذو الإنتروبيا القصوى لمتغير عشوائي.${\displaystyle X}$والتي${\displaystyle \operatorname {E} (X)=k}$و${\displaystyle \operatorname {E} (\ln(X))=\psi (k/2)+\ln(2)}$ثابتة. بما أن توزيع كاي تربيع ينتمي إلى عائلة توزيعات جاما، فيمكن اشتقاق ذلك باستبدال القيم المناسبة في توقع عزم لوغاريتم جاما . للاطلاع على الاشتقاق من مبادئ أكثر أساسية، انظر الاشتقاق في دالة توليد العزوم للإحصائية الكافية .

العزوم غير المركزية (العزوم الخام) لتوزيع كاي تربيع مع${\displaystyle k}$يتم تحديد درجات الحرية بواسطة ^{[ 12 ] [ 13 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X^{m})&=k(k+2)(k+4)\cdots (k+2m-2)\\[1ex]&=2^{m}{\frac {\Gamma {\left(m+{\frac {k}{2}}\right)}}{\Gamma {\left({\frac {k}{2}}\right)}}}.\end{aligned}}}$$

يمكن الحصول على العزوم التراكمية بسهولة عن طريق توسيع متسلسلة القوى للوغاريتم الدالة المميزة: $${\displaystyle \kappa _{n}=2^{n-1}(n-1)!\,k}$$ باستخدام دالة توليد العزوم${\textstyle \ln \operatorname {E} [e^{tX}]=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}$.

يُظهر توزيع كاي تربيع تركيزًا قويًا حول متوسطه. حدود لوران-ماسارت القياسية ^{[ 14 ]} هي: $${\displaystyle \Pr(X-k\geq 2{\sqrt {kx}}+2x)\leq e^{-x}}$$$${\displaystyle \Pr(k-X\geq 2{\sqrt {kx}})\leq e^{-x}}$$ إحدى النتائج المترتبة على ذلك هي أنه إذا${\displaystyle Z\sim N(0,1)^{k}}$هو متجه عشوائي غاوسي في${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ثم كبعد${\displaystyle k}$عندما يزداد طول المتجه، يتركز مربع طول المتجه بإحكام حول${\displaystyle k}$بعرض${\displaystyle k^{1/2+\alpha }}$:$${\displaystyle \Pr \left(\left\|Z\right\|^{2}\in \left[k-2k^{1/2+\alpha },\;k+2k^{1/2+\alpha }+2k^{\alpha }\right]\right)\geq 1-e^{-k^{\alpha }}}$$حيث الأس${\displaystyle \alpha }$يمكن اختيار أي قيمة في${\displaystyle \mathbb {R} }$.

بما أن دالة توليد العزوم التراكمية لـ${\displaystyle \chi ^{2}(k)}$يكون${\textstyle K(t)=-{\frac {k}{2}}\ln(1-2t)}$، ونظيرها المحدب هو${\textstyle K^{*}(q)={\frac {1}{2}}\left(q-k+k\ln {\frac {k}{q}}\right)}$، ينتج عن حد تشيرنوف القياسي$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln \Pr(X\geq (1+\varepsilon )k)&\leq -{\frac {k}{2}}\left(\varepsilon -\ln(1+\varepsilon )\right)\\\ln \Pr(X\leq (1-\varepsilon )k)&\leq -{\frac {k}{2}}\left(-\varepsilon -\ln(1-\varepsilon )\right)\end{aligned}}}$$أين${\displaystyle 0<\varepsilon <1}$بواسطة الاتحاد المتجه،$${\displaystyle Pr(X\in (1\pm \varepsilon )k)\geq 1-2e^{-{\frac {k}{2}}({\frac {1}{2}}\varepsilon ^{2}-{\frac {1}{3}}\varepsilon ^{3})}}$$تُستخدم هذه النتيجة في إثبات ليمّة جونسون-ليندنستراوس . ^{[ 15 ]}

بحسب نظرية النهاية المركزية ، لأن توزيع كاي تربيع هو مجموع${\displaystyle k}$المتغيرات العشوائية المستقلة ذات المتوسط ​​والتباين المحدودين، تتقارب إلى التوزيع الطبيعي عند القيم الكبيرة${\displaystyle k}$لأغراض عملية عديدة، من أجل${\displaystyle k>50}$التوزيع قريب بما فيه الكفاية من التوزيع الطبيعي ، لذا يمكن تجاهل الفرق. ^{[ 16 ]} تحديدًا، إذا${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$ثم كما${\displaystyle k}$يميل التوزيع إلى اللانهاية${\displaystyle (X-k)/{\sqrt {2k}}}$يميل التوزيع إلى التوزيع الطبيعي القياسي. ومع ذلك، يكون التقارب بطيئًا نظرًا لارتفاع معامل الالتواء .${\textstyle {\sqrt {8/k}}}$والفرط في التفرطح هو${\displaystyle 12/k}$.

التوزيع الاحتمالي لـ${\displaystyle \ln(\chi ^{2})}$يتقارب مع التوزيع الطبيعي أسرع بكثير من توزيع المعاينة لـ${\displaystyle \chi ^{2}}$[ ^{17 ]} حيث أن ^{التحويل} اللوغاريتمي يزيل الكثير من عدم التناظر. ^{[ 18 ]}

تتقارب بعض دوال توزيع كاي تربيع الأخرى بشكل أسرع نحو التوزيع الطبيعي. ومن الأمثلة على ذلك:

• لو${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$ثم${\displaystyle {\sqrt {2X}}}$يتوزع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا بمتوسط${\displaystyle {\sqrt {2k-1}}}$وتباين الوحدة (1922، بواسطة آر إيه فيشر ، انظر (18.23)، ص  426 من جونسون). ^{[ 5 ]}
• لو${\displaystyle X\sim \chi ^{2}(k)}$ثم${\textstyle {\sqrt[{3}]{X/k}}}$يتوزع توزيعًا طبيعيًا تقريبًا بمتوسط${\displaystyle 1-{\frac {2}{9k}}}$والتباين${\displaystyle {\frac {2}{9k}}.}$^{[ 19 ]} يُعرف هذا باسمتحويل ويلسون-هيلفرتي، انظر (18.24)، صفحة 426 من جونسون. ^{[ 5 ]}
  • يؤدي هذا التحويل المعياري مباشرةً إلى تقريب الوسيط المستخدم بشكل شائع.${\displaystyle k{\bigg (}1-{\frac {2}{9k}}{\bigg )}^{3}\;}$عن طريق التحويل العكسي من المتوسط، وهو أيضاً الوسيط، للتوزيع الطبيعي.

يُحسب توزيع كاي تربيع كمجموع مربعات k من المتغيرات العشوائية الغاوسية المستقلة، ذات المتوسط ​​الصفري والتباين الواحد. ويمكن الحصول على تعميمات لهذا التوزيع بجمع مربعات أنواع أخرى من المتغيرات العشوائية الغاوسية. وفيما يلي وصف لبعض هذه التوزيعات.

لو${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$هي متغيرات عشوائية من نوع مربع كاي و${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\in \mathbb {R} _{>0}}$ثم توزيع${\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}a_{i}X_{i}}$يُعدّ هذا التوزيع حالة خاصة من توزيع كاي تربيع المعمم . ولا توجد صيغة مغلقة معروفة لهذا التوزيع. ومع ذلك، يمكن تقريبه بكفاءة باستخدام خاصية الدوال المميزة لمتغيرات كاي تربيع العشوائية. ^{[ 21 ]}

توزيع كاي تربيع${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$هي حالة خاصة من توزيع جاما ، من حيث أن${\textstyle X\sim \Gamma {\left({\tfrac {k}{2}},{\tfrac {1}{2}}\right)}}$باستخدام معلمات معدل توزيع جاما (أو${\textstyle X\sim \Gamma {\left({\tfrac {k}{2}},2\right)}}$باستخدام معلمات المقياس لتوزيع جاما) حيث k عدد صحيح.

ولأن التوزيع الأسي هو أيضاً حالة خاصة من توزيع جاما، فإنه ينطبق أيضاً إذا${\displaystyle X\sim \chi _{2}^{2}}$، ثم${\textstyle X\sim \operatorname {exp} \left({\tfrac {1}{2}}\right)}$هو توزيع أسي .

يُعد توزيع إيرلانغ حالة خاصة من توزيع غاما، وبالتالي لدينا أيضًا أنه إذا${\displaystyle X\sim \chi _{k}^{2}}$حتى مع${\displaystyle k}$، ثم${\displaystyle X}$يتم توزيع إرلانج بمعامل شكل${\displaystyle k/2}$ومعامل المقياس${\displaystyle 1/2}$.

ال${\textstyle p}$قيمة p هي احتمال الحصول على إحصائية اختبار متطرفة على الأقل في توزيع كاي تربيع. وبناءً على ذلك، ولأن دالة التوزيع التراكمي (CDF) لدرجات الحرية المناسبة (df) تعطي احتمال الحصول على قيمة أقل تطرفًا من هذه النقطة، فإن طرح قيمة دالة التوزيع التراكمي من 1 يعطي قيمة p . تشير قيمة p المنخفضة ، أي أقل من مستوى الدلالة المحدد، إلى دلالة إحصائية ، أي وجود دليل كافٍ لرفض الفرضية الصفرية. غالبًا ما يُستخدم مستوى دلالة 0.05 كحد فاصل بين النتائج الدالة وغير الدالة.

يُبيّن الجدول أدناه عددًا من قيم p المطابقة لـ${\displaystyle \chi ^{2}}$لأول 10 درجات من الحرية.

درجات الحرية (df)	${\displaystyle \chi ^{2}}$القيمة [ 23 ]
1	0.004	0.02	0.06	0.15	0.46	1.07	1.64	2.71	3.84	6.63	10.83
2	0.10	0.21	0.45	0.71	1.39	2.41	3.22	4.61	5.99	9.21	13.82
3	0.35	0.58	1.01	1.42	2.37	3.66	4.64	6.25	7.81	11.34	16.27
4	0.71	1.06	1.65	2.20	3.36	4.88	5.99	7.78	9.49	13.28	18.47
5	1.14	1.61	2.34	3.00	4.35	6.06	7.29	9.24	11.07	15.09	20.52
6	1.63	2.20	3.07	3.83	5.35	7.23	8.56	10.64	12.59	16.81	22.46
7	2.17	2.83	3.82	4.67	6.35	8.38	9.80	12.02	14.07	18.48	24.32
8	2.73	3.49	4.59	5.53	7.34	9.52	11.03	13.36	15.51	20.09	26.12
9	3.32	4.17	5.38	6.39	8.34	10.66	12.24	14.68	16.92	21.67	27.88
10	3.94	4.87	6.18	7.27	9.34	11.78	13.44	15.99	18.31	23.21	29.59
قيمة p (احتمال)	0.95	0.90	0.80	0.70	0.50	0.30	0.20	0.10	0.05	0.01	0.001

يمكن حساب هذه القيم من خلال تقييم دالة الكمية (المعروفة أيضًا باسم "دالة التوزيع التراكمي العكسي" أو "دالة التوزيع التراكمي العكسي") لتوزيع مربع كاي؛ ^{[ 24 ]} على سبيل المثال، دالة التوزيع التراكمي ^العكسي χ² لـ p = 0.05 و df = 7 تعطي 2.1673 ≈ 2.17 كما هو موضح في الجدول أعلاه، مع ملاحظة أن 1 – p هي قيمة p من الجدول.