صيغ ويبل

في نظرية الدوال الخاصة ، يُشتق تحويل ويبل لدوال ليجندر ، نسبةً إلى فرانسيس جون ويلش ويبل ، من صيغة عامة تتعلق بدوال ليجندر المرتبطة . وقد عُرضت هذه الصيغ سابقًا من منظور التوافقيات الكروية ، أما الآن، وبعد النظر إلى المعادلات من منظور الإحداثيات الحلقية ، تظهر تناظرات جديدة تمامًا لدوال ليجندر.

بالنسبة لدوال ليجندر المرتبطة من النوع الأول والثاني،

${\displaystyle P_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}={\frac {(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\mu \pi }Q_{\nu }^{\mu }(ض)}{(\pi /2)^{1/2}\جاما (\nu +\mu +1)}}}$

و

${\displaystyle Q_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}=-i(\pi /2)^{1/2}\Gamma (-\nu -\mu) )(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\nu \pi}P_{\nu }^{\mu }(z).}$

هذه التعبيرات صالحة لجميع المعاملات${\displaystyle \nu ,\mu ,}$و${\displaystyle z}$عن طريق تغيير درجة ورتبة العقدة بطريقة مناسبة، نحصل على صيغ ويبل لتبادل مؤشرات العقدة العامة لدوال ليجندر المرتبطة العامة من النوع الأول والثاني. وتُعطى هذه الصيغ بواسطة

$// -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}+\cos \pi (\nu +\mu )e^{-i\nu \pi}Q_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt) {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

و

${\displaystyle Q_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {e^{i\mu \pi }\Gamma (\mu -\nu +{\frac {1}{2}})(\pi /2)^{1/2}}{(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl [}P_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}-{\frac {2}{\pi }}e^{-i\nu \pi }\sin \nu \pi Q_{\mu - {\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt) {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}.}$

لاحظ أن هذه الصيغ صحيحة لجميع قيم الدرجة والرتبة، باستثناء القيم الصحيحة . ومع ذلك، إذا فحصنا هذه الصيغ للتوافقيات الحلقية، أي عندما تكون الدرجة نصف عدد صحيح ، والرتبة عددًا صحيحًا، والوسيط موجبًا وأكبر من واحد، فسنحصل على

${\displaystyle P_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m-n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {2}{\pi \sinh \eta}}}Q_ {n- {\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \يتا )}$

و

$$$ {1}{2}}}^{م}(\coth \eta )}$.

هذه هي صيغ ويبل للتوافقيات الحلقية. وهي تُظهر خاصية مهمة للتوافقيات الحلقية عند تبديل المؤشر (الأعداد الصحيحة المرتبطة بالرتبة والدرجة).

• كول، هوارد س.؛ جيه إي توهلين؛ إيه آر بي راو؛ إتش إم سريفاستافا (2000). "تطورات في تحديد الجهد التثاقلي باستخدام الدوال الحلقية". Astronomische Nachrichten . 321 (5/6): 363–372 . Bibcode : 2000AN....321..363C . doi : 10.1002/1521-3994(200012)321:5/6 < 363::AID-ASNA363 > 3.0.CO ; 2-X .