إثبات المعرفة الصفرية

الموسوعة الحرة

في علم التشفير ، يُعرف برهان المعرفة الصفرية ( ZK ) بأنه بروتوكول يمكّن أحد الطرفين (المُثبت) من إقناع الطرف الآخر (المُدقِّق) بصحة عبارة معينة، دون تزويد المُدقِّق بأي معلومات تتجاوز مجرد صحة تلك العبارة. [ 1 ] يكمن جوهر صعوبة براهين المعرفة الصفرية في سهولة إثبات امتلاك المعلومات ذات الصلة بمجرد الكشف عنها؛ أما الصعوبة فتكمن في إثبات هذا الامتلاك دون الكشف عن هذه المعلومات (أو أي جانب منها). [ 2 ]

في ضوء حقيقة أنه لا ينبغي للمرء أن يكون قادراً على إثبات صحة بيان ما إلا عند امتلاكه معلومات سرية معينة مرتبطة بهذا البيان، فإن المدقق، حتى بعد اقتناعه بصحة البيان عن طريق دليل المعرفة الصفرية، يجب أن يظل غير قادر على إثبات صحة البيان لأطراف ثالثة أخرى.

يمكن أن تكون براهين المعرفة الصفرية تفاعلية، أي أن المُثبت والمُدقِّق يتبادلان الرسائل وفقًا لبروتوكول مُحدد، أو غير تفاعلية، أي أن المُدقِّق يقتنع برسالة واحدة من المُثبت ولا حاجة إلى أي اتصال آخر. في النموذج القياسي ، التفاعل مطلوب، باستثناء البراهين البسيطة لمسائل BPP . [ 3 ] في نماذج السلاسل العشوائية الشائعة ونماذج أوراكل العشوائية ، توجد براهين معرفة صفرية غير تفاعلية . يمكن استخدام طريقة فيات-شامير الاستدلالية لتحويل بعض براهين المعرفة الصفرية التفاعلية إلى براهين غير تفاعلية. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]

أمثلة مجردة

دليل البطاقة الحمراء

من الأمثلة على برهان المعرفة الصفرية الخالي من الرياضيات، أن بيغي تريد أن تثبت لفيكتور أنها سحبت بطاقة حمراء من مجموعة أوراق لعب قياسية مكونة من 52 ورقة، دون أن تكشف عن البطاقة الحمراء التي تحملها. يراقب فيكتور بيغي وهي تسحب بطاقة عشوائيًا من المجموعة بعد خلطها، لكنها تُبقي البطاقة مقلوبة حتى لا يراها.

لإثبات أن ورقتها حمراء دون الكشف عن هويتها، أخذت بيغي الأوراق الـ 51 المتبقية من المجموعة، وعرضت على فيكتور جميع الأوراق السوداء الـ 26 (13 ورقة من البستوني و13 ورقة من النادي) واحدة تلو الأخرى، واضعةً إياها مكشوفة على الطاولة. وبما أن مجموعة أوراق اللعب القياسية تحتوي على 26 ورقة حمراء و26 ورقة سوداء بالضبط، وقد أثبتت بيغي أن جميع الأوراق السوداء لا تزال موجودة في المجموعة، يستطيع فيكتور أن يستنتج بيقين أن ورقة بيغي المخفية لا بد أن تكون حمراء.

هذا البرهان ذو معرفة صفرية، لأن فيكتور يعلم فقط أن ورقة بيغي حمراء، دون أن يحصل على أي معلومات حول ما إذا كانت قلبًا أم ماسًا، أو أي ورقة حمراء تحديدًا تحملها. سيكون البرهان مقنعًا بنفس القدر سواءً كانت بيغي تحمل آس القلوب أو اثنين الماس. علاوة على ذلك، حتى لو تم تسجيل التفاعل، فلن يكشف التسجيل عن ورقة بيغي المحددة للمراقبين في المستقبل، مما يحافظ على خاصية المعرفة الصفرية.

لو كانت بيغي تكذب وتحمل بالفعل ورقة سوداء، لما استطاعت إخراج جميع الأوراق السوداء الـ 26 المتبقية من مجموعة الأوراق، مما يجعل الخداع مستحيلاً. وهذا يُثبت متانة نظام الإثبات. ينتمي هذا النوع من إثبات المعرفة الصفرية المادي باستخدام أوراق اللعب القياسية إلى فئة أوسع من بروتوكولات التشفير القائمة على الأوراق، والتي تُمكّن المشاركين من إجراء عمليات حسابية آمنة باستخدام أدوات يومية. [ 7 ]

أين والدو؟

من الأمثلة المعروفة الأخرى على برهان المعرفة الصفرية مثال "أين والدو؟". في هذا المثال، يمتلك المُثبت صفحة من كتاب أطفال بعنوان " أين والدو؟" ، تحتوي على مئات الشخصيات الكرتونية، من بينها شخصية والدو المميزة بصريًا. يريد المُثبت أن يُثبت للمُدقِّق أنه يعرف مكان والدو على الصفحة، دون الكشف عن موقعه له. [ 8 ]

يبدأ المُختَبِر بأخذ لوح أسود كبير به ثقب صغير بحجم والدو. يبلغ حجم اللوح ضعف حجم الكتاب في كلا الاتجاهين، بحيث لا يستطيع المُدقِّق رؤية مكان وضع المُختَبِر له على الصفحة. ثم يضع المُختَبِر اللوح فوق الصفحة بحيث يكون والدو داخل الثقب. [ 8 ]

يستطيع المُدقِّق الآن النظر عبر الثقب ورؤية والدو، لكنه لا يستطيع رؤية أي جزء آخر من الصفحة. لذلك، يكون المُثبت قد أثبت للمُدقِّق أنه يعرف مكان والدو، دون الكشف عن أي معلومات أخرى حول موقعه. [ 8 ]

هذا المثال ليس برهانًا مثاليًا لإثبات المعرفة الصفرية، لأن المُثبت يكشف بعض المعلومات عن موقع والدو، مثل وضعية جسده. ومع ذلك، فهو توضيح جيد للمفهوم الأساسي لإثبات المعرفة الصفرية.

مغارة علي بابا

تسلك بيغي إما الطريق أ أو الطريق ب، بينما ينتظر فيكتور في الخارج.
يختار فيكتور مسار الخروج عشوائياً.
تظهر بيغي بانتظام عند المخرج الذي يسميه فيكتور.

هناك قصة معروفة تعرض الأفكار الأساسية لإثباتات المعرفة الصفرية، نُشرت لأول مرة عام 1990 بواسطة جان جاك كيسكواتر وآخرين في ورقتهم البحثية بعنوان "كيفية شرح بروتوكولات المعرفة الصفرية لأطفالك". [ 9 ] الطرفان في قصة إثبات المعرفة الصفرية هما بيغي بصفتها مُثبتة العبارة، وفيكتور بصفته مُتحقق العبارة.

في هذه القصة، اكتشفت بيغي الكلمة السرية لفتح باب سحري في كهف. الكهف على شكل حلقة، مدخله من جهة، والباب السحري يغلق الجهة المقابلة. يريد فيكتور معرفة ما إذا كانت بيغي تعرف الكلمة السرية، لكن بيغي، لكونها شخصية كتومة، لا ترغب في الكشف عن معرفتها (الكلمة السرية) لفيكتور أو حتى للعالم أجمع.

يُسمّون المسارين من المدخل أ و ب. ينتظر فيكتور خارج الكهف بينما تدخل بيغي. تسلك بيغي إما المسار أ أو ب؛ ولا يُسمح لفيكتور برؤية المسار الذي تسلكه. ثم يدخل فيكتور الكهف وينادي باسم المسار الذي يريدها أن تسلكه للعودة، إما أ أو ب، ويتم اختياره عشوائيًا. إذا كانت تعرف الكلمة السحرية بالفعل، فالأمر سهل: تفتح الباب، إن لزم الأمر، وتعود عبر المسار المطلوب.

لكن لنفترض أنها لا تعرف الكلمة. حينها، لن تتمكن من العودة عبر المسار المذكور إلا إذا ذكر فيكتور اسم نفس المسار الذي دخلت منه. وبما أن فيكتور سيختار أ أو ب عشوائيًا، فسيكون لديها فرصة 50% للتخمين الصحيح. إذا كررا هذه الحيلة عدة مرات، ولنقل 20 مرة متتالية، فإن فرصة نجاحها في توقع جميع طلبات فيكتور ستنخفض إلى 1 من 2^ 20 ، أو 9.54 × 10⁻⁷ .

وبالتالي، إذا ظهرت بيغي بشكل متكرر عند المخرج الذي يسميه فيكتور، فإنه يستطيع أن يستنتج أنه من المحتمل للغاية أن بيغي تعرف بالفعل الكلمة السرية.

المراقبة الخارجية

فيما يتعلق بالمراقبين الخارجيين: حتى لو كان فيكتور يرتدي كاميرا خفية تسجل العملية برمتها، فإن ما ستسجله الكاميرا في إحدى الحالتين هو صراخ فيكتور "أ!" وظهور بيغي عند النقطة أ، أو في الحالة الأخرى صراخ فيكتور "ب!" وظهور بيغي عند النقطة ب. سيكون من السهل على أي شخصين تزييف تسجيل من هذا النوع (يكفي أن يتفق فيكتور وبيغي مسبقًا على تسلسل الصراخ "أ" و"ب" الذي سيصرخ به فيكتور). لن يكون هذا التسجيل مقنعًا لأي شخص سوى المشاركين الأصليين. في الواقع، حتى الشخص الذي كان حاضرًا كمراقب في التجربة الأصلية لن يقتنع، إذ من الممكن أن يكون فيكتور وبيغي قد دبرا "التجربة" بأكملها من البداية إلى النهاية.

علاوة على ذلك، إذا اختار فيكتور حرفي "أ" و"ب" عن طريق رمي عملة معدنية أمام الكاميرا، فإن هذا البروتوكول يفقد خاصية انعدام المعرفة؛ إذ من المرجح أن يكون رمي العملة أمام الكاميرا مقنعًا لأي شخص يشاهد التسجيل لاحقًا. وبالتالي، على الرغم من أن هذا لا يكشف الكلمة السرية لفيكتور، إلا أنه يُمكّنه من إقناع العالم بأن بيغي تمتلك تلك المعرفة - وهو ما يتعارض مع رغبات بيغي المعلنة. مع ذلك، تعتمد التشفير الرقمي عمومًا على مولد أرقام شبه عشوائي ، وهو أشبه بعملة معدنية ذات نمط ثابت من الصور والكتابات لا يعرفه إلا مالكها. إذا تصرفت عملة فيكتور بهذه الطريقة، فسيكون من الممكن لفيكتور وبيغي تزييف التجربة، لذا فإن استخدام مولد أرقام شبه عشوائي لن يكشف معرفة بيغي للعالم بنفس طريقة استخدام عملة معدنية مرمية.

بإمكان بيغي أن تثبت لفيكتور أنها تعرف الكلمة السحرية، دون أن تفصح عنها له، في تجربة واحدة. إذا ذهب كل من فيكتور وبيغي معًا إلى مدخل الكهف، يستطيع فيكتور أن يراقب بيغي وهي تدخل من البوابة (أ) وتخرج من البوابة (ب). وهذا من شأنه أن يثبت بشكل قاطع أن بيغي تعرف الكلمة السحرية، دون أن تفصح عنها لفيكتور. مع ذلك، يمكن لأي طرف ثالث أن يلاحظ هذا الدليل، أو أن يسجله فيكتور، وسيكون هذا الدليل مقنعًا لأي شخص. بعبارة أخرى، لا تستطيع بيغي دحض هذا الدليل بادعاء تواطئها مع فيكتور، وبالتالي لم تعد تتحكم بمن يعلم بمعرفتها.

كرتان وصديق مصاب بعمى الألوان

تخيل أن فيكتور مصاب بعمى الألوان الأحمر والأخضر (بينما بيغي ليست كذلك)، وأن بيغي لديها كرتان: واحدة حمراء والأخرى خضراء، لكنهما متطابقتان تمامًا. تبدو الكرتان لفيكتور متطابقتين تمامًا، وهو متشكك في إمكانية التمييز بينهما. تريد بيغي أن تثبت لفيكتور أن الكرتين مختلفتان في اللون ، لا أكثر. تحديدًا، لا تريد بيغي أن تكشف أي كرة حمراء وأيها خضراء.

إليكم طريقة إثبات ذلك: تُعطي بيغي الكرتين لفيكتور، فيُخفيهما خلف ظهره. ثم يُخرج إحدى الكرتين من خلف ظهره ويُظهرها. بعد ذلك، يُخفيها مرة أخرى، ثم يختار كرة واحدة عشوائيًا من بين الكرتين باحتمالية متساوية. ثم يسأل بيغي: "هل بدّلتُ الكرة؟". تُكرر هذه العملية حسب الحاجة.

من خلال النظر إلى ألوان الكرات، تستطيع بيغي، بالطبع، أن تجزم ما إذا كان قد بدّلها أم لا. من ناحية أخرى، إذا كانت الكرات من نفس اللون، وبالتالي لا يمكن تمييزها، فإن قدرة بيغي على تحديد ما إذا كان قد حدث تبديل لن تكون أفضل من التخمين العشوائي. وبما أن احتمال نجاح بيغي عشوائيًا في تحديد كل تبديل/عدم تبديل هو 50%، فإن احتمال نجاحها عشوائيًا في تحديد جميع حالات التبديل/عدم التبديل يقترب من الصفر.

مع تكرار المحاولات، سيتقارب معدل النجاح إحصائيًا إلى 50%، ولن تتمكن بيغي من تحقيق أداء أفضل بكثير من الصدفة. إذا كررت بيغي وفيكتور هذا "الإثبات" عدة مرات (مثلاً 20 مرة)، فسيقتنع فيكتور بأن الكرات مختلفة الألوان بالفعل.

البرهان المذكور أعلاه هو برهان انعدام المعرفة لأن فيكتور لا يتعلم أبدًا أي كرة خضراء وأيها حمراء؛ في الواقع، لا يكتسب أي معرفة حول كيفية التمييز بين الكرات. [ 10 ]

تعريف

يجب أن يستوفي برهان المعرفة الصفرية لبعض العبارات ثلاث خصائص:

  1. الاكتمال : إذا كانت العبارة صحيحة، فإن المدقق الأمين (أي الذي يتبع البروتوكول بشكل صحيح) سيقتنع بهذه الحقيقة من قبل المُثبت الأمين.
  2. السلامة : إذا كانت العبارة خاطئة، فلا يمكن لأي مُثبت غشاش أن يقنع مُتحققًا صادقًا بأنها صحيحة، إلا باحتمال ضئيل.
  3. مبدأ المعرفة الصفرية : إذا كانت العبارة صحيحة، فلن يتعرف أي مدقق على أي شيء سوى صحة العبارة. بعبارة أخرى، يكفي معرفة العبارة فقط (دون السر) لتصور سيناريو يُظهر أن المُثبت يعرف السر. ويتم توضيح ذلك من خلال إثبات أن لكل مدقق برنامج محاكاة ، إذا ما أُعطي العبارة المراد إثباتها فقط (دون الوصول إلى المُثبت)، فإنه يستطيع إنتاج نص يُشبه تفاعلاً بين مُثبت نزيه والمدقق المعني.

أول خاصيتين من هذه الخصائص هما من خصائص أنظمة الإثبات التفاعلية الأكثر عمومية . أما الخاصية الثالثة فهي ما يجعل الإثبات خالياً من المعرفة. [ 11 ]

لا تُعدّ براهين المعرفة الصفرية براهين بالمعنى الرياضي للكلمة، لوجود احتمال ضئيل، يُعرف بخطأ السلامة ، يتمثل في قدرة المُثبت المُخادع على إقناع المُدقّق بعبارة خاطئة. بعبارة أخرى، تُعتبر براهين المعرفة الصفرية "براهين" احتمالية وليست حتمية. مع ذلك، توجد تقنيات لتقليل خطأ السلامة إلى قيم ضئيلة للغاية (على سبيل المثال، التخمين الصحيح في مئة أو ألف قرار ثنائي يُنتج خطأ سلامة مقداره 1/2 × 100 أو 1/2 × 1000 على التوالي. ومع ازدياد عدد البتات، يتناقص خطأ السلامة تدريجيًا حتى يقترب من الصفر).

يتطلب التعريف الرسمي لمفهوم المعرفة الصفرية استخدام نموذج حسابي، وأكثرها شيوعًا هو نموذج آلة تورينج . لنفترض أن P و V و S هي آلات تورينج. يُقال إن نظام إثبات تفاعلي مع ( P , V ) للغة L يتمتع بمعرفة صفرية إذا كان لأي مُدقِّق ذي زمن متعدد الحدود احتمالي (PPT)V^{\displaystyle {\hat {V}}}يوجد محاكي PPT S بحيث:

∀x∈ل،z∈{0،1}*،منظرV^⁡[P(x)↔V^(x،z)]=S(x،z)،{\displaystyle \forall x\in L,z\in \{0,1\}^{*},\operatorname {View} _{\hat {V}}\left[P(x)\leftrightarrow {\hat {V}}(x,z)\right]=S(x,z),}

أين العرضV^{\displaystyle {\hat {V}}}[ P ( x ) ↔V^{\displaystyle {\hat {V}}}يمثل [( x , z )] سجلاً للتفاعلات بين P ( x ) و V ( x , z ) . يُفترض أن المُثبت P يمتلك قدرة حسابية غير محدودة (عمليًا، عادةً ما يكون P آلة تورينج احتمالية ). وبشكل بديهي، ينص التعريف على أن نظام إثبات تفاعلي ( P , V ) يكون ذا معرفة صفرية إذا كان لأي مُدقِّقV^{\displaystyle {\hat {V}}}يوجد محاكي فعال S (يعتمد علىV^{\displaystyle {\hat {V}}}) التي يمكنها إعادة إنتاج المحادثة بين P وV^{\displaystyle {\hat {V}}}على أي مدخلات معينة. يلعب المتغير المساعد z في التعريف دور "المعرفة المسبقة" (بما في ذلك العملات المعدنية العشوائية لـV^{\displaystyle {\hat {V}}}يشير التعريف إلى أنV^{\displaystyle {\hat {V}}}لا يمكن استخدام أي سلسلة معرفة مسبقة z لاستخراج معلومات من محادثتها مع P ، لأنه إذا تم تزويد S أيضًا بهذه المعرفة المسبقة، فسيتمكن من إعادة إنتاج المحادثة بينهما.V^{\displaystyle {\hat {V}}}و P كما كان من قبل.

التعريف المُعطى هو تعريف المعرفة الصفرية الكاملة. وتتحقق المعرفة الصفرية الحسابية باشتراط أن تكون آراء المُدقِّقV^{\displaystyle {\hat {V}}}والمحاكي لا يمكن تمييزهما حسابيًا إلا بالنظر إلى السلسلة المساعدة. [ 12 ]

أمثلة عملية

اللوغاريتم المتقطع لقيمة معينة

يمكن تطبيق هذه الأفكار على تطبيق أكثر واقعية في مجال التشفير. تريد بيغي أن تثبت لفيكتور أنها تعرف اللوغاريتم المنفصل لقيمة معينة في مجموعة معينة . [ 13 ]

على سبيل المثال، إذا كانت لدينا قيمة y ، وعدد أولي كبير p ، ومولدز{\displaystyle g}تريد بيغي إثبات أنها تعرف قيمة x بحيث يكون g x ≡ y (mod p ) ، دون الكشف عن قيمة x . في الواقع، يمكن استخدام معرفة x كدليل على الهوية، حيث يمكن أن تمتلك بيغي هذه المعرفة لأنها اختارت قيمة عشوائية x لم تكشف عنها لأحد، وحسبت y = g x mod p ، ووزعت قيمة y على جميع المدققين المحتملين، بحيث يكون إثبات معرفة x في وقت لاحق مكافئًا لإثبات هويتها كبيغي.

يسير البروتوكول على النحو التالي: في كل جولة، تُولّد بيغي عددًا عشوائيًا r ، وتحسب C = g r mod p، وتُفصح عن هذا العدد لفيكتور. بعد استلام C ، يُصدر فيكتور عشوائيًا أحد الطلبين التاليين: إما أن يطلب من بيغي الإفصاح عن قيمة r ، أو قيمة ( x + r ) mod ( p − 1) .

يستطيع فيكتور التحقق من أيٍّ من الإجابتين؛ فإذا طلب قيمة r ، فبإمكانه حساب g( r) mod p والتحقق من مطابقتها للإجابة C. وإذا طلب قيمة ( x + r ) mod ( p - 1) ، فبإمكانه التحقق من اتساق الإجابة C مع هذه القيمة، وذلك بحساب g ( x + r ) mod ( p - 1) mod p والتحقق من مطابقتها للإجابة ( C · y ) mod p . وإذا كانت بيغي تعرف قيمة x بالفعل ، فبإمكانها الرد على أيٍّ من تحديي فيكتور المحتملين.

لو كانت بيغي تعلم أو تستطيع تخمين التحدي الذي سيطرحه فيكتور، لكان بإمكانها بسهولة خداعه وإقناعه بمعرفة قيمة x بينما هي لا تعرفها: فإذا علمت أن فيكتور سيطلب r ، فإنها تتصرف بشكل طبيعي: تختار r ، وتحسب C = g r mod p ، وتُفصح عن C لفيكتور؛ وبذلك تستطيع الرد على تحديه. أما إذا علمت أن فيكتور سيطلب ( x + r ) mod ( p − 1) ، فإنها تختار قيمة عشوائية r ′ ، وتحسب C ′ ≡ g r ′ · ( g x ) − 1 mod p ، وتُفصح عن C ′ لفيكتور على أنها قيمة C التي يتوقعها. عندما يتحدى فيكتور بيغي للكشف عن ( x + r ) mod ( p − 1) ، تكشف عن r ′ ، والتي سيتحقق فيكتور من اتساقها، لأنه سيحسب بدوره g r ′ mod p ، وهو ما يتطابق مع C ′ · y ، لأن بيغي ضربت بالمعكوس الضربي المعياري لـ y .

مع ذلك، إذا وجّه فيكتور في أيٍّ من السيناريوهين السابقين تحديًا مختلفًا عمّا كانت تتوقعه بيغي والذي اختلقت نتيجته، فلن تتمكن من الردّ على التحدي بافتراض استحالة حلّ اللوغاريتم المتقطع لهذه المجموعة. فإذا اختارت قيمة r وكشفت عن C = g r mod p ، فلن تتمكن من إنتاج ( x + r ) mod ( p − 1) صحيح يجتاز اختبار فيكتور، نظرًا لعدم معرفتها بقيمة x . وإذا اختارت قيمة r ′ التي تُشكّل ( x + r ) mod ( p − 1) ، فسيتعين عليها الردّ باللوغاريتم المتقطع للقيمة التي كشفت عنها - لكن بيغي لا تعرف هذا اللوغاريتم المتقطع، لأن قيمة C التي كشفت عنها حُصل عليها من خلال العمليات الحسابية بقيم معلومة، وليس بحساب قوة ذات أسّ معلوم. 

وبالتالي، فإن احتمال نجاح المُثبت الغشاش في الغش في جولة واحدة هو 0.5. ومن خلال تنفيذ عدد كافٍ من الجولات، يمكن خفض احتمال نجاح المُثبت الغشاش إلى مستوى منخفض للغاية.

لإثبات أن البرهان التفاعلي المذكور أعلاه لا يُقدّم أي معلومات إضافية سوى معرفة بيغي بقيمة x ، يمكن استخدام حجج مشابهة لتلك المستخدمة في برهان الاكتمال والصحة. تحديدًا، يمكن لمُحاكي، ولنقل سيمون، الذي لا يعرف x ، محاكاة التبادل بين بيغي وفيكتور باتباع الإجراء التالي: أولًا، يُلقي سيمون عملة معدنية عادلة عشوائيًا . إذا كانت النتيجة "صورة"، فإنه يختار قيمة عشوائية r ، ويحسب C = g r mod p ، ويُفصح عن C كما لو كانت رسالة من بيغي إلى فيكتور. ثم يُخرج سيمون أيضًا رسالة "اطلب قيمة r " كما لو كانت مُرسلة من فيكتور إلى بيغي، ويُخرج قيمة r فورًا كما لو كانت مُرسلة من بيغي إلى فيكتور. بذلك تكتمل جولة واحدة. من جهة أخرى، إذا كانت نتيجة رمي العملة "كتابة"، فإن سايمون يختار عددًا عشوائيًا r ′ ، ويحسب C ′ = g r ′ · y − 1 mod p ، ويكشف عن C ′ كما لو كانت رسالة من بيغي إلى فيكتور. ثم يُخرج سايمون عبارة "اطلب قيمة ( x + r ) mod ( p − 1) " كما لو كانت رسالة من فيكتور إلى بيغي. وأخيرًا، يُخرج سايمون قيمة r ′ كما لو كانت رد بيغي إلى فيكتور. وبذلك تكتمل جولة واحدة. وبناءً على الحجج السابقة عند إثبات الاكتمال والصحة، فإن التواصل التفاعلي الذي يحاكيه سايمون لا يمكن تمييزه عن التواصل الحقيقي بين بيغي وفيكتور. وبالتالي، فإن خاصية انعدام المعرفة مضمونة.

دورة هاميلتونية لرسم بياني كبير

يعود الفضل في المخطط التالي إلى مانويل بلوم . [ 14 ]

في هذا السيناريو، تعرف بيغي دورة هاميلتونية لرسم بياني كبير G. يعرف فيكتور الرسم البياني G لكنه لا يعرف الدورة (على سبيل المثال، قامت بيغي بإنشاء G وكشفتها له). يُعتقد أن إيجاد دورة هاميلتونية لرسم بياني كبير أمر غير ممكن حسابيًا، لأن صيغة القرار المقابلة لها معروفة بأنها مسألة NP-كاملة . ستثبت بيغي أنها تعرف الدورة دون الكشف عنها ببساطة (ربما يرغب فيكتور في شرائها لكنه يريد التحقق أولًا، أو ربما تكون بيغي هي الوحيدة التي تعرف هذه المعلومة وتثبت هويتها لفيكتور).

ولإثبات أن بيغي تعرف دورة هاميلتون هذه، لعبت هي وفيكتور عدة جولات من لعبة:

  • في بداية كل جولة، تُنشئ بيغي الرسم البياني H ، وهو رسم بياني متماثل مع G (أي أن H يشبه G تمامًا باستثناء أن جميع رؤوسه تحمل أسماءً مختلفة). وبما أنه من السهل ترجمة دورة هاميلتونية بين الرسوم البيانية المتماثلة ذات التماثل المعروف، فإذا كانت بيغي تعرف دورة هاميلتونية لـ G ، فلا بد أنها تعرف واحدة أيضًا لـ H.
  • تلتزم بيغي بالشبكة H. يمكنها فعل ذلك باستخدام نظام التزام تشفيري . أو بدلاً من ذلك، يمكنها ترقيم رؤوس الشبكة H. بعد ذلك، لكل ضلع من أضلاع الشبكة H ، تكتب على ورقة صغيرة الرأسين اللذين يتصل بهما هذا الضلع. ثم تضع جميع هذه الأوراق مقلوبة على طاولة. الغرض من هذا الالتزام هو أن بيغي لا تستطيع تغيير الشبكة H ، وفي الوقت نفسه، لا يملك فيكتور أي معلومات عنها .
  • ثم يختار فيكتور عشوائياً أحد سؤالين ليطرحهما على بيغي. يمكنه إما أن يطلب منها إثبات التماثل بين H و G ( انظر مسألة تماثل الرسوم البيانية )، أو يمكنه أن يطلب منها إثبات دورة هاميلتونية في H.
  • إذا طُلب من بيغي إثبات أن الرسمين البيانيين متماثلان، فإنها تكشف أولاً عن جميع عناصر H (على سبيل المثال، عن طريق قلب جميع الأوراق التي وضعتها على الطاولة) ثم تقدم إزاحات الرؤوس التي تربط G بـ H. ويمكن لفيكتور التحقق من أنهما متماثلان بالفعل.
  • إذا طُلب من بيغي إثبات معرفتها بدورة هاميلتونية في H ، فإنها تنقل دورتها الهاميلتونية في G إلى H وتكشف فقط حواف الدورة. أي أن بيغي تقلب فقط | V ( G ) | من الأوراق التي تُطابق حواف الدورة الهاميلتونية، بينما تترك الباقي مقلوبًا. هذا يكفي لفيكتور للتحقق من أن H تحتوي بالفعل على دورة هاميلتونية.

من المهم أن يكون الالتزام بالرسم البياني بحيث يتمكن فيكتور من التحقق، في الحالة الثانية، من أن الدورة تتكون بالفعل من حواف من H. ويمكن القيام بذلك، على سبيل المثال، عن طريق الالتزام بكل حافة (أو عدم وجودها) على حدة.

اكتمال

إذا كانت بيغي تعرف دورة هاميلتونية في G ، فيمكنها بسهولة تلبية طلب فيكتور إما بتماثل الرسم البياني الذي ينتج H من G (والذي التزمت به في الخطوة الأولى) أو دورة هاميلتونية في H (والتي يمكنها إنشاؤها عن طريق تطبيق التماثل على الدورة في G ).

المعرفة الصفرية

لا تكشف إجابات بيغي عن دورة هاميلتون الأصلية في الرسم البياني G. في كل جولة، سيتعلم فيكتور إما تماثل الرسم البياني H مع G أو دورة هاميلتون في H. سيحتاج إلى كلا الإجابتين لرسم بياني H واحد لاكتشاف الدورة في G ، لذا تبقى المعلومات مجهولة طالما أن بيغي قادرة على توليد رسم بياني H مختلف في كل جولة. إذا لم تكن بيغي على دراية بدورة هاميلتون في G ، ولكنها عرفت مسبقًا ما سيطلبه فيكتور في كل جولة، فيمكنها الغش. على سبيل المثال، إذا عرفت بيغي مسبقًا أن فيكتور سيطلب رؤية دورة هاميلتون في H ، فيمكنها توليد دورة هاميلتون لرسم بياني غير ذي صلة. وبالمثل، إذا عرفت بيغي مسبقًا أن فيكتور سيطلب رؤية التماثل، فيمكنها ببساطة توليد رسم بياني متماثل H (لا تعرف فيه أيضًا دورة هاميلتون). يستطيع فيكتور محاكاة البروتوكول بنفسه (بدون بيغي) لأنه يعرف ما سيطلبه. لذلك، لا يحصل فيكتور على أي معلومات حول دورة هاميلتون في G من المعلومات التي يتم الكشف عنها في كل جولة.

سلامة

إذا لم تكن بيغي على دراية بالمعلومات، فيمكنها تخمين السؤال الذي سيطرحه فيكتور، ومن ثم توليد إما رسم بياني متماثل مع G أو دورة هاميلتونية لرسم بياني آخر غير ذي صلة. ولكن بما أنها لا تعرف دورة هاميلتونية لـ G ، فلا يمكنها فعل كليهما. وبهذا التخمين، فإن احتمال نجاحها في خداع فيكتور هو 2 - n ، حيث n هو عدد الجولات. عمليًا، من المستحيل عمليًا دحض برهان المعرفة الصفرية بعدد معقول من الجولات بهذه الطريقة.

أشكال مختلفة من انعدام المعرفة

يمكن تعريف متغيرات مختلفة من المعرفة الصفرية من خلال صياغة المفهوم البديهي لما يعنيه أن مخرجات المحاكي "تشبه" تنفيذ بروتوكول الإثبات الحقيقي بالطرق التالية:

  • نتحدث عن انعدام المعرفة التام إذا كانت التوزيعات الناتجة عن المحاكي وبروتوكول الإثبات متطابقة تمامًا. وهذا ما ينطبق، على سبيل المثال، على المثال الأول أعلاه.
  • إن المعرفة الصفرية الإحصائية [ 15 ] تعني أن التوزيعات ليست بالضرورة متطابقة تمامًا، ولكنها قريبة إحصائيًا ، مما يعني أن الفرق الإحصائي بينها هو دالة ضئيلة .
  • نتحدث عن انعدام المعرفة الحسابية إذا لم تتمكن أي خوارزمية فعالة من التمييز بين التوزيعين.

أنواع المعرفة الصفرية

توجد أنواع مختلفة من براهين المعرفة الصفرية:

يمكن إنشاء مخططات إثبات المعرفة الصفرية من العديد من العناصر التشفيرية الأولية، مثل التشفير القائم على التجزئة ، والتشفير القائم على الاقتران ، والحساب متعدد الأطراف ، أو التشفير القائم على الشبكة .

التطبيقات

تُستخدم براهين المعرفة الصفرية عمومًا ضمن البروتوكولات لفرض سلوك نزيه مع الحفاظ على الخصوصية. وتتلخص الفكرة في إجبار المستخدم على إثبات صحة سلوكه وفقًا للبروتوكول باستخدام برهان المعرفة الصفرية. [ 1 ] [ 16 ]

أنظمة المصادقة

استُلهمت الأبحاث في مجال براهين المعرفة الصفرية من أنظمة المصادقة التي يرغب فيها أحد الأطراف بإثبات هويته لطرف آخر عبر معلومات سرية (مثل كلمة مرور)، دون أن يطلع الطرف الثاني على أي تفاصيل حول هذه المعلومات. يُطلق على هذا النوع من البراهين اسم " براهين المعرفة الصفرية ". مع ذلك، عادةً ما تكون كلمة المرور قصيرة جدًا أو غير عشوائية بما يكفي لاستخدامها في العديد من أنظمة براهين المعرفة الصفرية. يُعدّ برهان كلمة المرور ذو المعرفة الصفرية نوعًا خاصًا من براهين المعرفة الصفرية، يُعالج مشكلة قصر حجم كلمات المرور.

في أبريل 2015، تم تقديم بروتوكول إثباتات واحد من بين العديد ( بروتوكول سيجما ). [ 17 ] وفي أغسطس 2021، قررت شركة كلاود فلير ، وهي شركة أمريكية متخصصة في البنية التحتية للويب والأمن السيبراني، استخدام آلية إثباتات واحد من بين العديد للتحقق من هوية المواقع الإلكترونية الخاصة باستخدام أجهزة من إنتاج الشركة المصنعة. [ 18 ]

نزع السلاح النووي

في عام 2016، عرض مختبر برينستون لفيزياء البلازما وجامعة برينستون تقنيةً قد تكون قابلة للتطبيق في محادثات نزع السلاح النووي المستقبلية . فهي تُمكّن المفتشين من التأكد مما إذا كان جسمٌ ما سلاحًا نوويًا بالفعل أم لا، دون تسجيل أو مشاركة أو الكشف عن تفاصيله الداخلية، التي قد تكون سرية. [ 19 ]

تقنية البلوك تشين

طُبقت تقنية إثبات المعرفة الصفرية في بروتوكولي Zerocoin وZerocash، مما أدى إلى ظهور عملتي Zcoin [ 20 ] (التي أعيد تسميتها لاحقًا إلى Firo في عام 2020) [ 21 ] و Zcash في عام 2016. تعتمد Zerocoin على نموذج خلط مدمج لا يثق بأي نظراء أو مزودي خلط مركزيين لضمان إخفاء الهوية. [ 20 ] يمكن للمستخدمين إجراء المعاملات بعملة أساسية، كما يمكنهم تدوير هذه العملة من وإلى Zerocoin. [ 22 ] يستخدم بروتوكول Zerocash نموذجًا مشابهًا (يُعرف باسم إثبات المعرفة الصفرية غير التفاعلي ) [ 23 ] ، إلا أنه يُخفي مبلغ المعاملة، بينما لا تستطيع Zerocoin ذلك.

في عام 2018، تم تقديم تقنية Bulletproofs. تُعدّ Bulletproofs تحسينًا لتقنية إثبات المعرفة الصفرية غير التفاعلية، حيث لا تتطلب إعدادًا موثوقًا. [ 24 ]

هوية

Because of asymmetric signatures in documents such as passports and emails, zero knowledge proofs can be made of people's identities in order to privately verify information about themselves. For instance, you can prove that you are over 18 to a website, without revealing other details like your exact name or country of origin, by proving in zero knowledge that you own a passport signed by a valid government key for an age value over 18.[25] By similarly making zero-knowledge proofs of the DKIM signatures of their emails, people can prove that they ordered or transferred a domain or concert ticket, own some handle on a social media service, or ordered something on an e-commerce service.[26] The zero knowledge property allows people to keep their own identity and email address private while doing so. These can be used to enable private and fair elections,[27] low-fee secondary marketplaces,[28] and whistleblowing services.[29]

SQL

A related line of work applies zero-knowledge proofs to database analytics via so-called zero-knowledge "coprocessors": off-chain systems that execute queries and return both the result and a proof that the computation was performed correctly on untampered data. Academic prototypes have shown how to produce ZK proofs for ad-hoc SQL queries while hiding inputs and guaranteeing correctness of the result (e.g., ZKSQL).[30]

History

Zero-knowledge proofs were first conceived in 1985 by Shafi Goldwasser, Silvio Micali, and Charles Rackoff in their paper "The Knowledge Complexity of Interactive Proof-Systems".[1] This paper introduced the IP hierarchy of interactive proof systems (see interactive proof system) and conceived the concept of knowledge complexity, a measurement of the amount of knowledge about the proof transferred from the prover to the verifier. They also gave the first zero-knowledge proof for a concrete problem, that of deciding quadratic nonresidues mod m. Together with a paper by László Babai and Shlomo Moran, this landmark paper invented interactive proof systems, for which all five authors won the first Gödel Prize in 1993.

In their own words, Goldwasser, Micali, and Rackoff say:

من الأمور ذات الأهمية الخاصة الحالة التي تكون فيها هذه المعرفة الإضافية معدومة تقريبًا، ونُبين أنه من الممكن إثبات أن عددًا ما هو عدد تربيعي غير متبقٍ modulo m بشكل تفاعلي دون إطلاق أي معرفة إضافية. وهذا أمرٌ مُثير للدهشة، إذ لا توجد خوارزمية فعّالة معروفة لتحديد ما إذا كان العدد تربيعيًا متبقٍ modulo m عندما mلم يُعطَ تحليل العدد m إلى عوامله الأولية. علاوة على ذلك، تُظهر جميع البراهين المعروفة من فئة NP لهذه المسألة تحليل m إلى عوامله الأولية . يشير هذا إلى أن إضافة التفاعل إلى عملية الإثبات قد يقلل من كمية المعرفة التي يجب نقلها لإثبات نظرية ما.

تتضمن مسألة البواقي غير التربيعية خوارزمية من فئة NP وخوارزمية من فئة co-NP ، وبالتالي تقع في تقاطع NP و co-NP. وينطبق هذا أيضًا على العديد من المسائل الأخرى التي تم اكتشاف براهينها لاحقًا باستخدام مبدأ المعرفة الصفرية، مثل نظام برهان غير منشور لأوديد غولدريتش يثبت أن معامل عددين أوليين ليس عددًا صحيحًا من نوع بلوم . [ 31 ]

قام أوديد غولدرايش ، وسيلفيو ميكالي ، وآفي ويغدرسون بتطوير هذا المفهوم، مُبينين أنه بافتراض وجود تشفير غير قابل للكسر، يُمكن إنشاء نظام إثبات بدون معرفة مسبقة لمسألة تلوين الرسوم البيانية الكاملة من فئة NP بثلاثة ألوان. وبما أن كل مسألة في فئة NP يُمكن اختزالها بكفاءة إلى هذه المسألة، فهذا يعني أنه في ظل هذا الافتراض، فإن جميع المسائل في فئة NP لها براهين بدون معرفة مسبقة. [ 32 ] ويعود سبب هذا الافتراض إلى أن بروتوكولاتهم، كما في المثال السابق، تتطلب التشفير. ومن الشروط الكافية الشائعة لوجود تشفير غير قابل للكسر وجود دوال أحادية الاتجاه ، ولكن من الممكن أيضًا تحقيق ذلك بوسائل فيزيائية.

علاوة على ذلك، أظهروا أيضًا أن مسألة عدم تماثل الرسوم البيانية ، وهي مكمل مسألة تماثل الرسوم البيانية ، لها برهان بدون معرفة مسبقة. تقع هذه المسألة في فئة co-NP، ولكن من غير المعروف حاليًا أنها تقع في فئة NP أو أي فئة عملية أخرى. وبشكل أعم، واصل راسل إمباغليازو وموتي يونغ، بالإضافة إلى بن أور وآخرين، إثبات أنه حتى مع افتراض الدوال أحادية الاتجاه أو التشفير غير القابل للكسر، توجد براهين بدون معرفة مسبقة لجميع المسائل في IP  = PSPACE ، أو بعبارة أخرى، أي شيء يمكن إثباته بواسطة نظام إثبات تفاعلي يمكن إثباته بدون معرفة مسبقة. [ 33 ] [ 34 ] 

نظرًا لعدم رغبة العديد من المنظرين في وضع افتراضات غير ضرورية، فقد سعوا إلى إيجاد طريقة للتخلص من الحاجة إلى الدوال أحادية الاتجاه . تمثلت إحدى الطرق في أنظمة الإثبات التفاعلية متعددة المُثبتين (انظر نظام الإثبات التفاعلي )، والتي تضم عدة مُثبتين مستقلين بدلًا من مُثبت واحد فقط، مما يسمح للمُدقِّق بفحص المُثبتين بشكل منفصل لتجنب التضليل. ويمكن إثبات أنه، دون أي افتراضات حول صعوبة الحل، فإن جميع اللغات في فئة NP تمتلك براهين معرفة صفرية في مثل هذا النظام. [ 35 ]

اتضح أنه في بيئة شبيهة بالإنترنت، حيث يمكن تنفيذ بروتوكولات متعددة في وقت واحد، يصبح بناء براهين المعرفة الصفرية أكثر صعوبة. وقد بدأ البحث في براهين المعرفة الصفرية المتزامنة بفضل أعمال دوورك ، وناور ، وساهي . [ 36 ] ومن التطورات المهمة في هذا المجال تطوير بروتوكولات البرهان غير القابلة للتمييز بين الشهود . ترتبط خاصية عدم قابلية التمييز بين الشهود بخاصية المعرفة الصفرية، إلا أن بروتوكولات البرهان غير القابلة للتمييز بين الشهود لا تعاني من مشاكل التنفيذ المتزامن نفسها. [ 37 ]

هناك نوع آخر من براهين المعرفة الصفرية، وهي براهين المعرفة الصفرية غير التفاعلية . وقد أظهر بلوم وفيلدمان وميكالي أن سلسلة عشوائية مشتركة بين المُثبت والمُدقِّق تكفي لتحقيق المعرفة الصفرية الحاسوبية دون الحاجة إلى تفاعل. [ 5 ] [ 6 ]

البروتوكولات

يمكن تصنيف بروتوكولات إثبات المعرفة الصفرية التفاعلية وغير التفاعلية الأكثر شيوعًا (مثل zk-SNARK) إلى أربع فئات رئيسية: حجج المعرفة غير التفاعلية الموجزة (SNARK)، وحجج المعرفة الشفافة القابلة للتوسع (STARK)، والتفويض متعدد الحدود القابل للتحقق (VPD)، وحجج المعرفة غير التفاعلية الموجزة (SNARG). فيما يلي قائمة ببروتوكولات ومكتبات إثبات المعرفة الصفرية، بالإضافة إلى مقارنات تستند إلى الشفافية ، والشمولية ، والأمان المحتمل في ظل الحوسبة الكمومية ، ونموذج البرمجة . [ 38 ] البروتوكول الشفاف هو الذي لا يتطلب أي إعداد موثوق به ويستخدم عشوائية عامة. أما البروتوكول الشامل فهو الذي لا يتطلب إعدادًا موثوقًا به منفصلاً لكل دائرة. وأخيرًا، البروتوكول المحتمل في ظل الحوسبة الكمومية هو الذي لا يتأثر بالهجمات المعروفة التي تستخدم الخوارزميات الكمومية .

أنظمة إثبات المعرفة الصفرية (ZKP)
نظام ZKPسنة النشربروتوكولشفافعالميآمن بشكل معقول في مرحلة ما بعد الكمنموذج البرمجة
بينوكيو [ 39 ]2013zk-SNARKلالالاإجرائي
جيبتو [ 40 ]2015zk-SNARKلالالاإجرائي
TinyRAM [ 41 ]2013zk-SNARKلالالاإجرائي
بوفيه [ 42 ]2015zk-SNARKلالالاإجرائي
ZoKrates [ 43 ]2018zk-SNARKلالالاإجرائي
xJsnark [ 44 ]2018zk-SNARKلالالاإجرائي
vRAM [ 45 ]2018zk-SNARGلانعملاحَشد
vnTinyRAM [ 46 ]2014zk-SNARKلانعملاإجرائي
سراب [ 47 ]2020zk-SNARKلانعملاالدوائر الحسابية
سونيك [ 48 ]2019zk-SNARKلانعملاالدوائر الحسابية
مارلين [ 49 ]2020zk-SNARKلانعملاالدوائر الحسابية
بلوك [ 50 ]2019zk-SNARKلانعملاالدوائر الحسابية
سوبر سونيك [ 51 ]2020zk-SNARKنعمنعملاالدوائر الحسابية
[ 24 ] مضاد للرصاص2018مضاد للرصاصنعمنعملاالدوائر الحسابية
الوبر [ 52 ]2018zk-SNARKنعمنعملاالدوائر الحسابية
هالو [ 53 ]2019zk-SNARKنعمنعملاالدوائر الحسابية
برج العذراء [ 54 ]2020zk-SNARKنعمنعمنعمالدوائر الحسابية
ليجيرو [ 55 ]2017zk-SNARKنعمنعمنعمالدوائر الحسابية
أورورا [ 56 ]2019zk-SNARKنعمنعمنعمالدوائر الحسابية
zk-STARK [ 57 ]2019zk-STARKنعمنعمنعمحَشد
زيلش [ 38 ]2021zk-STARKنعمنعمنعمالبرمجة الكائنية
الجسر الفائق [ 58 ]2024zk-SNARKنعمنعمنعمالدوائر الحسابية

نقاط الضعف الأمنية لأنظمة المعرفة الصفرية

رغم أن براهين المعرفة الصفرية توفر طريقة آمنة للتحقق من المعلومات، إلا أن الدوائر الحسابية التي تُنفذها يجب تصميمها بعناية. فإذا افتقرت هذه الدوائر إلى قيود كافية، فقد تُؤدي إلى ثغرات أمنية دقيقة ولكنها بالغة الأهمية.

يُعدّ المنطق غير المقيد أحد أكثر أنواع الثغرات شيوعًا في هذه الأنظمة، حيث تسمح القيود غير الكافية لمُثبِت خبيث بإنتاج برهان لعبارة خاطئة، ومع ذلك يجتاز التحقق. وقد وجدت دراسة منهجية للهجمات المعروفة أُجريت عام 2024 أن حوالي 96% من الأخطاء الموثقة في طبقة الدوائر في الأنظمة القائمة على SNARK كانت ناتجة عن دوائر غير مقيدة. [ 59 ]

تنشأ هذه الثغرات غالبًا أثناء ترجمة المنطق عالي المستوى إلى أنظمة قيود منخفضة المستوى، لا سيما عند استخدام لغات خاصة بالمجال مثل Circom أو Gnark. وقد أظهرت الأبحاث الحديثة أن إثبات الحتمية رسميًا - أي ضمان أن مخرجات الدائرة محددة بشكل فريد بمدخلاتها - يمكن أن يقضي على فئات كاملة من هذه الثغرات. [ 60 ]

الآلات الافتراضية ذات المعرفة الصفرية

Zero-knowledge virtual machines (zkVMs) are general-purpose virtual computers designed to execute code and generate zero-knowledge proofs that verify off-chain, without revealing private inputs, that the code ran correctly and produced the claimed result.[61] A proof is a compact, structured binary file that can be efficiently checked by anyone using the zkVM's verifier tool without re-running the original computation.

zkVMs have both development and security benefits. Using a zkVM, developers can execute and verify complex computations off-chain, avoiding high on-chain "gas costs" (blockchain processing fees) and maintaining the privacy of code or data. Several recently developed zkVMs, such as those developed by RISC Zero and Succinct Labs, support the RISC-V instruction set, which allows programmers to write code in mainstream programming languages like Rust instead of using a domain-specific circuit language such as Circom.[62] Other zkVMs take different approaches, targeting WebAssembly (WASM) or implementing custom instruction sets optimized for zero-knowledge performance or integration with particular blockchain environments.

See also

References

  1. 123Goldwasser, S.; Micali, S.; Rackoff, C. (1989), "The knowledge complexity of interactive proof systems"(PDF), SIAM Journal on Computing, 18 (1): 186–208, doi:10.1137/0218012, ISSN 1095-7111
  2. ↑Goldreich, Oded (2001). Foundations of Cryptography Volume I. Cambridge University Press. p. 184. doi:10.1017/CBO9780511546891. ISBN 978-0-511-54689-1.
  3. ↑Goldreich, Oded (2001). Foundations of Cryptography Volume I. Cambridge University Press. p. 247. doi:10.1017/CBO9780511546891. ISBN 978-0-511-54689-1.
  4. ↑ غولدريتش، أوديد (2001). أسس التشفير، المجلد الأول . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 299. doi : 10.1017/CBO9780511546891 . ISBN  978-0-511-54689-1.
  5. 1 2 بلوم، مانويل؛ فيلدمان، بول؛ ميكالي، سيلفيو (1988). "المعرفة الصفرية غير التفاعلية وتطبيقاتها". وقائع الندوة السنوية العشرين لجمعية ACM حول نظرية الحوسبة - STOC '88 (ملف PDF) . الصفحات 103-112 . doi : 10.1145/62212.62222 . ISBN  978-0-89791-264-8S2CID 7282320. مؤرشف (PDF) من الأصل بتاريخ 14 ديسمبر 2018. تم الاطلاع عليه بتاريخ 2 يونيو 2022 . 
  6. وو ، هويكسين؛ وانغ، فينغ (2014). " دراسة استقصائية لنظام إثبات المعرفة الصفرية غير التفاعلي وتطبيقاته" . مجلة العالم العلمي . 2014 560484. doi : 10.1155/2014/560484 . PMC 4032740. PMID 24883407 .  
  7. ↑ "تشفير أوراق اللعب" . أربع سنوات متبقية . تم الاسترجاع في 4 يونيو 2025 .
  8. 1 2 3 مورتاغ، جاك (1 يوليو 2023). "أين والدو؟ كيف تثبت رياضياً أنك وجدته دون الكشف عن مكانه" . مجلة ساينتفك أمريكان . تاريخ الاسترجاع: 2 أكتوبر 2023 .
  9. ↑ كيسكواتر، جان جاك؛ غيو، لويس سي؛ بيرسون، توماس أ. (1990). "كيفية شرح بروتوكولات المعرفة الصفرية لأطفالك". وقائع مؤتمر CRYPTO' 89 حول التطورات في علم التشفير (ملف PDF) . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 435. الصفحات 628-631 . doi : 10.1007/0-387-34805-0_60 . ISBN   978-0-387-97317-3.
  10. ↑ خالكياس، قسطنطين. "توضيح كيفية عمل براهين المعرفة الصفرية دون استخدام الرياضيات" . مؤتمر كورداكون 2017. تاريخ الاسترجاع: 13 سبتمبر 2017 .
  11. ↑ فيج، أورييل؛ فيات، آموس؛ شامير، آدي (1988-06-01). "براهين الهوية بدون معرفة مسبقة" . مجلة علم التشفير . 1 (2): 77-94 . doi : 10.1007/BF02351717 . ISSN 1432-1378 . S2CID 2950602 .  
  12. ↑ إيشاي، يوفال؛ كوشيليفيتز، إيال؛ أوستروفسكي، رافائيل؛ ساهي، أميت (2007). "معرفة الصفر من الحوسبة الآمنة متعددة الأطراف" (ملف PDF) . STOC '07: وقائع الندوة السنوية التاسعة والثلاثين لجمعية ACM حول نظرية الحوسبة . doi : 10.1145/1250790.1250794 . ISBN 978-1-59593-631-8تم الاطلاع عليه بتاريخ 25-09-2025 .
  13. ^ تشوم، ديفيد؛ إيفرتس، جان هندريك. فان دي جراف، جيروين (1988). “بروتوكول محسّن لإثبات حيازة اللوغاريتمات المنفصلة وبعض التعميمات”. التقدم في علم التشفير — EUROCRYPT '87 . ملاحظات محاضرة في علوم الكمبيوتر. المجلد. 304. ص 127 – 141. دوى : 10.1007 / 3-540-39118-5_13 . رقم ISBN   978-3-540-19102-5.
  14. ↑ بلوم، مانويل (1986). "كيفية إثبات نظرية بحيث لا يستطيع أحد آخر ادعاءها" (ملف PDF) . وقائع المؤتمر الدولي للرياضيات : 1444-1451 . CiteSeerX 10.1.1.469.9048 . مؤرشف (ملف PDF) من الأصل في 3 يناير 2023. 
  15. ↑ ساهي، أميت؛ فادان، ساليل (1 مارس 2003). "مشكلة كاملة للمعرفة الصفرية الإحصائية" (ملف PDF) . مجلة ACM . 50 (2): 196-249 . CiteSeerX 10.1.1.4.3957 . doi : 10.1145/636865.636868 . S2CID 218593855. مؤرشف (ملف PDF) من الأصل بتاريخ 25 يونيو 2015.  
  16. ↑ أباسكال، جاكسون؛ فغيهي سيريشجي، محمد حسين؛ حزاي، كارميت؛ إيشاي، يوفال؛ فينكيتا سوبرامانيام، موثوراماكريشنان (30 أكتوبر 2020). "هل نموذج GMW الكلاسيكي عملي؟ حالة بروتوكول الحماية ثنائي الفوتون غير التفاعلي والآمن بشكل فعال" . وقائع مؤتمر ACM SIGSAC لعام 2020 حول أمن الحاسوب والاتصالات . CCS '20. حدث افتراضي، الولايات المتحدة الأمريكية: رابطة آلات الحوسبة. الصفحات 1591-1605 . doi : 10.1145/3372297.3423366 . ISBN  978-1-4503-7089-9. S2CID 226228208 . 
  17. ↑ غروث، ج؛ كولويس، م (14 أبريل 2015). "برهان واحد من بين العديد: أو كيف تُسرّب سرًا وتُنفق عملة" . التطورات في علم التشفير - يورو كريبت 2015. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 9057. برلين، هايدلبرغ: يورو كريبت 2015. الصفحات 253-280 . doi : 10.1007/978-3-662-46803-6_9 . hdl : 20.500.11820/f6ec5d8f-cfda-4f56-9bd0-d9222b8d9a43 . ISBN   978-3-662-46802-9. S2CID 16708805 . 
  18. ↑ "تقديم إثباتات المعرفة الصفرية للتحقق من صحة الويب الخاص باستخدام أجهزة من مختلف الموردين" . مدونة كلاود فلير . ١٢ أغسطس ٢٠٢١. تاريخ الاطلاع: ١٨ أغسطس ٢٠٢١ .
  19. ↑ «مختبر برينستون لفيزياء البلازما وجامعة برينستون يستعرضان تقنية جديدة قد تكون قابلة للتطبيق في محادثات نزع السلاح النووي المستقبلية - مختبر برينستون لفيزياء البلازما» . www.pppl.gov . مؤرشف من الأصل بتاريخ 3 يوليو 2017.
  20. 1 2 هيلويج، دانيال؛ كارليتش، جوران؛ هوتزيرماير، أرند (3 مايو 2020). "الخصوصية وعدم الكشف عن الهوية" . بناء سلسلة الكتل الخاصة بك . الإدارة للمحترفين. سبرينغر لينك. ص 112. doi : 10.1007/978-3-030-40142-9_5 . ISBN  978-3-030-40142-9S2CID 219058406. تم الاسترجاع في 3 ديسمبر 2020 . 
  21. ↑ هيرست، سامانثا (28 أكتوبر 2020). "Zcoin تعلن عن تغيير علامتها التجارية إلى الاسم والرمز الجديدين "Firo""" موقع كراودفند إنسايدر. مؤرشف من الأصل في 1 نوفمبر 2020. تم الاطلاع عليه في 4 نوفمبر 2020. "
  22. ↑ بونو، ج؛ ميلر، أ؛ كلارك، ج؛ نارايانان، أ (2015). "SoK: وجهات نظر بحثية وتحديات لبيتكوين والعملات المشفرة". ندوة IEEE للأمن والخصوصية لعام 2015. سان خوسيه، كاليفورنيا. ص 104-121 . doi : 10.1109/SP.2015.14 . ISBN  978-1-4673-6949-7. S2CID 549362 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  23. ↑ بن ساسون، إيلي؛ كييزا، أليساندرو؛ غارمان، كريستينا؛ غرين، ماثيو؛ مايرز، إيان؛ ترومر، إران؛ فيرزا، مادارس (18 مايو 2014). "زيروكاش: مدفوعات لامركزية مجهولة المصدر من بيتكوين" (ملف PDF) . معهد مهندسي الكهرباء والإلكترونيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 26 يناير 2016 .
  24. 1 2 بونز، ب؛ بوتل، د؛ بونيه، أ (2018). "برهان الرصاصة: براهين مختصرة للمعاملات السرية وأكثر". ندوة IEEE للأمن والخصوصية لعام 2018 (SP) . سان فرانسيسكو، كاليفورنيا. ص 315-334 . doi : 10.1109/SP.2018.00020 . ISBN  978-1-5386-4353-2. S2CID 3337741 . {{cite book}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
  25. ↑ "الدوائر" . وثائق OpenPassport . مختبرات سيلف . تم الاسترجاع في 18 يناير 2026 .
  26. ^ غوبتا، عيوش. سوجامي، سورا؛ باندا، سامبريتي (12 ديسمبر 2022). "البريد الإلكتروني ZK" . البريد الإلكتروني ز.ك. تم الاسترجاع في 18 يناير 2026 .
  27. ↑ فوس، نيت؛ إرنست، ديفيد؛ تافيرنييه، فلورنت؛ كولين، ريمي. "الانتخابات التمهيدية الديمقراطية الجديدة" . الانتخابات التمهيدية الديمقراطية الجديدة . الانتخابات التمهيدية الديمقراطية الجديدة . تم الاطلاع بتاريخ 18 يناير 2026 .
  28. ↑ روز، آنا؛ غوبتا، أيوش (19 مارس 2025). "جعل ZK أكثر إنسانية مع بريد ZK الإلكتروني" . بودكاست Zero Knowledge . الحلقة 353. نص الحلقة . تم الاطلاع عليه في 18 يناير 2026 .
  29. ^ جوبتا ، عيوش (14 ديسمبر 2022). "البريد الإلكتروني ZK + ZK JWTs" . تم الاسترجاع في 18 يناير 2026 .
  30. ↑ لي، إكس.؛ وآخرون (2023). "ZKSQL: تقييم الاستعلامات القابل للتحقق والفعال باستخدام براهين المعرفة الصفرية" (ملف PDF) . وقائع مؤسسة VLDB . 16 (8): 1804-1817 . doi : 10.14778/3594512.3594513 .
  31. ↑ غولدريتش، أوديد (1985). "برهان بدون معرفة مسبقة على أن معامل عددين أوليين ليس عددًا صحيحًا من نوع بلوم". مخطوطة غير منشورة .
  32. ↑ غولدريتش، أوديد؛ ميكالي، سيلفيو؛ ويغدرسون، آفي (1991). "براهين لا تُثبت شيئًا سوى صحتها". مجلة ACM . 38 (3): 690-728 . CiteSeerX 10.1.1.420.1478 . doi : 10.1145/116825.116852 . S2CID 2389804 .  
  33. ↑ راسل إمباغليازو، موتي يونغ: حسابات الحد الأدنى من المعرفة المباشرة. CRYPTO 1987: 40–51
  34. ↑ بن أور، مايكل؛ غولدرايش، عوديد؛ غولدواسير، شافي؛ هاستاد، يوهان؛ كيليان، جو؛ ميكالي، سيلفيو؛ روغاواي، فيليب (1990). "كل ما يمكن إثباته قابل للإثبات في ظل انعدام المعرفة". في غولدواسير، س. (محرر). التطورات في علم التشفير - CRYPTO '88 . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 403. سبرينغر-فيرلاغ. الصفحات 37-56 .  
  35. ↑ بن أور، مايكل؛ غولدواسير، شافي؛ كيليان، جو؛ ويدجرسون، آفي (1988). "البراهين التفاعلية متعددة المُثبتين: كيفية إزالة التعقيد" . وقائع الندوة السنوية العشرين لجمعية آلات الحوسبة حول نظرية الحوسبة - STOC '88 . الصفحات 113-131 . doi : 10.1145/62212.62223 . ISBN  0-89791-264-0.
  36. ^ دورك ، سينثيا. ناعور، موني؛ ساهاي، أميت (2004). “المعرفة الصفرية المتزامنة”. مجلة ACM . 51 (6): 851– 898. سايتسيركس 10.1.1.43.716 . دوى : 10.1145/1039488.1039489 . S2CID 52827731 .  
  37. ↑ فيج، أورييل؛ شامير، آدي (1990). "بروتوكولات إخفاء الشهود وعدم تمييزهم". وقائع الندوة السنوية الثانية والعشرين لجمعية ACM حول نظرية الحوسبة - STOC '90 . الصفحات 416-426 . CiteSeerX 10.1.1.73.3911 . doi : 10.1145/100216.100272 . ISBN   978-0-89791-361-4. S2CID 11146395 . 
  38. 1 2 موريس، ديميتريس؛ تسوتسوس، نكتاريوس جورجيوس (2021). "زيلش: إطار عمل لنشر براهين المعرفة الصفرية الشفافة". معاملات IEEE في الطب الشرعي وأمن المعلومات . 16 : 3269-3284 . Bibcode : 2021ITIF...16.3269M . doi : 10.1109/TIFS.2021.3074869 . ISSN 1556-6021 . S2CID 222069813 .  
  39. ↑ بارنو، ب.؛ هاول، ج.؛ جنتري، س.؛ رايكوفا، م. (مايو 2013). "بينوكيو: حساب قابل للتحقق عمليًا تقريبًا". ندوة IEEE للأمن والخصوصية لعام 2013. الصفحات 238-252 . doi : 10.1109/SP.2013.47 . ISBN  978-0-7695-4977-4. S2CID 1155080 . 
  40. ↑ كوستيلو، كريغ؛ فورنيه، سيدريك؛ هاول، جون؛ كولويس، ماركولف؛ كروتر، بنجامين؛ ناهريغ، مايكل؛ بارنو، برايان؛ زهور، سامي (مايو 2015). "جيبتو: حساب متعدد الاستخدامات وقابل للتحقق" . ندوة IEEE للأمن والخصوصية لعام 2015. الصفحات 253-270 . doi : 10.1109/SP.2015.23 . hdl : 20.500.11820/37920e55-65aa-4a42-b678-ef5902a5dd45 . ISBN  978-1-4673-6949-7. S2CID 3343426 . 
  41. ↑ بن ساسون، إيلي؛ كييزا، أليساندرو؛ جينكين، دانيال؛ ترومر، إران؛ فيرزا، مادارس (2013). "SNARKs للغة C: التحقق من تنفيذ البرامج بإيجاز وبدون معرفة مسبقة". التطورات في علم التشفير - CRYPTO 2013. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 8043. الصفحات 90-108 . doi : 10.1007/978-3-642-40084-1_6 . hdl : 1721.1/87953 . ISBN   978-3-642-40083-4.
  42. ↑ وهبي، رياض س.؛ سيتي، سرينات؛ رين، زوتشنغ؛ بلومبرغ، أندرو ج.؛ والفيش، مايكل (2015). "ذاكرة الوصول العشوائي الفعالة وتدفق التحكم في الحوسبة الخارجية القابلة للتحقق". وقائع ندوة أمن الشبكات والأنظمة الموزعة لعام 2015. doi : 10.14722/ndss.2015.23097 . ISBN 978-1-891562-38-9.
  43. ↑ إيبرهاردت، جاكوب؛ تاي، ستيفان (يوليو 2018). "زوكريتس - حسابات خارج السلسلة قابلة للتوسع مع الحفاظ على الخصوصية". المؤتمر الدولي لعام 2018 لـ IEEE حول إنترنت الأشياء (IThings) والحوسبة الخضراء والاتصالات (GreenCom) والحوسبة السيبرانية والفيزيائية والاجتماعية (CPSCom) والبيانات الذكية (SmartData) . الصفحات 1084-1091 . doi : 10.1109/Cybermatics_2018.2018.00199 . ISBN  978-1-5386-7975-3. S2CID 49473237 . 
  44. ↑ كوسبا، أحمد؛ بابامانثو، شارالامبوس؛ شي، إيلين (مايو 2018). "XJsnark: إطار عمل للحوسبة الفعالة والقابلة للتحقق". ندوة IEEE للأمن والخصوصية لعام 2018 (SP) . الصفحات 944-961 . doi : 10.1109/SP.2018.00018 . ISBN  978-1-5386-4353-2.
  45. ↑ تشانغ، يوبينغ؛ جينكين، دانيال؛ كاتز، جوناثان؛ بابادوبولوس، ديميتريوس؛ بابامانثو، شارالامبوس (مايو 2018). "ذاكرة الوصول العشوائي القابلة للتحقق: ذاكرة وصول عشوائي أسرع مع معالجة مسبقة مستقلة عن البرنامج". ندوة IEEE للأمن والخصوصية لعام 2018 (SP) . الصفحات 908-925 . doi : 10.1109/SP.2018.00013 . ISBN  978-1-5386-4353-2.
  46. ↑ بن ساسون، إيلي؛ كييزا، أليساندرو؛ ترومر، إران؛ فيرزا، مادارس (20 أغسطس 2014). "معرفة صفرية موجزة غير تفاعلية لبنية فون نيومان" . وقائع المؤتمر الثالث والعشرين لندوة الأمن التابعة لجمعية USENIX . جمعية USENIX: 781-796 . ISBN 978-1-931971-15-7.
  47. ↑ كوسبا، أحمد؛ بابادوبولوس، ديميتريوس؛ بابامانثو، شارالامبوس؛ سونغ، دون (2020). "سراب: حجج موجزة للخوارزميات العشوائية مع تطبيقات على خوارزميات zk-SNARKs الشاملة" . أرشيف الطباعة الإلكترونية لعلم التشفير .
  48. ↑ مالر، ماري؛ بو، شون؛ كولويس، ماركولف؛ ميكليجون، سارة (6 نوفمبر 2019). "سونيك: SNARKs بدون معرفة مسبقة من سلاسل مرجعية هيكلية عالمية وقابلة للتحديث ذات حجم خطي" . وقائع مؤتمر ACM SIGSAC لعام 2019 حول أمن الحاسوب والاتصالات . رابطة آلات الحوسبة. الصفحات 2111-2128 . doi : 10.1145/3319535.3339817 . hdl : 20.500.11820/739b94f1-54f0-4ec3-9644-3c95eea1e8f5 . ISBN  978-1-4503-6747-9. S2CID 242772913 . 
  49. ↑ كييزا، أليساندرو؛ هو، يونكونغ؛ مالر، ماري؛ ميشرا، براتوش؛ فيسلي، نوح؛ وارد، نيكولاس (2020). "مارلين: المعالجة المسبقة لـ zkSNARKs باستخدام SRS عالمي وقابل للتحديث" . التطورات في علم التشفير - EUROCRYPT 2020. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 12105. دار نشر سبرينغر الدولية. الصفحات 738-768 . doi : 10.1007/978-3-030-45721-1_26 . ISBN   978-3-030-45720-4. S2CID 204772154 . 
  50. ↑ غابيزون، أرييل؛ ويليامسون، زاكاري جيه؛ سيوبوتارو، أوانا (2019). "PLONK: التباديل على قواعد لاغرانج لحجج المعرفة غير التفاعلية الشاملة" . أرشيف الطباعة الإلكترونية لعلم التشفير .
  51. ↑ بونز، بينيديكت؛ فيش، بن؛ سزيبينيك، آلان (2020). "SNARKs شفافة من مُجمِّعات DARK" . التطورات في علم التشفير - EUROCRYPT 2020. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 12105. دار نشر سبرينغر الدولية. الصفحات 677-706 . doi : 10.1007/978-3-030-45721-1_24 . ISBN   978-3-030-45720-4. S2CID 204892714 . 
  52. ↑ وهبي، رياض س.؛ تزيالا، إيوانا؛ شيلات، أبهي؛ ثالر، جاستن؛ والفيش، مايكل (مايو 2018). "شبكات zkSNARKs ذات الكفاءة المزدوجة بدون إعداد موثوق". ندوة IEEE للأمن والخصوصية (SP) لعام 2018. الصفحات 926-943 . doi : 10.1109/SP.2018.00060 . ISBN  978-1-5386-4353-2.
  53. ↑ بو، شون؛ جريج، جاك؛ هوبوود، دايرا (2019). "تركيب البرهان التكراري بدون إعداد موثوق" . أرشيف الطباعة الإلكترونية لعلم التشفير .
  54. ↑ تشانغ، جيا هنغ؛ شي، تيانتشنغ؛ تشانغ، يوبنغ؛ سونغ، دون (مايو 2020). "التفويض متعدد الحدود الشفاف وتطبيقاته في إثبات المعرفة الصفرية". ندوة IEEE للأمن والخصوصية (SP) لعام 2020. الصفحات 859-876 . doi : 10.1109/SP40000.2020.00052 . ISBN  978-1-7281-3497-0.
  55. ↑ أيمز، سكوت؛ هازاي، كارميت؛ إيشاي، يوفال؛ فينكيتا سوبرامانيام، موثوراماكريشنان (30 أكتوبر 2017). "ليجيرو" . وقائع مؤتمر ACM SIGSAC لعام 2017 حول أمن الحاسوب والاتصالات . رابطة آلات الحوسبة. الصفحات 2087-2104 . doi : 10.1145/3133956.3134104 . ISBN  978-1-4503-4946-8. S2CID 5348527 . 
  56. ↑ بن ساسون، إيلي؛ كييزا، أليساندرو؛ ريابزيف، مايكل؛ سبونر، نيكولاس؛ فيرزا، مادارس؛ وارد، نيكولاس ب. (2019). "أورورا: حجج موجزة وشفافة لـ R1CS" . التطورات في علم التشفير - يورو كريبت 2019. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 11476. دار نشر سبرينغر الدولية. الصفحات 103-128 . doi : 10.1007/978-3-030-17653-2_4 . ISBN   978-3-030-17652-5. S2CID 52832327 . 
  57. ↑ بن ساسون، إيلي؛ بينتوف، إيدو؛ حوريش، ينون؛ ريابزيف، مايكل (2019). "معرفة صفرية قابلة للتوسع بدون إعداد موثوق" . التطورات في علم التشفير - CRYPTO 2019. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد 11694. دار نشر سبرينغر الدولية. الصفحات 701-732 . doi : 10.1007/978-3-030-26954-8_23 . ISBN   978-3-030-26953-1. S2CID 199501907 . 
  58. ↑ نوسو، إيمانويل (25 نوفمبر 2025). "هايبربريدج تقول إنها تبني بنية فائقة لجسور العملات المشفرة" . تيك كابال . تم الاطلاع عليه بتاريخ 1 ديسمبر 2025 .
  59. ↑ شالياسوس، ستيفانوس؛ إرنستبرغر، ينس؛ ثيودور، ديفيد؛ وونغ، ديفيد؛ جهانارا، محمد؛ ليفشيتس، بنيامين (2024). "SoK: ما الذي لا نعرفه؟ فهم الثغرات الأمنية في SNARKs" . SEC '24: وقائع المؤتمر الثالث والثلاثين لندوة USENIX حول الأمن . الصفحات 3855-3872 . arXiv : 2402.15293 . ISBN  978-1-939133-44-1.
  60. ↑ بايلور، شانكارا؛ تشين، يانجو؛ وانغ، فرانكلين؛ رودريغيز، كلارا؛ فان جيفن، جاكوب؛ مورتون، جيسون؛ تشو، مايكل؛ غو، برايان؛ فينغ، يو؛ ديليغ، إيشيل (2023). "الكشف الآلي عن الدوائر غير المقيدة في براهين المعرفة الصفرية" . وقائع مؤتمر ACM حول لغات البرمجة . 7 : 1510-1532 . doi : 10.1145/3591282 .
  61. ↑ دايموند، تايلر (20 يونيو 2025). "مقدمة عن الآلات الافتراضية ذات المعرفة الصفرية (zkVMs)" . فيريدايز . تم الاسترجاع في 10 فبراير 2026 .
  62. ↑ برويستل، ج.؛ جافني، ب. (29 يوليو 2023). "RISC Zero zkVM: حجج قابلة للتوسع وشفافة لسلامة RISC-V" . مسودة . تم الاطلاع عليها في 9 فبراير 2026 .