السياج (الرياضيات)

في الرياضيات ، يُعرف السياج ، أو ما يُسمى أيضًا بمجموعة متعرجة مرتبة جزئيًا ، بأنه مجموعة مرتبة جزئيًا (poset) تشكل فيها علاقات الترتيب مسارًا باتجاهات متناوبة:

${\displaystyle a<b>c<d>e<f>h<i\cdots }$

أو

${\displaystyle a>b<c>d<e>f<h>i\cdots }$

قد يكون السياج محدودًا ، أو قد يتكون من سلسلة متناوبة لا نهائية تمتد في كلا الاتجاهين. وتُعدّ مجموعات التداخل الجزئية في مخططات المسارات أمثلة على الأسوار.

يُطلق على الامتداد الخطي للسياج اسم التبديل المتناوب ؛ وقد دُرست مسألة أندريه في حساب عدد الامتدادات الخطية المختلفة منذ القرن التاسع عشر. ^{[ 1 ]} حلول هذه المسألة، والتي تُعرف بأعداد أويلر المتعرجة أو أعداد الصعود/الهبوط، هي:

${\displaystyle 1,1,2,4,10,32,122,544,2770,15872,101042.}$

(التسلسل A001250 في OEIS ) .

عدد السلاسل المضادة في السياج هو عدد فيبوناتشي ؛ الشبكة التوزيعية التي تحتوي على هذا العدد من العناصر، والمولدة من السياج عبر نظرية تمثيل بيركوف ، يكون رسمها البياني هو مكعب فيبوناتشي . ^{[ 2 ]}

تكون المجموعة المرتبة جزئياً متسلسلة-متوازية إذا وفقط إذا لم يكن لديها أربعة عناصر تشكل سياجاً. ^{[ 3 ]}

وقد قام العديد من المؤلفين أيضاً بدراسة عدد الخرائط التي تحافظ على الترتيب من الأسوار إلى نفسها، أو إلى أسوار ذات أحجام أخرى. ^{[ 4 ]}

المجموعة المرتبة جزئيًا ذات الاتجاهين Q ( a , b ) هي تعميم للمجموعة المرتبة جزئيًا المتعرجة، حيث يوجد a اتجاهًا هابطًا لكل اتجاه صاعد، وعدد إجمالي b من العناصر. ^{[ 5 ]} على سبيل المثال، تحتوي Q (2, 9) على العناصر والعلاقات التالية:

${\displaystyle a>b>c<d>e>f<g>h>i.}$

في هذا الترميز، يكون السياج عبارة عن مجموعة مرتبة جزئيًا من الشكل Q (1، n ) .

• وايسشتاين، إريك دبليو. "مجموعة السياج" . عالم الرياضيات .