الدوال والمتتابعات الرتيبة تمامًا

📅 آخر تحديث: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢٨ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 119 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، يُعدّ مفهوما الدالة الرتيبة المطلقة والدالة الرتيبة تمامًا مفهومين مترابطين ترابطًا وثيقًا. فكلاهما ينطوي على خصائص رتابة قوية. ولكلا النوعين من الدوال مشتقات من جميع الرتب. في حالة الدالة الرتيبة المطلقة، يجب أن تكون الدالة ومشتقاتها من جميع الرتب غير سالبة في مجال تعريفها، مما يعني أن الدالة ومشتقاتها من جميع الرتب دوال متزايدة رتيبًا في مجال تعريفها. أما في حالة الدالة الرتيبة تمامًا، فيجب أن تكون الدالة ومشتقاتها موجبة وغير سالبة بالتناوب في مجال تعريفها، مما يعني أن الدالة ومشتقاتها دوال متزايدة رتيبًا ومتناقصة رتيبًا بالتناوب.

درس س. بيرنشتاين هذه الدوال لأول مرة عام 1914، ويعود الفضل في صياغة المصطلحات إليه أيضًا. [ 1 ] [ 2 ] [ 3 ] وهناك مفاهيم أخرى ذات صلة، مثل مفهوم الدالة شبه الرتيبة تمامًا، والدالة الرتيبة لوغاريتميًا تمامًا، والدالة الرتيبة لوغاريتميًا بقوة تمامًا، والدالة الرتيبة بقوة تمامًا، والدالة شبه الرتيبة بقوة تمامًا. [ 4 ] [ 5 ] ومن المفاهيم ذات الصلة أيضًا مفهوم المتتالية الرتيبة تمامًا/المطلقة . وقد قدم هاوسدورف هذا المفهوم عام 1921.

تلعب مفاهيم الدوال/المتتابعات الرتيبة تمامًا والمطلقة دورًا هامًا في العديد من مجالات الرياضيات. فعلى سبيل المثال، تظهر في التحليل الكلاسيكي في إثبات إيجابية التكاملات التي تتضمن دوال بيسل أو إيجابية متوسطات سيزارو لبعض متسلسلات جاكوبي. [ 6 ] وتظهر هذه الدوال في مجالات أخرى من الرياضيات مثل نظرية الاحتمالات والتحليل العددي والمرونة. [ 7 ]

الدوال الرتيبة المطلقة والكاملة

التعريفات

دالة ذات قيم حقيقيةو(x){\displaystyle f(x)}معرفة على فترةأنا{\displaystyle I}تُسمى الدالة في خط الأعداد الحقيقية دالة رتيبة مطلقة إذا كانت لها مشتقاتو(ن)(x){\displaystyle f^{(n)}(x)}من بين جميع الطلباتن=0،1،2،...{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }وو(ن)(x)≥0{\displaystyle f^{(n)}(x)\geq 0}للجميعx{\displaystyle x}فيأنا{\displaystyle I}[ 1 ] الوظيفة​و(x){\displaystyle f(x)}تُسمى الدالة دالة رتيبة تمامًا إذا(-1)نو(ن)(x)≥0{\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\geq 0}للجميعx{\displaystyle x}فيأنا{\displaystyle I}[ 1 ]​

يرتبط المفهومان ارتباطًا وثيقًا. الوظيفةو(x){\displaystyle f(x)}تكون رتيبة تمامًا إذا وفقط إذاو(-x){\displaystyle f(-x)} يكون رتيبًا تمامًا على -أنا{\displaystyle -I}أين-أنا{\displaystyle -I}الفترة الزمنية التي تم الحصول عليها عن طريق الانعكاسأنا{\displaystyle I}فيما يتعلق بالأصل. (وبالتالي، إذاأنا{\displaystyle I}هي الفترة(أ،ب){\displaystyle (a,b)}ثم-أنا{\displaystyle -I}هي الفترة(-ب،-أ){\displaystyle (-b,-a)}.)

في التطبيقات، تُعتبر الفترة على خط الأعداد الحقيقية التي تُؤخذ في الاعتبار عادةً هي النصف الأيمن المغلق والمفتوح من خط الأعداد الحقيقية، أي الفترة[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}.

في بعض الأحيان، وخاصة عند تعريف الدوال الرتيبة تمامًا على أنصاف الزمر ، [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] يتم تعريفها كدوالو{\displaystyle f}بحيث∇أ1...∇أنو≥0{\displaystyle \nabla _{a_{1}}\ldots \nabla _{a_{n}}f\geq 0}لجميع التسلسلاتأ1،...،أن≥0{\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}\geq 0}للجميعن∈شمال{\displaystyle n\in \mathbb {N} }أين∇أ{\displaystyle \nabla _{a}}هو عامل الفروق المحدودة المعرف بواسطة(∇أو)(x)=و(x)-و(x+أ){\displaystyle (\nabla _{a}f)(x)=f(x)-f(x+a)}.

أمثلة

الدوال التالية رتيبة تمامًا في المناطق المحددة. [ 11 ] : 142-143

  1. و(x)=ج{\displaystyle f(x)=c}، أينج{\displaystyle c}ثابت غير سالب، في المنطقة-∞<x<∞{\displaystyle -\infty <x<\infty }
  2. و(x)=∑ك=0∞أكxك{\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}، أينأك≥0{\displaystyle a_{k}\geq 0}للجميعك{\displaystyle k}في المنطقة0≤x<∞{\displaystyle 0\leq x<\infty }
  3. و(x)=خبرة⁡(x){\displaystyle f(x)=\exp(x)}في المنطقة-∞<x<∞{\displaystyle -\infty <x<\infty }
  4. و(x)=-سجل⁡(-x){\displaystyle f(x)=-\log(-x)}في المنطقة-1≤x<0{\displaystyle -1\leq x<0}
  5. و(x)=الخطيئة-1⁡x{\displaystyle f(x)=\sin ^{-1}x}في المنطقة0≤x≤1{\displaystyle 0\leq x\leq 1}

الدوال التالية رتيبة تمامًا على الفترة [ 0,∞)

  1. و(x)=ج{\displaystyle f(x)=c}لج≥0{\displaystyle c\geq 0}
  2. و(x)=هـ-تx{\displaystyle f(x)=e^{-tx}}لت≥0{\displaystyle t\geq 0}
  3. و(x)=(1+x)-β{\displaystyle f(x)=(1+x)^{-\beta }}لβ≥0{\displaystyle \beta \geq 0}
  4. و(x)=سجل⁡(1+1/x){\displaystyle f(x)=\log(1+1/x)}لأنها تحويل لابلاس لـ(1-خبرة⁡(-ت))/ت≥0{\displaystyle (1-\exp(-t))/t\geq 0}

التركيبات التالية من الدوال الرتيبة تمامًا والمطلقة هي رتيبة تمامًا: [ 12 ]

  • توليفة خطية غير سالبة من دوال رتيبة تمامًا
  • ناتج دوال رتيبة تمامًا
  • و∘ز{\displaystyle f\circ g}أينو{\displaystyle f}هو رتيب تمامًا وز{\displaystyle g}رتيب تمامًا
  • و∘ز{\displaystyle f\circ g}أينو{\displaystyle f}هو رتيب تمامًا وز{\displaystyle g}هي دالة برنشتاين (ز≥0{\displaystyle g\geq 0}ومشتقاتهز′{\displaystyle g'}(رتيب تمامًا)

الفرق الأماميو(x)-و(x+ب){\displaystyle f(x)-f(x+b)}لب≥0{\displaystyle b\geq 0}دالة رتيبة تمامًاو{\displaystyle f}هو رتيب تمامًا (لأن(-1)نو(ن){\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}}هي دالة متناقصة لجميعن≥0{\displaystyle n\geq 0}).

الحد الأعلى للمشتقات

لوو{\displaystyle f}يكون رتيبًا تمامًا على[x-أ،x]{\displaystyle [x-a,x]}معأ>0{\displaystyle a>0}يمكننا استخدام نظرية تايلور مع باقي لاغرانج

و(x-أ)=∑ك=0ن-1(-1)كو(ك)(x)ك!أك+(-1)نو(ن)(ξ)ن!أن≥(-1)نو(ن)(x)ن!أن{\displaystyle f(x-a)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}f^{(k)}(x)}{k!}}a^{k}+{\frac {(-1)^{n}f^{(n)}(\xi )}{n!}}a^{n}\geq {\frac {(-1)^{n}f^{(n)}(x)}{n!}}a^{n}}

أينx-أ≤ξ≤x{\displaystyle x-a\leq \xi \leq x}وقد استخدمنا ذلك(-1)كو(ك)(x)≥0{\displaystyle (-1)^{k}f^{(k)}(x)\geq 0}للجميعك{\displaystyle k}و(-1)نو(ن){\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}}يتناقص. ومن هذا نحصل على الحد الأعلى

(-1)نو(ن)(x)≤ن!أنو(x-أ){\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\leq {\frac {n!}{a^{n}}}f(x-a)}

ونتيجة لذلك، فإن المعاملاتجن{\displaystyle c_{n}}من سلسلة تايلورو{\displaystyle f}فيx{\displaystyle x}يؤكد|جن|=|و(ن)(x)|/ن!≤و(x-أ)أ-ن{\displaystyle |c_{n}|=|f^{(n)}(x)|/n!\leq f(x-a)\,a^{-n}}وبتطبيق نظرية كوشي-هادامارد، نجد أن نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور عندx{\displaystyle x}هو على الأقلأ{\displaystyle a}.

الحدود بواسطة كثيرات حدود تايلور

لوو{\displaystyle f}يكون رتيبًا تمامًا على[x،x+ب]{\displaystyle [x,x+b]}معب>0{\displaystyle b>0}ثم يمكننا أن نكتبو(x+ب)=Pن(ب)+و(ن+1)(ξ)(ن+1)!بن+1{\displaystyle f(x+b)=P_{n}(b)+{\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}b^{n+1}}أينPن{\displaystyle P_{n}}هي متعددة حدود تايلور من الرتبةن{\displaystyle n}لو{\displaystyle f}فيx{\displaystyle x}وx≤ξ≤x+ب{\displaystyle x\leq \xi \leq x+b}وبما أن علامةو(ن)(ξ){\displaystyle f^{(n)}(\xi )}يعتمد ذلك على تكافؤن{\displaystyle n}للجميعك≥0{\displaystyle k\geq 0}لدينا [ 13 ]

P2ك+1(ب)≤و(x+ب)≤P2ك(ب){\displaystyle P_{2k+1}(b)\leq f(x+b)\leq P_{2k}(b)}

وهذا يعني أنو{\displaystyle f}تحليلي على​[x،x+R){\displaystyle [x,x+R)}أينR{\displaystyle R}يمثل نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور لـو{\displaystyle f}فيx{\displaystyle x}وإذا كان لديناR>0{\displaystyle R>0}.

نظرية برنشتاين الصغيرة

انطلاقاً من النتائج المذكورة أعلاه حول نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور وحول التحليلية لدالة رتيبة تماماً، يمكننا استنتاج النتيجة التالية، والتي تسمى أحياناً نظرية برنشتاين الصغيرة.

دالة رتيبة تمامًا على الفترة المفتوحة(أ،ب){\displaystyle (a,b)}يمكن توسيعها إلى دالة تحليلية على القرص المفتوح في المستوى المركب المحدد بواسطة|z-ب|<ب-أ{\displaystyle |z-b|<b-a}وستكون هذه الدالة رتيبة تمامًا على الفترة(أ،ب]{\displaystyle (a,b]}ويترتب على ذلك أنه إذا كانت الدالة رتيبة تمامًا على(أ،∞){\displaystyle (a,\infty )}ثم يمكن توسيعها لتصبح دالة تحليلية على نصف المستوى المركبيكرر⁡(z)>أ{\displaystyle \operatorname {Re} (z)>a}وإذا كان رتيبًا تمامًا(-∞،ب){\displaystyle (-\infty ,b)}ثم يمكن توسيعها لتشمل دالة تحليلية في المستوى المركب بأكمله.

تنطبق نتائج مماثلة على أي دالة رتيبة تمامًاو{\displaystyle f}، كعكسهاو(-x){\displaystyle f(-x)}دالة رتيبة تمامًا. دالة رتيبة تمامًا على الفترة المفتوحة(أ،ب){\displaystyle (a,b)}يمكن توسيعها إلى دالة تحليلية على القرص المفتوح في المستوى المركب المحدد بواسطة|z-أ|<ب-أ{\displaystyle |z-a|<b-a}وستكون هذه الدالة رتيبة تمامًا على الفترة[أ،ب){\displaystyle [a,b)}[ 11 ] [ 14 ] ويترتب على ذلك أنه إذا كانت الدالة رتيبة تمامًا على(-∞،ب){\displaystyle (-\infty ,b)}ثم يمكن توسيعها لتصبح دالة تحليلية على نصف المستوى المركبيكرر⁡(z)<ب{\displaystyle \operatorname {Re} (z)<b}وإذا كان رتيبًا تمامًا(أ،∞){\displaystyle (a,\infty )}ثم يمكن توسيعها لتشمل دالة تحليلية في المستوى المركب بأكمله.

تماسك

مجموعة الدوال الرتيبة تمامًا على(0،∞){\displaystyle (0,\infty )}بحيثو≤1{\displaystyle f\leq 1}هي مجموعة فرعية مضغوطة منج∞(0،∞){\displaystyle C^{\infty }(0,\infty )}بالنسبة لطوبولوجيا فريشيه المعتادة .

التمثيل

نظرية برنشتاين حول الدوال الرتيبة : دالةو(x){\displaystyle f(x)}هذا رتيب تمامًا على[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}يمكن تمثيلها هناك كتكامل لابلاس على النحو التالي

و(x)=∫0∞هـ-xتدμ(ت){\displaystyle f(x)=\int _{0}^{\infty }e^{-xt}\,d\mu (t)}

أينμ(ت){\displaystyle \mu (t)}دالة غير متناقصة ومحدودة على[0،∞){\displaystyle [0,\infty )}.

التحدب اللوغاريتمي

من تمثيل تحويل لابلاس نحصل على

(-1)نو(ن)(x)=∫0∞تنهـ-xتدμ(ت){\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)=\int _{0}^{\infty }t^{n}e^{-xt}\,d\mu (t)}

وبعد ذلك يمكننا استخدام متباينة كوشي-شفارتز المطبقة على الدوالت(ن-1)/2{\displaystyle t^{(n-1)/2}}وت(ن+1)/2{\displaystyle t^{(n+1)/2}}مع الوزنهـ-xتدμ(ت){\displaystyle e^{-xt}\,d\mu (t)}للحصول على

(و(ن)(x))2≤و(ن-1)(x)و(ن+1)(x){\displaystyle (f^{(n)}(x))^{2}\leq f^{(n-1)}(x)f^{(n+1)}(x)}

هذا يعني أنه بالنسبة لكلx{\displaystyle x}التسلسلو(ن)(x){\displaystyle f^{(n)}(x)}لن≥0{\displaystyle n\geq 0}هي دالة محدبة لوغاريتميًا. وهذا يعني أيضًا أنه لكلن{\displaystyle n}الوظيفةو(ن){\displaystyle f^{(n)}}هو دالة محدبة لوغاريتميًا لأن(سجل⁡و(ن))"=(و(ن)و(ن+2)-(و(ن+1))2)/(و(ن))2≥0{\displaystyle (\log f^{(n)})''=(f^{(n)}f^{(n+2)}-(f^{(n+1)})^{2})/(f^{(n)})^{2}\geq 0}.

يمكن إيجاد متباينات أكثر عمومية بناءً على مفهوم تحدب شور . [ 15 ] [ 16 ]

وظائف برنشتاين

تعريف

فيما يتعلق بما سبق، يتم تعريف دوال برنشتاين على أنها تلك الدوال غير السالبة والتي يكون مشتقها رتيبًا تمامًا.

أمثلة

الدوال التالية هي دوال برنشتاين

  1. و(x)=xβ{\displaystyle f(x)=x^{\beta }}لβ∈[0،1]{\displaystyle \beta \in [0,1]}
  2. و(x)=سجل⁡(1+x){\displaystyle f(x)=\log(1+x)}
  3. و(x)=x/(1+x){\displaystyle f(x)=x/(1+x)}
  4. و(x)=1-هـ-تx{\displaystyle f(x)=1-e^{-tx}}لت≥0{\displaystyle t\geq 0}

التمثيل

لكل دالة برنشتاين التمثيل التالي:

و(ت)=أ+بت+∫0∞(1-هـ-تx)μ(دx)،{\displaystyle f(t)=a+bt+\int _{0}^{\infty }\left(1-e^{-tx}\right)\mu (dx),}

أينأ،ب≥0{\displaystyle a,b\geq 0}وμ{\displaystyle \mu }هو مقياس على نصف الخط الحقيقي الموجب بحيث

∫0∞(1∧x)μ(دx)<∞.{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left(1\wedge x\right)\mu (dx)<\infty .}

متتابعات رتيبة تمامًا

تعريف

تسلسل{μن}ن=0∞{\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}تُسمى المتتالية متتالية رتيبة تمامًا إذا كانت عناصرها غير سالبة وفروقها المتتالية جميعها غير سالبة، أي إذا

Δكμن≥0،ن،ك=0،1،2،...{\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }

أينΔكμن=∑م=0ك(-1)م(كم)μن+ك-م{\displaystyle \Delta ^{k}\mu _{n}=\sum _{m=0}^{k}(-1)^{m}{k \choose m}\mu _{n+k-m}}.

تسلسل{μن}ن=0∞{\displaystyle \{\mu _{n}\}_{n=0}^{\infty }}تُسمى متتالية رتيبة تمامًا إذا كانت عناصرها غير سالبة وفروقها المتتالية موجبة وغير سالبة بالتناوب، [ 11 ] : 101 أي، إذا

(-1)كΔكμن≥0،ن،ك=0،1،2،...{\displaystyle (-1)^{k}\Delta ^{k}\mu _{n}\geq 0,\quad n,k=0,1,2,\ldots }

أمثلة

التسلسلات{1ن+1}0∞{\displaystyle \left\{{\frac {1}{n+1}}\right\}_{0}^{\infty }}و{جن}0∞{\displaystyle \{c^{n}\}_{0}^{\infty }}ل0≤ج≤1{\displaystyle 0\leq c\leq 1}هي متتابعات رتيبة تمامًا.

التمثيل

تسلسل{μن}0∞{\displaystyle \{\mu _{n}\}_{0}^{\infty }}تكون الدالة رتيبة تمامًا إذا وفقط إذا وُجدت دالة متزايدة.α(ت){\displaystyle \alpha (t)}على[0،1]{\displaystyle [0,1]}بحيث

μن=∫01تندα(ت)،ن=0،1،2،...{\displaystyle \mu _{n}=\int _{0}^{1}t^{n}\,d\alpha (t),\quad n=0,1,2,\ldots }

يُشار إلى تحديد هذه الدالة من المتتالية باسم مسألة عزم هاوسدورف .

الدوال الرتيبة تمامًا من الناحية اللوغاريتمية

دالة موجبةو{\displaystyle f}يُقال إنها دالة رتيبة لوغاريتميًا تمامًا إذاسجل⁡و{\displaystyle \log f} هو رتيب تمامًا.

كل دالة رتيبة لوغاريتميًا تمامًا هي دالة رتيبة تمامًا. [ 17 ] [ 18 ] كتابةو(x)=هـز(x){\displaystyle f(x)=e^{g(x)}}معز=سجل⁡و{\displaystyle g=\log f}، صيغة Faà di Bruno تعبر عنن{\displaystyle n}المشتقة النونية لـو{\displaystyle f}مثل

و(ن)(x)=هـز(x)بن(ز′(x)،ز"(x)،...،ز(ن)(x))،{\displaystyle f^{(n)}(x)=e^{g(x)}B_{n}{\bigl (}g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x){\bigr )},}

أينبن{\displaystyle B_{n}}يشير إلىن{\displaystyle n}متعددة حدود بيل من الرتبة n . كل متعددة حدود بيل هي مجموع محدود من أحاديات الحدود من الشكل∏أنا=1ن(ز(أنا))كأنا{\displaystyle \prod _{i=1}^{n}(g^{(i)})^{k_{i}}}مع استيفاء الأسس∑أنا=1نأناكأنا=ن{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}ik_{i}=n}وجميع المعاملات موجبة تمامًا. بما أن الرتابة الكاملة للدالة اللوغاريتمية تستلزم(-1)أناز(أنا)(x)≥0{\displaystyle (-1)^{i}g^{(i)}(x)\geq 0}، نحصل

0≤∏أنا=1ن((-1)أناز(أنا)(x))كأنا=(-1)∑أنا=1نأناكأنا∏أنا=1ن(ز(أنا)(x))كأنا=(-1)ن∏أنا=1ن(ز(أنا)(x))كأنا{\displaystyle 0\leq \prod _{i=1}^{n}((-1)^{i}g^{(i)}(x))^{k_{i}}=(-1)^{\sum _{i=1}^{n}ik_{i}}\prod _{i=1}^{n}(g^{(i)}(x))^{k_{i}}=(-1)^{n}\prod _{i=1}^{n}(g^{(i)}(x))^{k_{i}}}

لهذا السبب.(-1)نبن(ز′(x)،ز"(x)،...،ز(ن)(x))≥0{\displaystyle (-1)^{n}B_{n}{\bigl (}g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n)}(x){\bigr )}\geq 0}.

مثلهـز(x)>0{\displaystyle e^{g(x)}>0}وبناءً على ذلك(-1)نو(ن)(x)≥0{\displaystyle (-1)^{n}f^{(n)}(x)\geq 0}وهذا ينطبق على الجميع.ن≥0{\displaystyle n\geq 0}، فهمنا ذلكو{\displaystyle f}هو رتيب تمامًا.

لاحظ أن هذه حالة خاصة منح∘ز{\displaystyle h\circ g}أن يكون رتيباً تماماً عندماح{\displaystyle h}هو رتيب تمامًا وز{\displaystyle g}يكون رتيبًا تمامًا، في حالةح{\displaystyle h}باعتبارها الدالة الأسية. ويمكن إثبات ذلك كما سبق باستخدام الصيغة الأكثر عمومية لصيغة فا دي برونو.

إن الاستلزام العكسي خاطئ بشكل عام، وتشكل الدوال الرتيبة تمامًا من الناحية اللوغاريتمية فئة فرعية مناسبة من الدوال الرتيبة تمامًا.

للمزيد من القراءة

فيما يلي مقتطفات من مجموعة كبيرة من المؤلفات حول الدوال/المتتاليات الرتيبة تمامًا.

  • رينيه إل. شيلينغ، ورينمينغ سونغ، وزوران فوندراشيك (2010). نظرية وظائف برنشتاين وتطبيقاتها . دي جرويتر. ص 1 – 10. رقم ISBN  978-3-11-021530-4.(الفصل 1: تحويلات لابلاس والدوال الرتيبة تمامًا)
  • دي في ويدر (1946). تحويل لابلاس . مطبعة جامعة برينستون.انظر الفصل الثالث مشكلة العزم (الصفحات  100 - 143) والفصل الرابع الدوال الرتيبة المطلقة والكاملة (الصفحات  144 - 179).
  • ميلان ميركل (2014). نظرية الأعداد التحليلية، ونظرية التقريب، والدوال الخاصة . سبرينغر. ص 347-364 . arXiv : 1211.0900 . (الفصل: "الدوال الرتيبة تمامًا: ملخص")
  • أرفيند ماهاجان وديتر ك. روس (1982). "ملاحظة حول الدوال الرتيبة تمامًا والمطلقة" (ملف PDF) . النشرة الرياضية الكندية . 25 (2): 143-148 . doi : 10.4153/CMB-1982-020-x . تاريخ الاسترجاع: 28 ديسمبر 2023 .
  • سينلين غو، هاري م. سريفاستافا، ونجدت باتير (2013). "فئة معينة من المتتابعات الرتيبة تمامًا" (ملف PDF) . التقدم في المعادلات التفاضلية . 294 : 1-9 . doi : 10.1186/1687-1847-2013-294 . تاريخ الاسترجاع: 29 ديسمبر 2023 .
  • ياجيما، س.؛ إيباراكي، ت. (مارس 1968). "نظرية الدوال الرتيبة تمامًا وتطبيقاتها في منطق العتبة". معاملات IEEE في الحوسبة . C-17 (3): 214-229 . doi : 10.1109/tc.1968.229094 .

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 "دالة رتيبة تمامًا" . encyclopediaofmath.org . موسوعة الرياضيات . تم الاطلاع عليه بتاريخ 28 ديسمبر 2023 .
  2. ^ س. بيرنشتاين (1914). "حول التعريف وخصائص الوظائف التحليلية لمتغير حقيقي". الرياضيات أنالن . 75 (4): 449-468 . دوى : 10.1007 / BF01563654 .
  3. ^ س. بيرنشتاين (1928). "Sur les fonctions monotones absolument" . اكتا ماثيماتيكا . 52 : 1– 66. دوى : 10.1007/BF02592679 .
  4. ↑ غو، سينلين (2017). "بعض خصائص الدوال المتعلقة بالدوال الرتيبة تمامًا" (ملف PDF) . فيلومات . 31 (2): 247-254 . doi : 10.2298/FIL1702247G . تاريخ الاسترجاع: 29 ديسمبر 2023 .
  5. ↑ غو، سينلين؛ لافورجيا، أندريا؛ باتير، نجدت؛ لو، تشيو مينغ (2014). "الدوال الرتيبة تمامًا والدوال ذات الصلة: تطبيقاتها" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات التطبيقية . 2014 : 1-3 . doi : 10.1155/2014/768516 . تاريخ الاسترجاع: 28 ديسمبر 2023 .
  6. ↑ ر. أسكي (1973). "قابلية جمع متسلسلات جاكوبي". معاملات الجمعية الرياضية الأمريكية . 179 : 71-84 . doi : 10.1090/S0002-9947-1973-0315351-7 .
  7. ↑ ويليام فيلر (1971). مقدمة في نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها، المجلد 2 ( الطبعة الثالثة). نيويورك: وايلي. ISBN  978-0-471-25709-7. OCLC 279852 . 
  8. ^ شوكيه، جوستاف (1954). "نظرية القدرات" . حوليات معهد فورييه . 5 : 131 – 295. دوى : 10.5802/aif.53 . ردمك 1777-5310 . 
  9. ↑ بيرغ، كريستيان؛ كريستنسن، ينس بيتر ريوس؛ ريسل، بول (1984). التحليل التوافقي على أنصاف الزمر . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد 100. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4612-1128-0 . ISBN  978-1-4612-7017-1.
  10. ↑ أغويش، رفيق؛ جديدي، وسيم (2019). "توصيفات جديدة للدوال الرتيبة تمامًا ودوال برنشتاين، عكس نظرية هاوسدورف لتوصيف العزوم" . المجلة العربية للعلوم الرياضية . 25 (1): 57-82 . doi : 10.1016/j.ajmsc.2018.03.001 .
  11. 1 2 3 ويدر، ديفيد فيرنون (1946). تحويل لابلاس . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-486-47755-8. OCLC 630478002 . {{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
  12. ↑ فاسهاور، جريج (2010). "الفصل 5: الدوال الرتيبة تمامًا والدوال الرتيبة المضاعفة" (ملف PDF) . MATH 590: طرق الشبكة غير المعتمدة على الشبكة.
  13. ↑ علم، خورشيد؛ ووكر، والتر (1977). "تقريب دالة رتيبة تمامًا" .
  14. ↑ سزابو، في إي إس (2026). "الدوال الرتيبة تمامًا بشكل عام وبعض التطبيقات" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 554 (2) 129984. doi : 10.1016/j.jmaa.2025.129984 .
  15. ↑ فينك، أ.م. (1982). "متباينات كولموغوروف-لانداو للدوال الرتيبة" . مجلة التحليل الرياضي والتطبيقات . 90 (1): 251-258 . doi : 10.1016/0022-247X(82)90057-9 .
  16. ↑ ميركل، ميلان (2014)، "الدوال الرتيبة تمامًا: ملخص" ، في ميلوفانوفيتش، غراديمير ف.؛ راسيس، مايكل ث. (محرران)، نظرية الأعداد التحليلية، ونظرية التقريب، والدوال الخاصة ، نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك، ص 347-364 ، doi : 10.1007/978-1-4939-0258-3_12 ، ISBN  978-1-4939-0257-6تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-02-06
  17. ^ هورن ، روجر أ. (1967). "على المصفوفات والنوى والوظائف القابلة للقسمة بشكل لا نهائي" . Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete . 8 (3): 219-230 . دوى : 10.1007 / BF00531524 . ISSN 0044-3719 . 
  18. ↑ غو، باي-ني؛ تشي، فنغ (2010). "خاصية الدوال الرتيبة المطلقة لوغاريتميًا والرتابة الكاملة لوغاريتميًا لدالة أسية-قوة" (ملف PDF) . نشرة جامعة بوخارست للعلوم، السلسلة أ، الرياضيات التطبيقية والفيزياء . 72 (2): 21-30 . ISSN 1223-7027 .