مساحة فريشي

في التحليل الوظيفي والمجالات ذات الصلة في الرياضيات ، تُعدّ فضاءات فريشيه ، نسبةً إلى موريس فريشيه ، فضاءات متجهة طوبولوجية خاصة . وهي تعميمات لفضاءات باناخ ( فضاءات متجهة معيارية كاملة بالنسبة للمقياس المستحث بالمعيار ) . جميع فضاءات باناخ وهيلبرت هي فضاءات فريشيه. تُعدّ فضاءات الدوال القابلة للتفاضل بلا حدود أمثلة نموذجية على فضاءات فريشيه، وكثير منها ليس فضاءات باناخ.

مساحة فريشيه${\displaystyle X}$يُعرَّف بأنه فضاء متجهي طوبولوجي قابل للقياس محدب محليًا (TVS) وكامل كفضاء متجهي طوبولوجي ، ^{[ 1 ]} مما يعني أن كل متتالية كوشي في${\displaystyle X}$يتقارب إلى نقطة ما في${\displaystyle X}$(انظر الحاشية لمزيد من التفاصيل). ^{[ ملاحظة 1 ]}

ملاحظة هامة : لا يشترط جميع المؤلفين أن يكون فضاء فريشيه محدبًا محليًا (كما هو موضح أدناه).

تُستحث طوبولوجيا كل فضاء فريشيه بواسطة مقياس كامل ثابت تحت الإزاحة . وعلى العكس من ذلك، إذا كانت طوبولوجيا فضاء محدب محليًا${\displaystyle X}$إذا تم استنتاجها بواسطة مقياس كامل غير متغير تحت الإزاحة،${\displaystyle X}$هو مكان تابع لـ Fréchet.

كان فريشيه أول من استخدم مصطلح " فضاء باناخ "، ثم صاغ باناخ بدوره مصطلح "فضاء فريشيه" للدلالة على فضاء متجهي طوبولوجي كامل قابل للقياس ، دون اشتراط التحدب الموضعي (يُطلق على هذا الفضاء اليوم غالبًا اسم " فضاء-F "). ^{[ 1 ]} أُضيف شرط التحدب الموضعي لاحقًا بواسطة نيكولاس بورباكي . ^{[ 1 ]} يستخدم عدد كبير من المؤلفين (مثل شيفر) مصطلح "فضاء-F" للدلالة على فضاء فريشيه (المحدب موضعيًا)، بينما لا يشترط آخرون أن يكون "فضاء فريشيه" محدبًا موضعيًا. علاوة على ذلك، يستخدم بعض المؤلفين مصطلحي " فضاء- F " و"فضاء فريشيه" بشكل متبادل. عند قراءة الأدبيات الرياضية، يُنصح القارئ دائمًا بالتحقق مما إذا كان تعريف الكتاب أو المقالة لمصطلحي " فضاء- F " و"فضاء فريشيه" يشترط التحدب الموضعي. ^{[ 1 ]}

يمكن تعريف فضاءات فريشيه بطريقتين متكافئتين: الأولى تستخدم مقياسًا ثابتًا تحت الإزاحة ، والثانية تستخدم عائلة قابلة للعد من المعايير شبه المعيارية .

تذكر أن شبه المعيار${\displaystyle \|\cdot \|}$هي دالة من فضاء متجهي${\displaystyle X}$إلى الأعداد الحقيقية التي تحقق ثلاث خصائص. لكل${\displaystyle x,y\in X}$وجميع الكميات القياسية${\displaystyle c,}$$${\displaystyle \|x\|\geq 0}$$$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|}$$$${\displaystyle \|c\cdot x\|=|c|\|x\|}$$

لو${\displaystyle \|x\|=0\iff x=0}$، ثم${\displaystyle \|\cdot \|}$هي في الواقع معيار. ومع ذلك، فإن المعايير الجزئية مفيدة لأنها تمكننا من بناء فضاءات فريشيه، على النحو التالي:

لإنشاء فضاء فريشيه، يبدأ المرء عادةً بفضاء متجهي${\displaystyle X}$ويحدد عائلة قابلة للعد من المعايير شبه القياسية ${\displaystyle \|\cdot \|_{k}}$على${\displaystyle X}$مع الخاصيتين التاليتين:

• لو${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle \|x\|_{k}=0}$للجميع${\displaystyle k\geq 0,}$ثم${\displaystyle x=0}$؛
• لو${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$هو تسلسل في${\displaystyle X}$وهو معيار كوشي بالنسبة لكل شبه معيار.${\displaystyle \|\cdot \|_{k},}$ثم يوجد${\displaystyle x\in X}$بحيث${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$يتقارب إلى${\displaystyle x}$فيما يتعلق بكل شبه معيار${\displaystyle \|\cdot \|_{k}.}$

ثم تتحول الطوبولوجيا الناتجة عن هذه المعايير شبهية (كما هو موضح أعلاه)${\displaystyle X}$إلى فضاء فريشيه؛ تضمن الخاصية الأولى أنه فضاء هاوسدورف، وتضمن الخاصية الثانية أنه فضاء كامل. مقياس كامل ثابت تحت الإزاحة يُنتج نفس الطوبولوجيا على${\displaystyle X}$ويمكن تعريفها بعد ذلك بواسطة $${\displaystyle d(x,y)=\sum _{k=0}^{\infty}2^{-k}{\frac {\|xy\|_{k}}{1+\|xy\|_{k}}}\qquad x,y\in X.}$$

الوظيفة${\displaystyle u\mapsto {\frac {u}{1+u}}}$خرائط${\displaystyle [0,\infty )}$بشكل رتيب إلى${\displaystyle [0,1),}$وبالتالي يضمن التعريف المذكور أعلاه ما يلي:${\displaystyle d(x,y)}$تكون "صغيرة" إذا وفقط إذا وُجدت${\displaystyle K}$"كبير" بحيث${\displaystyle \|xy\|_{k}}$صغير لـ${\displaystyle k=0,\ldots ,K.}$

إذا كان فضاء فريشيه يقبل معيارًا متصلًا، فإنه يمكن استبدال جميع المعايير شبه المعيارية المستخدمة لتعريفه بمعايير أخرى عن طريق إضافة هذا المعيار المتصل إلى كل منها. فضاء باناخ،${\displaystyle C^{\infty }([a,b]),}$${\displaystyle C^{\infty }(X,V)}$مع${\displaystyle X}$صغير الحجم، و${\displaystyle H}$جميعهم يعترفون بالمعايير، بينما${\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }}$و${\displaystyle C(\mathbb {R} )}$لا.

الفضاء الجزئي المغلق من فضاء فريشيه هو فضاء فريشيه. خارج قسمة فضاء فريشيه على فضاء جزئي مغلق هو فضاء فريشيه. المجموع المباشر لعدد محدود من فضاءات فريشيه هو فضاء فريشيه.

إن حاصل ضرب عدد قابل للعد من فضاءات فريشيه هو دائمًا فضاء فريشيه. مع ذلك، فإن أي حاصل ضرب لفضاءات فريشيه يكون فضاء فريشيه إذا وفقط إذا كانت جميعها، باستثناء عدد قابل للعد على الأكثر، تافهة (أي ذات بُعد صفر). بالتالي، فإن حاصل ضرب عدد غير قابل للعد من فضاءات فريشيه غير التافهة لا يمكن أن يكون فضاء فريشيه (في الواقع، لا يمكن قياس هذا الناتج لأن أصله لا يمكن أن يكون له أساس جوار قابل للعد). لذا، على سبيل المثال، إذا${\displaystyle I\neq \varnothing }$أي مجموعة و${\displaystyle X}$أي مساحة فريشيه غير تافهة (مثل${\displaystyle X=\mathbb {R} }$على سبيل المثال)، ثم المنتج${\displaystyle X^{I}=\prod _{i\in I}X}$تكون مساحة فريشيه إذا وفقط إذا${\displaystyle I}$هي مجموعة قابلة للعد.

تظل العديد من الأدوات المهمة للتحليل الوظيفي، والتي تستند إلى نظرية باير للفئات، صحيحة في فضاءات فريشيه؛ ومن الأمثلة على ذلك نظرية الرسم البياني المغلق ونظرية التطبيق المفتوح . تنص نظرية التطبيق المفتوح على أنه إذا${\displaystyle \tau {\text{ and }}\tau _{2}}$هي طوبولوجيات على${\displaystyle X}$وهذا يجعل كليهما${\displaystyle (X,\tau )}$و${\displaystyle \left(X,\tau _{2}\right)}$إلى فضاءات التباين الكلي القابلة للقياس (مثل فضاءات فريشيه)، وإذا كانت إحدى الطوبولوجيات أدق أو أغلظ من الأخرى، فيجب أن تكون متساوية (أي، إذا${\displaystyle \tau \subseteq \tau _{2}{\text{ or }}\tau _{2}\subseteq \tau {\text{ then }}\tau =\tau _{2}}$). ^{[ 4 ]}

كل مؤثر خطي محدود من فضاء فريشيه إلى فضاء متجهي طوبولوجي آخر (TVS) يكون متصلاً. ^{[ 5 ]}

توجد مساحة فريشيه${\displaystyle X}$وجود مجموعة جزئية محدودة${\displaystyle B}$وكذلك فضاء متجهي كثيف${\displaystyle M}$بحيث${\displaystyle B}$لا يتضمن الإغلاق (في${\displaystyle X}$) لأي مجموعة جزئية محدودة من${\displaystyle M.}$^{[ 6 ]}

جميع فضاءات فريشيه هي فضاءات نمطية . في نظرية الفضاءات النمطية، تُعد فضاءات فريشيه كائنات ثنائية لفضاءات براونر . جميع فضاءات مونتيل القابلة للقياس قابلة للفصل . ^{[ 7 ]} يكون فضاء فريشيه القابل للفصل فضاء مونتيل إذا وفقط إذا كانت كل متتالية متقاربة ضعيفة* في فضاءه الثنائي المتصل متقاربة بقوة . ^{[ 7 ]}

المساحة المزدوجة القوية${\displaystyle X_{b}^{\prime }}$في فضاء فريشيه (وبشكل أعم، في أي فضاء محدب محليًا قابل للقياس ^{[ 8 ]} )${\displaystyle X}$هو فضاء DF . ^{[ 9 ]} الفضاء الثنائي القوي لفضاء DF هو فضاء فريشيه. ^{[ 10 ]} الفضاء الثنائي القوي لفضاء فريشيه انعكاسي هو فضاء بورنولوجي ^{[ 8 ]} وفضاء بتاك . كل فضاء فريشيه هو فضاء بتاك. الفضاء الثنائي القوي (أي الفضاء الثنائي القوي للفضاء الثنائي القوي) لفضاء محدب محليًا قابل للقياس هو فضاء فريشيه. ^{[ 11 ]}

لو${\displaystyle X}$و${\displaystyle Y}$إذا كانت مساحات فريشيه، فإن المساحة${\displaystyle L(X,Y)}$يتألف من جميع الخرائط الخطية المتصلة من${\displaystyle X}$ل${\displaystyle Y}$لا يُعدّ فضاءً من نوع فريشيه بأي شكل من الأشكال. هذا فرق جوهري بين نظرية فضاءات باناخ ونظرية فضاءات فريشيه، ويستلزم تعريفًا مختلفًا للاشتقاق المستمر للدوال المعرفة على فضاءات فريشيه، وهو مشتق جاتو .

يفترض${\displaystyle U}$هي مجموعة فرعية مفتوحة من فضاء فريشيه${\displaystyle X,}$${\displaystyle P:U\to Y}$هي دالة ذات قيم في فضاء فريشيه${\displaystyle Y,}$${\displaystyle x\in U}$و${\displaystyle h\in X.}$الخريطة${\displaystyle P}$قابلة للتفاضل عند${\displaystyle x}$في الاتجاه${\displaystyle h}$إذا كان الحد$${\displaystyle D(P)(x)(h)=\lim _{t\to 0}\,{\frac {1}{t}}\left(P(x+th)-P(x)\right)}$$ موجودة. الخريطة${\displaystyle P}$يقال إنها قابلة للتفاضل باستمرار في${\displaystyle U}$إذا كانت الخريطة $${\displaystyle D(P):U\times X\to Y}$$ متصلة. وبما أن حاصل ضرب فضاءات فريشيه هو أيضاً فضاء فريشيه، فيمكننا حينها محاولة التفاضل.${\displaystyle D(P)}$وحدد المشتقات العليا لـ${\displaystyle P}$بهذه الطريقة.

مؤثر الاشتقاق${\displaystyle P:C^{\infty }([0,1])\to C^{\infty }([0,1])}$محدد بواسطة${\displaystyle P(f)=f'}$وهي قابلة للتفاضل إلى ما لا نهاية. المشتقة الأولى معطاة بـ $${\displaystyle D(P)(f)(h)=h'}$$ لأي عنصرين${\displaystyle f,h\in C^{\infty }([0,1]).}$ هذه ميزة رئيسية لمساحة فريشيه${\displaystyle C^{\infty }([0,1])}$فوق مساحة باناش${\displaystyle C^{k}([0,1])}$لـ finity${\displaystyle k.}$

لو${\displaystyle P:U\to Y}$إذا كانت دالة قابلة للتفاضل باستمرار، فإن المعادلة التفاضلية$${\displaystyle x'(t)=P(x(t)),\quad x(0)=x_{0}\in U}$$ لا يشترط وجود حلول، وحتى إن وُجدت، فليس بالضرورة أن تكون الحلول فريدة. وهذا يتناقض تمامًا مع الوضع في فضاءات باناخ.

بشكل عام، لا تنطبق نظرية الدالة العكسية في فضاءات فريشيه، على الرغم من أن نظرية ناش-موسر هي بديل جزئي .

يمكن تعريف مشعبات فريشيه بأنها فضاءات "تبدو محليًا مثل" فضاءات فريشيه (تمامًا كما تُعرَّف المشعبات العادية بأنها فضاءات تبدو محليًا مثل الفضاء الإقليدي).${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ويمكن بعد ذلك توسيع مفهوم زمرة لي ليشمل هذه المتشعبات. وهذا مفيد لأنه بالنسبة لمتشعب مضغوط (عادي) معين${\displaystyle C^{\infty }}$متعدد المنافذ${\displaystyle M,}$مجموعة الكل${\displaystyle C^{\infty }}$التحولات التباينية${\displaystyle f:M\to M}$يشكل هذا زمرة لي معممة بهذا المعنى، وهذه الزمرة تجسد تناظرات${\displaystyle M.}$ بعض العلاقات بين جبر لي ومجموعات لي تظل صالحة في هذا السياق.

ومن الأمثلة المهمة الأخرى على زمرة لي فريشيه، زمرة الحلقات لزمرة لي المدمجة${\displaystyle G,}$السلس (${\displaystyle C^{\infty }}$) التعيينات${\displaystyle \gamma :S^{1}\to G,}$مضروبًا نقطة بـ${\displaystyle \left(\gamma _{1}\gamma _{2}\right)(t)=\gamma _{1}(t)\gamma _{2}(t).}$^{[ 16 ] [ 17 ]}

إذا أسقطنا شرط أن يكون الفضاء محدبًا محليًا، فسنحصل على فضاءات F : فضاءات متجهة ذات مقاييس ثابتة تمامًا عند الإزاحة.

الفضاءات LF هي حدود استقرائية قابلة للعد لفضاءات فريشيه.

• مساحة براونر
• شبكة فريشيه – شبكة المتجهات الطوبولوجية 
• فضاء فريشيه المتدرج – تعميم لنظرية الدالة العكسية. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 
• شمولية فضاءات فريشيه – توصيف الشمولية 
• فضاء فريشيه المروض – تعميم لنظرية الدالة العكسية. صفحات تعرض أوصافًا موجزة لأهداف إعادة التوجيه. 

• "فضاء فريشيه" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS، 2001 [1994]
• بربريان، ستيرلينغ ك. (1974). محاضرات في التحليل الوظيفي ونظرية المؤثرات . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  15. نيويورك: سبرينغر. ISBN 978-0-387-90081-0. OCLC 878109401 . 
• بورباكي، نيكولا (1987) [1981]. مساحات المتجهات الطوبولوجية: الفصول 1-5 . عناصر الرياضيات . تمت الترجمة بواسطة Eggleston، HG. مادان، س. برلين نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ. رقم ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190 . 
• كونواي، جون ب. (1990). دورة في التحليل الوظيفي . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  96 (  الطبعة الثانية). نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-0-387-97245-9. OCLC 21195908 . 
• إدواردز، روبرت إي. (1995). التحليل الوظيفي: النظرية والتطبيقات . نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-68143-6. OCLC 30593138 . 
• غروتينديك، ألكسندر (1973). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . ترجمة أورلاندو شَلْجوب. نيويورك: دار نشر غوردون وبريتش للعلوم. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098 . 
• جارشو، هانز (1981). الفضاءات المحدبة محليا . شتوتغارت: بي جي تيوبنر. رقم ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342 . 
• خليل الله، إس إم (1982). أمثلة مضادة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة محاضرات في الرياضيات . المجلد  936. برلين، هايدلبرغ، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-11565-6. OCLC 8588370 . 
• كوته، جوتفريد (1983) [1969]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  159. ترجمة جارلينج، DJH New York: Springer Science & Business Media. رقم ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498 . OCLC 840293704 .  
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• بريسلي، أندرو؛ سيغال، غرايم (1986). مجموعات الحلقات . سلسلة دراسات أكسفورد الرياضية. منشورات أكسفورد للعلوم. نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد . ISBN 0-19-853535-XMR 0900587 .​ 
• روبرتسون، أليكس ب.؛ روبرتسون، ويندي ج. (1980). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات . المجلد  53. كامبريدج، إنجلترا: مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250 . 
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• سيرجيف، أرمين (2010). هندسة كاهلر للفضاءات الحلقية . مذكرات الجمعية الرياضية اليابانية. المجلد  23. دار النشر العالمية العلمية . doi : 10.1142/e023 . ISBN 978-4-931469-60-0.
• أداش، نوربرت؛ إرنست، برونو؛ كيم، ديتر (1978). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية: النظرية بدون شروط التحدب . سلسلة محاضرات في الرياضيات. المجلد  639. برلين - نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ . ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003 . 
• شوارتز، تشارلز (1992). مقدمة في التحليل الوظيفي . نيويورك: إم. ديكر. ISBN 978-0-8247-8643-4. OCLC 24909067 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 . 
• ويلانسكي، ألبرت (2013). الأساليب الحديثة في فضاءات المتجهات الطوبولوجية . مينولا، نيويورك: منشورات دوفر. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114 .