سلسلة تايلور

في التحليل الرياضي ، تُعرف متسلسلة تايلور أو مفكوك تايلور للدالة بأنها مجموع لانهائي من الحدود المُعبر عنها بدلالة مشتقات الدالة عند نقطة واحدة. بالنسبة لمعظم الدوال الشائعة، تتساوى الدالة ومجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها بالقرب من هذه النقطة. سُميت متسلسلة تايلور نسبةً إلى بروك تايلور ، الذي قدمها عام ١٧١٥. تُسمى متسلسلة تايلور أيضًا متسلسلة ماكلورين عندما تكون $الصفر$ هي النقطة التي تُحسب عندها المشتقات، نسبةً إلى كولن ماكلورين ، الذي استخدم هذه الحالة الخاصة من متسلسلة تايلور على نطاق واسع في القرن الثامن عشر.

المجموع الجزئي المكون من أول $n + 1$ حدًا من متسلسلة تايلور هو متعددة حدود من الدرجة $n$ تُسمى متعددة حدود تايلور النونية $للدالة$ . تُعد متعددات حدود تايلور تقريبات للدالة، وتزداد دقتها عمومًا مع ازدياد $n . تُعطي$ نظرية تايلور تقديرات كمية للخطأ الناتج عن استخدام هذه التقريبات. إذا كانت متسلسلة تايلور لدالة ما متقاربة ، فإن مجموعها هو نهاية متتالية لانهائية من متعددات حدود تايلور. قد تختلف دالة ما عن مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها، حتى لو كانت متسلسلة تايلور متقاربة. تكون الدالة تحليلية عند نقطة $x$ إذا كانت تساوي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في فترة مفتوحة (أو قرص مفتوح في المستوى المركب ) تحتوي على $x$ . هذا يعني أن الدالة تحليلية عند كل نقطة من الفترة (أو القرص).

تعريف

متسلسلة تايلور لدالة حقيقية أو مركبة $f (x)$ قابلة للتفاضل بلا حدود عند عدد حقيقي أو مركب $a$ ، هي متسلسلة القوى $f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(xa)+{\frac {f''(a)}{2!}}(xa)^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(xa)^{n}.$ هنا، يرمز $n! إلى$ مضروب n $.$ الدالة $f (n) (a)$ ترمز إلى المشتقة النونية $للدالة$ f $عند$ النقطة $a$ . مشتقة $f$ من الرتبة الصفرية تُعرَّف بأنها $f$ نفسها، و $($ $x$ $-$ $a$ $)$ $⁰$ و $0!$ تُعرَّفان بأنهما يساويان $1.$ يمكن كتابة هذه المتسلسلة باستخدام رمز سيجما ، كما في صيغة الطرف الأيمن. ^[¹^] متعددة حدود تايلور المناظرة من الدرجة $n$ هي $T_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(xa)^{k}.$ عندما تكون قيمة $a = 0$ ، تأخذ متسلسلة ماكلورين الشكل التالي: ^{[ 2 ]} $f(0)+{\frac {f'(0)}{1!}}x+{\frac {f''(0)}{2!}}x^{2}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}.$

الخصائص الأساسية

ترث متسلسلات تايلور الخصائص الأساسية لمتسلسلات القوى . ويمكن أيضًا دمج متسلسلات تايلور جبريًا. تُحسب مجاميع وفروق وحاصل ضرب ومضاعفات قياسية لمتسلسلات تايلور من خلال العمليات المقابلة على متسلسلات القوى. وعلى وجه الخصوص، فإن متسلسلة تايلور لـ $f(x)g(x)$ حول نقطة $x=a$ هو منتج كوشي من سلسلة تايلور $f(x)$ و $g(x)$ عن $x=a$ [ ³^]^{تركيبات الدوال التي لها متسلسلات تايلور لها أيضًا متسلسلات تايلور ،} والتي يتم الحصول عليها عن طريق استبدال متسلسلة قوى متقاربة في أخرى عندما يكون الاستبدال صحيحًا. ^[^{4 ]}

يمكن اشتقاق متسلسلة تايلور وتكاملها حدًا حدًا. ${\frac {d}{dx}}\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n}=\sum _{n=1}^{\infty }nc_{n}(xa)^{n-1},$ و $\int \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(xa)^{n}\,dx=C+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {c_{n}}{n+1}}(xa)^{n+1}.$ تتمتع المتسلسلات التفاضلية والتكاملية بنفس نصف قطر التقارب الذي تتمتع به متسلسلة القوى الأصلية، على الرغم من أن سلوك التقارب عند الحدود قد يختلف. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

تسمح هذه الخصائص أحيانًا بحساب متسلسلة تايلور للدوال، مثل دالة الظل العكسي، بدلالة متسلسلات أبسط، مثل المتسلسلة الهندسية. ^{[ 3 ]}

حساب متسلسلة تايلور

تُستخدم عدة طرق لحساب متسلسلات تايلور. يمكن تطبيق التعريف مباشرةً، مع أن ذلك يتطلب غالبًا تحديد صيغة عامة للمشتقات أو المعاملات أولًا. ^{[ 7 ]} في كثير من الحالات، يمكن أيضًا الحصول على متسلسلات تايلور من متسلسلات معروفة عن طريق عمليات جبرية على متسلسلات القوى، مثل التعويض والضرب والقسمة والجمع والطرح، بالإضافة إلى التفاضل والتكامل حدًا حدًا لمتسلسلات تايلور المعروفة. ^{[ 8 ]} في بعض الحالات، يمكن اشتقاقها أيضًا بالتكامل بالتجزئة المتكرر . عمليًا، غالبًا ما تُحسب متسلسلات تايلور بمساعدة أنظمة الجبر الحاسوبية . ^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

تُستخدم العديد من متسلسلات ماكلورين القياسية بشكل متكرر كنقاط انطلاق لحساب متسلسلات تايلور الأخرى. ترد أدناه بعض الأمثلة الأساسية؛ وسيتم عرض قائمة أكثر شمولاً لاحقاً في المقال.

سلسلة ماكلورين الشائعة
وظيفة	سلسلة ماكلورين	التقارب
$e^{x}$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots$	الجميع $x$
$\sin x$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots$	الجميع $x$
$\cos x$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots$	الجميع $x$
${\frac {1}{1-x}}$	$\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots$	$\|x\|<1$

أمثلة

التمايز بين المصطلحات

داخل منطقة التقارب، يمكن اشتقاق متسلسلة تايلور حدًا حدًا. على سبيل المثال، اشتقاق المتسلسلة الهندسية ${\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,\quad |x|<1,$ يحصل المرء ${\frac {d}{dx}}{\frac {1}{1-x}}={\frac {1}{(1-x)^{2}}}=0+1+2x+3x^{2}+\cdots ,\quad |x|<1.$ هكذا ${\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1},\quad |x|<1.$ يمكن تكرار هذه العملية، مما يؤدي إلى ${\frac {1}{(1-x)^{3}}}=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)x^{n-2},\quad |x|<1.$ ${\frac {1}{(1-x)^{4}}}=\sum _{n=3}^{\infty }n(n-1)(n-2)x^{n-3},\quad |x|<1.$ وهكذا دواليك. ^{[ 11 ]}

التكامل مصطلحًا تلو الآخر

داخل منطقة التقارب، يمكن تكامل متسلسلة تايلور حدًا حدًا. على سبيل المثال، تكامل المتسلسلة الهندسية ${\frac {1}{1-t}}=1+t+t^{2}+t^{3}+\cdots ,\quad |t|<1,$ يحصل المرء $-\log(1-x)=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1-t}}=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ,\quad |x|<1.$ وهذا يعطي سلسلة ماكلورين ^{[ 11 ]} $\log(1-x)=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}},$ صالح لـ $|x|<1$ .

الاستبدال

يمكن تركيب متسلسلة تايلور، على سبيل المثال إذا كانت متسلسلة تايلور لـ $f(t)$ إذا عُرفت، فإن متسلسلة تايلور لـ $f(x^{n})$ يتم الحصول عليها من خلال التقييم عند $t=x^{n}$ حدًا حدًا. على سبيل المثال، المتسلسلة الهندسية $1/(1-t)=1+t+t^{2}+\cdots$ تم تقييمها في $t=-x^{2}$ أعطِ ${\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{2n}.$ يمكن دمج هذه السلسلة الأخيرة حدًا تلو الآخر لإعطاء ^{[ 11 ]} $\arctan x=\int _{0}^{x}{\frac {dt}{1+t^{2}}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1},$ ل $|x|<1$ .

تعبير

لحساب متعددة حدود ماكلورين من الدرجة السابعة للدالة $f(x)=\ln(\cos x),\quad x\in {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )},$ يمكن للمرء أولاً إعادة كتابة الدالة على النحو التالي $f(x)={\ln }{\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )},$ تركيب دالتين $x \mapsto ln(1 + x)$ و $x \mapsto cos x - 1.$ متسلسلة تايلور للوغاريتم الطبيعي هي (باستخدام ترميز Big O ) $\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+O{\left(x^{4}\right)}$ وبالنسبة لدالة جيب التمام $\cos x-1=-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{4}}{24}}-{\frac {x^{6}}{720}}+O{\left(x^{8}\right)}.$

يمكن استبدال الحدود القليلة الأولى من المتسلسلة الثانية في كل حد من حدود المتسلسلة الأولى. ولأن الحد الأول في المتسلسلة الثانية من الدرجة 2، فإن ثلاثة حدود من المتسلسلة الأولى تكفي لإعطاء كثيرة حدود من الدرجة 7: ^{[ 12 ]} ${\begin{aligned}f(x)&=\ln {\bigl (}1+(\cos x-1){\bigr )}\\&=(\cos x-1)-{\tfrac {1}{2}}(\cos x-1)^{2}+{\tfrac {1}{3}}(\cos x-1)^{3}+O{\left((\cos x-1)^{4}\right)}\\&=-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{4}}{12}}-{\frac {x^{6}}{45}}+O{\left(x^{8}\right)}.\end{aligned}}$

بما أن دالة جيب التمام دالة زوجية ، فإن معاملات جميع القوى الفردية تساوي صفرًا.

قسم

بافتراض أن متسلسلة تايلور عند $الصفر$ للدالة $g (x) = e^x / cos x ،$ فإن متسلسلة تايلور للدالة الأسية هي $e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,$ ومتسلسلة جيب التمام هي $\cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots .$

افترض أن متسلسلة ناتج قسمتهما هي ${\frac {e^{x}}{\cos x}}=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots$ بضرب طرفي المعادلة في المقام $cos x$ ثم توسيعها كمتسلسلة نحصل على: ${\begin{aligned}e^{x}&=\left(c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+c_{3}x^{3}+c_{4}x^{4}+\cdots \right)\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)\\[5mu]&=c_{0}+c_{1}x+\left(c_{2}-{\frac {c_{0}}{2!}}\right)x^{2}+\left(c_{3}-{\frac {c_{1}}{2!}}\right)x^{3}+\left(c_{4}-{\frac {c_{2}}{2!}}+{\frac {c_{0}}{4!}}\right)x^{4}+\cdots \end{aligned}}$

بمقارنة معاملات $g (x) cos x$ مع معاملات $e(x)$ ، $c_{0}=1,\ \ c_{1}=1,\ \ c_{2}-{\tfrac {1}{2}}c_{0}={\tfrac {1}{2}},\ \ c_{3}-{\tfrac {1}{2}}c_{1}={\tfrac {1}{6}},\ \ c_{4}-{\tfrac {1}{2}}c_{2}+{\tfrac {1}{24}}c_{0}={\tfrac {1}{24}},\ \ldots .$

وبالتالي يمكن حساب معاملات $c i$ للمتسلسلة الخاصة بـ $g (x)$ واحدًا تلو الآخر، وهو ما يعادل القسمة المطولة للمتسلسلة الخاصة بـ $e x$ و $cos x$ : ${\frac {e^{x}}{\cos x}}=1+x+x^{2}+{\tfrac {2}{3}}x^{3}+{\tfrac {1}{2}}x^{4}+\cdots .$

التكاملات غير الأولية

يمكن استخدام التكامل حدًا حدًا لمتسلسلة تايلور لإيجاد متسلسلة تايلور للتكاملات غير الأولية. على سبيل المثال، تكامل فرينل هو $S(x)=\int _{0}^{x}\sin(t^{2})\,dt$ و $S(x)$ لا يمكن التعبير عنها بدلالة الدوال الأولية . ويمكن تحديد متسلسلة ماكلورين الخاصة بها عن طريق التكامل الحدي للمتسلسلة $\sin(t^{2})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}t^{4n+2},$ إعطاء ^{[ 13 ]} $S(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(4n+3)(2n+1)!}}x^{4n+3}.$

المعادلات التفاضلية

يمكن أيضًا استخدام متسلسلة تايلور لحل بعض المعادلات التفاضلية العادية . وتتلخص الطريقة في افتراض أن الحل له مفكوك متسلسلة قوى، ثم اشتقاق المتسلسلة حدًا حدًا، وتعويض المتسلسلة الناتجة في المعادلة التفاضلية، ثم تحديد المعاملات بمساواة القوى المتشابهة للمتغير. ^{[ 14 ]}

على سبيل المثال، لحل $y''-y=0,$ لنفترض أن $y=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$ ثم $y''=\sum _{n=2}^{\infty }n(n-1)a_{n}x^{n-2}=\sum _{n=0}^{\infty }(n+2)(n+1)a_{n+2}x^{n}.$ بالتعويض في المعادلة التفاضلية نحصل على $\sum _{n=0}^{\infty }{\bigl (}(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_{n}{\bigr )}x^{n}=0.$ بما أن متسلسلات القوى فريدة من نوعها، فإن كل معامل يجب أن يتلاشى، لذلك $a_{n+2}={\frac {a_{n}}{(n+2)(n+1)}}.$ وبالتالي، يتم تحديد المعاملات الزوجية والفردية بشكل منفصل بواسطة الثوابت الاختيارية. $a_{0}$ و $a_{1}$ : $y=a_{0}\left(1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \right)+a_{1}\left(x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots \right).$ هكذا $y=a_{0}\cosh x+a_{1}\sinh x,$ أو ما يعادل ذلك $y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}$ .

خطأ التقريب ونظرية تايلور

يُظهر الشكل تقريبًا دقيقًا لدالة

sin x

حول النقطة

x = 0.

المنحنى الوردي هو متعدد حدود من الدرجة السابعة.

\sin {x}\approx x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}.

لا يتجاوز الخطأ في هذا التقريب $| x | 9 / 9!.$ بالنسبة لدورة كاملة مركزها نقطة الأصل ( $-π < x < π$ )، يكون الخطأ أقل من 0.08215. وعلى وجه الخصوص، بالنسبة لـ $-1 < x < 1$ ، يكون الخطأ أقل من 0.000003.

في المقابل، يظهر أيضًا رسمٌ لدالة اللوغاريتم الطبيعي

ln(1 + x)

وبعض كثيرات حدود تايلور الخاصة بها حول

a = 0.

تتقارب هذه التقريبات مع الدالة فقط في المنطقة

-1 < x \leq 1.

خارج هذه المنطقة، تُعدّ كثيرات حدود تايلور ذات الدرجة الأعلى تقريبات أسوأ للدالة.

يُطلق على الخطأ الناتج عن تقريب دالة باستخدام متعددة حدود تايلور من الدرجة $n اسم$ الباقي ، ويُرمز له بالدالة $R n (x)$ . ويمكن استخدام نظرية تايلور للحصول على حد أقصى لحجم الباقي . ^{[ 15 ]}

على وجه الخصوص، تنص نظرية تايلور على دالة، حيث يتم استيفاء فرضيات النظرية، بالشكل التالي: $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x).$ إن سلوك الباقي عندما يؤول $n$ إلى اللانهاية يحدد ما إذا كانت متسلسلة تايلور تمثل الدالة الأصلية، وهي مسائل تتعلق بالتقارب والتحليلية .

التعميم في الفروق المحدودة

يمكن كتابة أحد أشكال صيغة غريغوري-نيوتن للاستيفاء على النحو التالي $f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\Delta ^{k}[f](a)}{k!}}\,(x-a)_{k}$ والتي تقوم باستيفاء متعدد الحدود $f$ من حيث الفروق المحدودة المحسوبة عند نقطة واحدة $a$ وحيث $(x-a)_{k}$ هو المضروب المتناقص . بالنسبة لكثير الحدود، تنتهي هذه المتسلسلة وتعطي كثير الحدود بدقة؛ وبشكل أعم، تقبل الدالة تطور غريغوري-نيوتن في ظل فرضيات تحليلية مناسبة، صاغها نيلز إريك نورلوند كلاسيكيًا بدلالة الشكلية في نصف مستوى بالإضافة إلى شرط نمو من النوع الأسي . ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

إحدى التعميمات لمتسلسلة تايلور التي تتقارب إلى قيمة الدالة نفسها لأي دالة متصلة ومحدودة على الفترة $(0, \infty)$ ، يمكن تحقيق ذلك باستخدام حساب الفروق المحدودة . تحديدًا، تنص النظرية التالية، المنسوبة إلى إينار هيل ، على أنه لأي $t$ $> 0$ ، ^[¹⁹^] $\lim _{h\to 0^{+}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}{\frac {\Delta _{h}^{n}f(a)}{h^{n}}}=f(a+t).$ هنا، $Δ n h$ هو مؤثر الفروق المحدودة من الرتبة $n$ بخطوة مقدارها $h$ . المتسلسلة هي بالضبط متسلسلة تايلور، باستثناء ظهور الفروق المقسمة بدلًا من التفاضل. عندما تكون الدالة $f$ تحليلية عند $a$ ، تتقارب حدود المتسلسلة إلى حدود متسلسلة تايلور، وبهذا المعنى تعمم متسلسلة تايلور المعتادة.

بشكل عام، بالنسبة لأي متتالية لانهائية $a i$ ، فإن متطابقة متسلسلة القوى التالية صحيحة: ^{[ 20 ]} $\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n!}}\Delta ^{n}a_{i}=e^{-u}\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {u^{j}}{j!}}a_{i+j}.$ وعلى وجه الخصوص، ^{[ 20 ]} $f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}e^{-t/h}\sum _{j=0}^{\infty }f(a+jh){\frac {(t/h)^{j}}{j!}}.$

السلسلة على اليمين هي القيمة المتوقعة لـ $f (a + X)$ $،$ حيث $X$ متغير عشوائي يتبع توزيع بواسون ويأخذ القيمة $jh$ باحتمال $e$ $-$ $t$ $/$ $h$ $\cdot$ $($ $t$ $/$ $h$ $)$ $j$ $/$ $j$ $!.$ $ومن$ ثم، ^[²¹^] $f(a+t)=\lim _{h\to 0^{+}}\int _{-\infty }^{\infty }f(a+x)dP_{t/h,h}(x).$

ينص قانون الأعداد الكبيرة على أن المتطابقة صحيحة. ^{[ 20 ]}

التقارب والتحليلية

تُشتق متسلسلة تايلور من قيم جميع مشتقات دالة عند نقطة واحدة، لكن هذا لا يعني بالضرورة أن المتسلسلة تتقارب إلى تلك الدالة. عمومًا، قد لا تتقارب متسلسلة تايلور، أو قد تتقارب إلى دالة مختلفة عن الدالة الأصلية.

على سبيل المثال، الوظيفة $f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}}&{\text{if }}x\neq 0,\\[3mu]0&{\text{if }}x=0\end{cases}}$ قابلة للتفاضل بلا حدود عند $x=0$ وجميع مشتقاتها في $0$ تساوي صفرًا. متسلسلة تايلور الخاصة بها عند $0$ وبالتالي، فإنّ المتسلسلة الصفرية هي دالة، على الرغم من أنّ الدالة نفسها ليست صفرًا تمامًا. وهذا يُعطي مثالًا نموذجيًا لدالة سلسة غير تحليلية . ^{[ 22 ]}

وبشكل أعم، تمثل متسلسلة تايلور لدالة ما الدالة عند نقطة ما $x$ تحديدًا عندما تميل حدود الباقي في نظرية تايلور إلى الصفر عند تلك النقطة. إذا $f(x)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}+R_{n}(x),$ ثم تتقارب متسلسلة تايلور إلى $f(x)$ متى بالضبط $\lim _{n\to \infty }R_{n}(x)=0.$

تُسمى الدالة تحليلية عند نقطة ما إذا كانت تساوي مجموع متسلسلة تايلور الخاصة بها في فترة مفتوحة حول تلك النقطة، أو في حالة الأعداد المركبة، في قرص مفتوح. وبالمثل، تكون الدالة تحليلية في منطقة ما إذا كانت معطاة محليًا بمتسلسلة قوى متقاربة. وبالتالي، إذا $f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-b)^{n}$ قريب $b$ ثم اشتقاق المتسلسلة حدًا حدًا ووضع $x=b$ أعطِ $a_{n}={\frac {f^{(n)}(b)}{n!}}.$ وبالتالي فإن متسلسلة القوى لدالة تحليلية هي متسلسلة تايلور الخاصة بها. ^{[ 23 ]}^{[ 24 ]}

في التحليل الحقيقي، لا تعني قابلية التفاضل اللانهائية بالضرورة التحليلية، كما يُبين المثال أعلاه. تنصّ مبرهنة بوريل على أن كل متسلسلة قوى هي متسلسلة تايلور لدالة ملساء. أما في التحليل المركب، فكل دالة تحليلية تحليلية. ^{[ 25 ]} تُسمى الدالة التي تتقارب متسلسلة تايلور الخاصة بها مع الدالة في جميع أنحاء المستوى المركب دالة تامة . كثيرات الحدود، والدالة الأسية ، ودالتا الجيب وجيب التمام هي دوال تامة. ^{[ 26 ]}

نصف قطر التقارب

لأي سلسلة طاقة $\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(x-a)^{n},$ يوجد عدد $R$ ، ويُطلق عليه نصف قطر التقارب ، بحيث تتقارب المتسلسلة تقاربًا مطلقًا لـ $|x-a|<R$ ويختلف لـ $|x-a|>R$ [ ²⁷^]^[²⁸^] قد يكون نصف القطر صفرًا، أو قيمة محدودة وموجبة، أو لانهائيًا. ويُعطى بصيغة كوشي-هادامارد ^. ${\frac {1}{R}}=\limsup _{n\to \infty }|c_{n}|^{1/n},$ مع الاتفاقيات المعتادة لـ $R=0$ و $R=\infty$ عندما توجد النهاية، فإن اختبار النسبة غالبًا ما يعطي $R=\lim _{n\to \infty }\left|{\frac {c_{n}}{c_{n+1}}}\right|.$

وبالتالي، عندما تتقارب متسلسلة تايلور، فإنها تفعل ذلك في فترة مفتوحة مركزها عند $a$ في الحالة الحقيقية، أو في قرص مفتوح متمركز عند $a$ في الحالة المعقدة. قد يختلف السلوك عند نقاط الحدود: قد تتقارب السلسلة عند بعضها أو كلها أو لا تتقارب عند أي منها. ^{[ 29 ]}

بالنسبة لدالة تحليلية مركبة، يكون نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور عند $a$ هي المسافة من $a$ إلى أقرب نقطة لا يمكن عندها استمرار الدالة بشكل تام. في العديد من الأمثلة الشائعة، تكون هذه هي المسافة إلى أقرب نقطة شاذة في المستوى المركب. ^{[ 30 ]}

وهذا يفسر اختلاف أنصاف أقطار التقارب لمتسلسلات تايلور المألوفة. المتسلسلات لـ $e^{x}$ ، $\sin x$ ، و $\cos x$ تتمتع هذه الدوال بنصف قطر تقارب لانهائي لأنها دوال تامة. في المقابل، فإن متسلسلة تايلور لـ $\log(1+x)$ في $x=0$ له نصف قطر تقارب $1$ لأن أقرب نقطة تفرد تقع عند $x=-1$ [ ³¹^]

يمكن أن تحدد النقاط الشاذة المعقدة نصف قطر التقارب حتى بالنسبة للدوال الملساء على خط الأعداد الحقيقية. على سبيل المثال، ${\frac {1}{1+x^{2}}}$ سلس لكل حقيقي $x$ لكن سلسلة تايلور الخاصة بها في $0$ له نصف قطر تقارب $1$ لأن الدالة المركبة المقابلة لها نقاط تفرد عند $x=i$ و $x=-i$ [ ³⁰^]

لا ينبغي الخلط بين نصف قطر التقارب وجودة التقريب بواسطة متعددة حدود تايلور منخفضة الدرجة. قد تُقارب متعددة حدود تايلور دالة بدقة بالقرب من المركز حتى لو كان نصف قطر تقارب متسلسلة تايلور الكاملة صغيرًا. في المقابل، بالقرب من حدود فترة أو قرص التقارب، قد تتقارب متسلسلة تايلور ببطء. خارج نصف قطر التقارب، لا تُمثل متسلسلة تايلور الدالة. ^{[ 27 ]}^{[ 32 ]}

تعميمات بالقرب من النقاط الشاذة

لا يمكن أن تتمركز متسلسلة تايلور عند نقطة لا تكون فيها الدالة تحليلية. يمكن تفسير بعض النقاط الشاذة، وتحديدًا الأقطاب ، بواسطة متسلسلة لوران . $f$ يوجد عمود من النظام $k$ في $z=a$ ثم بالقرب $a$ يحتوي على سلسلة لوران من الشكل $\sum _{n=-k}^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}.$ الدالة الميرومورفية هي دالة تحليلية باستثناء الأقطاب المعزولة؛ بالقرب من كل قطب، يكون لها متسلسلة لوران تحتوي على عدد محدود فقط من الحدود ذات القوى السالبة. ^{[ 33 ]}

وبشكل أعم، دالة تحليلية في حلقة $r<|z-a|<R$ لها متسلسلة لوران متقاربة من الشكل $\sum _{n=-\infty }^{\infty }a_{n}(z-a)^{n}$ في تلك الحلقة. ^{[ 34 ]}

يمكن أن تحدث أنواع أخرى من النقاط الشاذة، وتحديداً نقاط التفرع ، للدوال الجبرية . إذا $f(z)$ هي دالة جبرية لمتغير مركب $z$ و $z=a$ إذا كانت نقطة تفرع، $f(z)$ ليس من الضروري أن يكون لدى سلسلة تايلور مقرها في $z=a$ ومع ذلك، بعد تغيير المتغيرات $z-a=t^{e},$ أين $e$ إذا كان عددًا صحيحًا موجبًا يُسمى مؤشر التفرع ، فإن فرعًا من الدالة يصبح تحليليًا كدالة لـ $t$ . والتوسع الناتج في القوى الكسرية لـ $z-a$ تُعرف باسم سلسلة بويزو . ^{[ 35 ]}

متسلسلة تايلور في متغيرات متعددة

يمكن أيضًا تعميم متسلسلة تايلور لتشمل الدوال التي تحتوي على أكثر من متغير واحد باستخدام ^{[ 36 ]} ${\displaystyle {\begin{aligned}T(x_{1},\ldots ,x_{d})&=\sum _{n_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{n_{d}=0}^{\infty }{\frac {(x_{1}-a_{1})^{n_{1}}\cdots (x_{d}-a_{d})^{n_{d}}}{n_{1}!\cdots n_{d}!}}\,\left({\frac {\partial ^{n_{1}+\cdots +n_{d}}f}{\partial x_{1}^{n_{1}}\cdots \partial x_{d}^{n_{d}}}}\right)(a_{1},\ldots ,a_{d})\\&=f(a_{1},\ldots ,a_{d})+\sum _{j=1}^{d}{\frac {\partial f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}}}(x_{j}-a_{j})+{\frac {1}{2!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}{\frac {\partial ^{2}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})\\&\qquad \qquad +{\frac {1}{3!}}\sum _{j=1}^{d}\sum _{k=1}^{d}\sum _{l=1}^{d}{\frac {\partial ^{3}f(a_{1},\ldots ,a_{d})}{\partial x_{j}\partial x_{k}\partial x_{l}}}(x_{j}-a_{j})(x_{k}-a_{k})(x_{l}-a_{l})+\cdots ,\\&=\sum _{|\alpha |\geq 0}{\frac {(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\alpha }}{\alpha$ التعبير الأخير هو متسلسلة تايلور متعددة المتغيرات من حيث تدوين المؤشرات المتعددة مع تشابه كامل مع حالة المتغير الواحد.

على سبيل المثال، بالنسبة لدالة $f (x, y)$ التي تعتمد على متغيرين، $x$ و $y$ ، فإن متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية حول النقطة $(a, b)$ هي $f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)+{\frac {1}{2!}}{\Big (}(x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b){\Big )}$ حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية المعنية .

متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية في عدة متغيرات

يمكن كتابة متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية لدالة عددية ذات أكثر من متغير واحد بشكل مختصر على النحو التالي: $T(\mathbf {x} )=f(\mathbf {a} )+(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}Df(\mathbf {a} )+{\frac {1}{2!}}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )^{\mathsf {T}}\left\{D^{2}f(\mathbf {a} )\right\}(\mathbf {x} -\mathbf {a} )+\cdots ,$ حيث $D f (a)$ هو تدرج f المحسوب عند $x$ $= a و$ D $2 f (a) هي$ مصفوفة هيسيان .

مثال

لحساب متسلسلة تايلور من الدرجة الثانية حول النقطة $(أ ، ب) = (0، 0)$ للدالة $f(x,y)=e^{x}\ln(1+y),$ يقوم المرء أولاً بحساب جميع المشتقات الجزئية اللازمة: ${\begin{aligned}f_{x}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{y}&={\frac {e^{x}}{1+y}},\\f_{xx}&=e^{x}\ln(1+y),&f_{yy}&=-{\frac {e^{x}}{(1+y)^{2}}},\\f_{xy}&=f_{yx}={\frac {e^{x}}{1+y}}.\end{aligned}}$

بتقييم هذه المشتقات عند نقطة الأصل نحصل على معاملات تايلور. ${\begin{aligned}f_{x}(0,0)&=0,&f_{y}(0,0)&=1,\\f_{xx}(0,0)&=0,&f_{yy}(0,0)&=-1,\\f_{xy}(0,0)&=1.\end{aligned}}$

بإدخال هذه القيم في الصيغة العامة ${\begin{aligned}T(x,y)&=f(a,b)+(x-a)f_{x}(a,b)+(y-b)f_{y}(a,b)\\&\qquad {}+{\frac {1}{2!}}\left((x-a)^{2}f_{xx}(a,b)+2(x-a)(y-b)f_{xy}(a,b)+(y-b)^{2}f_{yy}(a,b)\right)+\cdots \end{aligned}}$ منتج ${\begin{aligned}T(x,y)&=0+0(x-0)+1(y-0)+{\frac {1}{2}}{\big (}0(x-0)^{2}+2(x-0)(y-0)+(-1)(y-0)^{2}{\big )}+\cdots \\&=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots \end{aligned}}$

بما أن $ln(1 + y)$ دالة تحليلية في $| y | < 1$ ، فإننا نحصل على $e^{x}\ln(1+y)=y+xy-{\tfrac {1}{2}}y^{2}+\cdots ,\qquad |y|<1.$

التطبيقات

تُستخدم كثيرات حدود تايلور لتقريب الدوال بالقرب من نقطة ما. غالبًا ما يؤدي الاحتفاظ بالحدود الأولى غير الصفرية فقط إلى نموذج أبسط للتعبير الأكثر تعقيدًا. على سبيل المثال، تقريب الزاوية الصغيرة $\sin x\approx x$ يُستمد هذا التقريب من الحد الأول لمتسلسلة تايلور للدالة الجيبية، ويتم الحصول على تقريبات ذات رتبة أعلى بالاحتفاظ بمزيد من الحدود. يُستخدم هذا التقريب على نطاق واسع، على سبيل المثال، في البصريات الغاوسية حيث تُدرس سلوكيات أشعة الضوء التي تصنع زوايا صغيرة مع محور ما عن طريق استبدال دالة الجيب بتقريبها الخطي.

تُستخدم هذه التقريبات على نطاق واسع في الرياضيات والفيزياء والهندسة. ففي نظرية الاضطراب ، غالبًا ما تُوسَّع كمية معقدة بدلالة قوى مُعامل صغير، وتُستخدم الحدود القليلة الأولى كحل تقريبي. كما تُستخدم متسلسلات تايلور في تحليل البندول البسيط وفي الطرق العددية لتقريب الدوال. ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}

تاريخ

تناول الفيلسوف اليوناني القديم زينون الإيلي مسألة جمع متسلسلة لانهائية للوصول إلى نتيجة محدودة، لكنه رفضها باعتبارها مستحيلة؛ وكانت النتيجة مفارقة زينون . ^{[ 39 ]} لاحقًا، اقترح أرسطو حلًا فلسفيًا للمفارقة، لكن يبدو أن مضمونها الرياضي ظلّ غير محسوم حتى تناوله أرخميدس ، كما كان الحال قبل أرسطو مع ديموقريطس، الفيلسوف الذري ما قبل سقراط . ومن خلال طريقة أرخميدس في الاستنفاد ، أمكن إجراء عدد لا نهائي من التقسيمات التدريجية للوصول إلى نتيجة محدودة. ^{[ 40 ]} استخدم ليو هوي، بشكل مستقل، طريقة مماثلة بعد بضعة قرون. ^{[ 41 ]}

في القرن الرابع عشر، قدّم عالم الرياضيات الهندي مادهافا من سانغاماغراما أقدم الأمثلة على متسلسلات تايلور المحددة (وليس الطريقة العامة) . ^{[ 42 ]} ورغم عدم وجود أي سجل لأعماله، تشير كتابات أتباعه في مدرسة كيرالا لعلم الفلك والرياضيات إلى أنه اكتشف متسلسلة تايلور للدوال المثلثية للجيب وجيب التمام وظل الزاوية العكسي ؛ انظر متسلسلة مادهافا . وخلال القرنين التاليين، طوّر أتباعه المزيد من متسلسلات تايلور والتقريبات الكسرية. ^{[ 43 ]}

في أواخر عام 1670، اطلع جيمس غريغوري في رسالة من جون كولينز على عدة متسلسلات ماكلورين ( $sin x$ ، $cos x$ ، $arcsin x$ ، و $x cot x$ ) التي اشتقها إسحاق نيوتن ، وأُخبر أن نيوتن قد طور طريقة عامة لتوسيع الدوال في المتسلسلات. في الواقع، استخدم نيوتن طريقة معقدة تتضمن القسمة المطولة للمتسلسلات والتكامل حدًا حدًا، لكن غريغوري لم يكن على دراية بها، فشرع في اكتشاف طريقة عامة بنفسه. في $أوائل عام 1671$ $، اكتشف غريغوري ما يشبه متسلسلة ماكلورين العامة$ $،$ وأرسل رسالة إلى كولينز تتضمن متسلسلات لـ $arctan x$ ، $وtan x$ ، $و$ $sec x$ ، و $ln$ $sec x$ (تكامل $tan$ )، $و$ $ln$ $tan ½ (½π + x) ($ تكامل sec $،$ دالة غودرمان العكسية )، و $arcsec(\sqrt2e x)$ ، و $2$ $arctan$ $e$ $x$ $-$ $½π$ $( دالة$ $غودرمان$ $). مع ذلك، ظن غريغوري أنه أعاد تطوير طريقة نيوتن فحسب، فلم يصف$ $قط$ $كيف توصل إلى هذه المتسلسلات، ولا يُمكن استنتاج فهمه للطريقة العامة إلا من$ $خلال$ $فحص مسودة$ كان قد دوّنها على ظهر رسالة أخرى من عام 1671. ^{[ 44 ]}

في عامي 1691-1692، دوّن نيوتن بيانًا صريحًا لمتسلسلتي تايلور وماكلورين في نسخة غير منشورة من كتابه "De Quadratura Curvarum" . وكان هذا أول صياغة صريحة لمتسلسلة تايلور العامة. ^{[ 45 ]} مع ذلك، لم يُكمل نيوتن هذا العمل، وحُذفت الأجزاء ذات الصلة من الأجزاء المنشورة عام 1704 تحت عنوان "Tractatus de Quadratura Curvarum" . ^{[ 46 ]}

لم يتم نشر طريقة عامة لإنشاء هذه المتسلسلات لجميع الدوال التي توجد لها إلا في عام 1715 على يد بروك تايلور ، الذي سُميت المتسلسلات باسمه الآن. ^{[ 47 ]}

سُميت متسلسلة ماكلورين نسبة إلى كولين ماكلورين ، وهو عالم رياضيات اسكتلندي، نشر حالة خاصة من نتيجة تايلور في منتصف القرن الثامن عشر. ^{[ 48 ]}

قائمة بمتسلسلات ماكلورين لبعض الدوال الشائعة

تلي ذلك عدة متسلسلات ماكلورين مهمة. جميع هذه المتسلسلات صالحة للأعداد المركبة $x$ . بالنسبة للدوال المركبة متعددة القيم، مثل اللوغاريتمات، والقوى الكسرية، والدوال المثلثية العكسية، يُفهم وجود فرع رئيسي .

الدالة الأسية

الدالة الأسية $e x$ (ذات الأساس $e$ ) لها متسلسلة ماكلورين ^{[ 49 ]} $e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots .$ إنها تتقارب لجميع قيم $x$ .

الدالة المولدة الأسية لأعداد بيل هي الدالة الأسية للدالة الأسية السابقة لها: $\exp(\exp {x}-1)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}$

اللوغاريتم الطبيعي

اللوغاريتم الطبيعي (مع الأساس $e$ ) له سلسلة ماكلورين ^{[ 50 ]} ${\begin{aligned}\ln(1-x)&=-\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}=-x-{\frac {x^{2}}{2}}-{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots ,\\\ln(1+x)&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-\cdots .\end{aligned}}$

تُعرف المتسلسلة الأخيرة باسم متسلسلة ميركاتور ، نسبةً إلى نيكولاس ميركاتور الذي نشرها في أطروحته "لوغاريتمات التقنية " عام 1668. ^{[ 51 ]} تتقارب كلتا المتسلسلتين عندما تكون قيمة $| x | أقل من 1.$ بالإضافة إلى ذلك، تتقارب متسلسلة $ln(1 - x) عندما تكون$ $x = -1$ ، وتتقارب متسلسلة $ln(1 + x)$ عندما تكون $x =$ 1. ^{[ 50 ]}

سلسلة هندسية

المتسلسلة الهندسية ومشتقاتها لها متسلسلة ماكلورين ${\begin{aligned}{\frac {1}{1-x}}&=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}\\{\frac {1}{(1-x)^{2}}}&=\sum _{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\\{\frac {1}{(1-x)^{3}}}&=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(n-1)n}{2}}x^{n-2}.\end{aligned}}$

جميعها متقاربة عندما تكون $| x | < 1.$ هذه حالات خاصة من متسلسلة ذات الحدين الواردة في القسم التالي.

متسلسلة ذات الحدين

متسلسلة ذات الحدين هي متسلسلة القوى

$(1+x)^{\alpha }=\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n}$

والتي تكون معاملاتها هي معاملات ذات الحدين المعممة ^{[ 52 ]}

${\binom {\alpha }{n}}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}.$

(إذا كان $n = 0$ ، فإن هذا المنتج هو منتج فارغ وله قيمة $1.$ ) يتقارب من أجل $| x | < 1$ لأي عدد حقيقي أو مركب $α$ .

عندما تكون $α = -1 ، فإن هذا يُمثل$ في جوهره المتسلسلة الهندسية اللانهائية المذكورة في القسم السابق. أما الحالتان الخاصتان $α = ⁠ 1 / 2 ⁠$ و $α = - ⁠ 1 / 2 ⁠$ فتعطيان دالة الجذر التربيعي ومعكوسها : ^[⁵³^] ${\begin{aligned}(1+x)^{\frac {1}{2}}&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n-1)}}x^{n},\\(1+x)^{-{\frac {1}{2}}}&=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}}}x^{n}.\end{aligned}}$

عندما يتم الاحتفاظ بالحد الخطي فقط، فإن هذا يتبسط إلى تقريب ذي الحدين .

الدوال المثلثية

الدوال المثلثية المعتادة ومعكوساتها لها متسلسلة ماكلورين التالية: ^{[ 54 ]} ${\begin{aligned}\sin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cos x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tan x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}\left(1-4^{n}\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\sec x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}&&=1+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\arcsin x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arccos x&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin x&&={\frac {\pi }{2}}-x-{\frac {x^{3}}{6}}-{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\arctan x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm i\end{aligned}}$

جميع الزوايا مُقاسة بالراديان . الأعداد $B k$ الظاهرة في مفكوك $tan x$ هي أعداد برنولي . أما الأعداد $E k$ في مفكوك $sec x$ فهي أعداد أويلر . ^{[ 55 ]}

الدوال الزائدية

للدوال الزائدية متسلسلات ماكلورين مرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالمتسلسلات الخاصة بالدوال المثلثية المقابلة: ^{[ 56 ]} ${\begin{aligned}\sinh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\cosh x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}&&=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots &&{\text{for all }}x\\[6pt]\tanh x&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}\left(4^{n}-1\right)}{(2n)!}}x^{2n-1}&&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots &&{\text{for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\\[6pt]\operatorname {arsinh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}&&=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1\\[6pt]\operatorname {artanh} x&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}&&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots &&{\text{for }}|x|\leq 1,\ x\neq \pm 1\end{aligned}}$

الأعداد $B k$ التي تظهر في متسلسلة $tanh x$ هي أعداد برنولي . ^{[ 56 ]}

الدوال متعددة اللوغاريتمات

تتميز الدوال متعددة اللوغاريتمات بهذه الخصائص المميزة: ${\begin{aligned}{\text{Li}}_{2}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}x^{n}\\{\text{Li}}_{3}(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}x^{n}\end{aligned}}$

تُعرَّف دوال ليجندر كاي على النحو التالي: ${\begin{aligned}\chi _{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\\chi _{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}$

وتسمى الصيغ المعروضة أدناه بتكاملات الظل العكسية : ${\begin{aligned}{\text{Ti}}_{2}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2}}}x^{2n+1}\\{\text{Ti}}_{3}(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{3}}}x^{2n+1}\end{aligned}}$

تظهر هذه الصيغ في الميكانيكا الإحصائية . ويمكن التعبير عن التكاملات التي تُصادف في إحصاءات بوز-أينشتاين وفيرمي -ديراك بدلالة متعددات اللوغاريتمات. ^{[ 57 ]} قيمة التكامل الظلي العكسي ${\text{Ti}}_{2}(1/{\sqrt {3}})$ يظهر في إنتروبيا الموقع الواحد للأشجار الممتدة على شبكة مثلثية كبيرة . ^{[ 58 ]}

الدوال الإهليلجية

يمكن تعريف التكاملات الإهليلجية الكاملة من النوع الأول K ومن النوع الثاني E على النحو التالي: ${\begin{aligned}{\frac {2}{\pi }}K(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\\{\frac {2}{\pi }}E(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {[(2n)!]^{2}}{(1-2n)16^{n}(n!)^{4}}}x^{2n}\end{aligned}}$

تصف دوال جاكوبي ثيتا عالم الدوال النمطية الإهليلجية، ولها متسلسلات تايلور التالية: ${\begin{aligned}\vartheta _{00}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }x^{n^{2}}\\\vartheta _{01}(x)&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}x^{n^{2}}\end{aligned}}$

انظر أيضاً

التوسع التقاربي
متعددة حدود نيوتن
تقريب باديه - أفضل تقريب بواسطة دالة كسرية
متسلسلة بويزو – متسلسلة قوى ذات أسس نسبية
نظرية التقريب
تقريب الدالة

ملحوظات

↑ بانر 2007 ، ص 530 .
↑ توماس وفيني 1996 ، انظر §8.9.
1 2 ستيوارت 2008 ، §11.10.
↑ هنريسي 1974 .
↑ ستيوارت 2008 ، §11.9.
^ أهلفورس 1979 ، ص 38-40.
^ فاربيرج، بورسيل وريجدون 2007 ، ص. 489.
↑ توماس وفيني 1996 .
↑ "متسلسلة تايلور" . وثائق ماث ووركس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-04-01 .
↑ Enns & McGuire 2000 ، مقدمة ، ص 1-2.
1 2 3 ستيوارت 2008 ، الفصل 11.
↑ "§4.19 متسلسلات ماكلورين ومتسلسلات لوران" . المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. المعادلة 4.19.8 . تاريخ الاسترجاع: 20 مايو 2026 .
↑ توماس وفيني 1996 ، §8.11.
↑ "17.4: حلول المتسلسلات للمعادلات التفاضلية" . نصوص الرياضيات الحرة . نصوص حرة . تم الاسترجاع في 20 مايو 2026 .
↑ Knapp 2000 ، ص 43-44 .
^ نورلوند، NE (1926). Leçons sur les séries d'interpolation (بالفرنسية). باريس: غوتييه فيلار.
↑ أغويش، رفيق؛ جديدي، وسيم (2015). "الدوال الرتيبة تمامًا ونوى عامل القطع". ص 14. arXiv : 1511.08345 [ math.PR ].
^ هيلي وفيليبس 1957 ، ص 231-235.
↑
- فيلر 2003 ، ص 230-232
- هيلي وفيليبس 1957 ، ص 300-327
1 2 3 Feller 2003 ، ص. 231.
↑ تشونغ، كاي لاي (1958). "حول الصيغ الأسية لنظرية شبه المجموعة". مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 8 (4): 847-857 .
↑ غروسمان 1984 ، ص 750 .
↑ سيلفرمان 1974 ، ص 139 .
↑ تشودري 1992 ، ص 102 .
↑ كامبوس 2011 ، ص 558 .
↑ ماركوشيفيتش 1966 ، ص. 6 .
1 2 شتاين وشكارشي 2003 ، ص. 15.
^ فريتاج وبوسام 2005 ، ص 111 – 112.
^ فريتاج وبوسام 2005 ، الصفحات من 112 إلى 113، 124.
1 2 فريتاج وبوسام 2005 ، ص 116-117.
↑ Stein & Shakarchi 2003 ، ص 98-100.
↑ أهلفورس 1979 ، ص 38.
↑ لانغ 1999 ، ص 166.
^ أهلفورس 1979 ، ص 184-186.
↑ بليس 1933 ، الفصل الثاني.
↑
- هورماندر 2002 ، انظر المعادلة. 1.1.7 و 1.1.7 ′
- كولك ودوسترمات 2010 ، ص. 59-63
↑ ساندلر 2011 ، ص 258 .
↑
- إينز وماكغواير 2000 ، ص 187
- ساها 2026 ، ص 227
↑ ليندبرغ 2007 ، ص 33.
↑ كلاين 1990 ، ص 35-37 .
↑ بوير وميرزباخ 1991 ، ص 202-203 .
↑ داني 2012 .
^ جوبتا 2019 ، ص. 417-442 .
↑
- تيرنبول 1939 ، الصفحات 168-174
- روي 1990
- ماليت 1993
↑
- إدواردز 1994 ، ص 289
- رولاندز 2017 ، ص 48
↑ نيوتن 1761 .
↑
- تايلور 1715 ، الصفحات 21-23، انظر Prop. VII، Thm. 3، Cor. 2. انظر Struik 1969 ، الصفحات 329-332 للترجمة الإنجليزية، و Bruce 2007 لإعادة الترجمة.
- فيجنباوم 1985
↑ غروسمان 1984 ، ص 748 .
↑ أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 69 .
1 2
- بيلودو، ثي وكيو 2010 ، ص 252
- أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 15
↑ هوفمان 1939 .
↑ أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 14 .
↑ أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 15 .
^ أبراموفيتز وستيغون 1970 ، ص 75 ، 81 .
↑ أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 75 .
1 2 أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 85 .
↑ "§25.12 متعددات اللوغاريتمات" . المكتبة الرقمية للدوال الرياضية . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . تم الاسترجاع في 1 أبريل 2026 .
↑ تشين، إل سي؛ وو، إف واي (2005). "نموذج التجميع العشوائي وهويات الجمع والتكامل الجديدة". مجلة الفيزياء أ . 38 : 6271-6276 . arXiv : cond-mat/0501228 . doi : 10.1088/0305-4470/38/28/001 .

مراجع

أهلفورس، لارس ف. (1979)، التحليل المركب ( الطبعة الثالثة)، نيويورك: ماكجرو هيل، ISBN 978-0-07-000657-7.
أبراموفيتز، ميلتون ؛ ستيجون، إيرين أ. (1970). دليل الدوال الرياضية مع الصيغ والرسوم البيانية والجداول الرياضية . نيويورك: منشورات دوفر . الطبعة التاسعة.
بانر، أدريان (2007). منقذ حساب التفاضل والتكامل: جميع الأدوات التي تحتاجها للتفوق في حساب التفاضل والتكامل . مطبعة جامعة برينستون. ISBN 978-0-691-13088-0.
بيلودو، جيرالد؛ ثي، بول؛ كيو، جي إي (2010). مقدمة في التحليل . دار نشر جونز وبارتليت. رقم ISBN 978-0-7637-7492-9.
بليس، جيلبرت أميس (1933)، الدوال الجبرية ، منشورات دوفر، رقم ISBN 978-0-486-49568-2{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .
بوير، سي.؛ ميرزباخ، يو. (1991). تاريخ الرياضيات (الطبعة الثانية ). جون وايلي وأولاده. ISBN 0-471-09763-2.
بروس، إيان (2007). "طريقة الزيادة المباشرة والعكسية ] " . 17 Centurymaths.com .
كامبوس، لويس مانويل براغا دا كوستا (2011). التحليل المركب مع تطبيقات على التدفقات والحقول . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-040-17268-1.
تشودري، ب. (1992). عناصر التحليل المركب . دار نيو إيج إنترناشونال المحدودة. رقم ISBN 978-81-224-0399-2.تجدر الإشارة إلى أن هذا المصدر أعيد طبعه في عام 2003.
كونواي، جون ب. (1978)، دوال المتغير المركب الواحد. الجزء الأول ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 11 ( الطبعة الثانية)، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-90328-6.
داني، سان جرمان (2012). “الرياضيات الهندية القديمة – وجهة نظر”. الرنين . 17 (3): 236-246 . دوى : 10.1007 / s12045-012-0022-y . S2CID 120553186 .
إدواردز، سي. هنري (1994). التطور التاريخي للتفاضل والتكامل . طبعة سبرينغر الدراسية. سبرينغر. ISBN 978-0-387-94313-8.
إينز، ريتشارد هـ.؛ ماكغواير، جورج س. (2000). الفيزياء غير الخطية باستخدام برنامج Maple للعلماء والمهندسين (الطبعة الثانية ). جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-471-25709-7.
فيجنباوم، ل. (1985). "بروك تايلور وطريقة الزيادات". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 34 ( 1-2 ): 1-140 . doi : 10.1007/bf00329903 . S2CID 122105736 .
فيلر، ويليام (2003) [1971]. مدخل إلى نظرية الاحتمالات وتطبيقاتها . المجلد 2 ( الطبعة الثالثة). وايلي. ISBN 9789971512989. OCLC 818811840 .
فريتاج، إبرهارد؛ بوسام، رولف (2005)، التحليل المركب ، برلين: سبرينغر، ISBN 978-3-540-93983-2.
جروسمان، ستانلي آي. (1984). حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة الثالثة). دار النشر الأكاديمية. رقم ISBN 978-1-4832-6239-0.
غوبتا، رادها شاران (2019). راماسوبرامانيان، ك. (محرر). غانيتاناندا: مختارات من أعمال رادها شاران غوبتا في تاريخ الرياضيات . سبرينغر. doi : 10.1007/978-981-13-1229-8_40 . S2CID 213756968 .
هنريسي، بيتر (1974)، التحليل المعقد التطبيقي والحسابي ، المجلد 1، نيويورك: وايلي-إنترساينس.
هيل، إينار ؛ فيليبس، رالف س. (1957). التحليل الوظيفي وشبه المجموعات . منشورات ندوة الجمعية الأمريكية للرياضيات. المجلد 31. الجمعية الأمريكية للرياضيات.
هوفمان، جوزيف إهرنفريد (1939). "حول اكتشاف المتسلسلة اللوغاريتمية وتطورها في إنجلترا حتى كوتس". المجلة الوطنية للرياضيات . 14 (1): 33-45 . doi : 10.2307/3028095 . JSTOR 3028095 .
هورماندر، لارس (2002) [1990]. "مراجعة في حساب التفاضل والتكامل" . تحليل المؤثرات التفاضلية الجزئية 1 (الطبعة الثانية ). سبرينغر. § 1.1، ص 5-13. doi : 10.1007/978-3-642-61497-2_2 . ISBN 978-3-642-61497-2.
كلاين، م. (1990). الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة . نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-506135-7.
كناب، أنتوني و. (2000). التحليل الحقيقي الأساسي . سبرينغر. ISBN 978-0-8176-4441-3.
كولك، يوهان أ.س.؛ دويسترمات، ج.ج. (2010). "توسيع تايلور في عدة متغيرات" . التوزيعات: النظرية والتطبيقات . بيركهاوزر. doi : 10.1007/978-0-8176-4675-2_6 . ISBN 978-0-8176-4672-1.
كريزيج، إروين (2011). الرياضيات الهندسية المتقدمة . جون وايلي وأولاده . ISBN 978-1-119-45592-9.
لانغ، سيرج (1999)، التحليل المركب ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد 103 (الطبعة الرابعة )، نيويورك: سبرينغر، ISBN 978-0-387-98592-3.
ليندبرغ، ديفيد (2007). بدايات العلوم الغربية ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة شيكاغو. رقم ISBN 978-0-226-48205-7.
ماليت، أنطوني (1993). " جيمس غريغوري حول المماسات وقاعدة "تايلور" لتوسيع المتسلسلات". أرشيف تاريخ العلوم الدقيقة . 46 (2): 97-137 . doi : 10.1007/BF00375656 . JSTOR 41133959. S2CID 120101519 .
ماركوشيفيتش، الذكاء الاصطناعي (1966). الدوال الكاملة . إلسيفير. ISBN 978-1-4832-7490-4.
نيوتن، إسحاق (1761). Tractatus de Quadratura Curvarum: in usum studiosae iuventutis mathematicae explicationibus illustratus .
رولاندز، بيتر (2017). نيوتن والنظام العالمي العظيم . دار النشر العالمية العلمية . ص 40. doi : 10.1142/q0108 . ISBN 978-1-78634-372-7.
روي، رانجان (1990). "اكتشاف صيغة المتسلسلة لـ $π$ بواسطة لايبنتز، غريغوري، ونيلكانثا" (ملف PDF) . مجلة الرياضيات . 63 (5): 291-306 . doi : 10.1080/0025570X.1990.11977541 . مؤرشف من الأصل (ملف PDF) بتاريخ 14 مارس 2023. تاريخ الاسترجاع: 18 فبراير 2023 .
رودين، والتر (1976)، مبادئ التحليل الرياضي ( الطبعة الثالثة)، نيويورك: ماكجرو هيل، رقم ISBN 978-0-07-054235-8.
رودين، والتر (1980). التحليل الحقيقي والمركب . نيودلهي: ماكجرو هيل. ISBN 0-07-099557-5.
ساها، سوابان ك. (2026). نموذج التصوير البصري . مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1-040-44735-2.
ساندلر، ستانلي آي. (2011). مقدمة في الديناميكا الحرارية الإحصائية التطبيقية . جون وايلي وأولاده. ISBN 978-0-470-91347-5.
سيلفرمان، ريتشارد أ. (1974). التحليل المركب مع التطبيقات . منشورات دوفر.
شتاين، إلياس م .؛ شاكرجي، رامي (2003)، التحليل المركب ، محاضرات برينستون في التحليل، المجلد 2، برينستون، نيوجيرسي: مطبعة جامعة برينستون، ISBN 978-0-691-11385-2.
ستيوارت، جيمس (2008)، حساب التفاضل والتكامل: الدوال المتسامية المبكرة ( الطبعة السادسة)، تومسون بروكس/كول، رقم ISBN 978-0-495-38273-7.
ستريك، دي جيه (1969). كتاب مصادر في الرياضيات 1200-1800 . مطبعة جامعة هارفارد. ISBN 978-0-674-82355-6.
تايلور، بروك (1715). Methodus Incrementorum Directa et Inversa [ طرق الزيادة المباشرة والعكسية ] (باللغة اللاتينية). لندن.
توماس، جورج ب. الابن؛ فيني، روس ل. (1996). حساب التفاضل والتكامل والهندسة التحليلية ( الطبعة التاسعة). أديسون ويسلي. ISBN 0-201-53174-7.
تيتشمارش، إي سي (1939)، نظرية الدوال ( الطبعة الثانية)، لندن: مطبعة جامعة أكسفورد.
تورنبول، هربرت ويسترن، محرر (1939). جيمس غريغوري؛ المجلد التذكاري للذكرى المئوية الثالثة . جي. بيل وأولاده.
فاربيرج، ديل E.؛ بورسيل، إدوين J.؛ ريجدون ، ستيفن إي. (2007). حساب التفاضل والتكامل ( الطبعة التاسعة). بيرسون برنتيس هول. رقم ISBN 9780131469686.

للمزيد من القراءة

بريسود، ديفيد (2002). "هل تم اختراع حساب التفاضل والتكامل في الهند؟". مجلة الرياضيات الجامعية . 33 (1): 2-13 . doi : 10.2307/1558972 . JSTOR 1558972 .
غرينبيرغ، مايكل (1998). الرياضيات الهندسية المتقدمة ( الطبعة الثانية). برنتيس هول. ISBN 0-13-321431-1.
روي، رانجان (2021) [2011]. المتسلسلات والمنتجات في تطور الرياضيات . المجلد 1 ( الطبعة الثانية). مطبعة جامعة كامبريدج.

روابط خارجية

"متسلسلة تايلور" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]
وايسستين، إريك دبليو. “سلسلة تايلور” . عالم الرياضيات .

[FOOTNOTEBanner2007[httpsbooksgooglecombooksidOrumDwAAQBAJpgPA530_530]-1] بانر 2007 ، ص 530 .

[FOOTNOTEThomasFinney1996See_§8.9-2] توماس وفيني 1996 ، انظر §8.9.

[FOOTNOTEStewart2008§11.10-3] 1 2 ستيوارت 2008 ، §11.10.

[FOOTNOTEHenrici1974-4] هنريسي 1974 .

[FOOTNOTEStewart2008§11.9-5] ستيوارت 2008 ، §11.9.

[FOOTNOTEAhlfors197938–40-6] أهلفورس 1979 ، ص 38-40.

[FOOTNOTEVarbergPurcellRigdon2007489-7] فاربيرج، بورسيل وريجدون 2007 ، ص. 489.

[FOOTNOTEThomasFinney1996-8] توماس وفيني 1996 .

[9] "متسلسلة تايلور" . وثائق ماث ووركس . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2026-04-01 .

[FOOTNOTEEnnsMcGuire2000Introduction,_pp._1–2-10] Enns & McGuire 2000 ، مقدمة ، ص 1-2.

[FOOTNOTEStewart2008Chapter_11-11] 1 2 3 ستيوارت 2008 ، الفصل 11.

[DLMFLogCos-12] "§4.19 متسلسلات ماكلورين ومتسلسلات لوران" . المكتبة الرقمية للدوال الرياضية التابعة للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا. المعادلة 4.19.8 . تاريخ الاسترجاع: 20 مايو 2026 .

[FOOTNOTEThomasFinney1996§8.11-13] توماس وفيني 1996 ، §8.11.

[OpenStaxSeriesODE-14] "17.4: حلول المتسلسلات للمعادلات التفاضلية" . نصوص الرياضيات الحرة . نصوص حرة . تم الاسترجاع في 20 مايو 2026 .

[FOOTNOTEKnapp2000[httpbooksgooglecombooksidDLfxd7StGw8CpgPA43_43–44]-15] Knapp 2000 ، ص 43-44 .

[16] نورلوند، NE (1926). Leçons sur les séries d'interpolation (بالفرنسية). باريس: غوتييه فيلار.

[17] أغويش، رفيق؛ جديدي، وسيم (2015). "الدوال الرتيبة تمامًا ونوى عامل القطع". ص 14. arXiv : 1511.08345 [ math.PR ].

[FOOTNOTEHillePhillips1957231–235-18] هيلي وفيليبس 1957 ، ص 231-235.

[19] 
فيلر 2003 ، ص 230-232
هيلي وفيليبس 1957 ، ص 300-327

[mwA-s] فيلر 2003 ، ص 230-232

[mwA-8] هيلي وفيليبس 1957 ، ص 300-327

[FOOTNOTEFeller2003231-20] 1 2 3 Feller 2003 ، ص. 231.

[21] تشونغ، كاي لاي (1958). "حول الصيغ الأسية لنظرية شبه المجموعة". مجلة المحيط الهادئ للرياضيات . 8 (4): 847-857 .

[FOOTNOTEGrossman1984[httpbooksgooglecombooksideafiBQAAQBAJpgPA750_750]-22] غروسمان 1984 ، ص 750 .

[FOOTNOTESilverman1974[httpsbooksgooglecombooksidLIXBHcUrx-cCpgPA139_139]-23] سيلفرمان 1974 ، ص 139 .

[FOOTNOTEChoudhary1992[httpbooksgooglecombooksid5K9i2YwgTjYCpgPA102_102]-24] تشودري 1992 ، ص 102 .

[FOOTNOTECampos2011[httpsbooksgooglecombooksidz6mNEQAAQBAJpgPT558_558]-25] كامبوس 2011 ، ص 558 .

[FOOTNOTEMarkushevich1966[httpbooksgooglecombooksid-rvSBQAAQBAJpgPA6_6]-26] ماركوشيفيتش 1966 ، ص. 6 .

[FOOTNOTESteinShakarchi200315-27] 1 2 شتاين وشكارشي 2003 ، ص. 15.

[FOOTNOTEFreitagBusam2005111–112-28] فريتاج وبوسام 2005 ، ص 111 – 112.

[FOOTNOTEFreitagBusam2005112–113,_124-29] فريتاج وبوسام 2005 ، الصفحات من 112 إلى 113، 124.

[FOOTNOTEFreitagBusam2005116–117-30] 1 2 فريتاج وبوسام 2005 ، ص 116-117.

[FOOTNOTESteinShakarchi200398–100-31] Stein & Shakarchi 2003 ، ص 98-100.

[FOOTNOTEAhlfors197938-32] أهلفورس 1979 ، ص 38.

[FOOTNOTELang1999166-33] لانغ 1999 ، ص 166.

[FOOTNOTEAhlfors1979184–186-34] أهلفورس 1979 ، ص 184-186.

[FOOTNOTEBliss1933Chapter_II-35] بليس 1933 ، الفصل الثاني.

[36] 
هورماندر 2002 ، انظر المعادلة. 1.1.7 و 1.1.7 ′
كولك ودوسترمات 2010 ، ص. 59-63

[mwBF4] هورماندر 2002 ، انظر المعادلة. 1.1.7 و 1.1.7 ′

[mwBGA] كولك ودوسترمات 2010 ، ص. 59-63

[FOOTNOTESandler2011[httpbooksgooglecombooksid6wtw2c5Cj0QCpgPA258_258]-37] ساندلر 2011 ، ص 258 .

[38] 
إينز وماكغواير 2000 ، ص 187
ساها 2026 ، ص 227

[mwBHE] إينز وماكغواير 2000 ، ص 187

[mwBHY] ساها 2026 ، ص 227

[FOOTNOTELindberg200733-39] ليندبرغ 2007 ، ص 33.

[FOOTNOTEKline1990[httpsarchiveorgdetailsmathematicalthou00klinpagen437_35]–37-40] كلاين 1990 ، ص 35-37 .

[FOOTNOTEBoyerMerzbach1991[httpsarchiveorgdetailshistoryofmathema00boyepage202_202–203]-41] بوير وميرزباخ 1991 ، ص 202-203 .

[FOOTNOTEDani2012-42] داني 2012 .

[FOOTNOTEGupta2019[httpsbooksgooglecombooksidAEe9DwAAQBAJpgPA417_417–442]-43] جوبتا 2019 ، ص. 417-442 .

[44] 
تيرنبول 1939 ، الصفحات 168-174
روي 1990
ماليت 1993

[mwBJ0] تيرنبول 1939 ، الصفحات 168-174

[mwBKA] روي 1990

[mwBKI] ماليت 1993

[45] 
إدواردز 1994 ، ص 289
رولاندز 2017 ، ص 48

[mwBKs] إدواردز 1994 ، ص 289

[mwBK8] رولاندز 2017 ، ص 48

[FOOTNOTENewton1761-46] نيوتن 1761 .

[47] 
تايلور 1715 ، الصفحات 21-23، انظر Prop. VII، Thm. 3، Cor. 2. انظر Struik 1969 ، الصفحات 329-332 للترجمة الإنجليزية، و Bruce 2007 لإعادة الترجمة.
فيجنباوم 1985

[mwBL0] تايلور 1715 ، الصفحات 21-23، انظر Prop. VII، Thm. 3، Cor. 2. انظر Struik 1969 ، الصفحات 329-332 للترجمة الإنجليزية، و Bruce 2007 لإعادة الترجمة.

[mwBMM] فيجنباوم 1985

[FOOTNOTEGrossman1984[httpbooksgooglecombooksideafiBQAAQBAJpgPA748_748]-48] غروسمان 1984 ، ص 748 .

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1970[httpsbooksgooglecombooksidMtU8uP7XMvoCpgPA69_69]-49] أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 69 .

[bileodeau-abramowitz-50] 1 2
بيلودو، ثي وكيو 2010 ، ص 252
أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 15

[mwBNs] بيلودو، ثي وكيو 2010 ، ص 252

[mwBOA] أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 15

[FOOTNOTEHofmann1939-51] هوفمان 1939 .

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1970[httpsbooksgooglecombooksidMtU8uP7XMvoCpgPA14_14]-52] أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 14 .

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1970[httpsbooksgooglecombooksidMtU8uP7XMvoCpgPA15_15]-53] أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 15 .

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1970[httpsbooksgooglecombooksidMtU8uP7XMvoCpgPA75_75],_[httpsbooksgooglecombooksidMtU8uP7XMvoCpgPA81_81]-54] أبراموفيتز وستيغون 1970 ، ص 75 ، 81 .

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1970[httpsbooksgooglecombooksidMtU8uP7XMvoCpgPA75_75]-55] أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 75 .

[FOOTNOTEAbramowitzStegun1970[httpsbooksgooglecombooksidMtU8uP7XMvoCpgPA85_85]-56] 1 2 أبراموفيتز وستيجون 1970 ، ص 85 .

[57] "§25.12 متعددات اللوغاريتمات" . المكتبة الرقمية للدوال الرياضية . المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا . تم الاسترجاع في 1 أبريل 2026 .

[58] تشين، إل سي؛ وو، إف واي (2005). "نموذج التجميع العشوائي وهويات الجمع والتكامل الجديدة". مجلة الفيزياء أ . 38 : 6271-6276 . arXiv : cond-mat/0501228 . doi : 10.1088/0305-4470/38/28/001 .

[

[ 2 ]

3

تركيبات الدوال التي لها متسلسلات تايلور لها أيضًا متسلسلات تايلور ،

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[

[ 20 ]

[

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

27

[

[ 29 ]

[ 30 ]

31

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗