مجموعة محدبة تمامًا

في الرياضيات ، يُقال عن مجموعة جزئية C من فضاء متجهي حقيقي أو مركب أنها محدبة مطلقًا أو قرصية إذا كانت محدبة ومتوازنة (يستخدم البعض مصطلح "دائرية" بدلًا من "متوازنة")، وفي هذه الحالة تُسمى قرصًا . الغلاف القرصي أو الغلاف المحدب المطلق لمجموعة ما هو تقاطع جميع الأقراص التي تحتوي على تلك المجموعة.

مجموعة فرعية${\displaystyle S}$من فضاء متجه حقيقي أو مركب${\displaystyle X}$يُطلق عليه اسمقرص ويقال إنهقرصي ،محدبة تمامًا ، ويكون السطح محدبًا ومتوازنًا إذا تحققت أي من الشروط المكافئة التالية:

1. ${\displaystyle S}$هي مجموعة محدبة ومتوازنة .
2. لأي كميات قياسية${\displaystyle a}$و${\displaystyle b,}$لو${\displaystyle |a|+|b|\leq 1}$ثم${\displaystyle aS+bS\subseteq S.}$
3. لجميع الكميات القياسية${\displaystyle a,b,}$و${\displaystyle c,}$لو${\displaystyle |a|+|b|\leq |c|,}$ثم${\displaystyle aS+bS\subseteq cS.}$
4. لأي كميات قياسية${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$و${\displaystyle c,}$لو${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq |c|}$ثم${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq cS.}$
5. لأي كميات قياسية${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n},}$لو${\displaystyle |a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1}$ثم${\displaystyle a_{1}S+\cdots +a_{n}S\subseteq S.}$

أصغر مجموعة فرعية محدبة (أو متوازنة ) من${\displaystyle X}$يُطلق على الغلاف المحدب (أو الغلاف المتوازن) لمجموعة معينة اسم الغلاف المحدب لتلك المجموعة، ويُرمز له بـ${\displaystyle \operatorname {co} S}$(على التوالى،${\displaystyle \operatorname {bal} S}$).

وبالمثل، فإنالهيكل القرصي ،الغلاف المحدب المطلق ، والهيكل المحدب المتوازن لمجموعة${\displaystyle S}$يُعرَّف بأنه أصغر قرص (فيما يتعلق بتضمين المجموعة الجزئية ) يحتوي على${\displaystyle S.}$^{[ 1 ]} الهيكل القرصي لـ${\displaystyle S}$سيتم الإشارة إليه بواسطة${\displaystyle \operatorname {disk} S}$أو${\displaystyle \operatorname {cobal} S}$وهي تساوي كل مجموعة من المجموعات التالية:

1. ${\displaystyle \operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$وهو الغلاف المحدب للغلاف المتوازن لـ${\displaystyle S}$؛ هكذا،${\displaystyle \operatorname {cobal} S=\operatorname {co} (\operatorname {bal} S).}$
   • على العموم،${\displaystyle \operatorname {cobal} S\neq \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)}$هذا ممكن، حتى في فضاءات المتجهات ذات الأبعاد المحدودة .
2. تقاطع جميع الأقراص التي تحتوي${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \left\{a_{1}s_{1}+\cdots a_{n}s_{n}~:~n\in \mathbb {N} ,\,s_{1},\ldots ,s_{n}\in S,\,{\text{ و }}a_{1},\ldots ,a_{n}{\text{ هي أعداد قياسية تحقق }}|a_{1}|+\cdots +|a_{n}|\leq 1\right\}.}$

إن تقاطع عدد كبير من المجموعات المحدبة المطلقة يكون محدبًا مطلقًا مرة أخرى؛ ومع ذلك، فإن اتحادات المجموعات المحدبة المطلقة لا يلزم أن تكون محدبة مطلقًا بعد الآن.

لو${\displaystyle D}$هو قرص في${\displaystyle X,}$ثم${\displaystyle D}$يستوعب${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \operatorname {span} D=X.}$^{[ 2 ]}

لو${\displaystyle S}$قرص ماص في فضاء متجهي${\displaystyle X}$ثم يوجد قرص ماص${\displaystyle E}$في${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle E+E\subseteq S.}$^{[ 3 ]} إذا${\displaystyle D}$هو قرص و${\displaystyle r}$و${\displaystyle s}$هل هي كميات قياسية؟${\displaystyle sD=|s|D}$و${\displaystyle (rD)\cap (sD)=(\min _{}\{|r|,|s|\})D.}$

الغلاف المحدب المطلق لمجموعة محدودة في فضاء متجهي طوبولوجي محدب محليًا يكون محدودًا أيضًا.

لو${\displaystyle D}$هو قرص محدود في TVS${\displaystyle X}$وإذا${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i=1}^{\infty }}$هو تسلسل في${\displaystyle D,}$ثم المجاميع الجزئية${\displaystyle s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }}$هي كوشي ، حيث للجميع${\displaystyle n,}$${\displaystyle s_{n}:=\sum _{i=1}^{n}2^{-i}x_{i}.}$^{[ 4 ]} على وجه الخصوص، إذا بالإضافة إلى ذلك${\displaystyle D}$هي مجموعة فرعية كاملة تسلسليًا من${\displaystyle X,}$ثم هذه السلسلة${\displaystyle s_{\bullet }}$يتقارب في${\displaystyle X}$إلى حد ما من${\displaystyle D.}$

الهيكل المحدب المتوازن لـ${\displaystyle S}$يحتوي على كل من الغلاف المحدب لـ${\displaystyle S}$والهيكل المتوازن لـ${\displaystyle S.}$علاوة على ذلك، فهو يحتوي على الهيكل المتوازن للهيكل المحدب لـ${\displaystyle S;}$هكذا $${\displaystyle \operatorname {bal} (\operatorname {co} S)~\subseteq ~\operatorname {cobal} S~=~\operatorname {co} (\operatorname {bal} S),}$$ حيث يوضح المثال أدناه أن هذا الإدراج قد يكون صارمًا. ومع ذلك، بالنسبة لأي مجموعات فرعية${\displaystyle S,T\subseteq X,}$لو${\displaystyle S\subseteq T}$ثم${\displaystyle \operatorname {cobal} S\subseteq \operatorname {cobal} T}$ وهذا يعني${\displaystyle \operatorname {cobal} (\operatorname {co} S)=\operatorname {cobal} S=\operatorname {cobal} (\operatorname {bal} S).}$

بفرض عدد حقيقي ثابت${\displaystyle 0<p\leq 1,}$أ${\displaystyle p}$المجموعة المحدبة هي أي مجموعة جزئية${\displaystyle C}$فضاء متجهي${\displaystyle X}$مع العقار الذي${\displaystyle rc+sd\in C}$حينما${\displaystyle c,d\in C}$و${\displaystyle r,s\geq 0}$هي كميات قياسية غير سالبة تحقق${\displaystyle r^{p}+s^{p}=1.}$ يُطلق عليه اسمقطعاً${\displaystyle p}$-مجموعة محدبة أو أ${\displaystyle p}$-disk إذا${\displaystyle rc+sd\in C}$حينما${\displaystyle c,d\in C}$و${\displaystyle r,s}$هل الكميات القياسية مُرضية؟${\displaystyle |r|^{p}+|s|^{p}\leq 1.}$^{[ 5 ]}

أ${\displaystyle p}$-شبه المعيار ^{[ 6 ]} هو أي دالة غير سالبة${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$التي تستوفي الشروط التالية:

1. خاصية الجمع الجزئي / متباينة المثلث :${\displaystyle q(x+y)\leq q(x)+q(y)}$للجميع${\displaystyle x,y\in X.}$
2. التجانس المطلق للدرجة${\displaystyle p}$:${\displaystyle q(sx)=|s|^{p}q(x)}$للجميع${\displaystyle x\in X}$وجميع الكميات القياسية${\displaystyle s.}$

هذا يعمم تعريف المعايير الجزئية، حيث أن التطبيق يكون معيارًا جزئيًا إذا وفقط إذا كان${\displaystyle 1}$-شبه المعيار (باستخدام${\displaystyle p:=1}$). يوجد${\displaystyle p}$-شبه المعايير التي ليست شبه معايير . على سبيل المثال، كلما${\displaystyle 0<p<1}$ثم الخريطة${\displaystyle q(f)=\int _{\mathbb {R} }|f(t)|^{p}dt}$تُستخدم لتحديد فضاء Lp${\displaystyle L_{p}(\mathbb {R} )}$هو${\displaystyle p}$شبه معياري ولكن ليس معيارًا شبه معياري. ^{[ 6 ]}

منح${\displaystyle 0<p\leq 1,}$الفضاء المتجهي الطوبولوجي هو${\displaystyle p}$شبه معياري (بمعنى أن بنيته الطوبولوجية مستحثة بواسطة شيء ما)${\displaystyle p}$(شبه معياري) إذا وفقط إذا كان له حد محدود${\displaystyle p}$الجوار المحدب للأصل. ^{[ 5 ]}

• مجموعة امتصاصية - مجموعة يمكن "نفخها" للوصول إلى أي نقطة 
• مساحة معيارية مساعدة
• المجموعة المتوازنة – مفهوم في التحليل الوظيفي 
• المجموعة المحدودة (الفضاء المتجهي الطوبولوجي) – تعميم لمفهوم التقييد 
• المجموعة المحدبة - في الهندسة، هي مجموعة يكون تقاطعها مع كل خط قطعة مستقيمة واحدة 
• مجال النجمة – خاصية مجموعات النقاط في الفضاءات الإقليدية 
• المجموعة المتناظرة – خاصية من خصائص المجموعات الجزئية للمجموعات (الرياضيات) 
• المتجه (الهندسي) - كائن هندسي له طول واتجاه. صفحات تعرض أوصافًا مختصرة لأهداف إعادة التوجيه ، للمتجهات في الفيزياء. 
• حقل متجهي – تعيين متجه لكل نقطة في مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي 

• روبرتسون، أ.ب.؛ و.ج. روبرتسون (1964). الفضاءات المتجهة الطوبولوجية . سلسلة كامبريدج في الرياضيات. المجلد  53. مطبعة جامعة كامبريدج . الصفحات 4-6 . 
• ناريسي، لورانس؛ بيكنشتاين، إدوارد (2011). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . الرياضيات البحتة والتطبيقية (  الطبعة الثانية). بوكا راتون، فلوريدا: مطبعة سي آر سي. رقم ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 . 
• شيفر، هيلموت هـ .؛ وولف، مانفريد ب. (1999). فضاءات المتجهات الطوبولوجية . سلسلة GTM . المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. رقم ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 . 
• تريف، فرانسوا (2006) [1967]. فضاءات المتجهات الطوبولوجية والتوزيعات والنوى . مينيولا، نيويورك: منشورات دوفر. رقم ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322 .