متتابعة كوشي

لو${\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3},...)}$هي متتالية في المجموعة${\displaystyle X,}$إذن، فإن معامل تقارب كوشي للمتتالية هو دالة${\displaystyle \alpha }$من مجموعة الأعداد الطبيعية إلى نفسها، بحيث يكون لكل عدد طبيعي${\displaystyle k}$والأعداد الطبيعية${\displaystyle m,n>\alpha (k),}$${\displaystyle |x_{m}-x_{n}|<1/k.}$

أي متتالية لها معامل تقارب كوشي هي متتالية كوشي. وينتج وجود معامل لمتتالية كوشي من خاصية الترتيب الجيد للأعداد الطبيعية (ليكن${\displaystyle \alpha (k)}$كن أصغر ما يمكن${\displaystyle N}$في تعريف متتالية كوشي، مع الأخذ${\displaystyle \varepsilon }$يكون${\displaystyle 1/k}$يستنتج وجود المعامل أيضًا من مبدأ الاختيار القابل للعد . المتتابعات المنتظمة لكوشي هي متتابعات ذات معامل تقارب كوشي مُعطى (عادةً ما يكون${\displaystyle \alpha (k)=k}$أو${\displaystyle \alpha (k)=2^{k}}$). أي متتالية كوشي ذات معامل تقارب كوشي تعادل متتالية كوشي منتظمة؛ ويمكن إثبات ذلك دون استخدام أي شكل من أشكال بديهية الاختيار.

يستخدم علماء الرياضيات البنائية معاملات تقارب كوشي عندما لا يرغبون في استخدام أي شكل من أشكال الاختيار. ويمكن لمعامل تقارب كوشي تبسيط كل من التعريفات والنظريات في التحليل البنائي. وقد استخدم كل من بيشوب (2012) وبريدجز (1997) متتابعات كوشي المنتظمة في كتب الرياضيات البنائية.

الأرقام الحقيقية${\displaystyle \mathbb {R} }$تُعتبر الأعداد الحقيقية كاملةً وفقًا للمقياس المُستحثّ بواسطة القيمة المطلقة المعتادة، وإحدى الطرق القياسية لبناء الأعداد الحقيقية تتضمن متتابعات كوشي للأعداد النسبية . في هذه الطريقة، تُعتبر كل فئة تكافؤ من متتابعات كوشي للأعداد النسبية ذات سلوك ذيل مُحدد - أي كل فئة من المتتابعات التي تتقارب بشكل عشوائي - عددًا حقيقيًا.

يُقدّم الفضاء المتري X مثالاً مختلفاً تماماً، حيث يمتلك هذا الفضاء مقياساً منفصلاً (حيث تكون أي نقطتين مختلفتين على بُعد 1 من بعضهما البعض). يجب أن تكون أي متتالية كوشي لعناصر X ثابتة بعد نقطة ثابتة، وتتقارب إلى الحد المتكرر في النهاية.

الأعداد النسبية${\displaystyle \mathbb {Q} }$ليست كاملة (للمسافة المعتادة): توجد متتابعات من الأعداد النسبية التي تتقارب (في${\displaystyle \mathbb {R} }$) إلى أعداد غير نسبية ؛ هذه متتابعات كوشي ليس لها نهاية في${\displaystyle \mathbb {Q} .}$في الواقع، إذا كان العدد الحقيقي x عددًا غير نسبي، فإن المتتالية ( xⁿ ₎ ، التي يكون حدها النوني هو تقريب العدد x إلى n منزلة عشرية ، تُعطي متتالية كوشي من الأعداد النسبية ذات نهاية غير نسبية x . الأعداد غير النسبية موجودة بالتأكيد في${\displaystyle \mathbb {R} ,}$على سبيل المثال:

• التسلسل المحدد بواسطة${\displaystyle x_{0}=1,x_{n+1}={\frac {x_{n}+2/x_{n}}{2}}}$يتكون من أعداد نسبية (1، 3/2، 17/12، ...)، وهو أمر واضح من التعريف؛ ومع ذلك فإنه يتقارب إلى الجذر التربيعي غير النسبي للعدد 2 ، انظر الطريقة البابلية لحساب الجذر التربيعي .
• التسلسل${\displaystyle x_{n}=F_{n}/F_{n-1}}$نسب أعداد فيبوناتشي المتتالية التي، إن تقاربت أصلاً، تتقارب إلى حد معين${\displaystyle \phi }$مُرضٍ${\displaystyle \phi ^{2}=\phi +1,}$ولا يوجد عدد نسبي يتمتع بهذه الخاصية. ولكن إذا اعتبرنا هذا كسلسلة من الأعداد الحقيقية، فإنه يتقارب إلى العدد الحقيقي${\displaystyle \varphi =(1+{\sqrt {5}})/2,}$النسبة الذهبية ، وهي نسبة غير منطقية.
• من المعروف أن قيم الدوال الأسية والجيبية وجيب التمام، exp( x ) و sin( x ) و cos( x )، غير نسبية لأي قيمة نسبية لـ${\displaystyle x\neq 0,}$لكن يمكن تعريف كل منها على أنها نهاية متتالية كوشي النسبية، باستخدام، على سبيل المثال، متسلسلة ماكلورين .

اكتمال المنعطفات${\displaystyle \mathbb {Q} }$داخل${\displaystyle \mathbb {R} .}$

الفاصل الزمني المفتوح${\displaystyle (0,2)}$في مجموعة الأعداد الحقيقية ذات المسافة العادية في${\displaystyle \mathbb {R} }$ليست مساحة كاملة: بل هناك تسلسل${\displaystyle x_{n}=1/n}$فيه، وهو كوشي (للحدود الصغيرة التعسفية للمسافة)${\displaystyle d>0}$جميع الشروط${\displaystyle x_{n}}$ل${\displaystyle n>1/d}$يناسب${\displaystyle (0,d)}$(الفترة)، لكنها لا تتقارب في${\displaystyle X}$—إن "حدها"، وهو الرقم 0، لا ينتمي إلى الفضاء${\displaystyle X.}$

يؤدي الإكمال إلى تحويل الفترة المفتوحة${\displaystyle (0,2)}$في الفترة المغلقة${\displaystyle [0,2].}$

• كل متتالية متقاربة (ذات نهاية s ، على سبيل المثال) هي متتالية كوشي، لأنه، لأي عدد حقيقي${\displaystyle \varepsilon >0,}$بعد نقطة ثابتة معينة، يكون كل حد من حدود المتتالية ضمن مسافة${\displaystyle \varepsilon /2}$من s ، لذا فإن أي حدين من المتتالية يقعان ضمن مسافة${\displaystyle \varepsilon }$عن بعضهم البعض.
• في أي فضاء متري، متتالية كوشي${\displaystyle x_{n}}$محدودة (لأنه بالنسبة لبعض N ، فإن جميع حدود المتتالية من الحد N فصاعدًا تقع ضمن مسافة 1 من بعضها البعض، وإذا كانت M هي أكبر مسافة بين${\displaystyle x_{N}}$وأي حدود حتى الحد رقم N ، فإن أي حد من المتتالية لا تكون له مسافة أكبر من${\displaystyle M+1}$من${\displaystyle x_{N}}$).
• في أي فضاء متري، فإن متتالية كوشي التي لها متتالية جزئية متقاربة ذات نهاية s تكون متقاربة في حد ذاتها (بنفس النهاية)، لأنه، بالنظر إلى أي عدد حقيقي r > 0، بعد نقطة ثابتة ما في المتتالية الأصلية، يكون كل حد من حدود المتتالية الجزئية ضمن مسافة r /2 من s ، وأي حدين من حدود المتتالية الأصلية يكونان ضمن مسافة r /2 من بعضهما البعض، لذلك يكون كل حد من حدود المتتالية الأصلية ضمن مسافة r من s .

تُقدّم هاتان الخاصيتان الأخيرتان، بالإضافة إلى نظرية بولزانو-فايرشتراس ، برهانًا قياسيًا على اكتمال الأعداد الحقيقية، وهو برهانٌ وثيق الصلة بكلٍّ من نظرية بولزانو-فايرشتراس ونظرية هاين-بوريل . كل متتالية كوشي من الأعداد الحقيقية محدودة، وبالتالي، وفقًا لنظرية بولزانو-فايرشتراس، لها متتالية جزئية متقاربة، ومن ثمّ فهي متقاربة. يستخدم هذا البرهان على اكتمال الأعداد الحقيقية ضمنيًا بديهية الحد الأعلى الأدنى . أما النهج البديل، المذكور أعلاه، والمتمثل في بناء الأعداد الحقيقية على أنها اكتمال الأعداد النسبية، فيجعل اكتمال الأعداد الحقيقية تحصيل حاصل.

من الأمثلة الشائعة على ميزة القدرة على العمل مع متتابعات كوشي والاستفادة من الاكتمال، النظر في مجموع سلسلة لانهائية من الأعداد الحقيقية (أو، بشكل أعم، عناصر أي فضاء خطي معياري كامل ، أو فضاء باناخ ). مثل هذه السلسلة ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }x_{n}}$تُعتبر المتتالية متقاربة إذا وفقط إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية${\displaystyle (s_{m})}$متقاربة، حيث ${\textstyle s_{m}=\sum _{n=1}^{m}x_{n}.}$من الأمور الروتينية تحديد ما إذا كانت متتالية المجاميع الجزئية متتالية كوشي أم لا، لأنه بالنسبة للأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle p>q,}$$${\displaystyle s_{p}-s_{q}=\sum _{n=q+1}^{p}x_{n}.}$$

لو${\displaystyle f:M\to N}$إذا كانت دالة متصلة بانتظام بين الفضاءين المتريين M و N ، وكانت ( x, _n ) متتالية كوشي في M ، فإن${\displaystyle (f(x_{n}))}$هي متتالية كوشي في N. إذا${\displaystyle (x_{n})}$و${\displaystyle (y_{n})}$إذا كان لدينا متتابعتان من نوع كوشي في الأعداد النسبية أو الحقيقية أو المركبة، فإن مجموعهما${\displaystyle (x_{n}+y_{n})}$والمنتج${\displaystyle (x_{n}y_{n})}$وهي أيضاً متواليات كوشي.

يوجد أيضًا مفهوم متتالية كوشي للفضاء المتجهي الطوبولوجي${\displaystyle X}$اختر قاعدة محلية${\displaystyle B}$ل${\displaystyle X}$حوالي صفر؛ ثم (${\displaystyle x_{k}}$تكون متتالية كوشي إذا كان لكل عنصر${\displaystyle V\in B,}$يوجد عدد ما${\displaystyle N}$بحيث كلما ${\displaystyle n,m>N,x_{n}-x_{m}}$هو عنصر من${\displaystyle V.}$إذا كانت طوبولوجيا${\displaystyle X}$متوافق مع مقياس ثابت تحت الإزاحة${\displaystyle d,}$يتفق التعريفان.

بما أن تعريف متتالية كوشي في فضاء المتجهات الطوبولوجي لا يتطلب سوى وجود عملية "طرح" مستمرة، فإنه يمكن صياغتها بنفس القدر في سياق مجموعة طوبولوجية : متتالية${\displaystyle (x_{k})}$في مجموعة طوبولوجية${\displaystyle G}$تكون متتالية كوشي إذا كان لكل جوار مفتوح${\displaystyle U}$من الهوية في${\displaystyle G}$يوجد عدد ما${\displaystyle N}$بحيث كلما${\displaystyle m,n>N}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle x_{n}x_{m}^{-1}\in U.}$كما ذكر أعلاه، يكفي التحقق من ذلك للأحياء في أي قاعدة بيانات محلية للهوية في${\displaystyle G.}$

كما هو الحال في بناء إكمال الفضاء المتري ، يمكن للمرء كذلك تعريف العلاقة الثنائية على متتاليات كوشي في${\displaystyle G}$الذي - التي${\displaystyle (x_{k})}$و${\displaystyle (y_{k})}$تكون متكافئة إذا كان لكل جوار مفتوح${\displaystyle U}$من الهوية في${\displaystyle G}$يوجد عدد ما${\displaystyle N}$بحيث كلما${\displaystyle m,n>N}$ويترتب على ذلك أن${\displaystyle x_{n}y_{m}^{-1}\in U.}$هذه العلاقة هي علاقة تكافؤ : فهي علاقة انعكاسية لأن المتتاليات هي متتاليات كوشي. وهي علاقة متناظرة لأن${\displaystyle y_{n}x_{m}^{-1}=(x_{m}y_{n}^{-1})^{-1}\in U^{-1}}$والتي، بحسب استمرارية المعكوس، تُشكّل جوارًا مفتوحًا آخر للدالة المحايدّة. وهي دالة متعدية لأن${\displaystyle x_{n}z_{l}^{-1}=x_{n}y_{m}^{-1}y_{m}z_{l}^{-1}\in U'U''}$أين${\displaystyle U'}$و${\displaystyle U''}$هي أحياء مفتوحة للهوية بحيث${\displaystyle U'U''\subseteq U}$توجد هذه الأزواج من خلال استمرارية عملية المجموعة.

يوجد أيضًا مفهوم متتابعة كوشي في مجموعة${\displaystyle G}$: يترك${\displaystyle H=(H_{r})}$أن تكون سلسلة متناقصة من المجموعات الفرعية الطبيعية لـ${\displaystyle G}$ذات دليل محدود . ثم متتالية${\displaystyle (x_{n})}$في${\displaystyle G}$يقال إنه كوشي (فيما يتعلق بـ${\displaystyle H}$) إذا وفقط إذا كان لأي${\displaystyle r}$هنالك${\displaystyle N}$بحيث يكون ذلك لجميع${\displaystyle m,n>N,x_{n}x_{m}^{-1}\in H_{r}.}$

من الناحية الفنية، هذا هو نفس الشيء بالنسبة لمجموعة طوبولوجية، متتالية كوشي لاختيار معين للطوبولوجيا على${\displaystyle G,}$أي ذلك الذي من أجله${\displaystyle H}$هي قاعدة محلية.

المجموعة${\displaystyle C}$تشكل هذه المتتاليات الكوشية مجموعة (بالنسبة للضرب المكوني)، والمجموعة${\displaystyle C_{0}}$من التسلسلات الفارغة (التسلسلات التي بحيث${\displaystyle \forall r,\exists N,\forall n>N,x_{n}\in H_{r}}$) هي مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle C.}$مجموعة العوامل${\displaystyle C/C_{0}}$يُطلق عليه اسم إتمام${\displaystyle G}$بالنسبة إلى${\displaystyle H.}$

يمكن للمرء بعد ذلك أن يثبت أن هذا الإكمال متماثل مع النهاية العكسية للمتتالية${\displaystyle (G/H_{r}).}$

ومن الأمثلة على هذا البناء، المألوف في نظرية الأعداد والهندسة الجبرية ، بناء${\displaystyle p}$الإكمال الأدي للأعداد الصحيحة بالنسبة لعدد أولي${\displaystyle p.}$في هذه الحالة،${\displaystyle G}$هي الأعداد الصحيحة تحت عملية الجمع، و${\displaystyle H_{r}}$ هي المجموعة الفرعية الجمعية التي تتكون من مضاعفات صحيحة لـ${\displaystyle p_{r}.}$

لو${\displaystyle H}$هي متتالية نهائية مشتركة (أي أن أي زمرة جزئية طبيعية ذات دليل منتهٍ تحتوي على بعض${\displaystyle H_{r}}$إذا كان )، فإن هذا الإكمال يكون قانونيًا بمعنى أنه متماثل مع النهاية العكسية لـ${\displaystyle (G/H)_{H},}$أين${\displaystyle H}$يختلف هذا على جميع المجموعات الفرعية الطبيعية ذات الدليل المحدود . لمزيد من التفاصيل، انظر الفصل الأول، القسم العاشر في كتاب "الجبر" للكاتب لانغ .

متتالية حقيقية${\displaystyle \langle u_{n}:n\in \mathbb {N} \rangle }$لها امتداد طبيعي فائق الواقعية ، مُعرَّف للقيم الفائقة الطبيعية H ذات الدليل n بالإضافة إلى n الطبيعي المعتاد . تكون المتتالية كوشي إذا وفقط إذا كانت القيم لكل H و K لانهائية${\displaystyle u_{H}}$و${\displaystyle u_{K}}$متقاربتان إلى ما لا نهاية، أو متساويتان ، أي

${\displaystyle \mathrm {st} (u_{H}-u_{K})=0}$

حيث "st" هي دالة الجزء القياسية .

قدّم كراوس (2020) مفهوم الإكمال الكوشي لفئة ما . تم تطبيقه على${\displaystyle \mathbb {Q} }$(الفئة التي تكون عناصرها أعدادًا نسبية، ويوجد تشاكل من x إلى y إذا وفقط إذا${\displaystyle x\leq y}$ينتج عن هذا الإكمال الكوشي${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{\infty \right\}}$(مرة أخرى، يتم تفسيرها على أنها فئة باستخدام ترتيبها الطبيعي).