مثلث متساوي الساقين

بالنسبة لأي مثلث متساوي الساقين، تتطابق القطع المستقيمة الست التالية :

• الارتفاع ، وهو قطعة مستقيمة من القمة عمودية على القاعدة، ^{[ 14 ]}
• منصف الزاوية من القمة إلى القاعدة، ^{[ 14 ]}
• الوسيط من القمة إلى منتصف القاعدة ^{، [ 14} ]
• المنصف العمودي للقاعدة داخل المثلث، ^{[ 14 ]}
• القطعة الموجودة داخل المثلث لمحور التناظر الفريد للمثلث، و ^{[ 14 ]}
• القطعة الموجودة داخل المثلث لخط أويلر للمثلث، باستثناء عندما يكون المثلث متساوي الأضلاع . ^{[ 15 ]}

طولهم المشترك هو الارتفاع${\displaystyle h}$من المثلث. إذا كان للمثلث أضلاع متساوية الطول${\displaystyle a}$وقاعدة الطول${\displaystyle b}$، جميع الصيغ العامة للمثلث لأطوال هذه القطع تتبسط إلى ^{[ 16 ]}

${\displaystyle h={\sqrt {a^{2}-{\frac {b^{2}}{4}}}}.}$

يمكن أيضاً اشتقاق هذه الصيغة من نظرية فيثاغورس باستخدام حقيقة أن الارتفاع ينصف القاعدة ويقسم المثلث متساوي الساقين إلى مثلثين قائمي الزاوية متطابقين. ^{[ 17 ]}

يمر خط أويلر لأي مثلث بمركز تعامده ( نقطة تقاطع ارتفاعاته الثلاثة)، ومركز ثقله (نقطة تقاطع متوسطاته الثلاثة)، ومركز دائرته المحيطة (نقطة تقاطع منصفات أضلاعه الثلاثة، وهي أيضًا مركز الدائرة المحيطة التي تمر برؤوسه الثلاثة). في المثلث متساوي الساقين، حيث يكون ضلعان متساويان تمامًا، تكون هذه النقاط الثلاث متميزة، وتقع جميعها (بحكم التناظر) على محور تناظر المثلث، ومن ثمّ يتطابق خط أويلر مع محور التناظر. كما يقع مركز الدائرة الداخلية للمثلث على خط أويلر، وهو ما لا ينطبق على المثلثات الأخرى. ^{[ 15 ]} إذا تطابق أي منصف زاوية أو متوسط ​​أو ارتفاع في مثلث معين، فإن هذا المثلث يكون متساوي الساقين. ^{[ 18 ]}

المنطقة${\displaystyle T}$يمكن اشتقاق مساحة المثلث متساوي الساقين من صيغة ارتفاعه، ومن الصيغة العامة لمساحة المثلث باعتبارها نصف حاصل ضرب القاعدة والارتفاع: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle T={\frac {b}{4}}{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}.}$

يمكن اشتقاق صيغة المساحة نفسها من صيغة هيرون لحساب مساحة المثلث من أضلاعه الثلاثة. مع ذلك، قد يكون تطبيق صيغة هيرون مباشرةً غير مستقر عدديًا للمثلثات متساوية الساقين ذات الزوايا الحادة جدًا، نظرًا لتقارب نصف المحيط وطول الضلع في هذه المثلثات. ^{[ 19 ]}

إذا كانت زاوية القمة${\displaystyle (\theta )}$وأطوال الأرجل${\displaystyle (a)}$إذا كانت أبعاد المثلث متساوي الساقين معروفة، فإن مساحة ذلك المثلث هي: ^{[ 20 ]}

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}a^{2}\sin \theta .}$

هذه حالة خاصة من الصيغة العامة لمساحة المثلث، وهي نصف حاصل ضرب ضلعين في جيب الزاوية المحصورة بينهما. ^{[ 21 ]}

المحيط${\displaystyle p}$مثلث متساوي الساقين ذو أضلاع متساوية${\displaystyle a}$والقاعدة${\displaystyle b}$هو فقط ^{[ 16 ]}

${\displaystyle p=2a+b.}$

كما هو الحال في أي مثلث، فإن المساحة${\displaystyle T}$والمحيط${\displaystyle p}$ترتبط هذه العناصر من خلال متباينة المحيط المتساوي ^{[ 22 ]}

${\displaystyle p^{2}>12{\sqrt {3}}T.}$

هذه متباينة صارمة للمثلثات متساوية الساقين التي لا تساوي أضلاعها القاعدة، وتصبح مساواة للمثلث متساوي الأضلاع. ويمكن ربط المساحة والمحيط والقاعدة ببعضها البعض من خلال المعادلة ^{[ 23 ].}

${\displaystyle 2pb^{3}-p^{2}b^{2}+16T^{2}=0.}$

إذا كانت القاعدة والمحيط ثابتين، فإن هذه الصيغة تحدد مساحة المثلث متساوي الساقين الناتج، وهي أكبر مساحة ممكنة بين جميع المثلثات التي لها نفس القاعدة والمحيط. ^{[ 24 ]} من ناحية أخرى، إذا كانت المساحة والمحيط ثابتين، يمكن استخدام هذه الصيغة لحساب طول القاعدة، ولكن ليس بشكل فريد: يوجد عمومًا مثلثان متساويا الساقين مختلفان لهما نفس المساحة.${\displaystyle T}$والمحيط${\displaystyle p}$عندما تتحول المتباينة المحيطية إلى مساواة، لا يوجد سوى مثلث واحد من هذا النوع، وهو مثلث متساوي الأضلاع. ^{[ 25 ]}

إذا كان طول الضلعين المتساويين${\displaystyle a}$والجانب الآخر له طول${\displaystyle b}$ثم منصف الزاوية الداخلية${\displaystyle t}$من أحد الرأسين المتساويين في الزاوية يحقق ^{[ 26 ]}

${\displaystyle {\frac {2ab}{a+b}}>t>{\frac {ab{\sqrt {2}}}{a+b}}}$

إلى جانب

${\displaystyle t<{\frac {4a}{3}};}$

وعلى العكس من ذلك، إذا تحقق الشرط الأخير، فإن المثلث متساوي الساقين يتم تمثيله بواسطة${\displaystyle a}$و${\displaystyle t}$موجود. ^{[ 27 ]}

تنص نظرية شتاينر -ليموس على أن كل مثلث له منصفان متساويان في الطول هو مثلث متساوي الساقين. وقد صاغها سي. إل. ليموس عام 1840. وكان ياكوب شتاينر ، الذي سُميت النظرية باسمه أيضًا، من أوائل من قدموا حلًا لها. ^{[ 28 ]} على الرغم من أنها صِيغت في الأصل فقط لمنصفات الزوايا الداخلية، إلا أنها تنطبق على العديد من الحالات (وليس جميعها) عندما يكون منصفا زاويتين خارجيتين متساويين. ويُعد المثلث متساوي الساقين 30-30-120 حالةً استثنائيةً لهذا التباين في النظرية، حيث يحتوي على أربعة منصفات زوايا متساوية (اثنان داخليان واثنان خارجيان). ^{[ 29 ]}

يمكن اشتقاق صيغ نصف قطر الدائرة الداخلية ونصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث متساوي الساقين من صيغها الخاصة بالمثلثات الأخرى. ^{[ 30 ]} نصف قطر الدائرة المحيطة بالمثلث متساوي الساقين الذي طول ضلعه${\displaystyle a}$، قاعدة${\displaystyle b}$والطول${\displaystyle h}$هو: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {2ab-b^{2}}{4h}}.}$

يقع مركز الدائرة على محور التناظر للمثلث، على هذه المسافة فوق القاعدة. يتميز المثلث متساوي الساقين بأكبر دائرة محيطة ممكنة بين المثلثات التي لها نفس القاعدة وزاوية الرأس، بالإضافة إلى امتلاكه أكبر مساحة ومحيط بين نفس فئة المثلثات. ^{[ 31 ]}

نصف قطر الدائرة المحيطة هو: ^{[ 16 ]}

${\displaystyle {\frac {a^{2}}{2h}}.}$

يقع مركز الدائرة على محور التناظر للمثلث، وهذه المسافة أسفل رأس المثلث.

لكل مثلث متساوي الساقين، يوجد مربع فريد يقع أحد أضلاعه على استقامة واحدة مع قاعدة المثلث، وتقع الزاويتان المقابلتان على ضلعيه. يُعد مثلث كالابي حالة خاصة من المثلثات متساوية الساقين، حيث أن المربعين الآخرين المحيطين به، واللذين تقع أضلاعهما على استقامة واحدة مع أضلاع المثلث، متساويان في الحجم مع مربع القاعدة. ^{[ 10 ]} وتنص نظرية أقدم بكثير، محفوظة في مؤلفات هيرو الإسكندري ، على أنه بالنسبة لمثلث متساوي الساقين قاعدته${\displaystyle b}$والارتفاع${\displaystyle h}$، طول ضلع المربع المرسوم على قاعدة المثلث هو ^{[ 32 ]}

${\displaystyle {\frac {bh}{b+h}}.}$

الجملون المتساوي الساقين ذو الزاوية المنفرجة لمعبد البانثيون، روما

الجملون متساوي الساقين الحاد فوق بوابة سانت إتيان، نوتردام دي باريس

تظهر المثلثات متساوية الساقين بشكل شائع في العمارة كأشكال للجملونات والواجهات . في العمارة اليونانية القديمة وما تلاها من تقليد، كان يُستخدم المثلث متساوي الساقين ذو الزاوية المنفرجة؛ وفي العمارة القوطية استُبدل هذا المثلث بالمثلث متساوي الساقين ذو الزاوية الحادة. ^{[ 8 ]}

في عمارة العصور الوسطى ، شاع شكل آخر للمثلث متساوي الساقين: المثلث المصري متساوي الساقين. وهو مثلث حاد الزوايا، لكن ليس بنفس حدة المثلث متساوي الأضلاع؛ إذ يتناسب ارتفاعه مع ٥/٨ من قاعدته. ^{[ ٣٨ ]} وقد أعاد المعماري الهولندي هندريك بيتروس بيرلاج استخدام المثلث المصري متساوي الساقين في العمارة الحديثة . ^{[ ٣٩ ]}

تُرتّب هياكل وارن الجمالونية ، كالجسر، عادةً على شكل مثلثات متساوية الساقين، مع إمكانية إضافة عوارض رأسية أحيانًا لزيادة المتانة. ^{[ 40 ]} يمكن استخدام الأسطح المُرصّعة بمثلثات متساوية الساقين منفرجة الزاوية لتشكيل هياكل قابلة للنشر ذات حالتين مستقرتين: حالة مفتوحة يتمدد فيها السطح ليُصبح عمودًا أسطوانيًا، وحالة مطوية يُطوى فيها ليُصبح شكلًا منشوريًا أكثر إحكامًا يُسهّل نقله. ^{[ 41 ]} يُشكّل نمط الترصيع نفسه أساس انبعاج يوشيمورا ، وهو نمط يتشكّل عند ضغط الأسطح الأسطوانية محوريًا، ^{[ 42 ]} وفانوس شوارتز ، وهو مثال يُستخدم في الرياضيات لتوضيح أن مساحة سطح أملس لا يُمكن دائمًا تقريبها بدقة باستخدام متعددات السطوح المتقاربة على السطح. ^{[ 43 ]}

علم غيانا

علم سانت لوسيا

في التصميم الجرافيكي والفنون الزخرفية ، تُعدّ المثلثات متساوية الساقين عنصرًا تصميميًا شائعًا في ثقافات العالم منذ العصر الحجري الحديث المبكر على الأقل ^{[ 44 ]} وحتى العصر الحديث. ^{[ 45 ]} وهي عنصر تصميمي شائع في الأعلام وشعارات النبالة ، حيث تظهر بشكل بارز بقاعدة عمودية، كما في علم غيانا ، أو بقاعدة أفقية في علم سانت لوسيا ، حيث تُشكّل صورة مُنمّقة لجزيرة جبلية. ^{[ 46 ]}

كما تم استخدامها في تصميمات ذات دلالة دينية أو صوفية، على سبيل المثال في سري يانترا الخاصة بممارسة التأمل الهندوسي . ^{[ 47 ]}

إذا كانت معادلة تكعيبية ذات معاملات حقيقية تحتوي على ثلاثة جذور ليست جميعها أعدادًا حقيقية ، فعند تمثيل هذه الجذور في المستوى المركب باستخدام مخطط أرغاند، فإنها تُشكّل رؤوس مثلث متساوي الساقين، يتطابق محور تناظره مع المحور الأفقي (الحقيقي). وذلك لأن الجذور المركبة هي مرافقات مركبة ، وبالتالي فهي متناظرة حول المحور الحقيقي. ^{[ 48 ]}

في علم الميكانيكا السماوية ، دُرست مسألة الأجسام الثلاثة في حالة خاصة، وهي عندما تُشكّل الأجسام الثلاثة مثلثًا متساوي الساقين، لأن افتراض ترتيب الأجسام بهذه الطريقة يُقلل من عدد درجات حرية النظام دون اختزاله إلى حالة نقطة لاغرانج المحلولة عندما تُشكّل الأجسام مثلثًا متساوي الأضلاع. وكانت أولى الحالات التي أظهرت تذبذبات غير محدودة لمسألة الأجسام الثلاثة هي مسألة الأجسام الثلاثة متساوية الساقين. ^{[ 49 ]}