وظيفة قابلة للتكامل بشكل كامل

في الرياضيات ، الدالة القابلة للتكامل المطلق هي دالة تكون قيمتها المطلقة قابلة للتكامل ، مما يعني أن تكامل القيمة المطلقة على المجال بأكمله محدود.

بالنسبة لدالة حقيقية ذات قيم، بما أن $${\displaystyle \int |f(x)|\,dx=\int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx}$$ أين $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(f(x),0),\ \ \ f^{-}(x)=\max(-f(x),0),}$$

كلاهما${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx}$و${\textstyle \int f^{-}(x)\,dx}$يجب أن تكون محدودة. في تكامل لوبيغ ، هذا هو الشرط الأساسي لاعتبار أي دالة قابلة للقياس f قابلة للتكامل، حيث يساوي التكامل حينها${\textstyle \int f^{+}(x)\,dx-\int f^{-}(x)\,dx}$، بحيث أن "قابل للتكامل المطلق" يعني في الواقع نفس الشيء مثل "قابل للتكامل وفقًا لـ Lebesgue" بالنسبة للدوال القابلة للقياس.

وينطبق الأمر نفسه على الدالة المركبة ذات القيم. لنُعرّف $${\displaystyle f^{+}(x)=\max(\Re f(x),0)}$$$${\displaystyle f^{-}(x)=\max(-\Re f(x),0)}$$$${\displaystyle f^{+i}(x)=\max(\Im f(x),0)}$$$${\displaystyle f^{-i}(x)=\max(-\Im f(x),0)}$$ أين${\displaystyle \Re f(x)}$و${\displaystyle \Im f(x)}$الأجزاء الحقيقية والخيالية من${\displaystyle f(x)}$. ثم $${\displaystyle |f(x)|\leq f^{+}(x)+f^{-}(x)+f^{+i}(x)+f^{-i}(x)\leq {\sqrt {2}}\,|f(x)|}$$ لذا $$\displaystyle \int |f(x)|\,dx\leq \int f^{+}(x)\,dx+\int f^{-}(x)\,dx+\int f^{+i}(x)\,dx+\int f^{-i}(x)\,dx\leq \sqrt {2}}\int |f(x)|\,dx}$$ يُبيّن هذا أن مجموع التكاملات الأربعة (في المنتصف) يكون محدودًا إذا وفقط إذا كان تكامل القيمة المطلقة محدودًا، وأن الدالة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ فقط إذا كانت جميع التكاملات الأربعة محدودة. لذا، فإن وجود تكامل محدود للقيمة المطلقة يُكافئ شروط كون الدالة قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ.

• "الدالة القابلة للتكامل المطلق - موسوعة الرياضيات" . تم الاطلاع عليه بتاريخ 9 أكتوبر 2015 .

• تاو، تيرينس ، التحليل 2 ، الطبعة الثالثة، نصوص وقراءات في الرياضيات، وكالة هندوستان للكتاب، نيودلهي.