نموذج الكفاف النشط

The internal energy of the snake is composed of the continuity of the contour ${\displaystyle E_{\text{cont}}}$ and the smoothness of the contour ${\displaystyle E_{\text{curv}}}$.

${\displaystyle E_{\text{internal}}=E_{\text{cont}}+E_{\text{curv}}}$^[3]

This can be expanded as

${\displaystyle E_{\text{internal}}={\frac {1}{2}}(\alpha \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{s}(s)\right\vert ^{2})+{\frac {1}{2}}(\beta \,\!(s)\left|\mathbf {v} _{ss}(s)\right\vert ^{2})={\frac {1}{2}}{\bigg (}\alpha \,\!(s)\left\|{\frac {d{\bar {v}}}{ds}}(s)\right\Vert ^{2}+\beta \,\!(s)\left\|{\frac {d^{2}{\bar {v}}}{ds^{2}}}(s)\right\Vert ^{2}{\bigg )}}$

where ${\displaystyle \alpha (s)}$ and ${\displaystyle \beta (s)}$ are user-defined weights; these control the internal energy function's sensitivity to the amount of stretch in the snake and the amount of curvature in the snake, respectively, and thereby control the number of constraints on the shape of the snake.

In practice, a large weight ${\displaystyle \alpha (s)}$ for the continuity term penalizes changes in distances between points in the contour. A large weight ${\displaystyle \beta (s)}$ for the smoothness term penalizes oscillations in the contour and will cause the contour to act as a thin plate.

Energy in the image is some function of the features of the image. This is one of the most common points of modification in derivative methods. Features in images and images themselves can be processed in many and various ways.

For an image ${\displaystyle I(x,y)}$, lines, edges, and terminations present in the image, the general formulation of energy due to the image is

${\displaystyle E_{\text{image}}=w_{\text{line}}E_{\text{line}}+w_{\text{edge}}E_{\text{edge}}+w_{\text{term}}E_{\text{term}},}$

where ${\displaystyle w_{\text{line}}}$, ${\displaystyle w_{\text{edge}}}$, ${\displaystyle w_{\text{term}}}$ are weights of these salient features. Higher weights indicate that the salient feature will have a larger contribution to the image force.

سمحت بعض الأنظمة، بما في ذلك تطبيق الثعابين الأصلي، بتفاعل المستخدم لتوجيه الثعابين، ليس فقط في وضعها الأولي ولكن أيضًا في مستويات طاقتها. هذا التقييد للطاقة${\displaystyle E_{con}}$ يمكن استخدامها لتوجيه الثعابين بشكل تفاعلي نحو أو بعيدًا عن معالم معينة.

إن إدخال الوقت المنفصل في الخوارزمية يمكن أن يؤدي إلى تحديثات يتم فيها تحريك الثعبان إلى ما بعد الحد الأدنى الذي ينجذب إليه؛ وهذا بدوره يمكن أن يتسبب في حدوث تذبذبات حول الحد الأدنى أو يؤدي إلى العثور على حد أدنى مختلف.

يمكن تجنب ذلك بضبط خطوة الزمن بحيث لا تتجاوز حجم الخطوة بكسلًا واحدًا بسبب قوى الصورة. مع ذلك، في المناطق ذات الطاقة المنخفضة، ستطغى الطاقات الداخلية على عملية التحديث.

بدلاً من ذلك، يمكن تطبيع قوى الصورة لكل خطوة بحيث تُحدِّث قوى الصورة شكل الثعبان بمقدار بكسل واحد فقط. ويمكن صياغة ذلك على النحو التالي:

${\displaystyle F_{\text{image}}=-k{\frac {\nabla E_{\text{image}}}{\|\nabla E_{\text{image}}\|}}}$

أين${\displaystyle \tau k}$يقترب من قيمة حجم البكسل. وهذا يتجنب مشكلة الطاقات الداخلية المهيمنة التي تنشأ عن ضبط الخطوة الزمنية. ^{[ 5 ]}

قد تحتوي الطاقات في الصورة المتصلة على نقاط عبور للصفر لا تُمثل بكسلًا في الصورة. في هذه الحالة، تتذبذب نقطة في منحنى الطاقة بين البكسلين المجاورين لنقطة عبور الصفر هذه. يمكن تجنب هذا التذبذب باستخدام الاستيفاء بين البكسلات بدلًا من أقرب جار. ^{[ 5 ]}

يتناول نموذج الثعبان لتدفق متجه التدرج (GVF) ^{[ 6 ]} مشكلتين تتعلقان بالثعابين:

• ضعف أداء التقارب للحدود المقعرة
• ضعف أداء التقارب عندما يتم تهيئة الثعبان بعيدًا عن الحد الأدنى

في بُعدين، حقل متجه GVF${\displaystyle F_{\text{GVF}}}$يقلل من دالة الطاقة

${\displaystyle E_{\text{GVF}}=\iint \mu (u_{x}^{2}+u_{y}^{2}+v_{x}^{2}+v_{y}^{2})+|\nabla f|^{2}|\mathbf {v} -\nabla f|^{2}\,dx\,dy}$

أين${\displaystyle \mu }$هو مصطلح تنعيم قابل للتحكم. ويمكن حل هذه المسألة عن طريق حل معادلات أويلر.

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}u-{\Bigg (}u-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

${\displaystyle \mu \,\nabla ^{2}v-{\Bigg (}v-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}=0}$

يمكن حل هذه المشكلة من خلال التكرار للوصول إلى قيمة ثابتة.

${\displaystyle u_{i+1}=u_{i}+\mu \,\nabla ^{2}u_{i}-{\Bigg (}u_{i}-{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

${\displaystyle v_{i+1}=v_{i}+\mu \,\nabla ^{2}v_{i}-{\Bigg (}v_{i}-{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}{\Bigg )}{\Bigg (}{\frac {\partial }{\partial x}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}+{\frac {\partial }{\partial y}}F_{\text{ext}}(x,y)^{2}{\Bigg )}}$

تحل هذه النتيجة محل القوة الخارجية الافتراضية.

${\displaystyle F_{\text{ext}}^{*}=F_{\text{GVF}}}$

تكمن المشكلة الرئيسية في استخدام GVF في مصطلح التنعيم.${\displaystyle \mu }$يؤدي ذلك إلى تقريب حواف المحيط. مما يقلل من قيمة${\displaystyle \mu }$يقلل من التقريب ولكنه يضعف مقدار التنعيم.

يعالج نموذج البالون ^{[ 5 ]} هذه المشاكل باستخدام نموذج الكفاف النشط الافتراضي:

• لا ينجذب الثعبان إلى الحواف البعيدة.
• سينكمش الثعبان إلى الداخل إذا لم تؤثر عليه قوى صورية كبيرة.
• الثعبان الأكبر من محيط الحد الأدنى سينكمش في النهاية داخله، لكن الثعبان الأصغر من محيط الحد الأدنى لن يجد الحد الأدنى وسيستمر في الانكماش بدلاً من ذلك.

يُدخل نموذج البالون حدًا للتضخم في القوى المؤثرة على الثعبان

${\displaystyle F_{\text{inflation}}=k_{1}{\vec {n}}(s)}$

أين${\displaystyle {\vec {n}}(s)}$هو متجه الوحدة العمودي للمنحنى عند${\displaystyle v(s)}$و${\displaystyle k_{1}}$هي مقدار القوة.${\displaystyle k_{1}}$ينبغي أن يكون له نفس مقدار عامل تطبيع الصورة${\displaystyle k}$وأن تكون قيمتها أقل من${\displaystyle k}$للسماح للقوى الموجودة على حواف الصورة بالتغلب على قوة التضخيم.

تنشأ ثلاث مشكلات من استخدام نموذج البالون:

• بدلاً من أن يتقلص الثعبان، فإنه يتمدد إلى الحد الأدنى ولن يجد خطوطًا دنيا أصغر منه.
• تتسبب القوة الخارجية في أن يكون المحيط أكبر قليلاً من الحد الأدنى الفعلي. ويمكن حل هذه المشكلة عن طريق تقليل قوة البالون بعد إيجاد حل مستقر.
• يمكن لقوة التضخم أن تتغلب على القوى الناتجة عن الحواف الضعيفة، مما يزيد من مشكلة تجاهل الثعابين للميزات الأضعف في الصورة.

يتناول نموذج ثعبان الانتشار ^{[ 7 ]} حساسية الثعابين للضوضاء والتشويش والحجب. وهو يُطبّق تعديلًا على دالة مامفورد-شاه وحدها الكرتوني، ويُدمج معرفة إحصائية بالشكل. دالة طاقة الصورة الافتراضية${\displaystyle E_{\text{image}}}$يتم استبدالها بـ

${\displaystyle E_{\text{image}}^{*}=E_{i}+\alpha E_{c}}$

أين${\displaystyle E_{i}}$يعتمد على دالة مومفورد-شاه المعدلة

${\displaystyle E[J,B]={\frac {1}{2}}\int _{D}(I({\vec {x}})-J({\vec {x}}))^{2}\,d{\vec {x}}+\lambda {\frac {1}{2}}\int _{D/B}{\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\cdot {\vec {\nabla }}J({\vec {x}})\,d{\vec {x}}+\nu \int _{0}^{1}{\Bigg (}{\frac {d}{ds}}B(s){\Bigg )}^{2}\,ds}$

أين${\displaystyle J({\vec {x}})}$هو نموذج سلس جزئيًا للصورة${\displaystyle I({\vec {x}})}$مجال${\displaystyle D}$. حدود${\displaystyle B(s)}$تُعرَّف بأنها

${\displaystyle B(s)=\sum _{n=1}^{N}{\vec {p}}_{n}B_{n}(s)}$

أين${\displaystyle B_{n}(s)}$هي دوال أساسية من نوع B-spline تربيعية و${\displaystyle {\vec {p}}_{n}}$تمثل هذه النقاط نقاط التحكم في المنحنيات. ويتم الحصول على حد الرسم الكرتوني المعدل على النحو التالي:${\displaystyle \lambda \to \infty }$وهو تكوين صالح لـ${\displaystyle E_{i}}$.

الوظيفة${\displaystyle E_{c}}$يعتمد على التدريب من صور ثنائية ذات أشكال مختلفة ويتم التحكم في قوته بواسطة المعامل${\displaystyle \alpha }$بالنسبة لتوزيع غاوسي لمتجهات نقاط التحكم${\displaystyle {\vec {z}}}$مع متجه نقطة التحكم المتوسطة${\displaystyle {\vec {z}}_{0}}$ومصفوفة التغاير${\displaystyle \Sigma }$الطاقة التربيعية التي تتوافق مع الاحتمالية الغاوسية هي

${\displaystyle E_{c}({\vec {z}})={\frac {1}{2}}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})^{t}\Sigma ^{*}({\vec {z}}-{\vec {z}}_{0})}$

تعتمد قوة هذه الطريقة على جودة بيانات التدريب، بالإضافة إلى ضبط دالة مامفورد-شاه المعدلة. تتطلب أنواع الثعابين المختلفة مجموعات بيانات تدريب وضبطًا مختلفين.

تستخدم تقنية الخطوط النشطة الهندسية، أو الخطوط النشطة الجيوديسية (GAC) ^{[ 8 ]} أو الخطوط النشطة المطابقة ^{[ 9 ]،} أفكارًا من تطور تقصير المنحنيات الإقليدية . تنقسم الخطوط وتندمج بناءً على اكتشاف الأجسام في الصورة. هذه النماذج مستوحاة إلى حد كبير من مجموعات المستويات ، وقد استُخدمت على نطاق واسع في الحوسبة الطبية للصور .

على سبيل المثال، معادلة تطور منحنى الانحدار التدريجي لـ GAC هي ^{[ 8 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=g(I)(c+\kappa ){\vec {N}}-\langle \,\nabla g,{\vec {N}}\rangle {\vec {N}}}$

أين${\displaystyle g(I)}$هي دالة توقف، و c هو مُضاعِف لاغرانج،${\displaystyle \kappa }$هو الانحناء، و${\displaystyle {\vec {N}}}$يمثل متجه الوحدة العمودي الداخلي. يعتمد هذا الشكل المحدد لمعادلة تطور المنحنى فقط على السرعة في الاتجاه العمودي. ولذلك، يمكن إعادة كتابته بشكل مكافئ في صيغة أويلرية بإدخال دالة مجموعة المستوى.${\displaystyle \Phi }$أدخلها على النحو التالي

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}=|\nabla \Phi |\operatorname {div} {\Bigg (}g(I){\frac {\nabla \Phi }{|\nabla \Phi |}}{\Bigg )}+cg(I)|\nabla \Phi |}$

تُمكّن هذه الصيغة البسيطة والفعّالة لإعادة صياغة مجموعة المستويات الخطوط النشطة من التعامل مع تغيرات الطوبولوجيا أثناء تطور منحنى التدرج الهبوطي. وقد ألهمت هذه الصيغة تقدماً هائلاً في المجالات ذات الصلة، وأصبح استخدام الطرق العددية لحل إعادة صياغة مجموعة المستويات يُعرف الآن باسم طريقة مجموعة المستويات . على الرغم من أن طريقة مجموعة المستويات أصبحت أداة شائعة لتطبيق الخطوط النشطة، إلا أن وانغ وتشان جادلا بأنه لا ينبغي حل جميع معادلات تطور المنحنى مباشرةً باستخدامها. ^{[ 10 ]}

تتناول التطورات الحديثة في الخطوط النشطة نمذجة الخصائص الإقليمية، ودمج المعلومات المسبقة المرنة للشكل، والتجزئة التلقائية بالكامل، وما إلى ذلك.

قام لانكتون وألين تانينباوم بصياغة نماذج إحصائية تجمع بين السمات المحلية والعالمية . ^{[ 11 ]}

• أمثلة عملية لأنواع مختلفة من الثعابين التي طورها شو وبرينس
• أداة أساسية للتعامل مع نماذج الثعابين (نماذج الخطوط النشطة) من تيم كوتس، جامعة مانشستر
• تطبيق برنامج Matlab لمحاكاة الثعبان ثنائي وثلاثي الأبعاد، بما في ذلك قوة GVF وقوة البالون.
• عرض توضيحي لبرنامج Matlab Snake من إعداد كريستوف بريجلر ومالكولم سلاني ، شركة Interval Research Corporation.
• عرض توضيحي باستخدام لغة جافا
• واجهة المستخدم الرسومية لمنصة اختبار وتنفيذ تقنية Active Contours من تصميم نيكولاي س. وأليكس بليخمان، والتي تنفذ تقنية "Active Contours بدون حواف".
• تجزئة الخطوط النشطة بواسطة شون لانكتون باستخدام "الخطوط النشطة بدون حواف"
• كود الخطوط الخارجية النشطة الهندسية، مؤرشف بتاريخ 17 فبراير 2019 في أرشيف الإنترنت (Wayback Machine) بواسطة جارنو رالي
• الثعابين المورفولوجية