دالة المسافة الموقعة

في الرياضيات وتطبيقاتها، تُعرف دالة المسافة الموقعة أو حقل المسافة الموقعة ( SDF ) بأنها المسافة العمودية بين نقطة معينة x وحدود مجموعة Ω في فضاء متري (مثل سطح شكل هندسي)، وتُحدد إشارتها بناءً على ما إذا كانت x داخل Ω أم لا . تأخذ الدالة قيمًا موجبة عند النقاط x داخل Ω، وتتناقص قيمتها كلما اقتربت x من حدود Ω حيث تكون دالة المسافة الموقعة صفرًا، وتأخذ قيمًا سالبة خارج Ω. ^{[ 1 ]} مع ذلك، يُستخدم أحيانًا اصطلاح بديل (أي سالبة داخل Ω وموجبة خارجها). ^{[ 2 ]} يُعرف هذا المفهوم أيضًا أحيانًا باسم دالة/حقل المسافة الموجهة .

ليكن Ω مجموعة جزئية من فضاء متري X ذي مقياس d ، و${\displaystyle \partial \Omega }$ليكن حدودها . المسافة بين نقطة x من X والمجموعة الجزئية${\displaystyle \partial \Omega }$يُعرَّف X كالمعتاد على النحو التالي :

$${\displaystyle d(x,\partial \Omega )=\inf _{y\in \partial \Omega }d(x,y),}$$

أين${\displaystyle \inf }$يشير إلى الحد الأدنى .

دالة المسافة الموقعة من نقطة x من X إلى$أوميغا$يتم تعريفها بواسطة

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}x\in \Omega \\-d(x,\partial \Omega )&{\text{if }}\,x\notin \Omega \\0&{\text{if }}\,x\in \partial \Omega .\end{cases}}}$$

إذا كانت Ω مجموعة جزئية من الفضاء الإقليدي Rⁿ ذات حدود ناعمة جزئيًا ^، فإن دالة المسافة الموقعة قابلة للتفاضل تقريبًا في كل مكان ، ويحقق تدرجها معادلة إيكونال.

$${\displaystyle |\nabla f|=1.}$$

إذا كانت حدود Ω من النوع C k لـ k ≥ 2 (انظر فئات التفاضل )، فإن d تكون من النوع C k على النقاط القريبة بما فيه الكفاية من حدود Ω. [ 3 ] على وجه الخصوص، على الحدود، تحقق f الشرط التالي:

$${\displaystyle \nabla f(x)=N(x),}$$

حيث N هو حقل المتجهات العمودي الداخلي . وبالتالي، فإن دالة المسافة الموقعة هي امتداد قابل للتفاضل لحقل المتجهات العمودي. وعلى وجه الخصوص، فإن مصفوفة هيس لدالة المسافة الموقعة على حدود Ω تعطي خريطة واينغارتن .

إذا كانت Γ منطقة قريبة بما يكفي من حدود Ω بحيث تكون الدالة f قابلة للتفاضل مرتين بشكل مستمر عليها، فإنه توجد صيغة صريحة تتضمن خريطة واينغارتن W _x لمصفوفة جاكوبي للمتغيرات المتغيرة بدلالة دالة المسافة الموقعة وأقرب نقطة حدودية. تحديدًا، إذا كانت T ( ∂ Ω, μ ) هي مجموعة النقاط الواقعة ضمن مسافة μ من حدود Ω (أي الجوار الأنبوبي بنصف قطر μ )، وكانت g دالة قابلة للتكامل المطلق على Γ، فإن

$${\displaystyle \int _{T(\partial \Omega ,\mu )}g(x)\,dx=\int _{\partial \Omega }\int _{-\mu }^{\mu }g(u+\lambda N(u))\,\det(I-\lambda W_{u})\,d\lambda \,dS_{u},}$$

حيث يشير det إلى المحدد و dS _u يشير إلى أننا نأخذ التكامل السطحي . ^{[ 4 ]}

تتضمن الخوارزميات لحساب دالة المسافة الموقعة طريقة المسيرة السريعة الفعالة ، وطريقة المسح السريع ^{[ 5 ]} وطريقة مجموعة المستوى الأكثر عمومية .

بالنسبة لعرض الفوكسل ، تستخدم خوارزمية سريعة لحساب SDF في هندسة سيارات الأجرة جداول المساحة المجمعة . ^{[ 6 ]}

تُستخدم دوال المسافة الموقعة، على سبيل المثال، في العرض في الوقت الحقيقي ، ^{[ 7 ]} على سبيل المثال طريقة تتبع الأشعة SDF ، وفي رؤية الحاسوب . ^{[ 8 ] [ 9 ]}

استُخدمت تقنية SDF لوصف هندسة الكائنات في العرض الفوري ، عادةً في سياق تتبع الأشعة، بدءًا من منتصف العقد الأول من الألفية الثانية. وبحلول عام 2007، كانت شركة Valve تستخدم SDF لعرض خطوط سلسة ذات حجم بكسل كبير (أو كثافة بكسل عالية ) مع تسريع وحدة معالجة الرسومات في ألعابها. ^{[ 10 ]} لا تُعدّ طريقة Valve مثالية، إذ تعمل في فضاء نقطي لتجنب التعقيد الحسابي لحل المشكلة في فضاء متجهي (متصل). غالبًا ما يفقد النص المعروض زواياه الحادة. في عام 2014، قدّم بهداد إصفهبود طريقة محسّنة. يقوم برنامج GLyphy الخاص بهداد بتقريب منحنيات بيزير للخط باستخدام منحنيات قوسية، مُسرّعة بتقنيات تجزئة قائمة على الشبكة (والتي تستبعد النقاط البعيدة جدًا) للعمل في الوقت الفعلي. ^{[ 11 ]}

تم تقديم نسخة معدلة من دالة SDF كدالة خسارة لتقليل الخطأ في تداخل البكسلات أثناء عرض عدة كائنات. ^{[ 12 ]} على وجه الخصوص، بالنسبة لأي بكسل لا ينتمي إلى كائن، إذا كان يقع خارج الكائن أثناء العرض، فلا يتم فرض أي عقوبة؛ أما إذا كان يقع خارجه، فيتم فرض قيمة موجبة تتناسب مع بُعده داخل الكائن.

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&{\text{إذا كان }}\,x\in \Omega ^{c}\\d(x,\partial \Omega )&{\text{إذا كان }}\,x\in \Omega \end{cases}}}$$

في عام 2020، حصل محرك الألعاب مفتوح المصدر Godot 4.0 على تقنية الإضاءة العالمية في الوقت الحقيقي القائمة على SDF (SDFGI)، والتي مثّلت حلاً وسطاً بين تقنية الإضاءة العالمية القائمة على الفوكسل الأكثر واقعية وتقنية الإضاءة العالمية المخبوزة. وتكمن ميزتها الأساسية في إمكانية تطبيقها على مساحات غير محدودة، مما يسمح للمطورين باستخدامها في ألعاب العالم المفتوح. ^{[ 13 ]}

في عام 2023، أعلن مطورو محرر النصوص Zed عن إطار عمل GPUUI يرسم جميع عناصر واجهة المستخدم باستخدام وحدة معالجة الرسومات (GPU) بمعدل 120 إطارًا في الثانية. يعتمد هذا العمل على قائمة الأشكال الهندسية الأولية لإينيغو كويلز في SDF، وتأثير التمويه الغاوسي لإيفان والاس، المؤسس المشارك لـ Figma ، في SDF، بالإضافة إلى شكل مستطيل دائري جديد في SDF. ^{[ 14 ]}

• دالة المسافة
• طريقة تحديد المستوى
• معادلة إيكونال
• المنحنى المتوازي (المعروف أيضًا باسم المنحنى المنزاح)
• طول القوس الموقّع
• المنطقة المحددة
• إجراء موقع
• مجلد موقع

• ستانلي ج. أوشر ورونالد ب. فيدكيو (2003). طرق مجموعة المستوى والأسطح الضمنية الديناميكية . سبرينغر. doi : 10.1007/b98879 . ISBN 9780387227467.
• جيلبارج، د.؛ ترودنجر، إن إس (1983). المعادلات التفاضلية الجزئية الاهليلجية من الدرجة الثانية . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. المجلد.  224 (  الطبعة الثانية). سبرينغر-فيرلاغ. دوى : 10.1007/978-3-642-61798-0 .(أو ملحق الطبعة الأولى لعام 1977).