التوافقية الجمعية

لنفترض أن A و B مجموعتان جزئيتان منتهيتان من المجموعة الدورية ℤ / p ℤ لعدد أولي p ، فإن المتباينة التالية صحيحة.

${\displaystyle |A+B|\geq \min(|A|+|B|-1,p)}$

الآن وقد أصبح لدينا متباينة عدد عناصر مجموعة المجموع A + B ، فمن الطبيعي أن نطرح المسألة العكسية، أي ما هي الشروط التي تجعل المساواة صحيحة على A و B ؟ تجيب نظرية فوسبر على هذا السؤال. لنفترض أن | A | ، | B | ≥ 2 (أي باستثناء الحالات الشاذة) و

${\displaystyle |A+B|\leq |A|+|B|-1\leq p-2,}$

إذن ، A و B متتابعتان حسابيتان لهما نفس الفرق. يوضح هذا البنى التي تُدرس عادةً في التوافقية الجمعية: البنية التوافقية لـ A + B مقارنةً بالبنية الجبرية للمتتابعات الحسابية.

تُعدّ متباينة بلونيك-روزا نظريةً مفيدةً في التوافقية الجمعية . تُعطي هذه النظرية حدًا أعلى لعدد عناصر المصفوفة | nA − mA | بدلالة ثابت مضاعفة المصفوفة A. على سبيل المثال، باستخدام متباينة بلونيك-روزا، يُمكننا إثبات صيغةٍ من نظرية فريمان في الحقول المنتهية.

لتكن A و B مجموعتين جزئيتين منتهيتين من زمرة أبيلية ؛ عندئذٍ تُعرَّف مجموعة المجموع على النحو التالي:

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}.}$

على سبيل المثال، يمكننا كتابة {1,2,3,4} + {1,2,3} = {2,3,4,5,6,7} . وبالمثل، يمكننا تعريف مجموعة الفرق بين A و B على النحو التالي:

${\displaystyle AB=\{ab:a\in A,b\in B\}.}$

يُرمز إلى المجموعة الكلية من الرتبة k للمجموعة A مع نفسها بالرمز التالي :

${\displaystyle kA=\underbrace {A+A+\cdots +A} _{k{\text{ terms }}}=\{a_{1}+\cdots +a_{k}:a_{1}\in A,\dots ,a_{k}\in A\},}$

والتي يجب عدم الخلط بينها وبين

${\displaystyle k\cdot A=\{ka:a\in A\}.}$

ليكن A مجموعة جزئية من زمرة أبيلية. يقيس ثابت المضاعفة حجم مجموعة المجموع${\displaystyle |A+A|}$تتم مقارنتها بحجمها الأصلي | A | . نُعرّف ثابت مضاعفة A بأنه

${\displaystyle K={\dfrac {|A+A|}{|A|}}.}$

• تاو، ت.، وفو، ف. (2006). التوافقية الجمعية . كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج.
• غرين، ب. (15 يناير 2009). مراجعة كتاب التوافقية الجمعية. تم الاسترجاع من https://www.ams.org/journals/bull/2009-46-03/S0273-0979-09-01231-2/S0273-0979-09-01231-2.pdf