المجموعة الدورية

البنية الجبرية → نظرية المجموعة نظرية المجموعة
المفاهيم الأساسية المجموعة الفرعية المجموعة الفرعية الطبيعية العمل الجماعي مجموعة الحاصل منتج (شبه) مباشر المجموع المباشر منتج مجاني منتج إكليل الزهور تشابهات المجموعات نواة صورة بسيط محدود لانهائي مستمر مضاعف مادة مضافة دوري أبيليان ثنائي السطوح عديم القدرة قابلة للحل مسرد نظرية المجموعة قائمة مواضيع نظرية المجموعة
المجموعات المحدودة المجموعة الدورية Z n المجموعة المتماثلة S n المجموعة المتناوبة أ ن المجموعة ثنائية السطوح D n المجموعة الرباعية Q نظرية كوشي نظرية لاجرانج نظريات سيلاو نظرية هول مجموعة ب المجموعة الإبيلية الابتدائية مجموعة فروبينيوس مضاعف شور تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة دوري متناوب نوع الكذب متقطع
المجموعات المنفصلة شبكات الأعداد الصحيحة (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة مجانية المجموعات المعيارية بي اس ال(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) س ل(2،${\displaystyle \mathbb {Z} }$) مجموعة حسابية شعرية المجموعة الزائدية
المجموعات الطوبولوجية والمجموعات الكاذبة الملف اللولبي دائرة الخطية العامة GL( n ) خطية خاصة SL( n ) متعامد O( n ) إقليدية E( n ) متعامد خاص SO( n ) وحدة U( n ) وحدة خاصة SU( n ) سمبلكتيك سب( ن ) ج 2 ف 4 هـ 6 هـ 7 هـ 8 لورنتز بوانكاريه مطابق التماثل التفاضلي حلقة مجموعة لاي ذات أبعاد لا نهائية أو(∞) سو(∞) س(∞)
المجموعات الجبرية المجموعة الجبرية الخطية المجموعة الاختزالية صنف أبيليان المنحنى الإهليلجي
ف ت هـ

في الجبر المجرد ، المجموعة الدورية أو المجموعة أحادية الجنس هي مجموعة ، يُشار إليها بـ C _n (وكثيرًا ما تكون _n أو Z _n ، ولا ينبغي الخلط بينها وبين الحلقة التبادلية للأرقام p -adic )، والتي يتم إنشاؤها بواسطة عنصر واحد. ^[1] أي أنها مجموعة من العناصر القابلة للعكس بعملية ثنائية ارتباطية واحدة ، وتحتوي على عنصر  g بحيث يمكن الحصول على كل عنصر آخر من المجموعة عن طريق تطبيق عملية المجموعة بشكل متكرر على  g أو معكوسها. يمكن كتابة كل عنصر كقوة صحيحة لـ  g في التدوين المضاعف، أو كمضاعف صحيح لـ g في التدوين الجمعي.  يُطلق على هذا العنصر g مولد المجموعة. ^[1]${\displaystyle \mathbb {Z} }$

كل مجموعة دورية لا نهائية متماثلة مع المجموعة المضافة لـ  Z ، الأعداد الصحيحة . كل مجموعة دورية منتهية من الرتبة  n متماثلة مع المجموعة المضافة لـ Z / n Z ، الأعداد الصحيحة modulo  n . كل مجموعة دورية هي مجموعة أبيلية (بمعنى أن عملية مجموعتها تبديلية )، وكل مجموعة أبيلية متولدة بشكل محدود هي حاصل ضرب مباشر للمجموعات الدورية.

كل مجموعة دورية من الدرجة الأولية هي مجموعة بسيطة ، لا يمكن تقسيمها إلى مجموعات أصغر. في تصنيف المجموعات البسيطة المحدودة ، تتكون إحدى الفئات الثلاث اللانهائية من المجموعات الدورية من الدرجة الأولية. وبالتالي فإن المجموعات الدورية من الدرجة الأولية هي من بين اللبنات الأساسية التي يمكن بناء جميع المجموعات منها.

بالنسبة لأي عنصر  g في أي مجموعة  G ، يمكن للمرء تكوين المجموعة الفرعية التي تتكون من جميع قوى الأعداد الصحيحة الخاصة به: ⟨ g ⟩ = { g k | k ∈ Z }، والتي تسمى المجموعة الفرعية الدورية التي تولدها g. رتبة g هي | ⟨ g ^⟩ | ، وهو عدد العناصر في ⟨ g  ⟩ ، والمختصرة تقليديًا  بـ | g | ، أو ord( g )، أو o( g ). وهذا يعني أن رتبة العنصر تساوي رتبة المجموعة الفرعية الدورية التي يولدها.

المجموعة الدورية هي مجموعة تساوي إحدى مجموعاتها الفرعية الدورية: G = ⟨ g ⟩ لبعض العناصر  g ، وتسمى مولد G.

بالنسبة لمجموعة دورية محدودة  G من الرتبة  n لدينا G = { e , g , g ² , ... , g ^{n −1} } ، حيث e هو عنصر الهوية و g ⁱ = g ^j كلما i ≡ j ( mod  n )؛ وخاصة g ⁿ = g ⁰ = e و g ⁻¹ = g ^{n −1} . غالبًا ما يشار إلى المجموعة المجردة المحددة بواسطة هذا الضرب بـ C _n ، ونقول إن G متماثلة مع المجموعة الدورية القياسية C _n . تكون هذه المجموعة متماثلة أيضًا مع Z / n Z ، مجموعة الأعداد الصحيحة modulo n مع عملية الجمع، وهي المجموعة الدورية القياسية في التدوين الجمعي. بموجب التماثل χ المحدد بواسطة χ ( g ⁱ ) = i فإن عنصر الهوية  e يتوافق مع 0، والحواصل تتوافق مع المجاميع، والقوى تتوافق مع المضاعفات.

على سبيل المثال، مجموعة الجذور السادسة المركبة للواحد: تشكل مجموعة تحت الضرب. وهي دورية، لأنها تتولد من الجذر البدائي أي، G = ⟨ z ⟩ = { 1, z , z ² , z ³ , z ⁴ , z ⁵ } مع z ⁶ = 1. تحت تغيير الحروف، تكون متماثلة (بنيويًا مثل) للمجموعة الدورية القياسية من الدرجة 6، والتي تُعرف على أنها C ₆ = ⟨ g ⟩ = { e , g , g ² , g ³ , g ⁴ , g ⁵ } مع الضرب g ^j · g ^k = g ^{j + k (mod 6)} ، بحيث g ⁶ = g ⁰ = e . هذه المجموعات متماثلة أيضًا مع Z / 6 Z = {0, 1, 2, 3, 4, 5} مع عملية الجمع modulo 6، حيث يتوافق z ^k و g ^k مع  k . على سبيل المثال، يتوافق 1 + 2 ≡ 3 (mod 6) مع z ¹ · z ² = z ³ ، و 2 + 5 ≡ 1 (mod 6) يتوافق مع z ² · z ⁵ = z ⁷ = z ¹ ، وهكذا. يولد أي عنصر مجموعته الفرعية الدورية الخاصة به، مثل ⟨ z ² ⟩ = { e , z ² , z ⁴ } من الدرجة 3، متماثل مع C ₃ و Z / 3 Z ؛ و⟨ z ⁵ ⟩ = { e , z ⁵ , z ¹⁰ = z ⁴ , z ¹⁵ = z ³ , z ²⁰ = z ² , z ²⁵ = z } = G ، بحيث يكون z ⁵ له الترتيب 6 وهو مولد بديل لـ  G$${\displaystyle G=\left\{\pm 1,\pm {\left({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)},\pm {\left({\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i\right)}\right\}}$$ ${\displaystyle z={\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i=e^{2\pi i/6}:}$ .

بدلاً من تدوين الحاصل Z / n Z أو Z /( n ) أو Z / n ، يشير بعض المؤلفين إلى المجموعة الدورية المحدودة على أنها Z _n ، لكن هذا يتعارض مع تدوين نظرية الأعداد ، حيث يشير Z _p إلى حلقة عدد p -adic أو تحديد موضع عند مثالي أولي .

مجموعات دورية لا نهائية

ص1، ( *∞∞ )	ص11ج، (22∞)
مجموعتان إفريز متماثلتان مع  Z. باستخدام مولد واحد، تحتوي p1 على ترجمات وتحتوي p11g على انعكاسات انزلاقية.

من ناحية أخرى، في مجموعة دورية لا نهائية G = ⟨ g ⟩ ، تعطي القوى g ^k عناصر مميزة لجميع الأعداد الصحيحة k ، بحيث G = { ... , g ⁻² , g ⁻¹ , e , g , g ² , ... }، وتكون G متماثلة مع المجموعة القياسية C = C _∞ ومع Z ، المجموعة المضافة للأعداد الصحيحة. ومن الأمثلة على ذلك مجموعة الإفريز الأولى . هنا لا توجد دورات منتهية، وقد يكون اسم "دوري" مضللاً. ^[2]

لتجنب هذا الارتباك، قدم بورباكي مصطلح المجموعة الأحادية الجنس للمجموعة ذات المولد الوحيد و"المجموعة الدورية" المقيدة لتعني مجموعة أحادية الجنس محدودة، متجنبًا مصطلح "المجموعة الدورية اللانهائية". ^{[ملاحظة 1]}

أمثلة على المجموعات الدورية في التناظر الدوراني

ج 1	ج 2	ج 3
ج 4	ج 5	سي6

تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة  Z ، بعملية الجمع، مجموعة. ^[1] وهي مجموعة دورية لا نهائية ، وذلك لأنه يمكن كتابة جميع الأعداد الصحيحة عن طريق إضافة أو طرح الرقم الفردي 1 بشكل متكرر. في هذه المجموعة، 1 و-1 هما المولدان الوحيدان. كل مجموعة دورية لا نهائية متماثلة مع  Z.

لكل عدد صحيح موجب  n ، تشكل مجموعة الأعداد الصحيحة modulo  n ، مرة أخرى بعملية الجمع، مجموعة دورية منتهية، يُشار إليها بـ Z / n Z. [ ^1] يكون العدد الصحيح المعياري  i مولدًا لهذه المجموعة إذا كان i أوليًا نسبيًا بالنسبة إلى  n ، لأن هذه العناصر يمكنها توليد جميع العناصر الأخرى للمجموعة من خلال جمع الأعداد الصحيحة. (عدد هذه المولدات هو φ ( n )، حيث φ هي دالة أويلر الكلية .) كل مجموعة دورية منتهية G متماثلة مع Z / n Z ، حيث n = | G | هو رتبة المجموعة.

عمليات الجمع على الأعداد الصحيحة والأعداد الصحيحة المعيارية، المستخدمة لتحديد المجموعات الدورية، هي عمليات جمع الحلقات التبادلية ، والتي يشار إليها أيضًا بـ Z و Z / n Z أو Z /( n ). إذا كان p عددًا أوليًا ، فإن Z / p Z هو مجال منتهٍ ، وعادةً ما يُشار إليه بـ F _p أو GF( p ) لحقل جالوا.

لكل عدد صحيح موجب  n ، تُكتب مجموعة الأعداد الصحيحة modulo  n التي تكون أولية نسبيًا إلى  n على النحو التالي ( Z / n Z ) ^× ؛ وهي تشكل مجموعة تحت عملية الضرب. هذه المجموعة ليست دورية دائمًا، ولكنها تكون كذلك كلما كان n يساوي 1، 2، 4، أو قوة عدد أولي فردي ، أو ضعف قوة عدد أولي فردي (التسلسل A033948 في OEIS ). ^{[4] [5]} هذه هي المجموعة الضربية لوحدات الحلقة Z / n Z ؛ يوجد φ ( n ) منها، حيث φ مرة أخرى هي دالة أويلر الكلية . على سبيل المثال، ( Z /6 Z ) ^× = {1، 5}، وبما أن 6 ضعف عدد أولي فردي، فهذه مجموعة دورية. على النقيض من ذلك، ( Z /8 Z ) ^× = {1، 3، 5، 7} هي مجموعة كلاين رباعية وليست دورية. عندما يكون ( Z / n Z ) ^× دوريًا، تسمى مولداته جذورًا بدائية modulo n .

بالنسبة لعدد أولي  p ، تكون المجموعة ( Z / p Z ) ^× دائمًا دورية، وتتكون من العناصر غير الصفرية للحقل المحدود من الدرجة  p . وبشكل عام، تكون كل مجموعة فرعية محدودة من المجموعة الضربية لأي حقل دورية. ^[6]

تشكل مجموعة التناظرات الدورانية لمضلع مجموعة دورية منتهية. ^[7] إذا كان هناك n طريقة مختلفة لتحريك المضلع إلى نفسه عن طريق الدوران (بما في ذلك الدوران الصفري) فإن مجموعة التناظر هذه تكون متماثلة مع Z / n Z. في ثلاثة أبعاد أو أعلى توجد مجموعات تناظر منتهية أخرى تكون دورية ، ولكنها ليست كلها دورانات حول محور، بل هي بدلاً من ذلك انعكاسات دورانية .

مجموعة جميع دورات الدائرة ( مجموعة الدائرة ، والتي يشار إليها أيضًا بـ S ¹ ) ليست دورية، لأنه لا يوجد دوران واحد تولد قوى عددية صحيحة منه جميع الدورات. في الواقع، المجموعة الدورية اللانهائية C _∞ قابلة للعد ، بينما S ¹ ليست كذلك. مجموعة الدورات بزوايا نسبية قابلة للعد، لكنها لا تزال غير دورية.

الجذر النوني للواحد هو عدد مركب قوته النونية تساوي 1، وهو جذر كثير الحدود x ⁿ − 1. وتشكل مجموعة كل الجذور النون للواحد مجموعة دورية من الرتبة n تحت الضرب. ^[1] ومولدات هذه المجموعة الدورية هي الجذور البدائية النونية للواحد ؛ وهي جذور كثير الحدود الدائرية النون . على سبيل المثال، عوامل كثير الحدود z ³ − 1 هي ( z − 1)( z − ω )( z − ω ² ) ، حيث ω = e ^{2 πi /3} ؛ وتشكل المجموعة {1, ω , ω ² } = { ω ⁰ , ω ¹ , ω ² } مجموعة دورية تحت الضرب. تشكل مجموعة جالوا لتمديد المجال للأعداد النسبية الناتجة عن الجذور n للوحدة مجموعة مختلفة، متماثلة مع المجموعة الضربية ( Z/ n Z ) ^× من رتبة φ ( n ) ، وهي دورية لبعض  n ولكن ليس كلها (انظر أعلاه).

يُطلق على امتداد المجال امتدادًا دوريًا إذا كانت مجموعة جالوا الخاصة به دورية. بالنسبة للحقول ذات السمة الصفرية ، فإن مثل هذه الامتدادات هي موضوع نظرية كومر ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بالحل بواسطة الجذور . بالنسبة لامتداد الحقول المحدودة ذات السمة  p ، فإن مجموعة جالوا الخاصة بها تكون دائمًا محدودة ودورية، ويتم إنشاؤها بواسطة قوة من رسم فروبينيوس . ^[8] وعلى العكس من ذلك، نظرًا للحقل المحدود  F ومجموعة دورية محدودة  G ، يوجد امتداد مجال محدود لـ  F تكون مجموعة جالوا الخاصة به هي  G. [ ^9]

جميع المجموعات الفرعية ومجموعات حاصل القسمة للمجموعات الدورية هي مجموعات دورية. على وجه التحديد، جميع المجموعات الفرعية لـ Z هي من الشكل ⟨ m ⟩ = m Z ، حيث m عدد صحيح موجب. كل هذه المجموعات الفرعية مميزة عن بعضها البعض، وبصرف النظر عن المجموعة التافهة {0} = 0 Z ، فهي كلها متماثلة مع  Z. شبكة المجموعات الفرعية لـ Z متماثلة مع ثنائي شبكة الأعداد الطبيعية المرتبة حسب قابلية القسمة . ^[10] وبالتالي، بما أن العدد الأولي  p ليس له قواسم غير تافهة، فإن p Z هي مجموعة فرعية خاصة قصوى، ومجموعة حاصل القسمة Z / p Z بسيطة ؛ في الواقع، تكون المجموعة الدورية بسيطة إذا وفقط إذا كان ترتيبها أوليًا. ^[11]

جميع مجموعات القسمة Z / n Z منتهية، باستثناء Z / 0 Z = Z / {0}. لكل قاسم موجب  d لـ  n ، تحتوي مجموعة القسمة Z / n Z على مجموعة فرعية واحدة على وجه التحديد من الرتبة  d ، يتم إنشاؤها بواسطة فئة البقايا لـ  n / d . لا توجد مجموعات فرعية أخرى.

كل مجموعة دورية هي أبيلية . ^[1] وهذا يعني أن عملية مجموعتها تبادلية : gh = hg (لكل g و h في G ). وهذا واضح لمجموعات الجمع الصحيح والنمطي لأن r + s ≡ s + r (mod n ) ، ويتبع ذلك لجميع المجموعات الدورية لأنها كلها متماثلة لهذه المجموعات القياسية. بالنسبة لمجموعة دورية محدودة من الرتبة n ، فإن g ⁿ هو عنصر الهوية لأي عنصر  g . ويتبع ذلك مرة أخرى باستخدام التماثل في الجمع النمطي، لأن kn ≡ 0 (mod n ) لكل عدد صحيح  k . (هذا صحيح أيضًا لمجموعة عامة من الرتبة n ، بسبب نظرية لاغرانج .)

بالنسبة للقوة الأولية ، تسمى المجموعة مجموعة دورية أولية . تنص النظرية الأساسية للمجموعات الإبيلية على أن كل مجموعة إبيلية متولدة بشكل محدود هي حاصل ضرب مباشر محدود للمجموعات الدورية الأولية والمجموعات الدورية اللانهائية. ${\displaystyle p^{k}}$${\displaystyle Z/p^{k}Z}$

نظرًا لأن المجموعة الدورية هي مجموعة أبيلية، فإن كل فئة من فئات اقترانها تتكون من عنصر واحد. وبالتالي فإن المجموعة الدورية من الرتبة  n لها n فئة اقتران.

إذا كان d مقسومًا على  n ، فإن عدد العناصر في Z / n Z التي لها رتبة d هو φ ( d )، وعدد العناصر التي رتبتها تقسم d هو d بالضبط  . إذا كانت G مجموعة منتهية حيث تحتوي G، لكل n > 0 ، على n عنصرًا على الأكثر من رتبة تقسم n ، فيجب أن تكون G دورية. ^{[ملاحظة 2]} رتبة العنصر m في Z / n Z هي n / gcd ( n ، m ).

إذا كان n و m عددين أوليين مشتركين ، فإن حاصل الضرب المباشر لمجموعتين دوريتين Z / n Z و Z / m Z يكون متماثلًا مع المجموعة الدورية Z / nm Z ، والعكس صحيح أيضًا: هذا أحد أشكال نظرية الباقي الصينية . على سبيل المثال، Z / 12 Z متماثل مع حاصل الضرب المباشر Z / 3 Z × Z / 4 Z تحت التماثل ( k mod 12) → ( k mod 3، k mod 4) ؛ لكنه ليس متماثلًا مع Z / 6 Z × Z / 2 Z ، حيث يكون لكل عنصر ترتيب لا يزيد عن 6.

إذا كان p عددًا أوليًا ، فإن أي مجموعة بها p عناصر تكون متماثلة للمجموعة البسيطة Z / p Z. يُطلق على الرقم n عددًا دوريًا إذا كانت Z / n Z هي المجموعة الوحيدة من الرتبة  n ، وهو أمر صحيح تمامًا عندما يكون gcd ( n , φ ( n )) = 1. ^[13] تتضمن تسلسل الأعداد الدورية جميع الأعداد الأولية، ولكن بعضها مركب مثل 15. ومع ذلك، فإن جميع الأعداد الدورية فردية باستثناء 2. الأعداد الدورية هي:

1، 2، 3، 5، 7، 11، 13، 15، 17، 19، 23، 29، 31، 33، 35، 37، 41، 43، 47، 51، 53، 59، 61، 65، 67، 69، 71، 73، 77، 79، 83، 85، 87، 89، 91، 95، 97، 101، 103، 107، 109، 113، 115، 119، 123، 127، 131، 133، 137، 139، 141، 143، ... (التسلسل A003277 في OEIS )

يشير التعريف على الفور إلى أن المجموعات الدورية لها عرض مجموعة C _∞ = ⟨ x | ⟩ و C _n = ⟨ x | x ⁿ ⟩ لـ n المحدود  . ^[14]

إن نظرية تمثيل المجموعة الدورية هي حالة أساسية حاسمة لنظرية تمثيل المجموعات المحدودة الأكثر عمومية. في الحالة المركبة ، يتحلل تمثيل المجموعة الدورية إلى مجموع مباشر من الأحرف الخطية، مما يجعل الارتباط بين نظرية الأحرف ونظرية التمثيل واضحًا. في حالة الخصائص الإيجابية ، تشكل التمثيلات غير القابلة للتحلل للمجموعة الدورية نموذجًا وأساسًا استقرائيًا لنظرية تمثيل المجموعات ذات المجموعات الفرعية الدورية لسيلوف وبشكل عام نظرية تمثيل كتل العيب الدوري.

يوضح الرسم البياني للدورة الدورات المختلفة للمجموعة وهو مفيد بشكل خاص في تصور بنية المجموعات المحدودة الصغيرة . الرسم البياني للدورة للمجموعة الدورية هو ببساطة رسم بياني دائري ، حيث يكون ترتيب المجموعة مساويًا لعدد العقد. يحدد المولد الفردي المجموعة كمسار اتجاهي على الرسم البياني، ويحدد المولد العكسي مسارًا عكسيًا. يمكن رسم مسار تافه (هوية) كحلقة ولكن عادةً ما يتم قمعه. يتم رسم Z ₂ أحيانًا بحافتين منحنيتين كرسم بياني متعدد . ^[15]

المجموعة الدورية Z _n ، ذات الترتيب n ، تتوافق مع دورة واحدة مرسومة بيانيًا ببساطة كمضلع مكون من n ضلع مع العناصر عند الرؤوس.

الرسوم البيانية للدورة حتى الدرجة 24

ز 1	ز 2	ز 3	ز 4	ز 5	ز 6 = ز 3 × ز 2	ز 7	ز 8
ز 9	ز 10 = ز 5 × ز 2	ز 11	ز 12 = ز 4 × ز 3	ز 13	ز 14 = ز 7 × ز 2	ز 15 = ز 5 × ز 3	ز 16
ز 17	ز 18 = ز 9 × ز 2	ز 19	ز 20 = ز 5 × ز 4	ز 21 = ز 7 × ز 3	ز 22 = ز 11 × ز 2	ز 23	ز 24 = ز 8 × ز 3

الرسم البياني لكايلي هو رسم بياني محدد من زوج ( G ، S ) حيث G هي مجموعة و S هي مجموعة من المولدات للمجموعة؛ وله رأس لكل عنصر من عناصر المجموعة وحافة لكل حاصل ضرب عنصر بمولد. وفي حالة المجموعة الدورية المحدودة، مع مولدها الوحيد، يكون الرسم البياني لكايلي رسمًا بيانيًا دوريًا ، وبالنسبة للمجموعة الدورية اللانهائية مع مولدها، يكون الرسم البياني لكايلي رسمًا بيانيًا لمسار لانهائي مزدوج . ومع ذلك، يمكن تعريف الرسوم البيانية لكايلي من مجموعات أخرى من المولدات أيضًا. تسمى الرسوم البيانية لكايلي للمجموعات الدورية مع مجموعات المولدات التعسفية بالرسوم البيانية الدائرية . ^[16] يمكن تمثيل هذه الرسوم البيانية هندسيًا كمجموعة من النقاط المتباعدة بالتساوي على دائرة أو على خط، مع اتصال كل نقطة بجيران بنفس مجموعة المسافات مثل كل نقطة أخرى. إنها بالضبط الرسوم البيانية المتعدية للرؤوس التي تتضمن مجموعة تماثلها مجموعة دورية متعدية. ^[17]

حلقة الشكل الداخلي للمجموعة الإبلية Z / n Z متماثلة مع Z / n Z نفسها كحلقة . ^[18] تحت هذا الشكل الداخلي، يتوافق الرقم r مع الشكل الداخلي لـ Z / n Z الذي يربط كل عنصر بمجموع r نسخة منه. هذا هو التطابق إذا وفقط إذا كان r أوليًا مشتركًا مع n ، وبالتالي فإن مجموعة الشكل الداخلي لـ Z / n Z متماثلة مع المجموعة الوحدوية ( Z / n Z ) ^× . ^[18]

وبالمثل، فإن حلقة الشكل الداخلي للمجموعة المضافة لـ  Z متماثلة مع الحلقة  Z. ومجموعة الشكل الذاتي الخاصة بها متماثلة مع مجموعة وحدات الحلقة  Z ، والتي هي ({−1, +1}, ×) ≅ C ₂ .

يمكن إظهار أن حاصل الضرب الموتر Z / m Z ⊗ Z / n Z متماثل مع Z / gcd ( m , n ) Z. وبالتالي يمكننا تكوين مجموعة من تماثلات المجموعة من Z / m Z إلى Z / n Z ، والتي يشار إليها بـ hom( Z / m Z , Z / n Z ) ، والتي تعد في حد ذاتها مجموعة.

بالنسبة لمنتج الموتر، فإن هذا نتيجة للحقيقة العامة التي مفادها أن R / I ⊗ _R R / J ≅ R /( I + J ) ، حيث R هي حلقة تبديلية ذات وحدة و I و J هما مثاليان للحلقة. بالنسبة لمجموعة Hom، تذكر أنها متماثلة مع المجموعة الفرعية Z / n Z المكونة من عناصر من الدرجة التي تقسم m . هذه المجموعة الفرعية دورية من الدرجة gcd( m ، n ) ، والتي تكمل الإثبات.

وقد تم تعريف عدة فئات أخرى من المجموعات من خلال علاقتها بالمجموعات الدورية:

تُسمى المجموعة دورية افتراضيًا إذا كانت تحتوي على مجموعة فرعية دورية ذات مؤشر منتهٍ (عدد المجموعات الجزئية التي تحتوي عليها المجموعة الفرعية). بعبارة أخرى، يمكن الوصول إلى أي عنصر في مجموعة دورية افتراضيًا عن طريق ضرب أحد أعضاء المجموعة الفرعية الدورية وعضو من مجموعة منتهية معينة. تكون كل مجموعة دورية دورية افتراضيًا، كما هي الحال مع كل مجموعة منتهية. تكون المجموعة اللانهائية دورية افتراضيًا إذا وفقط إذا تم إنشاؤها بشكل منتهٍ ولها طرفان بالضبط ؛ [ ^{ملاحظة 3]} مثال على هذه المجموعة هو حاصل الضرب المباشر لـ Z / n Z و Z ، حيث يكون للعامل Z مؤشر منتهٍ  n . تكون كل مجموعة فرعية أبيلية لمجموعة جروموف الزائدية دورية افتراضيًا. ^[20]

تُسمى المجموعة النهائية مجموعة دورية إذا كان من الممكن إنشاؤها طوبولوجيًا بواسطة عنصر واحد. تشمل أمثلة المجموعات النهائية الأعداد الصحيحة النهائية أو الأعداد الصحيحة p -adic لعدد أولي p . ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {Z} }}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$

المجموعة الدورية محليًا هي مجموعة يكون فيها كل مجموعة فرعية متولدة بشكل نهائي دورية. ومن الأمثلة على ذلك المجموعة المضافة للأعداد النسبية : كل مجموعة منتهية من الأعداد النسبية هي مجموعة من المضاعفات الصحيحة لكسر وحدوي واحد ، وهو معكوس مقامها المشترك الأصغر ، وتولد كمجموعة فرعية مجموعة دورية من المضاعفات الصحيحة لهذا الكسر الوحدوي. تكون المجموعة دورية محليًا إذا وفقط إذا كانت شبكتها الفرعية عبارة عن شبكة توزيعية . ^[21]

المجموعة المرتبة دوريًا هي مجموعة مع ترتيب دوري يتم الحفاظ عليه بواسطة بنية المجموعة. يمكن إعطاء كل مجموعة دورية بنية كمجموعة مرتبة دوريًا، بما يتفق مع ترتيب الأعداد الصحيحة (أو الأعداد الصحيحة modulo ترتيب المجموعة). كل مجموعة فرعية منتهية من مجموعة مرتبة دوريًا هي دورية. ^[22]

المجموعة الدورية المتحولة هي مجموعة تحتوي على مجموعة فرعية دورية طبيعية حاصل قسمتها دوري أيضًا. ^[23] تتضمن هذه المجموعات المجموعات الدورية والمجموعات ثنائية الحلقة والمنتجات المباشرة لمجموعتين دوريتين. تعمم المجموعات متعددة الحلقات المجموعات الدورية المتحولة من خلال السماح بأكثر من مستوى واحد من امتداد المجموعة . تكون المجموعة متعددة الحلقات إذا كان لديها تسلسل تنازلي محدود من المجموعات الفرعية، كل منها طبيعي في المجموعة الفرعية السابقة بحاصل دوري، وينتهي بالمجموعة التافهة. كل مجموعة أبيلية أو مجموعة عديمة القدرة متولدة بشكل محدود تكون متعددة الحلقات. ^[24]

• الرسم البياني للدورة (المجموعة)
• وحدة دورية
• غربلة دورية
• مجموعة برفر ( تناظرية لا نهائية قابلة للعد )
• مجموعة دوائر ( تناظرية لا نهائية لا يمكن عدها )

• ألونسو، جيه إم؛ وآخرون (1991)، "ملاحظات حول المجموعات الزائدة اللفظية"، نظرية المجموعات من وجهة نظر هندسية (تريستي، 1990) (PDF) ، ريفر إيدج، نيوجيرسي: وورلد ساينتيفيك، كورولاري 3.6، إم آر  1170363، محفوظ من الأصل (PDF) في 2013-04-25 ، تم استرجاعه في 2013-11-26
• Alspach, Brian (1997), "Isomorphism and Cayley graphs on abelian groups", Graph symmetry (Montreal, PQ, 1996), NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C Math. Phys. Sci., vol. 497, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., pp. 1–22, ISBN 978-0-792-34668-5السيد 1468786 ​
• ألوفي، باولو (2009)، "6.4 مثال: مجموعات فرعية من المجموعات الدائرية"، الجبر، الفصل 0، دراسات عليا في الرياضيات ، المجلد 104، الجمعية الرياضية الأمريكية، ص 82-84، رقم ISBN 978-0-8218-4781-7
• بورباكي، نيكولاس (1998-08-03) [1970]، الجبر الأول: الفصول 1-3، عناصر الرياضيات، المجلد 1 (طبعة الغلاف الورقي المعاد طبعها)، سبرينغر ساينس آند بيزنس ميديا، رقم ISBN 978-3-540-64243-5
• Coxeter, HSM ; Moser, WOJ (1980), Generators and Relations for Discrete Groups , New York: Springer-Verlag, p. 1, ISBN 0-387-09212-9
• لاجوي، كارولين؛ مورا، روبرتا (نوفمبر 2000)، "ما معنى الاسم؟ صعوبة التعلم فيما يتعلق بالمجموعات الدورية"، من أجل تعلم الرياضيات ، 20 (3): 29-33، JSTOR  40248334
• كوكس، ديفيد أ. (2012)، نظرية جالوا ، الرياضيات البحتة والتطبيقية (الطبعة الثانية)، جون وايلي وأولاده، النظرية 11.1.7، ص 294، doi :10.1002/9781118218457، ISBN 978-1-118-07205-9
• جاليان، جوزيف (2010)، الجبر المجرد المعاصر (الطبعة السابعة)، Cengage Learning، تمرين 43، ص 84، ISBN 978-0-547-16509-7
• جانون، تيري (2006)، مونشاين ما وراء الوحش: الجسر الذي يربط الجبر والأشكال المعيارية والفيزياء، دراسات كامبريدج عن الفيزياء الرياضية، مطبعة جامعة كامبريدج، ص 18، ISBN 978-0-521-83531-2، Z _n بسيط إذا كان n أوليًا.
• جونجنيكل، ديتر (1992)، "حول تفرد المجموعة الدورية من الدرجة n "، المجلة الرياضية الأمريكية ، 99 (6): 545-547، doi :10.2307/2324062، JSTOR  2324062، MR  1166004
• فوكس، لازلو (2011)، الأنظمة الجبرية المرتبة جزئيًا، سلسلة الدراسات الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية، المجلد 28، منشورات كورير دوفر، ص 63، رقم ISBN 978-0-486-48387-0
• كورزويل، هانز؛ ستيلماشر، بيرند (2004)، نظرية المجموعات المحدودة: مقدمة، يونيفرسيتكست، سبرينغر، ص 50، رقم ISBN 978-0-387-40510-0
• موتواني، راجيف ؛ راغافان، برابهاكار (1995)، الخوارزميات العشوائية، مطبعة جامعة كامبريدج، النظرية 14.14، ص 401، رقم ISBN 978-0-521-47465-8
• أور، أويستين (1938)، "الهياكل ونظرية المجموعة. الجزء الثاني"، مجلة ديوك للرياضيات ، 4 (2): 247-269، doi :10.1215/S0012-7094-38-00419-3، hdl : 10338.dmlcz/100155 ، MR  1546048
• روتمان، جوزيف ج. (1998)، نظرية جالوا، يونيفرسيتكست، سبرينغر، النظرية 62، ص 65، رقم ISBN 978-0-387-98541-1
• ستالينجز، جون (1970)، "مجموعات البعد المتجانس الأول"، تطبيقات الجبر التصنيفي (وقائع ندوات الرياضيات البحتة، المجلد الثامن عشر، نيويورك، 1968) ، بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات، ص 124-128، MR  0255689
• ستيوارت، إيان ؛ جولوبيتسكي، مارتن (2010)، التناظر المخيف: هل الله مقياس هندسي؟، منشورات كورير دوفر، ص 47-48، رقم ISBN 978-0-486-47758-9
• فيلفريد، ف. (2004)، "حول الرسوم البيانية الدائرية"، في بالاكريشنان، ر.؛ سيثورامان، ج.؛ ويلسون، روبن ج. (المحررون)، نظرية الرسم البياني وتطبيقاتها (جامعة آنا، تشيناي، 14-16 مارس، 2001)، ألفا ساينس، ص. 34-36، رقم ISBN 8173195692
• فينوغرادوف، آي إم (2003)، "§ VI الجذور والمؤشرات البدائية"، عناصر نظرية الأعداد ، مينولا، نيويورك: منشورات دوفر، ص. 105-132، رقم ISBN 0-486-49530-2

• هيرشتاين، إن (1996)، الجبر المجرد (الطبعة الثالثة)، برنتيس هول ، ص 53-60، رقم ISBN 978-0-13-374562-7السيد 1375019 ​

• ميلن، نظرية المجموعة، http://www.jmilne.org/math/CourseNotes/gt.html
• مقدمة عن المجموعات الدورية
• وايسشتاين، إريك دبليو. "المجموعة الدائرية". MathWorld .
• المجموعات الدورية ذات الترتيب الصغير على GroupNames
• كل مجموعة دورية هي أبيلية