دالة جمعية

في نظرية الأعداد ،الدالة الجمعية هي دالة حسابية f ( n ) للمتغير الصحيح الموجب n بحيث عندما يكون a و b أوليين فيما بينهما ، فإن الدالة المطبقة على حاصل ضرب ab هي مجموع قيم الدالة المطبقة على a و b : ^{[ 1 ]}$${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b).}$$ ويترتب على ذلك أنه بالنسبة لأي دالة جمعية،${\displaystyle f(1)=0}$.

يُقال إن الدالة الجمعية f ( n ) جمعية تمامًا إذا${\displaystyle f(ab)=f(a)+f(b)}$ينطبق هذا على جميع الأعداد الصحيحة الموجبة a و b ، حتى عندما لا يكونان أوليين فيما بينهما. ويُستخدم مصطلح "جمعي تمامًا" بهذا المعنى أيضًا قياسًا على الدوال "ضربي تمامًا" .

كل دالة جمعية تمامًا هي دالة جمعية، ولكن ليس العكس.

من أمثلة الدوال الحسابية التي تكون جمعية تمامًا ما يلي:

• تقييد الدالة اللوغاريتمية إلى${\displaystyle \mathbb {N} .}$
• تعددية العامل الأولي p في n ، أي أكبر أس m الذي يقسم p ^m n .
• a ₀ ( n ) – مجموع الأعداد الأولية التي تقسم n مع مراعاة التكرار، ويسمى أحيانًا sopfr( n )، أو قوة n أو اللوغاريتم الصحيح لـ n (المتتالية A001414 في OEIS ) . على سبيل المثال:

أ ₀ (4) = 2 + 2 = 4

a₀ (20) = _{a₀ (} 2² ^{× 5) =} 2 + 2 + 5 = 9

a ₀ (27) = 3 + 3 + 3 = 9

a₀ ₍ 144) = a₀ (2⁴ ^· 3² ⁾ = _a₀ ( ^2⁴ ₎ + a₀ ₍ 3² ) = 8 + ⁶ = 14

a₀ (2000) = a₀ (2⁴ ^× _5³ ) ⁼ a₀ ₍ 2⁴ ₎ ⁺ a₀ ( 5³ ^{) =} ₈ + 15 = 2³

أ ₀ (2003) = 2003

a ₀ (54,032,858,972,279) = 1240658

a ₀ (54,032,858,972,302) = 1780417

a ₀ (20,802,650,704,327,415) = 1240681

• الدالة Ω( n )، المعرفة على أنها العدد الإجمالي للعوامل الأولية لـ n ، مع حساب العوامل المتعددة عدة مرات، وتسمى أحيانًا "دالة أوميغا الكبيرة" (المتتالية A001222 في OEIS ) . على سبيل المثال؛

Ω(1) = 0، لأن العدد 1 ليس له عوامل أولية

Ω(4) = 2

Ω(16) = Ω(2·2·2·2) = 4

Ω(20) = Ω(2·2·5) = 3

Ω(27) = Ω(3·3·3) = 3

Ω(144) = Ω(2 ⁴ · 3 ² ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(3 ² ) = 4 + 2 = 6

Ω(2000) = Ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = Ω(2 ⁴ ) + Ω(5 ³ ) = 4 + 3 = 7

Ω(2001) = 3

Ω(2002) = 4

Ω(2003) = 1

Ω(54,032,858,972,279) = Ω(11 ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 4

Ω(54,032,858,972,302) = Ω(2 ⋅ 7 ² ⋅ 149 ⋅ 2081 ⋅ 1778171) = 6

Ω(20,802,650,704,327,415) = Ω(5 ⋅ 7 ⋅ 11 ² ⋅ 1993 ² ⋅ 1236661) = 7.

أمثلة على الدوال الحسابية التي هي جمعية ولكنها ليست جمعية تمامًا هي:

• ω( n )، وهو العدد الإجمالي للعوامل الأولية المختلفة للعدد n (المتتالية A001221 في OEIS ) . على سبيل المثال:

ω(4) = 1

ω(16) = ω(2 ⁴ ) = 1

ω(20) = ω(2 ² · 5) = 2

ω(27) = ω(3 ³ ) = 1

ω(144) = ω(2 ⁴ · 3 ² ) = ω(2 ⁴ ) + ω(3 ² ) = 1 + 1 = 2

ω(2000) = ω(2 ⁴ · 5 ³ ) = ω(2 ⁴ ) + ω(5 ³ ) = 1 + 1 = 2

ω(2001) = 3

ω(2002) = 4

ω(2003) = 1

ω(54,032,858,972,279) = 3

ω(54,032,858,972,302) = 5

ω(20,802,650,704,327,415) = 5

• a ₁ ( n ) – مجموع الأعداد الأولية المختلفة التي تقسم n ، ويسمى أحيانًا sopf( n ) (المتتالية A008472 في OEIS ) . على سبيل المثال:

a ₁ (1) = 0

أ ₁ (4) = 2

أ ₁ (20) = 2 + 5 = 7

أ ₁ (27) = 3

a ₁ (144) = a ₁ (2 ⁴ · 3 ² ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (3 ² ) = 2 + 3 = 5

a ₁ (2000) = a ₁ (2 ⁴ · 5 ³ ) = a ₁ (2 ⁴ ) + a ₁ (5 ³ ) = 2 + 5 = 7

أ ₁ (2001) = 55

a ₁ (2002) = 33

أ ₁ (2003) = 2003

a ₁ (54,032,858,972,279) = 1238665

أ ₁ (54,032,858,972,302) = 1780410

a ₁ (20,802,650,704,327,415) = 1238677

من أي دالة جمعية${\displaystyle f(n)}$من الممكن إنشاء دالة ضربية ذات صلة${\displaystyle g(n),}$وهي دالة تتميز بالخاصية التي كلما${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$إذا كانت أعدادًا أولية فيما بينها: $${\displaystyle g(ab)=g(a)\times g(b).}$$ أحد هذه الأمثلة هو${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}.}$وبالمثل إذا${\displaystyle f(n)}$إذا كانت عملية الإضافة كاملة، فإن${\displaystyle g(n)=2^{f(n)}}$هي دالة ضربية بالكامل. وبشكل أعم، يمكننا اعتبار الدالة${\displaystyle g(n)=c^{f(n)}}$، أين${\displaystyle c}$هو ثابت حقيقي غير صفري.

بالنظر إلى دالة جمعية${\displaystyle f}$ولتكن دالتها التجميعية معرفة بـ${\textstyle {\mathcal {M}}_{f}(x):=\sum _{n\leq x}f(n)}$متوسط${\displaystyle f}$يتم تقديمها تمامًا كما هي $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })\left(\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha }}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {x}{p^{\alpha +1}}}\right\rfloor \right).}$$

الدوال التجميعية على${\displaystyle f}$يمكن توسيعها على النحو التالي${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f}(x)=xE(x)+O({\sqrt {x}}\cdot D(x))}$أين $${\displaystyle {\begin{aligned}E(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}f(p^{\alpha })p^{-\alpha }(1-p^{-1})\\D^{2}(x)&=\sum _{p^{\alpha }\leq x}|f(p^{\alpha })|^{2}p^{-\alpha }.\end{aligned}}}$$

متوسط ​​الدالة${\displaystyle f^{2}}$ويمكن التعبير عنها أيضًا بهذه الدوال كما يلي: $${\displaystyle {\mathcal {M}}_{f^{2}}(x)=xE^{2}(x)+O(xD^{2}(x)).}$$

هناك دائمًا ثابت مطلق${\displaystyle C_{f}>0}$بحيث يكون ذلك لجميع الأعداد الطبيعية${\displaystyle x\geq 1}$، $${\displaystyle \sum _{n\leq x}|f(n)-E(x)|^{2}\leq C_{f}\cdot xD^{2}(x).}$$

يترك $${\displaystyle \nu (x;z):={\frac {1}{x}}\#\!\left\{n\leq x:{\frac {f(n)-A(x)}{B(x)}}\leq z\right\}\!.}$$

لنفترض أن${\displaystyle f}$هي دالة جمعية مع${\displaystyle -1\leq f(p^{\alpha })=f(p)\leq 1}$ بحيث يكون${\displaystyle x\rightarrow \infty }$، $${\displaystyle B(x)=\sum _{p\leq x}f^{2}(p)/p\rightarrow \infty .}$$

ثم${\displaystyle \nu (x;z)\sim G(z)}$أين${\displaystyle G(z)}$دالة التوزيع الغاوسي$${\displaystyle G(z)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty}^{z}e^{-t^{2}/2}dt.}$$

تتضمن أمثلة هذه النتيجة المتعلقة بدالة أوميغا الأولية وعدد القواسم الأولية للأعداد الأولية المزاحة ما يلي بالنسبة للأعداد الثابتة${\displaystyle z\in \mathbb {R} }$حيث تنطبق العلاقات على${\displaystyle x\gg 1}$: $${\displaystyle \#\{n\leq x:\omega (n)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim xG(z),}$$$${\displaystyle \#\{p\leq x:\omega (p+1)-\log \log x\leq z(\log \log x)^{1/2}\}\sim \pi (x)G(z).}$$

• خاصية الجمع سيجما
• وظيفة أوميغا الأساسية
• دالة الضرب
• الدالة الحسابية