وظيفة أوميغا الأساسية

في نظرية الأعداد ، الدوال الأولية أوميغا${\displaystyle \omega (n)}$و${\displaystyle \Omega (n)}$احسب عدد العوامل الأولية لعدد طبيعي${\displaystyle n}$يتم تحديد عدد العوامل الأولية المختلفة لـ${\displaystyle \omega (n)}$(أوميغا الصغيرة)، بينما${\displaystyle \Omega (n)}$(أوميغا الكبيرة) تحسب العدد الإجمالي للعوامل الأولية ذات التعددية (انظر الدالة الحسابية ). أي، إذا كان لدينا تحليل إلى عوامل أولية لـ${\displaystyle n}$من الشكل${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}}}$للأعداد الأولية المتميزة${\displaystyle p_{i}}$(${\displaystyle 1\leq i\leq k}$ثم تُعطى دوال أوميغا الأولية بالصيغة التالية:${\displaystyle \omega (n)=k}$و${\displaystyle \Omega (n)=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{k}}$تتمتع دوال عد العوامل الأولية هذه بالعديد من العلاقات المهمة في نظرية الأعداد.

الوظيفة${\displaystyle \omega (n)}$هو مادة مضافة و${\displaystyle \Omega (n)}$هو مادة مضافة تمامًا . تركيبة أوميغا الصغيرة هي

${\displaystyle \omega (n)=\sum _{p\mid n}1,}$

حيث يشير الرمز p | n إلى أن المجموع يُحسب على جميع الأعداد الأولية p التي تقسم n ، دون تكرار. على سبيل المثال،${\displaystyle \أوميغا (12)=\أوميغا (2^{2}3)=2}$.

لدى شركة بيج أوميغا التركيبات

${\displaystyle \Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\mid n}1=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}\alpha .}$

يشير الرمز p ^α | n إلى أن المجموع يُحسب على جميع القوى الأولية p ^α التي تقسم n ، بينما يشير الرمز p ^α || n إلى أن المجموع يُحسب على جميع القوى الأولية p ^α التي تقسم n والتي يكون n / p ^α عددًا أوليًا نسبيًا مع p ^α . على سبيل المثال،${\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}$.

ترتبط قيم أوميغا بالمتباينتين ω ( n ) ≤ Ω ( n ) و 2ω ^{( n )} ≤ d ( n ) ≤ 2Ω ^{( n )} ، حيث d ( ⁿ ) هي دالة عدّ القواسم . ^{[ 1 ]} إذا كانت Ω ( n ) = ω ( n ) ، فإن n عدد خالٍ من المربعات ويرتبط بدالة موبيوس بالعلاقة التالية ^:

${\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\أوميغا (n)}=(-1)^{\أوميغا (n)}.}$

لو${\displaystyle \omega (n)=1}$ثم${\displaystyle n}$هي قوة رئيسية ، وإذا${\displaystyle \Omega (n)=1}$ثم${\displaystyle n}$هو عدد أولي.

متسلسلة تقاربية للرتبة المتوسطة لـ${\displaystyle \omega (n)}$هو ^{[ 2 ]}

${\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits _{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B_{1}+\sum _{k\geq 1}\left(\sum _{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma _{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}},}$

أين${\displaystyle B_{1}\approx 0.26149721}$هو ثابت ميرتنز و${\displaystyle \gamma _{j}}$هي ثوابت ستيلتجس .

الوظيفة${\displaystyle \omega (n)}$يرتبط بمجاميع القواسم على دالة موبيوس ودالة القواسم ، بما في ذلك: ^{[ 3 ]}

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}$يمثل عدد القواسم الوحدوية . (التسلسل A034444 في OEIS )

${\displaystyle \sum _{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}$

${\displaystyle \sum _{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}$

${\displaystyle \sum _{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits _{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}$

$\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},\ m_{1},m_{2}{\text{ فردي}},m=\operatorname {lcm} (m_{1},m_{2})}$

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}$

يمكن التعبير عن الدالة المميزة للأعداد الأولية عن طريق عملية التفاف مع دالة موبيوس : ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \chi _{\mathbb {P} }(n)=(\mu \ast \omega )(n)=\sum _{d|n}\omega (d)\mu (n/d).}$

هوية دقيقة متعلقة بالتقسيم لـ${\displaystyle \omega (n)}$يتم تحديده بواسطة ^{[ 5 ]}

${\displaystyle \omega (n)=\log _{2}\left[\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=1}^{k}\left(\sum _{d\mid k}\sum _{i=1}^{d}p(d-ji)\right)s_{n,k}\cdot |\mu (j)|\right],}$

أين${\displaystyle p(n)}$هي دالة التقسيم ،${\displaystyle \mu (n)}$هي دالة موبيوس ، والمتتالية المثلثية${\displaystyle s_{n,k}}$يتم توسيعه بواسطة

${\displaystyle s_{n,k}=[q^{n}](q;q)_{\infty }{\frac {q^{k}}{1-q^{k}}}=s_{o}(n,k)-s_{e}(n,k),}$

من حيث رمز بوخامر-q اللانهائي ودوال التقسيم المقيدة${\displaystyle s_{o/e}(n,k)}$والتي تشير على التوالي إلى عدد${\displaystyle k}$'s في جميع أقسام${\displaystyle n}$إلى عدد فردي ( زوجي ) من الأجزاء المتميزة. ^{[ 6 ]}

استكمالاً لـ${\displaystyle \omega (n)}$تم التوصل إلى ذلك، على الرغم من أنه ليس تحليليًا في كل مكان. ^{[ 7 ]} لاحظ أن المعياري${\displaystyle \operatorname {sinc} }$وظيفة${\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}}$يتم استخدامه.

${\displaystyle \omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{n=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{m=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(n^{2}+n-mz\right)\right)\right)}$

يرتبط هذا ارتباطًا وثيقًا بهوية التقسيم التالية. لنفترض تقسيمات على الشكل التالي

${\displaystyle a={\frac {2}{c}}+{\frac {4}{c}}+\ldots +{\frac {2(b-1)}{c}}+{\frac {2b}{c}}}$

أين${\displaystyle a}$،${\displaystyle b}$، و${\displaystyle c}$هي أعداد صحيحة موجبة، و${\displaystyle a>b>c}$يُعطى عدد الأقسام بالصيغة التالية:${\displaystyle 2^{\omega (a)}-2}$[ ^{8 ]​}

متوسط ​​ترتيب كليهما${\displaystyle \omega (n)}$و${\displaystyle \Omega (n)}$يكون${\displaystyle \log \log n}$. متى${\displaystyle n}$هل العدد الأولي هو حد أدنى لقيمة الدالة؟${\displaystyle \omega (n)=1}$وبالمثل، إذا${\displaystyle n}$إذا كان العدد أوليًا ، فإن الدالة تكون كبيرة بقدر

${\displaystyle \omega (n)\sim {\frac {\log n}{\log \log n}}}$

في المتوسط. عندما${\displaystyle n}$إذا كان العدد قوة للعدد 2 ، فإن${\displaystyle \Omega (n)=\log _{2}(n).}$^{[ 9 ]}

السلوك التقاربي للدوال التجميعية على${\displaystyle \omega (n)}$،${\displaystyle \Omega (n)}$، وسلطات${\displaystyle \omega (n)}$^{[ 10 ] [ 11 ]} على التوالي

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\leq x}\omega (n)&=x\log \log x+B_{1}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\Omega (n)&=x\log \log x+B_{2}x+o(x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{2}&=x(\log \log x)^{2}+O(x\log \log x)\\\sum _{n\leq x}\omega (n)^{k}&=x(\log \log x)^{k}+O(x(\log \log x)^{k-1}),k\in \mathbb {Z} ^{+},\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle B_{1}\approx 0.2614972128}$هو ثابت ميرتنز والثابت${\displaystyle B_{2}}$يتم تعريفها بواسطة

${\displaystyle B_{2}=B_{1}+\sum _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{p(p-1)}}\approx 1.0345061758.}$

مجموع عدد القواسم الوحدوية هو

${\displaystyle \sum _{n\leq x}2^{\omega (n)}=(x\log x)/\zeta (2)+O(x)}$^{[ 12 ]} (التسلسلA064608فيOEIS)

وتشمل المجاميع الأخرى التي تربط بين المتغيرين لوظائف أوميغا الأولية ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \sum _{n\leq x}\left\{\Omega (n)-\omega (n)\right\}=O(x),}$

و

${\displaystyle \#\left\{n\leq x:\Omega (n)-\omega (n)>{\sqrt {\log \log x}}\right\}=O\left({\frac {x}{(\log \log x)^{1/2}}}\right).}$

سلسلة ديريشليه المعروفة التي تتضمن${\displaystyle \omega (n)}$ودالة زيتا لريمان معطاة بواسطة ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {2^{\omega (n)}}{n^{s}}}={\frac {\zeta ^{2}(s)}{\zeta (2s)}},\ \Re (s)>1.}$

يمكننا أيضًا أن نرى ذلك

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1+{\frac {z}{p^{s}-1}}\right),|z|<2,\Re (s)>1,}$

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {z^{\Omega (n)}}{n^{s}}}=\prod _{p}\left(1-{\frac {z}{p^{s}}}\right)^{-1},|z|<2,\Re (s)>1,}$

الوظيفة${\displaystyle \Omega (n)}$وهي عملية جمعية تمامًا ، حيث${\displaystyle \omega (n)}$هي جمعية قوية (جمعية) . الآن يمكننا إثبات لمة قصيرة بالشكل التالي والتي تستلزم صيغًا دقيقة لتوسعات متسلسلة ديريشليه على كليهما${\displaystyle \omega (n)}$و${\displaystyle \Omega (n)}$:

اللمة. لنفترض أن${\displaystyle f}$هي دالة حسابية جمعية قوية معرفة بحيث تكون قيمها عند القوى الأولية معطاة بـ${\displaystyle f(p^{\alpha }):=f_{0}(p,\alpha )}$، أي،${\displaystyle f(p_{1}^{\alpha _{1}}\cdots p_{k}^{\alpha _{k}})=f_{0}(p_{1},\alpha _{1})+\cdots +f_{0}(p_{k},\alpha _{k})}$للأعداد الأولية المتميزة${\displaystyle p_{i}}$والأسس${\displaystyle \alpha _{i}\geq 1}$سلسلة ديريشليه​${\displaystyle f}$يتم توسيعه بواسطة

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\Re (s)>\min(1,\sigma _{f}).}$

الدليل. يمكننا أن نرى ذلك

${\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {u^{f(n)}}{n^{s}}}=\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right).}$

وهذا يعني أن

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {f(n)}{n^{s}}}&={\frac {d}{du}}\left[\prod _{p\mathrm {\ prime} }\left(1+\sum _{n\geq 1}u^{f_{0}(p,n)}p^{-ns}\right)\right]{\Biggr |}_{u=1}=\prod _{p}\left(1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}\right)\times \sum _{p}{\frac {\sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns}}{1+\sum _{n\geq 1}p^{-ns}}}\\&=\zeta (s)\times \sum _{p\mathrm {\ prime} }(1-p^{-s})\cdot \sum _{n\geq 1}f_{0}(p,n)p^{-ns},\end{aligned}}}$

حيثما تكون المتسلسلات والمنتجات المقابلة متقاربة. في المعادلة الأخيرة، استخدمنا تمثيل منتج أويلر لدالة زيتا لريمان .

تشير اللمة إلى أنه بالنسبة لـ${\displaystyle \Re (s)>1}$،

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{\omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)P(s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\mu (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{\Omega }(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {\Omega (n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}P(ns)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\phi (n)}{n}}\log \zeta (ns)\\D_{h}(s)&:=\sum _{n\geq 1}{\frac {h(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\log \zeta (s)\\&\ =\zeta (s)\times \sum _{n\geq 1}{\frac {\varepsilon (n)}{n}}\log \zeta (ns),\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle P(s)}$دالة زيتا الأولية ،${\displaystyle h(n)=\sum _{p^{k}|n}{\frac {1}{k}}=\sum _{p^{k}||n}{H_{k}}}$أين${\displaystyle H_{k}}$هو${\displaystyle k}$الرقم التوافقي رقم - و ${\displaystyle \varepsilon }$هي متطابقة عملية الالتفاف لـ Dirichlet ،${\displaystyle \varepsilon (n)=\lfloor {\frac {1}{n}}\rfloor }$.

توزيع القيم الصحيحة المميزة للفروق${\displaystyle \Omega (n)-\omega (n)}$وهي منتظمة مقارنةً بالخصائص شبه العشوائية للدوال المكونة لها.${\displaystyle k\geq 0}$، يُعرِّف

${\displaystyle N_{k}(x):=\#(\{n\in \mathbb {Z} ^{+}:\Omega (n)-\omega (n)=k\}\cap [1,x]).}$

لهذه الأعداد الأصلية تسلسلٌ مُقابل من الكثافات الحدية.${\displaystyle d_{k}}$بحيث يكون لـ${\displaystyle x\geq 2}$

${\displaystyle N_{k}(x)=d_{k}\cdot x+O\left(\left({\frac {3}{4}}\right)^{k}{\sqrt {x}}(\log x)^{\frac {4}{3}}\right).}$

يتم توليد هذه الكثافات بواسطة نواتج الأعداد الأولية

${\displaystyle \sum _{k\geq 0}d_{k}\cdot z^{k}=\prod _{p}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)\left(1+{\frac {1}{p-z}}\right).}$

مع الثابت المطلق${\displaystyle {\hat {c}}:={\frac {1}{4}}\times \prod _{p>2}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)^{-1}}$، الكثافات${\displaystyle d_{k}}$مُرضٍ

${\displaystyle d_{k}={\hat {c}}\cdot 2^{-k}+O(5^{-k}).}$

قارن بتعريف المنتجات الأولية المحددة في القسم الأخير من ^{[ 16 ]} فيما يتعلق بنظرية إردوش-كاك .

• دالة جمعية
• الدالة الحسابية
• نظرية إردوش-كاك
• دالة أوميغا (توضيح)
• عدد أولي
• عدد صحيح خالٍ من المربعات

• G. H. Hardy; E. M. Wright (2006). An Introduction to the Theory of Numbers (6th ed.). Oxford University Press.
• H. L. Montgomery; R. C. Vaughan (2007). Multiplicative number theory I. Classical theory (1st ed.). Cambridge University Press.
• Schmidt, Maxie (2017). "Factorization Theorems for Hadamard Products and Higher-Order Derivatives of Lambert Series Generating Functions". arXiv:1712.00608 [math.NT].
• Weisstein, Eric. "Distinct Prime Factors". MathWorld. Retrieved 22 April 2018.

• OEIS Wiki for related sequence numbers and tables
• OEIS Wiki on Prime Factors