الدالة الحسابية

σ _k ( n ) هو مجموع القوى k للقواسم الموجبة لـ n ، بما في ذلك 1 و n ، حيث k هو عدد مركب.

σ ₁ ( n ) ، مجموع القواسم (الإيجابية) لـ n ، عادة ما يرمز لها بـ σ ( n ) .

بما أن العدد الموجب المرفوع للأس صفر يساوي واحدًا، فإن σ ₀ ( n ) هو عدد القواسم (الموجبة) لـ n ؛ وعادة ما يُرمز إليه بـ d ( n ) أو τ ( n ) (بالألمانية Teiler = القواسم).

$${\displaystyle \sigma _{k}(n)=\prod _{i=1}^{\omega (n)}{\frac {p_{i}^{(a_{i}+1)k}-1}{p_{i}^{k}-1}}=\prod _{i=1}^{\omega (n)}\left(1+p_{i}^{k}+p_{i}^{2k}+\cdots +p_{i}^{a_{i}k}\right).}$$

بوضع k = 0 في الضرب الثاني، نحصل على $${\displaystyle \tau (n)=d(n)=(1+a_{1})(1+a_{2})\cdots (1+a_{\omega (n)}).}$$

φ ( n ) ، دالة أويلر، هي عدد الأعداد الصحيحة الموجبة التي لا تزيد عنnوالتي تكون أولية نسبياً معn. $${\displaystyle \varphi (n)=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=n\left({\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}\right)\left({\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}-1}{p_{\omega (n)}}}\right).}$$

J _k ( n ) ، دالة جوردان، هي عددkعدد صحيح موجب، جميعها أقل من أو تساويn،معnمجموعة أولية نسبياً (k. وهي تعميم لدالة أويلر، φ ( n ) = J ₁ ( n ). $${\displaystyle J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p^{k}}}\right)=n^{k}\left({\frac {p_{1}^{k}-1}{p_{1}^{k}}}\right)\left({\frac {p_{2}^{k}-1}{p_{2}^{k}}}\right)\cdots \left({\frac {p_{\omega (n)}^{k}-1}{p_{\omega (n)}^{k}}}\right).}$$

تُعدّ دالة موبيوس μ ( n ) مهمةً بسبب صيغة انعكاس موبيوس. انظر قسم  التفاف ديريشليه أدناه. $${\displaystyle \mu (n)={\begin{cases}(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}&{\text{if }}\;\omega (n)=\Omega (n)\\0&{\text{if }}\;\omega (n)\neq \Omega (n).\end{cases}}}$$

وهذا يعني أن μ (1) = 1. (لأن Ω(1) = ω (1) = 0.)

تُعرَّف دالة تاو رامانوجان τ ( n ) من خلال متطابقة دالة التوليد$${\displaystyle \sum _{n\geq 1}\tau (n)q^{n}=q\prod _{n\geq 1}(1-q^{n})^{24}.}$$

على الرغم من أنه من الصعب تحديد "الخاصية الحسابية لـ n " التي "تعبر عنها" بالضبط، ^{[ 7 ]} ( τ ( n ) هي (2π ) - ¹² مرة معامل فورييه رقم n في توسيع q لدالة التمييز النمطية ) ^{[ 8 ]} ، إلا أنها مدرجة بين الدوال الحسابية لأنها ضربية وتظهر في المتطابقات التي تتضمن دوال σk ( n ₎ و _rk ( n ) معينة (لأن هذه أيضًا معاملات في توسيع الأشكال النمطية ).

c _q ( n ) ، مجموع رامانوجان ، هو مجموعnللجذورالأوليةqللوحدة: $${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{\stackrel {1\leq a\leq q}{\gcd(a,q)=1}}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n}.}$$

على الرغم من تعريفها كمجموع أعداد مركبة (غير نسبية لمعظم قيم q )، إلا أنها عدد صحيح. بالنسبة لقيمة ثابتة لـ n، تكون ضربية بالنسبة لـ q .

إذا كان q و r عددين أوليين فيما بينهما ، فإن${\displaystyle c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

دالة ديديكيند بسي ، المستخدمة في نظرية الدوال النمطية ، تُعرَّف بالصيغة التالية: $${\displaystyle \psi (n)=n\prod _{p|n}\left(1+{\frac {1}{p}}\right).}$$

تُعرَّف دالة ليوفيل، λ ( n ) ، كما يلي:$${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}.}$$

جميع رموز ديريشليه χ ( n ) هي رموز ضربية تمامًا. رمزان منها لهما رموز خاصة:

يُرمز إلى الخاصية الرئيسية (mod n) بالرمز χ₀ ( a ) ( أو χ₁ ( a ) ) . وهي تُعرَّف على النحو _{التالي :}$${\displaystyle \chi _{0}(a)={\begin{cases}1&{\text{if }}\gcd(a,n)=1,\\0&{\text{if }}\gcd(a,n)\neq 1.\end{cases}}}$$

يُرمز إلى الخاصية التربيعية (mod n ) برمز جاكوبي للأعداد الفردية n (وهي غير معرفة للأعداد الزوجية n ): $${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{p_{1}}}\right)^{a_{1}}\left({\frac {a}{p_{2}}}\right)^{a_{2}}\cdots \left({\frac {a}{p_{\omega (n)}}}\right)^{a_{\omega (n)}}.}$$

في هذه الصيغة${\displaystyle ({\tfrac {a}{p}})}$هو رمز ليجاندر ، المعرّف لجميع الأعداد الصحيحة a وجميع الأعداد الأولية الفردية p بواسطة $${\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{if }}a\equiv 0{\pmod {p}},\\+1&{\text{if }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}{\text{ and for some integer }}x,\;a\equiv x^{2}{\pmod {p}}\\-1&{\text{if there is no such }}x.\end{cases}}}$$

باتباع الاصطلاح المعتاد للمنتج الفارغ،${\displaystyle \left({\frac {a}{1}}\right)=1.}$

ω ( n ) ، المعرفة أعلاه على أنها عدد الأعداد الأولية المختلفة التي تقسم n ، هي جمعية (انظر دالة أوميغا الأولية ).

Ω( n ) ، المعرفة أعلاه على أنها عدد العوامل الأولية لـ n مع مراعاة التعددية ، هي جمعية تمامًا (انظر دالة أوميغا الأولية ).

بالنسبة لعدد أولي ثابت p ، فإن ν _p ( n ) ، المعرف أعلاه بأنه أس أكبر قوة لـ p التي تقسم n ، يكون جمعيًا تمامًا.

${\displaystyle \operatorname {ld} (n)={\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}}$، أين${\displaystyle D(n)}$هو المشتق الحسابي .

تُعرَّف هذه الدوال المهمة (التي ليست دوالًا حسابية) للأعداد الحقيقية غير السالبة، وتُستخدم في مختلف عبارات وبراهين نظرية الأعداد الأولية . وهي دوال جمع (انظر القسم الرئيسي أدناه) لدوال حسابية ليست ضربية ولا جمعية.

π ( x )، دالة عد الأعداد الأولية ، هي عدد الأعداد الأولية التي لا تتجاوز x . وهي دالة الجمع للدالة المميزة للأعداد الأولية. $${\displaystyle \pi (x)=\sum _{p\leq x}1}$$

هناك دالة ذات صلة تحسب قوى الأعداد الأولية بوزن 1 للأعداد الأولية، و1/2 لمربعاتها، و1/3 لمكعباتها، وما إلى ذلك. وهي دالة الجمع للدالة الحسابية التي تأخذ القيمة 1/ k على الأعداد الصحيحة التي تمثل القوة k لعدد أولي ما، والقيمة 0 على الأعداد الصحيحة الأخرى. $${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}{\frac {1}{k}}.}$$

يتم تعريف ϑ ( x ) و ψ ( x )، وهما دالتا تشيبيشيف ، على أنهما مجموع اللوغاريتمات الطبيعية للأعداد الأولية التي لا تتجاوز x . $${\displaystyle \vartheta (x)=\sum _{p\leq x}\log p,}$$$${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{k}\leq x}\log p.}$$

الدالة الثانية لتشيبشيف ψ ( x ) هي دالة الجمع لدالة فون مانجولد الموجودة أسفلها مباشرة.

دالة فون مانغولد Λ( n ) تساوي صفرًا ما لم يكن الوسيط n قوة أولية p ^k ، وفي هذه الحالة يكون اللوغاريتم الطبيعي للعدد الأولي p : $${\displaystyle \Lambda (n)={\begin{cases}\log p&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots =p^{k}{\text{ is a prime power}}\\0&{\text{if }}n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;{\text{ is not a prime power}}.\end{cases}}}$$

p ( n ) ، دالة التقسيم ، هي عدد طرق تمثيلnكمجموع أعداد صحيحة موجبة، حيث لا يتم اعتبار تمثيلين لهما نفس الحدود بترتيب مختلف مختلفين: $${\displaystyle p(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots a_{k}):0<a_{1}\leq a_{2}\leq \cdots \leq a_{k}\;\land \;n=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{k}\right\}\right|.}$$

دالة كارمايكل λ ( n ) هي أصغر عدد موجب بحيث${\displaystyle a^{\lambda (n)}\equiv 1{\pmod {n}}}$ لكل عدد أولي نسبيًا مع n . وبشكل مكافئ، هو المضاعف المشترك الأصغر لرتب عناصر المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n .

بالنسبة لقوى الأعداد الأولية الفردية وللعددين 2 و 4، فإن λ ( n ) يساوي دالة أويلر للعدد n ؛ أما بالنسبة لقوى العدد 2 الأكبر من 4، فإنه يساوي نصف دالة أويلر للعدد n : $${\displaystyle \lambda (n)={\begin{cases}\;\;\phi (n)&{\text{if }}n=2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots \\{\tfrac {1}{2}}\phi (n)&{\text{if }}n=8,16,32,64,\dots \end{cases}}}$$ وبالنسبة للعدد n العام ، فهو المضاعف المشترك الأصغر لـ λ لكل عامل من عوامل القوة الأولية للعدد n : $${\displaystyle \lambda (p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}\dots p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})=\operatorname {lcm} [\lambda (p_{1}^{a_{1}}),\;\lambda (p_{2}^{a_{2}}),\dots ,\lambda (p_{\omega (n)}^{a_{\omega (n)}})].}$$

الدالة h ( n ) ، وهي دالة عدد الفئات، تمثل رتبةزمرة الفئات المثاليةلامتداد جبري للأعداد النسبيةبمميزn. هذا الترميز غامض، إذ توجد عمومًا العديد من الامتدادات التي لها نفس المميز. للاطلاععلى أمثلة كلاسيكية،الحقل التربيعيوالحقلالدائري

يمثل r _k ( n ) عدد الطرقnكمجموعkمربعات، حيث يتم اعتبار التمثيلات التي تختلف فقط في ترتيب الحدود أو في إشارات الجذور التربيعية مختلفة. $${\displaystyle r_{k}(n)=\left|\left\{(a_{1},a_{2},\dots ,a_{k}):n=a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+\cdots +a_{k}^{2}\right\}\right|}$$

باستخدام ترميز هيفسايد للمشتقة، فإن المشتقة الحسابية D ( n ) هي دالة بحيث

• ${\displaystyle D(n)=1}$إذا كان n عددًا أوليًا،
• ${\displaystyle D(mn)=mD(n)+D(m)n}$( قاعدة الضرب )

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\mu (\delta )=\sum _{\delta \mid n}\lambda \left({\frac {n}{\delta }}\right)|\mu (\delta )|={\begin{cases}1&{\text{if }}n=1\\0&{\text{if }}n\neq 1\end{cases}}}$  حيث λ هي دالة ليوفيل. ^{[ 12 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )=n.}$   ^{[ 13 ]}

${\displaystyle \varphi (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta =n\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta }}.}$    انعكاس موبيوس

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}J_{k}(\delta )=n^{k}.}$   ^{[ 14 ]}

${\displaystyle J_{k}(n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\delta ^{k}=n^{k}\sum _{\delta \mid n}{\frac {\mu (\delta )}{\delta ^{k}}}.}$    انعكاس موبيوس

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_{r+s}(n)}$   ^{[ 15 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\varphi (\delta )d\left({\frac {n}{\delta }}\right)=\sigma (n).}$   ^{[ 16 ] [ 17 ]}

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}|\mu (\delta )|=2^{\omega (n)}.}$   ^{[ 18 ]}

${\displaystyle |\mu (n)|=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}.}$    انعكاس موبيوس

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}2^{\omega (\delta )}=d(n^{2}).}$   

${\displaystyle 2^{\omega (n)}=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d(\delta ^{2}).}$    انعكاس موبيوس

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d(\delta ^{2})=d^{2}(n).}$   

${\displaystyle d(n^{2})=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)d^{2}(\delta ).}$    انعكاس موبيوس

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d\left({\frac {n}{\delta }}\right)2^{\omega (\delta )}=d^{2}(n).}$   

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\lambda (\delta )={\begin{cases}&1{\text{ if }}n{\text{ is a square }}\\&0{\text{ if }}n{\text{ is not square.}}\end{cases}}}$   حيث λ هي دالة ليوفيل .

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}\Lambda (\delta )=\log n.}$   ^{[ 19 ]}

${\displaystyle \Lambda (n)=\sum _{\delta \mid n}\mu \left({\frac {n}{\delta }}\right)\log(\delta ).}$    انعكاس موبيوس

للجميع${\displaystyle k\geq 4,\;\;\;r_{k}(n)>0.}$  ( نظرية لاغرانج للمربعات الأربعة ).

${\displaystyle r_{2}(n)=4\sum _{d\mid n}\left({\frac {-4}{d}}\right),}$^{[ 20 ]}

حيث يكون لرمز كرونكر القيم التالية

${\displaystyle \left({\frac {-4}{n}}\right)={\begin{cases}+1&{\text{if }}n\equiv 1{\pmod {4}}\\-1&{\text{if }}n\equiv 3{\pmod {4}}\\\;\;\;0&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\\\end{cases}}}$

توجد صيغة لـ r ₃ في القسم الخاص بأرقام الفئات أدناه. $${\displaystyle r_{4}(n)=8\sum _{\stackrel {d\mid n}{4\,\nmid \,d}}d=8(2+(-1)^{n})\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d={\begin{cases}8\sigma (n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\24\sigma \left({\frac {n}{2^{\nu }}}\right)&{\text{if }}n{\text{ is even }}\end{cases}},}$$ حيث ν = ν ₂ ( n ) . ^{[ 21 ] [ 22 ] [ 23 ]}  $${\displaystyle r_{6}(n)=16\sum _{d\mid n}\chi \left({\frac {n}{d}}\right)d^{2}-4\sum _{d\mid n}\chi (d)d^{2},}$$ أين${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {-4}{n}}\right).}$^{[ 24 ]}

عرّف الدالة σ _k ^* ( n ) بالشكل ^{[ 25 ]}$${\displaystyle \sigma _{k}^{*}(n)=(-1)^{n}\sum _{d\mid n}(-1)^{d}d^{k}={\begin{cases}\sum _{d\mid n}d^{k}=\sigma _{k}(n)&{\text{if }}n{\text{ is odd }}\\\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\mid \,d}}d^{k}-\sum _{\stackrel {d\mid n}{2\,\nmid \,d}}d^{k}&{\text{if }}n{\text{ is even}}.\end{cases}}}$$

أي أنه إذا كان n فرديًا، فإن σ _k ^* ( n ) هو مجموع القوى k لقواسم n ، أي σ _k ( n )، وإذا كان n زوجيًا فهو مجموع القوى k للقواسم الزوجية لـ n مطروحًا منه مجموع القوى k للقواسم الفردية لـ n .

${\displaystyle r_{8}(n)=16\sigma _{3}^{*}(n).}$  ^{[ 24 ] [ 26 ]}

اعتمد الاصطلاح القائل بأن τ ( x ) لرامانوجان = 0 إذا لم يكن x عددًا صحيحًا.

${\displaystyle r_{24}(n)={\frac {16}{691}}\sigma _{11}^{*}(n)+{\frac {128}{691}}\left\{(-1)^{n-1}259\tau (n)-512\tau \left({\frac {n}{2}}\right)\right\}}$  ^{[ 27 ]}

هنا، لا تعني كلمة "الالتفاف" "الالتفاف ديريشليه" بل تشير إلى صيغة معاملات حاصل ضرب سلسلتين من القوى :

${\displaystyle \left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}\right)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}x^{i+j}=\sum _{n=0}^{\infty }\left(\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}x^{n}.}$

التسلسل${\displaystyle c_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$يُطلق عليه اسم الالتفاف أو حاصل ضرب كوشي للمتتاليتين a _n و b _n . يمكن إثبات هذه الصيغ تحليليًا (انظر متسلسلات أيزنشتاين ) أو باستخدام الطرق الأولية. ^{[ 28 ]}

${\displaystyle \sigma _{3}(n)={\frac {1}{5}}\left\{6n\sigma _{1}(n)-\sigma _{1}(n)+12\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{1}(n-k)\right\}.}$  ^{[ 29 ]}

${\displaystyle \sigma _{5}(n)={\frac {1}{21}}\left\{10(3n-1)\sigma _{3}(n)+\sigma _{1}(n)+240\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{3}(n-k)\right\}.}$  ^{[ 30 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{7}(n)&={\frac {1}{20}}\left\{21(2n-1)\sigma _{5}(n)-\sigma _{1}(n)+504\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}\\&=\sigma _{3}(n)+120\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{3}(n-k).\end{aligned}}}$  ^{[ 30 ] [ 31 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{9}(n)&={\frac {1}{11}}\left\{10(3n-2)\sigma _{7}(n)+\sigma _{1}(n)+480\sum _{0<k<n}\sigma _{1}(k)\sigma _{7}(n-k)\right\}\\&={\frac {1}{11}}\left\{21\sigma _{5}(n)-10\sigma _{3}(n)+5040\sum _{0<k<n}\sigma _{3}(k)\sigma _{5}(n-k)\right\}.\end{aligned}}}$  ^{[ 29 ] [ 32 ]}

${\displaystyle \tau (n)={\frac {65}{756}}\sigma _{11}(n)+{\frac {691}{756}}\sigma _{5}(n)-{\frac {691}{3}}\sum _{0<k<n}\sigma _{5}(k)\sigma _{5}(n-k),}$  حيث τ ( n ) هي دالة رامانوجان. ^{[ 33 ] [ 34 ]}  

بما أن _σk ( n ) (لعدد طبيعي k ) و τ ( n ) عددان صحيحان، يمكن استخدام الصيغ المذكورة أعلاه لإثبات التطابقات ^{[ 35 ]} للدوال. انظر دالة تاو لرامانوجان للاطلاع على بعض الأمثلة.

قم بتوسيع نطاق دالة التقسيم عن طريق تعيين p (0) = 1.

${\displaystyle p(n)={\frac {1}{n}}\sum _{1\leq k\leq n}\sigma (k)p(n-k).}$  ^{[ 36 ]}  يمكن استخدام هذا التكرار لحسابp(n).

اكتشف بيتر غوستاف ليجون ديريشليه صيغًا تربط رقم الفئة h لحقول الأعداد التربيعية برمز جاكوبي. ^{[ 37 ]}

يُطلق على العدد الصحيح D اسم المميز الأساسي إذا كان مميز حقل أعداد تربيعي. وهذا يكافئ أن D ≠ 1، وإما أ) أن يكون D خاليًا من المربعات ويكون D ≡ 1 (mod 4)، أو ب) أن يكون D ≡ 0 (mod 4)، ويكون D /4 خاليًا من المربعات، ويكون D /4 ≡ 2 أو 3 (mod 4). ^{[ 38 ]}

قم بتوسيع رمز جاكوبي ليقبل الأعداد الزوجية في "المقام" عن طريق تعريف رمز كرونكر : $${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{ if }}a{\text{ is even}}\\(-1)^{\frac {a^{2}-1}{8}}&{\text{ if }}a{\text{ is odd. }}\end{cases}}}$$

ثم إذا كان D < −4 هو المميز الأساسي ^{[ 39 ] [ 40 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}h(D)&={\frac {1}{D}}\sum _{r=1}^{|D|}r\left({\frac {D}{r}}\right)\\&={\frac {1}{2-\left({\tfrac {D}{2}}\right)}}\sum _{r=1}^{|D|/2}\left({\frac {D}{r}}\right).\end{aligned}}}$$

توجد أيضًا صيغة تربط بين r ₃ و h . مرة أخرى، لنفترض أن D هو المميز الأساسي، D < −4. إذن ^{[ 41 ]}$${\displaystyle r_{3}(|D|)=12\left(1-\left({\frac {D}{2}}\right)\right)h(D).}$$

يترك${\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$ ليكن العدد التوافقي النوني . إذن

${\displaystyle \sigma (n)\leq H_{n}+e^{H_{n}}\log H_{n}}$ تكون هذه العبارة صحيحة لكل عدد طبيعي n إذا وفقط إذا كانت فرضية ريمان صحيحة. ^{[ 42 ]}  

تُعادل فرضية ريمان أيضًا القول بأنه، بالنسبة لجميع قيم n > 5040، $${\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n}$$(حيث γ هو ثابت أويلر-ماسكيروني ). هذه هي نظرية روبن .

${\displaystyle \sum _{p}\nu _{p}(n)=\Omega (n).}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n).}$  ^{[ 43 ]}

${\displaystyle \Pi (x)=\sum _{n\leq x}{\frac {\Lambda (n)}{\log n}}.}$  ^{[ 44 ]}

${\displaystyle e^{\theta (x)}=\prod _{p\leq x}p.}$  ^{[ 45 ]}

${\displaystyle e^{\psi (x)}=\operatorname {lcm} [1,2,\dots ,\lfloor x\rfloor ].}$  ^{[ 46 ]}

في عام 1965 أثبت بي كيسافا مينون ^{[ 47 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\gcd(k-1,n)=\varphi (n)d(n).}$$

وقد عمم هذا المفهوم عدد من علماء الرياضيات. على سبيل المثال،

• ب. سوري ^{[ 48 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},n)=1}}\gcd(k_{1}-1,k_{2},\dots ,k_{s},n)=\varphi (n)\sigma _{s-1}(n).}$$
• ن. راو ^{[ 49 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k_{1},k_{2},\dots ,k_{s}\leq n}{\gcd(k_{1},k_{2},\dots ,k_{s},n)=1}}\gcd(k_{1}-a_{1},k_{2}-a_{2},\dots ,k_{s}-a_{s},n)^{s}=J_{s}(n)d(n),}$$حيث a ₁ ، a ₂ ، ... ، a _s هي أعداد صحيحة، gcd( a ₁ ، a ₂ ، ... ، a _s ، n ) = 1.
• لازلو فيجيس توث ^{[ 50 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq m}{\gcd(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m_{1})\gcd(k^{2}-1,m_{2})=\varphi (n)\sum _{\stackrel {d_{1}\mid m_{1}}{d_{2}\mid m_{2}}}\varphi (\gcd(d_{1},d_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d_{1},d_{2}))},}$$حيث أن m ₁ و m ₂ فرديان، m = lcm( m ₁ , m ₂ ).

في الواقع، إذا كانت f أي دالة حسابية ^{[ 51 ] [ 52 ]}$${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}f(\gcd(k-1,n))=\varphi (n)\sum _{d\mid n}{\frac {(\mu *f)(d)}{\varphi (d)}},}$$ أين${\displaystyle *}$يرمز إلى التفاف ديريشليه.

ليكن m و n عددين مختلفين، فرديين، وموجبين. عندئذٍ، يحقق رمز جاكوبي قانون التبادل التربيعي : $${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=(-1)^{(m-1)(n-1)/4}.}$$

ليكن D ( n ) المشتقة الحسابية. عندئذٍ تكون المشتقة اللوغاريتمية$${\displaystyle {\frac {D(n)}{n}}=\sum _{\stackrel {p\mid n}{p{\text{ prime}}}}{\frac {v_{p}(n)}{p}}.}$$انظر إلى قسم المشتقة الحسابية لمزيد من التفاصيل.

لتكن λ ( n ) دالة ليوفيل. إذن

${\displaystyle |\lambda (n)|\mu (n)=\lambda (n)|\mu (n)|=\mu (n),}$  و

${\displaystyle \lambda (n)\mu (n)=|\mu (n)|=\mu ^{2}(n).}$  

لتكن λ ( n ) دالة كارمايكل. عندئذٍ

${\displaystyle \lambda (n)\mid \phi (n).}$   إضافي،

${\displaystyle \lambda (n)=\phi (n){\text{ if and only if }}n={\begin{cases}1,2,4;\\3,5,7,9,11,\ldots {\text{ (that is, }}p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}};\\6,10,14,18,\ldots {\text{ (that is, }}2p^{k}{\text{, where }}p{\text{ is an odd prime)}}.\end{cases}}}$

انظر إلى المجموعة الضربية للأعداد الصحيحة بتردد n والجذر الأولي بتردد n .  

${\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}.}$  ^{[ 53 ] [ 54 ]}

${\displaystyle {\frac {6}{\pi ^{2}}}<{\frac {\phi (n)\sigma (n)}{n^{2}}}<1.}$  ^{[ 55 ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{q}(n)&={\frac {\mu \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}{\phi \left({\frac {q}{\gcd(q,n)}}\right)}}\phi (q)\\&=\sum _{\delta \mid \gcd(q,n)}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .\end{aligned}}}$  ^{[ 56 ]} لاحظ أن   ${\displaystyle \phi (q)=\sum _{\delta \mid q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta .}$  ^{[ 57 ]}

${\displaystyle c_{q}(1)=\mu (q).}$

${\displaystyle c_{q}(q)=\phi (q).}$

${\displaystyle \sum _{\delta \mid n}d^{3}(\delta )=\left(\sum _{\delta \mid n}d(\delta )\right)^{2}.}$  ^{[ 58 ]}  قارن هذا مع1³+ 2³⁺3³⁺... +n³⁽⁺2 + 3 + ... +n)^²

${\displaystyle d(uv)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\mu (\delta )d\left({\frac {u}{\delta }}\right)d\left({\frac {v}{\delta }}\right).}$  ^{[ 59 ]}

${\displaystyle \sigma _{k}(u)\sigma _{k}(v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{k}\sigma _{k}\left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right).}$  ^{[ 60 ]}

${\displaystyle \tau (u)\tau (v)=\sum _{\delta \mid \gcd(u,v)}\delta ^{11}\tau \left({\frac {uv}{\delta ^{2}}}\right),}$  حيث τ ( n ) هي دالة رامانوجان. ^{[ 61 ]}