التكيف مع الشكل الأفيني

الموسوعة الحرة

التكيف الشكلي الأفيني هو منهجية لتكييف شكل نوى التنعيم في مجموعة أفينية من نوى التنعيم بشكل تكراري مع بنية الصورة المحلية في المنطقة المجاورة لنقطة صورة محددة. وبالمثل، يمكن تحقيق التكيف الشكلي الأفيني عن طريق تشويه رقعة صورة محلية بشكل تكراري باستخدام تحويلات أفينية مع تطبيق مرشح متناظر دورانيًا على رقع الصورة المشوهة. شريطة أن تتقارب هذه العملية التكرارية، ستكون النقطة الثابتة الناتجة ثابتة أفينيًا . في مجال رؤية الحاسوب ، استُخدمت هذه الفكرة لتعريف عوامل تشغيل نقاط الاهتمام الثابتة أفينيًا، بالإضافة إلى طرق تحليل النسيج الثابتة أفينيًا.

عوامل نقاط الاهتمام المُكيَّفة مع التحويلات الأفينية

تتميز نقاط الاهتمام المُستخرجة من كاشف البقع اللابلاسية المُكيّف مع المقياس، أو كاشف زوايا هاريس متعدد المقاييس مع اختيار المقياس التلقائي، بثباتها تجاه عمليات الإزاحة والدوران وإعادة التحجيم المنتظم في المجال المكاني. مع ذلك، فإن الصور التي تُشكّل مدخلات نظام رؤية الحاسوب تخضع أيضًا لتشوهات المنظور. وللحصول على نقاط اهتمام أكثر مقاومةً لتحولات المنظور، يتمثل أحد الأساليب الطبيعية في تصميم كاشف ميزات ثابت تجاه التحويلات الأفينية .

يمكن تحقيق الثبات الأفيني من خلال قياسات نفس مصفوفة العزم الثاني متعددة المقاييس ذات النافذةμ{\displaystyle \mu }كما هو مستخدم في عامل هاريس متعدد المقاييس، شريطة أن نوسع مفهوم فضاء المقياس المنتظم الذي تم الحصول عليه عن طريق الالتفاف مع نوى غاوسية متناظرة دورانيًا إلى فضاء مقياس غاوسي أفيني تم الحصول عليه بواسطة نوى غاوسية متكيفة مع الشكل ( ليندبرغ 1994 ، القسم 15.3 ؛ ليندبرغ وغاردينغ 1997 ). بالنسبة لصورة ثنائية الأبعادأنا{\displaystyle I}، يتركx¯=(x،y)تي{\displaystyle {\bar {x}}=(x,y)^{T}}ودعΣت{\displaystyle \Sigma _{t}}لتكن مصفوفة موجبة محددة من الرتبة 2×2. عندئذٍ، يمكن تعريف نواة غاوسية غير منتظمة على النحو التالي:

ز(x¯؛Σ)=12πالمحقق⁡Σتهـ-x¯Σت-1x¯/2{\displaystyle g({\bar {x}};\Sigma )={\frac {1}{2\pi {\sqrt {\operatorname {det} \Sigma _{t}}}}}e^{-{\bar {x}}\Sigma _{t}^{-1}{\bar {x}}/2}}

وبإعطاء أي صورة مدخلةأنال{\displaystyle I_{L}}فضاء المقياس الغاوسي الأفيني هو فضاء المقياس ذو المعلمات الثلاث المعرّف على النحو التالي:

ل(x¯؛Σت)=∫xأنا¯أنال(x-ξ)ز(ξ¯؛Σت)دξ¯.{\displaystyle L({\bar {x}};\Sigma _{t})=\int _{\bar {xi}}I_{L}(x-\xi )\,g({\bar {\xi }};\Sigma _{t})\,d{\bar {\xi }}.}

بعد ذلك، قم بإدخال تحويل أفينيη=بξ{\displaystyle \eta =B\xi }أينب{\displaystyle B}هي مصفوفة 2×2، وتُعرّف صورة مُحوّلةأناR{\displaystyle I_{R}}مثل

أنال(ξ¯)=أناR(η¯){\displaystyle I_{L}({\bar {\xi }})=I_{R}({\bar {\eta }})}.

ثم تمثيلات فضاء المقياس الأفينيل{\displaystyle L}وR{\displaystyle R}لأنال{\displaystyle I_{L}}وأناR{\displaystyle I_{R}}على التوالي، ترتبط وفقًا لـ

ل(ξ¯،Σل)=R(η¯،ΣR){\displaystyle L({\bar {\xi }},\Sigma _{L})=R({\bar {\eta }},\Sigma _{R})}

بشرط أن تكون مصفوفات الشكل الأفينيΣل{\displaystyle \Sigma _{L}}وΣR{\displaystyle \Sigma _{R}}ترتبط وفقًا لـ

ΣR=بΣلبتي{\displaystyle \Sigma _{R}=B\Sigma _{L}B^{T}}.

بغض النظر عن التفاصيل الرياضية، التي تصبح للأسف تقنية إلى حد ما إذا كان المرء يهدف إلى وصف دقيق لما يحدث، فإن الرسالة المهمة هي أن فضاء المقياس الغاوسي الأفيني مغلق تحت التحويلات الأفينية .

إذا نظرنا إلى الترميز∇ل=(لx،لy)تي{\displaystyle \nabla L=(L_{x},L_{y})^{T}}بالإضافة إلى مصفوفة الشكل المحليةΣت{\displaystyle \Sigma _{t}}ومصفوفة شكل التكاملΣs{\displaystyle \Sigma _{s}}، أدخل مصفوفة العزم الثاني متعددة المقاييس المتوافقة مع التحويلات الأفينية وفقًا لـ

μل(x¯؛Σت،Σs)=ز(x¯-ξ¯؛Σs)(∇ل(ξ¯؛Σت)∇لتي(ξ¯؛Σت)){\displaystyle \mu _{L}({\bar {x}};\Sigma _{t},\Sigma _{s})=g({\bar {x}}-{\bar {\xi }};\Sigma _{s})\,\left(\nabla _{L}({\bar {\xi }};\Sigma _{t})\nabla _{L}^{T}({\bar {\xi }};\Sigma _{t})\right)}

يمكن إثبات أنه في ظل أي تحويل أفينيq¯=بص¯{\displaystyle {\bar {q}}=B{\bar {p}}}تتحول مصفوفة العزم الثاني متعددة المقاييس المتكيفة مع التحويلات الأفينية وفقًا لـ

μل(ص¯؛Σت،Σs)=بتيμR(q¯؛بΣتبتي،بΣsبتي)ب{\displaystyle \mu _{L}({\bar {p}};\Sigma _{t},\Sigma _{s})=B^{T}\mu _{R}({\bar {q}};B\Sigma _{t}B^{T},B\Sigma _{s}B^{T})B}.

ومرة أخرى، وبغض النظر عن التفاصيل التقنية المعقدة نوعًا ما، فإن الرسالة المهمة هنا هي أنه بالنظر إلى وجود تطابق بين نقاط الصورةص¯{\displaystyle {\bar {p}}}وq¯{\displaystyle {\bar {q}}}التحويل الأفينيب{\displaystyle B}يمكن تقديرها من خلال قياسات مصفوفات العزم الثاني متعددة المقاييسμل{\displaystyle \mu _{L}}وμR{\displaystyle \mu _{R}}في المجالين.

من أهم نتائج هذه الدراسة أنه إذا استطعنا إيجاد تحويل أفينيب{\displaystyle B}بحيثμR{\displaystyle \mu _{R}}إذا كان ثابتًا مضروبًا في مصفوفة الوحدة، فإننا نحصل على نقطة ثابتة لا تتأثر بالتحويلات الأفينية ( ليندبرغ 1994 ، القسم 15.4 ؛ ليندبرغ وغاردينغ 1997 ). ولأغراض التطبيق العملي، يمكن غالبًا الوصول إلى هذه الخاصية بإحدى طريقتين رئيسيتين. تعتمد الطريقة الأولى على تحويلات مرشحات التنعيم وتتكون مما يلي:

  • تقدير مصفوفة العزم الثانيμ{\displaystyle \mu }في مجال الصور،
  • تحديد نواة تنعيم جديدة مُعدّلة بمصفوفة تباين تتناسب معμ-1{\displaystyle \mu ^{-1}}،
  • تنعيم الصورة الأصلية باستخدام نواة التنعيم المتكيفة مع الشكل، و
  • تكرار هذه العملية حتى يصبح الفرق بين مصفوفتين متتاليتين للعزم الثاني صغيرًا بما فيه الكفاية.

يعتمد النهج الثاني على عمليات التشويه في مجال الصورة ويتضمن ما يلي:

  • التقديرμ{\displaystyle \mu }في مجال الصور،
  • تقدير تحويل أفيني محلي يتناسب معب^=μ1/2{\displaystyle {\hat {B}}=\mu ^{1/2}}أينμ1/2{\displaystyle \mu ^{1/2}}يرمز إلى مصفوفة الجذر التربيعي لـμ{\displaystyle \mu }،
  • تشويه الصورة المدخلة عن طريق التحويل الأفينيب^-1{\displaystyle {\hat {B}}^{-1}}و
  • تكرار هذه العملية حتى μ{\displaystyle \mu }قريب بما فيه الكفاية من ثابت مضروب في مصفوفة الوحدة.

تُعرف هذه العملية الشاملة باسم التكيف الشكلي الأفيني ( ليندبرغ وغاردينغ 1997 ؛ باومبرغ 2000 ؛ ميكولاجيك وشميد 2004 ؛ تويتيلارز وفان غول 2004 ؛ رافيلا 2004 ؛ ليندبرغ 2008 ). في الحالة المثالية المستمرة، يكون النهجان متكافئين رياضيًا. مع ذلك، في التطبيقات العملية، يكون النهج الأول القائم على المرشحات عادةً أكثر دقة في وجود التشويش، بينما يكون النهج الثاني القائم على التشويه عادةً أسرع.

عمليًا، غالبًا ما تُدمج عملية تكييف الشكل الأفيني الموصوفة هنا مع اختيار المقياس التلقائي لاكتشاف نقاط الاهتمام، كما هو موضح في مقالات اكتشاف البقع واكتشاف الزوايا ، وذلك للحصول على نقاط اهتمام ثابتة بغض النظر عن المجموعة الأفينية الكاملة، بما في ذلك تغييرات المقياس. إلى جانب مُعامل هاريس متعدد المقاييس الشائع الاستخدام، يمكن تطبيق تكييف الشكل الأفيني هذا على أنواع أخرى من مُعاملات نقاط الاهتمام، مثل مُعامل لابلاس/فرق غاوس للبقع ومحدد مصفوفة هيسيان ( ليندبرغ 2008 ). كما يُمكن استخدام تكييف الشكل الأفيني للتعرف على النسيج الثابت أفينيًا وتجزئة النسيج الثابت أفينيًا.

يرتبط مفهوم التكيف الشكلي الأفيني ارتباطًا وثيقًا بمفهوم التطبيع الأفيني ، والذي يحدد إطارًا مرجعيًا ثابتًا أفينيًا كما هو موضح بشكل أكبر في ليندبيرج ( 2013 أ ، ب ، 2021 : الملحق الأول.3)، بحيث يكون أي قياس للصورة يتم إجراؤه في الإطار المرجعي الثابت أفيني ثابتًا أفينيًا.

انظر أيضاً

مراجع