مجموعة أفينية

في الرياضيات ، تُعرف المجموعة الأفينية ، أو المجموعة الأفينية العامة لأي فضاء أفيني، بأنها مجموعة جميع التحويلات الأفينية القابلة للعكس من ذلك الفضاء إلى نفسه. في حالة الفضاء الإقليدي (حيث يكون حقل الأعداد الحقيقية هو الحقل المرتبط به )، تتكون المجموعة الأفينية من الدوال التي تُحوّل الفضاء إلى نفسه بحيث تكون صورة كل خط مستقيم خطًا مستقيمًا.

في أي حقل، يمكن اعتبار المجموعة الأفينية مجموعة مصفوفات بطريقة طبيعية. إذا كان حقل الأعداد القياسي المرتبط بها هو الحقل الحقيقي أو المركب، فإن المجموعة الأفينية تكون مجموعة لي .

بتمثيل المجموعة الأفينية كحاصل ضرب شبه مباشر لـ V بواسطة GL( V ) ، فإن العناصر ، بحسب بناء حاصل الضرب شبه المباشر ، تكون أزواجًا ( v , M ) ، حيث v متجه في V و M تحويل خطي في GL( V ) ، ويتم الضرب بواسطة

${\displaystyle (v,M)\cdot (w,N)=(v+Mw,MN)\,.}$

يمكن تمثيل ذلك على شكل مصفوفة كتلية ( n + 1) × ( n + 1)

${\displaystyle \left({\begin{array}{c|c}M&v\\\hline 0&1\end{array}}\right)}$

حيث M هي مصفوفة n × n على K ، و v متجه عمودي n × 1 ، و 0 هو صف من الأصفار 1 × n ، و 1 هي مصفوفة الوحدة 1 × 1 .

بشكل رسمي، فإن Aff( V ) متماثل بشكل طبيعي مع مجموعة فرعية من GL( V ⊕ K ) ، مع تضمين V كمستوى أفيني {( v , 1) | v ∈ V } ، أي مثبت هذا المستوى الأفيني؛ صيغة المصفوفة أعلاه هي (منقولة) تحقيق ذلك، مع الكتل n × n و 1 × 1 التي تتوافق مع تحليل المجموع المباشر V ⊕ K.

التمثيل المماثل هو أي مصفوفة ( n + 1) × ( n + 1) يكون مجموع عناصر كل عمود فيها يساوي 1. ^{[ 1 ]} التشابه P للانتقال من النوع المذكور أعلاه إلى هذا النوع هو مصفوفة الوحدة ( n + 1) × ( n + 1) مع استبدال الصف السفلي بصف من جميع القيم 1 .

كل من هاتين الفئتين من المصفوفات مغلقة تحت عملية ضرب المصفوفات.

قد يكون النموذج الأبسط هو الحالة n = 1 ، أي المصفوفات المثلثية العلوية 2 × 2 التي تمثل المجموعة الأفينية في بُعد واحد. إنها مجموعة لي غير أبيلية ذات مُعاملين ، وبالتالي لها مُولِّدان فقط (عناصر جبر لي)، A و B ، بحيث يكون [ A , B ] = B ، حيث

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad B=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right)\,,}$

لهذا السبب.

${\displaystyle e^{aA+bB}=\left({\begin{array}{cc}e^{a}&{\tfrac {b}{a}}(e^{a}-1)\\0&1\end{array}}\right)\,.}$

Aff( Fp ₎ لها رتبة p ( p - 1) . بما أن

${\displaystyle {\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}c&d\\0&1\end{pmatrix}}^{-1}={\begin{pmatrix}a&(1-a)d+bc\\0&1\end{pmatrix}}\,,}$

نعلم أن Aff( Fp ) لها p فئة اقتران ، وهي _:

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{id}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}\,,\\[6pt]C_{1}&=\left\{{\begin{pmatrix}1&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}^{*}\right\}\,,\\[6pt]{\Bigg \{}C_{a}&=\left\{{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}{\Bigg |}b\in \mathbf {F} _{p}\right\}{\Bigg |}a\in \mathbf {F} _{p}\setminus \{0,1\}{\Bigg \}}\,.\end{aligned}}}$

نعلم إذن أن Aff( Fp ) لها p تمثيلات غير قابلة للاختزال . وبحسب الفقرة السابقة ( تمثيل المصفوفة )  ، توجد p - 1 تمثيلات أحادية البعد، يتم تحديدها بواسطة التشاكل _.

${\displaystyle \rho _{k}:\operatorname {Aff} (\mathbf {F} _{p})\to \mathbb {C} ^{*}}$

لـ k = 1، 2، ... p − 1 ، حيث

${\displaystyle \rho _{k}{\begin{pmatrix}a&b\\0&1\end{pmatrix}}=\exp \left({\frac {2ikj\pi }{p-1}}\right)}$

و i ² = −1 ، و a = g ^j ، و g مولد للمجموعة F ^∗ _p . ثم ​​بالمقارنة مع رتبة F _p ، نحصل على

${\displaystyle p(p-1)=p-1+\chi _{p}^{2}\,,}$

وبالتالي، فإن χ _p = p − 1 هو بُعد التمثيل غير القابل للاختزال الأخير. وأخيرًا، باستخدام خاصية تعامد التمثيلات غير القابلة للاختزال، يمكننا إكمال جدول خصائص Aff ( F _p ) :

${\displaystyle {\begin{array}{c|cccccc}&{\color {Blue}C_{id}}&{\color {Blue}C_{1}}&{\color {Blue}C_{g}}&{\color {Blue}C_{g^{2}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}C_{g^{p-2}}}\\\hline {\color {Blue}\chi _{1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {2\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{2}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {8\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {4\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Blue}\chi _{3}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi i}{p-1}}}&{\color {Blue}e^{\frac {12\pi i}{p-1}}}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Blue}e^{\frac {6\pi (p-2)i}{p-1}}}\\{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}\dots }\\{\color {Blue}\chi _{p-1}}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}1}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}1}\\{\color {Blue}\chi _{p}}&{\color {Gray}p-1}&{\color {Gray}-1}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}0}&{\color {Gray}\dots }&{\color {Gray}0}\end{array}}}$

عناصر${\displaystyle \operatorname {Aff} (2,\mathbb {R} )}$يمكن أن تتخذ شكلاً بسيطاً على نظام إحداثيات أفيني مختار جيداً . وبشكل أكثر دقة، بالنظر إلى تحويل أفيني لمستوى أفيني على الأعداد الحقيقية ، يوجد نظام إحداثيات أفيني يكون له أحد الأشكال التالية، حيث a و b و t أعداد حقيقية (تضمن الشروط المعطاة أن التحويلات قابلة للعكس، ولكن ليس لجعل الفئات متميزة؛ على سبيل المثال، ينتمي العنصر المحايد إلى جميع الفئات).

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{1.}}&&(x,y)&\mapsto (x+a,y+b),\\[3pt]{\text{2.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,by),&\qquad {\text{where }}ab\neq 0,\\[3pt]{\text{3.}}&&(x,y)&\mapsto (ax,y+b),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{4.}}&&(x,y)&\mapsto (ax+y,ay),&\qquad {\text{where }}a\neq 0,\\[3pt]{\text{5.}}&&(x,y)&\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt]{\text{6.}}&&(x,y)&\mapsto (a(x\cos t+y\sin t),a(-x\sin t+y\cos t)),&\qquad {\text{where }}a\neq 0.\end{aligned}}}$

الحالة 1 تتعلق بالترجمات .

الحالة الثانية تتعلق بمقاييس قد تختلف في اتجاهين مختلفين. عند العمل مع المستوى الإقليدي، لا يشترط أن يكون هذان الاتجاهان متعامدين ، لأن محاور الإحداثيات لا يشترط أن تكون متعامدة.

الحالة 3 تتوافق مع تغيير الحجم في اتجاه واحد والانتقال في اتجاه آخر.

الحالة الرابعة تتوافق مع عملية رسم خرائط القص المقترنة بالتمدد.

الحالة 5 تتوافق مع عملية رسم خرائط القص المقترنة بالتمدد.

الحالة 6 تتوافق مع أوجه التشابه عندما تكون محاور الإحداثيات متعامدة.

التحويلات الأفينية بدون أي نقطة ثابتة تنتمي إلى الحالات 1 و 3 و 5. أما التحويلات التي لا تحافظ على اتجاه المستوى فتنتمي إلى الحالات 2 (مع ab < 0 ) أو 3 (مع a < 0 ).

يمكن إثبات ذلك من خلال ملاحظة أنه إذا لم يكن للتحويل الأفيني نقطة ثابتة، فإن مصفوفة الخريطة الخطية المرتبطة بها لها قيمة ذاتية تساوي واحدًا، ثم استخدام نظرية الشكل الطبيعي لجوردان للمصفوفات الحقيقية .

• مجموعة كوكسيتر الأفينية - مجموعات فرعية منفصلة معينة من المجموعة الأفينية على فضاء إقليدي تحافظ على شبكة
• هولومورف