مستطيل الأجنحة

مستطيل آيلز هو مستطيل مُنشأ من أربعة مثلثات قائمة الزاوية ، ويُستخدم عادةً في دروس الهندسة لإيجاد قيم الدوال المثلثية التي تساوي 15° و75°. ^{[ 1 ]} سُمّيَ نسبةً إلى دوغلاس س. آيلز، الذي كان مُدرّسًا في مدرسة كيبلينغ كوليجيت الثانوية في تورنتو . ^{[ 2 ] [ 3 ]}

المثلث القائم الزاوية 30°–60°–90° له أضلاع طولها 1 و2 و${\displaystyle {\sqrt {3}}}$عند وضع مثلثين من هذا النوع في المواضع الموضحة في الرسم التوضيحي، يكون عرض أصغر مستطيل يمكن أن يحيط بهما هو${\displaystyle 1+{\sqrt {3}}}$والارتفاع${\displaystyle {\sqrt {3}}}$رسم خط يصل بين الزوايا العلوية للمثلثين الأصليين يُنشئ مثلثًا بزاوية 45°–45°–90° بينهما، بأضلاع طولها 2 و2 و(بحسب نظرية فيثاغورس ).${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$المساحة المتبقية في أعلى المستطيل عبارة عن مثلث قائم الزاوية بزوايا حادة قياسها 15° و  75° وأضلاعه${\displaystyle {\sqrt {3}}-1}$،${\displaystyle {\sqrt {3}}+1}$، و${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$.

من خلال إنشاء المستطيل، يتبين أن

${\displaystyle \sin 15^{\circ }=\cos 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \sin 75^{\circ }=\cos 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{2{\sqrt {2}}}}={\frac {{\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}}{4}},}$

${\displaystyle \tan 15^{\circ }=\cot 75^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}-1}{{\sqrt {3}}+1}}={\frac {({\sqrt {3}}-1)^{2}}{3-1}}=2-{\sqrt {3}},}$

و

${\displaystyle \tan 75^{\circ }=\cot 15^{\circ }={\frac {{\sqrt {3}}+1}{{\sqrt {3}}-1}}={\frac {({\sqrt {3}}+1)^{2}}{3-1}}=2+{\sqrt {3}}.}$

يُقدّم بناء بديل (أيضًا من قِبل آيلز) مثلثًا بزاوية 30°–60°–90° في المنتصف بأطوال أضلاع تبلغ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$،${\displaystyle {\sqrt {6}}}$، و${\displaystyle 2{\sqrt {2}}}$ضلعاه كل منهما وتر مثلث قائم الزاوية 45°–45°–90°، وهو مثلث طول ضلعيه${\displaystyle 1}$وواحد ذو أرجل طويلة${\displaystyle {\sqrt {3}}}$[ ^{4 ] [ 5 ]} المثلث 15°–75°–90° هو نفسه كما هو مذكور أعلاه ^.

• القيم المثلثية الدقيقة