نظرية فيثاغورس

في أحد برهان إعادة الترتيب، يتم استخدام مربعين طول ضلعيهما يساوي${\displaystyle a+b}$والتي تحتوي على أربعة مثلثات قائمة الزاوية أطوال أضلاعها a و b و c ، ووترها c . في المربع على الجانب الأيمن، وُضعت المثلثات بحيث تتطابق زوايا المربع مع زوايا المثلثات القائمة، مُشكّلةً مربعًا في المركز طول ضلعه c. مساحة كل مربع خارجي هي (a + b)² بالإضافة إلى 2ab + c² ، حيث يُمثل 2ab المساحة ^الكلية للمثلثات الأربعة . داخل ^المربع الكبير على الجانب الأيسر ، نُقلت المثلثات الأربعة لتشكيل مستطيلين متشابهين طول ضلعيهما a و b . هذان المستطيلان في وضعهما الجديد يُحددان مربعين جديدين، أحدهما طول ضلعه a في الزاوية السفلية اليسرى، والآخر طول ضلعه b في الزاوية العلوية اليمنى. في هذا الوضع الجديد ، يحتوي هذا الجانب الأيسر الآن على مربع مساحته ( a + b ) ^² بالإضافة إلى 2ab + a² ⁺ b² ^. بما أن مساحة كلا المربعين تساوي ( أ + ب ) ^{²، فإن} مساحة المربع الآخر تساوي مساحة المربع الآخر أيضًا، بحيث يكون 2 ^أب + ج² = 2 أب + أ² + ب² . ^{وبإزالة مساحة المثلثات} الأربعة من طرفي المعادلة، يتبقى ^لدينا أ² + ب² = ^{ج² . [ 27} ]

^{في برهان آخر ،} يمكن وضع المستطيلات في المربع الثاني بحيث تتطابق إحدى زوايا كل منهما مع زوايا متجاورة للمربع. وبهذه الطريقة، تُشكّل المستطيلات مربعين، هذه المرة في زوايا متجاورة، بمساحتين ^a² و b² ، مما يؤدي ^بدوره إلى مربع ثانٍ مساحته 2ab + a² + b² ^.

يقدم عالم الرياضيات الإنجليزي السير توماس هيث هذا البرهان في تعليقه على القضية 1.47 في كتاب الأصول لإقليدس ، ويشير إلى مقترحات عالمي الرياضيات الألمانيين كارل أنطون بريتشنايدر وهيرمان هانكل بأن فيثاغورس ربما كان على دراية بهذا البرهان. ويؤيد هيث نفسه اقتراحًا مختلفًا لبرهان فيثاغورس، لكنه يُقر منذ بداية مناقشته بأن "الأدب اليوناني الذي بين أيدينا، والذي يعود إلى القرون الخمسة الأولى بعد فيثاغورس، لا يتضمن أي بيان يُنسب إليه هذا الاكتشاف الهندسي العظيم أو أي اكتشاف آخر". ^{[ 28 ]} وقد أثارت الدراسات الحديثة شكوكًا متزايدة حول أي دور لفيثاغورس كمؤسس للرياضيات، على الرغم من استمرار النقاش حول هذا الموضوع. ^{[ 29 ]}

يمكن إثبات النظرية جبريًا باستخدام أربع نسخ من المثلث نفسه مرتبة بشكل متناظر حول مربع طول ضلعه c ، كما هو موضح في الجزء السفلي من الرسم التوضيحي. ^{[ 30 ]} ينتج عن ذلك مربع أكبر، طول ضلعه a + b ومساحته ( a + b ) ^² . يجب أن تكون مساحة المثلثات الأربعة وضلع المربع c مساوية لمساحة المربع الأكبر. $${\displaystyle (b+a)^{2}=c^{2}+4{\frac {ab}{2}}=c^{2}+2ab,}$$ أعطِ $${\displaystyle c^{2}=(b+a)^{2}-2ab=b^{2}+2ab+a^{2}-2ab=a^{2}+b^{2}.}$$

يستخدم برهان مشابه أربع نسخ من مثلث قائم الزاوية أضلاعه a و b و c ، مرتبة داخل مربع طول ضلعه c كما في النصف العلوي من الرسم التوضيحي. ^{[ 31 ]} المثلثات متشابهة ومساحتها 1/2 ab ، بينما المربع الصغير طول ضلعه b - a ومساحته ( b - a ) ^{² . وبالتالي} ، فإن مساحة المربع الكبير هي $${\displaystyle (ba)^{2}+4{\frac {ab}{2}}=(ba)^{2}+2ab=b^{2}-2ab+a^{2}+2ab=a^{2}+b^{2}.}$$

لكن هذا مربع طول ضلعه c ومساحته c² ^، لذا $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}.}$$

يستند هذا البرهان إلى تناسب أضلاع ثلاثة مثلثات متشابهة ، أي على حقيقة أن نسبة أي ضلعين متناظرين في مثلثات متشابهة هي نفسها بغض النظر عن حجم المثلثات.

لنفترض أن المثلث ABC قائم الزاوية، وزاويته القائمة تقع عند النقطة C ، كما هو موضح في الشكل. ارسم الارتفاع من النقطة C ، ولنسمِّ تقاطعه مع الضلع AB بالنقطة H. تقسم النقطة H طول الوتر c إلى جزأين d و e . المثلث الجديد ACH مشابه للمثلث ABC ، لأن كلاهما يحتوي على زاوية قائمة (بحسب تعريف الارتفاع)، ويشتركان في الزاوية A ، مما يعني أن الزاوية الثالثة ستكون متساوية في كلا المثلثين، والمشار إليها بالرمز θ في الشكل. وبالمثل، فإن المثلث CBH مشابه أيضًا للمثلث ABC . يتطلب إثبات تشابه المثلثات مسلمة المثلث : مجموع زوايا المثلث يساوي زاويتين قائمتين، وهي مكافئة لمسلمة التوازي . يؤدي تشابه المثلثات إلى تساوي نسب الأضلاع المتناظرة. $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {BC}{AB}}&={\frac {BH}{BC}}\\{\frac {AC}{AB}}&={\frac {AH}{AC}}.\end{aligned}}}$$

النتيجة الأولى تساوي جيوب تمام الزوايا θ ، بينما النتيجة الثانية تساوي جيوبها .

يمكن كتابة هذه النسب على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}BC^{2}&=AB\times BH,\\AC^{2}&=AB\times AH.\end{aligned}}}$$ ينتج عن جمع هاتين المعادلتين ما يلي: $${\displaystyle {\begin{aligned}BC^{2}+AC^{2}&=AB\times BH+AB\times AH\\&=AB(AH+BH),\end{aligned}}}$$ والتي، بعد التبسيط، تثبت نظرية فيثاغورس: $${\displaystyle BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}.}$$

يُعدّ دور هذا البرهان في التاريخ موضوعًا لكثير من التكهنات. والسؤال الأساسي هو: لماذا لم يستخدم إقليدس هذا البرهان، بل ابتكر برهانًا آخر؟ أحد التخمينات هو أن البرهان باستخدام المثلثات المتشابهة تضمن نظرية النسب، وهو موضوع لم يُناقش إلا لاحقًا في كتاب الأصول ، وأن نظرية النسب كانت بحاجة إلى مزيد من التطوير في ذلك الوقت. ^{[ 33 ]}

في أحد البراهين القائمة على التشريح، والتي تُنسب أحيانًا إلى ألبرت أينشتاين ، ^{[ 34 ]} لا حاجة لتحريك القطع. يتألف التشريح من إسقاط عمود من رأس الزاوية القائمة للمثلث على وتره، مما يقسم المثلث بأكمله إلى جزأين. هذان الجزآن لهما نفس شكل المثلث القائم الأصلي، وضلعا المثلث الأصلي هما وتريهما، ومجموع مساحتيهما يساوي مساحة المثلث الأصلي. ولأن نسبة مساحة المثلث القائم إلى مربع وتره ثابتة في المثلثات المتشابهة، فإن العلاقة بين مساحات المثلثات الثلاثة تنطبق أيضًا على مربعات أضلاع المثلث الكبير. بعبارة أخرى، ولأن مساحة المثلث الأصلي هي مجموع مساحتي المثلثين الأصغر، ولأن تغيير حجم المثلث يغير مساحته بمربع عامل التكبير ، فإن مربع الوتر الأصلي يساوي مجموع مربعي الوترين الأقصر. ^{[ 34 ] [ 35 ] [ 36 ]}

باختصار، إليكم كيفية سير البرهان في كتاب الأصول لإقليدس ( القضية 47 من الكتاب الأول). يُقسّم المربع الكبير إلى مستطيل أيمن وآخر أيسر. يُرسم مثلث مساحته نصف مساحة المستطيل الأيسر. ثم يُرسم مثلث آخر مساحته نصف مساحة المربع على الجانب الأيسر. يُثبت أن هذين المثلثين متطابقان ، مما يُثبت أن مساحة هذا المربع تساوي مساحة المستطيل الأيسر. يتبع ذلك برهان مماثل للمستطيل الأيمن والمربع المتبقي. بضم المستطيلين معًا لإعادة تشكيل المربع على الوتر، تكون مساحته مساوية لمجموع مساحتي المربعين الآخرين. التفاصيل لاحقًا.

لنفترض أن A و B و C هي رؤوس مثلث قائم الزاوية، وزاويته القائمة عند A. نسقط عمودًا من A على الضلع المقابل للوتر في المربع الواقع على الوتر. يقسم هذا الخط المربع الواقع على الوتر إلى مستطيلين، لكل منهما نفس مساحة أحد المربعين الواقعين على الضلعين القائمين.

للحصول على البرهان الرسمي، نحتاج إلى أربع لماتات أولية :

1. إذا كان للمثلثين ضلعان في أحدهما يساويان ضلعين في الآخر، كل منهما لكل منهما، والزوايا المحصورة بين هذين الضلعين متساوية، فإن المثلثين متطابقان ( ضلع-زاوية-ضلع ).
2. مساحة المثلث تساوي نصف مساحة أي متوازي أضلاع له نفس القاعدة ونفس الارتفاع.
3. مساحة المستطيل تساوي حاصل ضرب ضلعين متجاورين.
4. مساحة المربع تساوي حاصل ضرب اثنين من أضلاعه (يتبع من 3).

بعد ذلك، يرتبط كل مربع علوي بمثلث مطابق لمثلث آخر مرتبط بدوره بأحد المستطيلين اللذين يشكلان المربع السفلي. ^{[ 37 ]}

والبرهان كالتالي:

1. ليكن ACB مثلثًا قائم الزاوية مع زاوية قائمة CAB .
2. على كل ضلع من الأضلاع BC و AB و CA ، تُرسَم مربعات، وهي CBDE و BAGF و ACIH ، بهذا الترتيب. يتطلب إنشاء المربعات النظريات السابقة مباشرة في كتاب إقليدس، ويعتمد على مسلمة التوازي. ^{[ 38 ]}
3. انطلاقاً من النقطة A ، ارسم خطاً موازياً للخطين BD و CE . سيتقاطع هذا الخط عمودياً مع الخطين BC و DE عند النقطتين K و L على التوالي.
4. قم بتوصيل CF و AD لتشكيل المثلثين BCF و BDA .
5. الزاويتان CAB و BAG كلاهما زوايا قائمة؛ لذلك فإن C و A و G تقع على خط مستقيم واحد .
6. الزاويتان CBD و FBA كلاهما زوايا قائمة؛ لذلك فإن الزاوية ABD تساوي الزاوية FBC ، حيث أن كليهما عبارة عن مجموع زاوية قائمة والزاوية ABC .
7. بما أن AB يساوي FB ، وBD يساوي BC ، والزاوية ABD تساوي الزاوية FBC ، فإن المثلث ABD يجب أن يكون متطابقًا مع المثلث FBC .
8. بما أن A - K - L خط مستقيم موازٍ لـ BD ، فإن مساحة المستطيل BDLK تساوي ضعف مساحة المثلث ABD لأنهما يشتركان في القاعدة BD ولهما نفس الارتفاع BK ، أي خط عمودي على قاعدتهما المشتركة، يصل بين الخطين المتوازيين BD و AL . (الفرضية 2)
9. بما أن C تقع على خط مستقيم واحد مع A و G ، وهذا الخط موازٍ لـ FB ، فإن مساحة المربع BAGF يجب أن تكون ضعف مساحة المثلث FBC .
10. لذلك، يجب أن يكون للمستطيل BDLK نفس مساحة المربع BAGF = AB ² .
11. بتطبيق الخطوات من 3 إلى 10 على الجانب الآخر من الشكل، يمكن إثبات بالمثل أن المستطيل CKLE يجب أن يكون له نفس مساحة المربع ACIH = AC ² .
12. بجمع هاتين النتيجتين، نحصل على ^: AB² + AC² = BD × BK + KL ^× KC
13. بما أن BD = KL ، فإن BD × BK + KL × KC = BD ( BK + KC ) = BD × BC
14. لذلك، فإن AB ² + AC ² = BC ² ، لأن CBDE مربع ( BD × BC = BC ² ) .

يُبيّن هذا البرهان، الوارد في كتاب الأصول لإقليدس في القضية  47 من الكتاب  الأول، أن مساحة المربع المرسوم على الوتر تساوي مجموع مساحتي المربعين الآخرين. ^{[ 39 ] [ 40 ]} وهذا يختلف تمامًا عن برهان تشابه المثلثات، الذي يُعتقد أنه البرهان الذي استخدمه فيثاغورس. ^{[ 41 ] [ ب ]}

يُقدّم الرسم المتحرك الأوسط طريقة أخرى لإعادة الترتيب. يتم تكوين مربع كبير مساحته c² من أربعة مثلثات قائمة الزاوية متطابقة أطوال أضلاعها a و b و c ، مُرتبة حول مربع مركزي صغير. ثم يتم تكوين مستطيلين طول ضلعيهما ^a و b عن طريق تحريك المثلثات. بدمج المربع الأصغر مع هذين المستطيلين ^، نحصل على مربعين مساحتهما a² و b² ^، ويجب أن تكون لهما نفس مساحة المربع الكبير الأصلي. ^{[ 42 ]}

تُقدّم الصورة الثالثة، الموجودة في أقصى اليمين، دليلاً آخر. فالمربعان العلويان مُقسّمان، كما هو موضح بالتظليل الأزرق والأخضر، إلى أجزاء يُمكن إعادة ترتيبها لتناسب المربع السفلي على الوتر - أو بالعكس، يُمكن تقسيم المربع الكبير، كما هو موضح، إلى أجزاء تملأ المربعين الآخرين. تُسمى هذه الطريقة لتقسيم شكل إلى أجزاء وإعادة ترتيبها للحصول على شكل آخر بالتشريح . وهذا يُبيّن أن مساحة المربع الكبير تُساوي مساحة المربعين الأصغر. ^{[ 43 ]}

كما هو موضح في الرسوم المتحركة المرفقة، يمكن لعمليات القص والتحويل التي تحافظ على المساحة تحويل المربعات الموجودة على الجوانب المجاورة للزاوية القائمة إلى المربع الموجود على الوتر، بحيث تغطيه بالكامل. ^{[ 44 ]} لا يُغير كل قص القاعدة والارتفاع، وبالتالي لا تُغير المساحة أيضًا. كما لا تُغير التحويلات المساحة، لأنها لا تُغير الأشكال على الإطلاق. يُقص كل مربع أولًا إلى متوازي أضلاع، ثم إلى مستطيل يمكن تحويله إلى أحد أقسام المربع الموجود على الوتر.

نُشر برهانٌ مشابهٌ للرئيس الأمريكي جيمس أ. غارفيلد قبل انتخابه رئيسًا، حين كان ممثلًا للولايات المتحدة . ^{[ 45 ] [ 46 ] [ 47 ]} بدلًا من المربع، يستخدم هذا البرهان شبه منحرف ، والذي يمكن إنشاؤه من المربع في البرهان الثاني المذكور أعلاه بتقسيم المربع الداخلي على طول أحد أقطاره، للحصول على شبه المنحرف كما هو موضح في الرسم. ويمكن حساب مساحة شبه المنحرف لتكون نصف مساحة المربع. $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(b+a)^{2}.}$$

يُقسّم المربع الداخلي إلى نصفين بالمثل، ولا يوجد سوى مثلثين، لذا يستمر البرهان كما سبق باستثناء عامل ⁠${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$، والتي يتم إزالتها عن طريق الضرب في اثنين للحصول على النتيجة.

يمكن التوصل إلى نظرية فيثاغورس من خلال دراسة كيفية إحداث تغييرات في أحد الأضلاع تغييراً في الوتر، وذلك باستخدام حساب التفاضل والتكامل . ^{[ 48 ] [ 49 ] [ 50 ]}

المثلث ABC قائم الزاوية، كما هو موضح في الجزء العلوي من الرسم، حيث BC هو الوتر. وفي الوقت نفسه، تُقاس أطوال أضلاع المثلث كما هو موضح، حيث يبلغ طول الوتر y، وطول الضلع AC x، وطول الضلع AB a ، كما هو موضح في الجزء السفلي من الرسم.

إذا زادت قيمة x بمقدار صغير dx عن طريق تمديد الضلع AC قليلاً إلى النقطة D ، فإن قيمة y تزداد أيضاً بمقدار dy . يشكل هذان الضلعان ضلعين من مثلث CDE ، وهو مثلث قائم الزاوية (مع اختيار النقطة E بحيث يكون CE عمودياً على الوتر) يشبه تقريباً المثلث ABC . لذلك، يجب أن تكون نسب أضلاعهما متساوية، أي: $${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {x}{y}}.}$$ يمكن إعادة كتابة ذلك على النحو التالي: y dy = x dx ، وهي معادلة تفاضلية يمكن حلها بالتكامل المباشر: $${\displaystyle \int y\,dy=\int x\,dx,}$$ أعطِ $${\displaystyle y^{2}=x^{2}+C.}$$ يمكن استنتاج الثابت من x = 0 و y = a للحصول على المعادلة $${\displaystyle y^{2}=x^{2}+a^{2}.}$$ هذا برهان بديهي أكثر منه برهان رسمي: يمكن جعله أكثر دقة إذا تم استخدام حدود مناسبة بدلاً من dx و dy .

الثلاثية الفيثاغورية هي ثلاثة أعداد صحيحة موجبة a و b و c ، بحيث يكون a² + b² = ^{c² .} بعبارة أخرى، تمثل الثلاثية الفيثاغورية أطوال أضلاع مثلث قائم الزاوية، حيث تكون أطوال جميع أضلاعه أعدادًا صحيحة. ^{[ 2 ] يُكتب} هذا النوع من الثلاثيات عادةً ( a , b , c ) . ومن الأمثلة المعروفة (3, 4, 5) و (5, 12, 13) .

الثلاثية الفيثاغورية الأولية هي التي تكون فيها a و b و c أعدادًا أولية فيما بينها ( أكبر قاسم مشترك لـ a و b و c هو 1).

فيما يلي قائمة بالأعداد الثلاثية الفيثاغورية الأولية ذات القيم الأقل من 100:

توجد العديد من الصيغ لتوليد ثلاثيات فيثاغورس . ومن بينها، تُعد صيغة إقليدس الأكثر شهرة: إذا أُعطيت عددان صحيحان موجبان m و n ، فإن الصيغة تنص على أن العددين الصحيحين $${\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\quad b=2mn,\quad c=m^{2}+n^{2}}$$ يشكل ثلاثية فيثاغورس.

بفرض وجود مثلث قائم الزاوية له أضلاع${\displaystyle a,b,c}$والارتفاع د (خط من الزاوية القائمة وعمودي على الوتر ج ). تنص نظرية فيثاغورس على ما يلي :$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$$ بينما تربط نظرية فيثاغورس العكسية الضلعين a و b بالارتفاع d ، ^{[ 57 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{d^{2}}}}$$ يمكن تحويل المعادلة إلى: $${\displaystyle {\frac {1}{(xz)^{2}}}+{\frac {1}{(yz)^{2}}}={\frac {1}{(xy)^{2}}}}$$ حيث x² + y² = ^z² لأي أعداد حقيقية غير صفرية ^x و y و z . ^إذا كانت a و b و d أعدادًا صحيحة ، فإن أصغر حل a > b > d هو $${\displaystyle {\frac {1}{20^{2}}}+{\frac {1}{15^{2}}}={\frac {1}{12^{2}}}}$$ باستخدام أصغر ثلاثية فيثاغورس 3، 4، 5. تُعدّ نظرية فيثاغورس المقلوبة حالة خاصة من المعادلة البصرية.$${\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}={\frac {1}{r}}}$$ حيث تكون المقامات مربعات وكذلك بالنسبة للمثلث السباعي الذي تكون أضلاعه p و q و r أعدادًا مربعة.

من نتائج نظرية فيثاغورس أنه يمكن رسم قطع مستقيمة بأطوال غير متناسبة (أي أن نسبتها ليست عددًا نسبيًا ) باستخدام المسطرة والفرجار . تُمكّن نظرية فيثاغورس من رسم أطوال غير متناسبة لأن وتر المثلث يرتبط بأضلاعه بعملية الجذر التربيعي .

يوضح الشكل على اليمين كيفية إنشاء قطع مستقيمة تكون أطوالها بنسبة الجذر التربيعي لأي عدد صحيح موجب. ^{[ 58 ]} لكل مثلث ضلع (يُشار إليه بـ "1") وهو وحدة القياس المختارة. في كل مثلث قائم الزاوية، تُحدد نظرية فيثاغورس طول الوتر بدلالة هذه الوحدة. إذا كانت نسبة الوتر إلى الوحدة هي الجذر التربيعي لعدد صحيح موجب ليس مربعًا كاملًا، فإن طوله لا يتناسب مع الوحدة، مثل ⁠${\displaystyle {\sqrt {2}}}$،​​${\displaystyle {\sqrt {3}}}$،​​${\displaystyle {\sqrt {5}}}$للمزيد من التفاصيل، انظر العدد غير النسبي التربيعي .

تعارضت الأطوال غير القابلة للقياس مع مفهوم المدرسة الفيثاغورية للأعداد باعتبارها أعدادًا صحيحة فقط. تناولت المدرسة الفيثاغورية النسب بمقارنة مضاعفات صحيحة لوحدة فرعية مشتركة. ^{[ 59 ]} وتقول إحدى الأساطير إن هيباسوس الميتابونتي ( حوالي 470  قبل الميلاد ) غرق في البحر لأنه كشف عن وجود الأعداد غير النسبية أو غير القابلة للقياس. ^{[ 60 ]} وقد كتب كورت فون فريتز دراسة مفصلة عن إسهامات هيباسوس. ^{[ 61 ]}

لأي عدد مركب$${\displaystyle z=x+iy,}$$ القيمة المطلقة أو المعيار تُعطى بواسطة $${\displaystyle r=|z|={\textstyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}.}$$ إذن، ترتبط الكميات الثلاث، r و x و y ، بمعادلة فيثاغورس. $${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}$$ لاحظ أن r يُعرَّف بأنه عدد موجب أو صفر، بينما يمكن أن تكون x و y سالبة أو موجبة. هندسيًا، r هو المسافة بين z والصفر أو نقطة الأصل O في المستوى المركب .

يمكن تعميم ذلك لإيجاد المسافة بين نقطتين، ولنقل z1 و _{z2 .} تُعطى المسافة المطلوبة بواسطة $${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|={\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}},}$$ إذن، مرة أخرى، يرتبطان بصيغة من معادلة فيثاغورس. $${\displaystyle |z_{1}-z_{2}|^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}.}$$

تُشتق صيغة المسافة في الإحداثيات الديكارتية من نظرية فيثاغورس. ^{[ 62 ]} إذا كانت (x1, y1) و(x2, y2) نقطتين في _{المستوى} ، فإن المسافة بينهما ، _والتي تُسمى _أيضًا المسافة _{الإقليدية} ، تُعطى بالصيغة التالية :

$${\displaystyle {\sqrt {(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}}}.}$$

وبشكل أعم، في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، المسافة الإقليدية بين نقطتين،${\displaystyle A=(a_{1},\,a_{2},\,\dots ,\,a_{n})}$و${\displaystyle B=(b_{1},\,b_{2},\,\dots ,\,b_{n})}$، ويتم تعريفها، من خلال تعميم نظرية فيثاغورس، على النحو التالي:

$${\displaystyle {\sqrt {(a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}}}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}}}.}$$

إذا تم استخدام مربع هذه القيمة ( المسافة الإقليدية المربعة ، أو SED) بدلاً من المسافة الإقليدية، فإن المعادلة الناتجة تتجنب الجذور التربيعية وتكون ببساطة مجموع المسافة الإقليدية المربعة للإحداثيات:

$${\displaystyle (a_{1}-b_{1})^{2}+(a_{2}-b_{2})^{2}+\cdots +(a_{n}-b_{n})^{2}=\sum _{i=1}^{n}(a_{i}-b_{i})^{2}.}$$

الشكل التربيعي هو دالة سلسة ومحدبة لكلا النقطتين، ويستخدم على نطاق واسع في نظرية التحسين والإحصاء ، ويشكل أساس المربعات الصغرى .

إذا لم تُستخدم الإحداثيات الديكارتية، مثلاً عند استخدام الإحداثيات القطبية في بُعدين، أو بشكل أعم عند استخدام الإحداثيات المنحنية ، فإن صيغ حساب المسافة الإقليدية تكون أكثر تعقيداً من نظرية فيثاغورس، ولكن يمكن اشتقاقها منها. يُمكن إيجاد مثال نموذجي لتحويل المسافة المستقيمة بين نقطتين إلى إحداثيات منحنية في تطبيقات كثيرات حدود ليجندر في الفيزياء . ويمكن استنتاج هذه الصيغ باستخدام نظرية فيثاغورس مع المعادلات التي تربط الإحداثيات المنحنية بالإحداثيات الديكارتية. على سبيل المثال، يمكن تعريف الإحداثيات القطبية ( r , θ ) كما يلي:

$${\displaystyle x=r\cos \theta ,\quad y=r\sin \theta .}$$

ثم _{يتم فصل} نقطتين بموقعين ( r1 _، θ1 ₎ و ( r2 ، θ2 ) بمسافة s :

$${\displaystyle s^{2}=(x_{1}-x_{2})^{2}+(y_{1}-y_{2})^{2}=(r_{1}\cos \theta _{1}-r_{2}\cos \theta _{2})^{2}+(r_{1}\sin \theta _{1}-r_{2}\sin \theta _{2})^{2}.}$$ بإجراء التربيعات ودمج الحدود، ينتج عن صيغة فيثاغورس للمسافة في الإحداثيات الديكارتية الفصل في الإحداثيات القطبية على النحو التالي: $${\displaystyle {\begin{aligned}s^{2}&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\left(\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Let(\theta _{1}-\theta _{2}\right)\\&=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}-2r_{1}r_{2}\cos \Delta \theta ,\end{aligned}}}$$ باستخدام صيغ تحويل حاصل الضرب المثلثي إلى مجموع . هذه الصيغة هي قانون جيب التمام ، والذي يُسمى أحيانًا نظرية فيثاغورس المعممة. ^{[ 63 ]} من هذه النتيجة، في حالة كون نصفي القطرين المؤديين إلى الموقعين متعامدين، فإن الزاوية المحصورة Δθ = π / 2، وبالتالي يُستعاد الشكل المقابل لنظرية فيثاغورس.${\displaystyle s^{2}=r_{1}^{2}+r_{2}^{2}.}$وبالتالي فإن نظرية فيثاغورس، الصالحة للمثلثات القائمة الزاوية، هي حالة خاصة من قانون جيب التمام الأكثر عمومية، الصالح للمثلثات العشوائية.

في المثلث القائم الزاوية ذي الأضلاع a و b والوتر c ، يحدد علم المثلثات جيب وجيب تمام الزاوية θ بين الضلع a والوتر على النحو التالي: $${\displaystyle \sin \theta ={\frac {b}{c}},\quad \cos \theta ={\frac {a}{c}}.}$$

ويترتب على ذلك ما يلي: $${\displaystyle {\cos }^{2}\theta +{\sin }^{2}\theta ={\frac {a^{2}+b^{2}}{c^{2}}}=1,}$$ حيث تُطبَّق نظرية فيثاغورس في الخطوة الأخيرة. تُسمى هذه العلاقة بين الجيب وجيب التمام أحيانًا بالمتطابقة المثلثية الأساسية لفيثاغورس. ^{[ 64 ]} في المثلثات المتشابهة، تكون نسب أضلاعها متساوية بغض النظر عن حجم المثلث، وتعتمد على الزوايا. بالتالي، في الشكل، المثلث الذي طول وتره وحدة واحدة، يكون طول ضلعه المقابل sin θ وطول ضلعه المجاور cos θ بوحدات الوتر.

تربط نظرية فيثاغورس بين الضرب الاتجاهي والضرب القياسي بطريقة مماثلة: ^{[ 65 ]}$$\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}.}$$

ويمكن ملاحظة ذلك من تعريفات الضرب الاتجاهي والضرب القياسي، كما $${\displaystyle {\begin{align}\mathbf {a} \times \mathbf {b} &=ab\,\mathbf {n} \sin {\theta }\\\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=ab\cos {\theta },\end{محاذاة}}}$$ حيث n متجه وحدة عمودي على كل من a و b . وتنتج العلاقة من هذه التعريفات ومن متطابقة فيثاغورس المثلثية.

يمكن استخدام هذا أيضًا لتعريف الضرب الاتجاهي. بإعادة ترتيب المعادلة التالية نحصل على $$\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|^{2}=\|\mathbf {a} \|^{2}\|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}.}$$

يمكن اعتبار هذا شرطًا على الضرب الاتجاهي، وبالتالي جزءًا من تعريفه، على سبيل المثال في سبعة أبعاد . ^{[ 66 ] [ 67 ]}

إذا افترضنا صحة البديهيات الأربع الأولى من بديهيات الهندسة الإقليدية، فإن نظرية فيثاغورس تُكافئ البديهية الخامسة. أي أن البديهية الخامسة لإقليدس تستلزم نظرية فيثاغورس، والعكس صحيح.

تُعمَّم نظرية فيثاغورس لتشمل أي أشكال هندسية مماثلة ، وليس فقط مساحات المربعات ذات الأضلاع الثلاثة . وقد عرفها أبقراط الخيوسي في القرن الخامس قبل الميلاد، ^{[ 68 ]} وأدرجها إقليدس في كتابه " الأصول" . ^{[ 69 ]}

إذا قام المرء بإقامة أشكال متشابهة (انظر الهندسة الإقليدية ) بأضلاع متناظرة على أضلاع مثلث قائم الزاوية، فإن مجموع مساحات الأشكال الموجودة على الضلعين الأصغر يساوي مساحة الشكل الموجود على الضلع الأكبر.

يفترض هذا التوسيع أن أضلاع المثلث الأصلي هي الأضلاع المناظرة في الأشكال الثلاثة المتطابقة (وبالتالي فإن النسب المشتركة للأضلاع بين الأشكال المتشابهة هي أ : ب : ج ). ^{[ 70 ]} في حين أن برهان إقليدس كان ينطبق فقط على المضلعات المحدبة، فإن النظرية تنطبق أيضًا على المضلعات المقعرة وحتى على الأشكال المتشابهة ذات الحدود المنحنية (ولكن مع ذلك يظل جزء من حدود الشكل هو ضلع المثلث الأصلي). ^{[ 70 ]}

تتلخص الفكرة الأساسية وراء هذا التعميم في أن مساحة الشكل المستوي تتناسب طرديًا مع مربع أي بُعد خطي، وبالتحديد تتناسب طرديًا مع مربع طول أي ضلع. وبالتالي، إذا تم إنشاء أشكال متشابهة بمساحات A و B و C على أضلاع بأطوال مقابلة a و b و c ، فإن: $$\displaystyle \begin{aligned}&{\frac {A}{a^{2}}}={\frac {B}{b^{2}}}={\frac {C}{c^{2}}}\\&\quad \implies A+B={\frac {a^{2}}{c^{2}}}C+{\frac {b^{2}}{c^{2}}}C.\end{aligned}}}$$

لكن، بحسب نظرية فيثاغورس، فإن a 2 ⁺ b 2 ⁼ c 2 ^، لذا فإن A + B = C.

على النقيض، إذا استطعنا إثبات أن A + B = C لثلاثة أشكال متشابهة دون استخدام نظرية فيثاغورس، فيمكننا العمل عكسيًا لبناء برهان النظرية. على سبيل المثال، يمكن تكرار المثلث المركزي الأصلي واستخدامه كمثلث C على وتره، وإنشاء مثلثين قائمي الزاوية متشابهين ( A و B ) على الضلعين الآخرين، وذلك بقسمة المثلث المركزي على ارتفاعه . وبالتالي ، فإن مجموع مساحتي المثلثين الأصغرين يساوي مساحة المثلث الثالث، ومن ثم A + B = C. وبعكس المنطق السابق، نحصل على نظرية فيثاغورس ^a² + b² = c² ^{. (} انظر أيضًا §  البرهان بالتشريح والقياس ).

تُعدّ نظرية فيثاغورس حالة خاصة من النظرية الأكثر عمومية التي تربط أطوال أضلاع أي مثلث، وهي قانون جيب التمام، الذي ينص على أن $${\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\theta }=c^{2}}$$ أين${\displaystyle \theta }$هي الزاوية بين الضلعين${\displaystyle a}$و​${\displaystyle b}$. ^{[ 71 ]}​

متى${\displaystyle \theta }$يكون${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$الراديان أو 90 درجة، ثم${\displaystyle \cos {\theta }=0}$، وتختزل الصيغة إلى نظرية فيثاغورس المعتادة.

عند أي زاوية مختارة من مثلث عام أضلاعه أ ، ب ، ج ، ارسم مثلثًا متساوي الساقين بحيث تكون الزوايا المتساوية عند قاعدته θ مساوية للزاوية المختارة. لنفترض أن الزاوية المختارة θ تقابل الضلع المسمى ج . برسم المثلث متساوي الساقين، يتكون المثلث ك د ، حيث الزاوية θ تقابل الضلع ب، والضلع ر يمتد على طول ج . ويتكون مثلث ثانٍ، حيث الزاوية θ تقابل الضلع أ، والضلع طوله س يمتد على طول ج ، كما هو موضح في الشكل. ذكر ثابت بن قرة أن أضلاع المثلثات الثلاثة مرتبطة كما يلي: ^{[ 73 ] [ 74 ]}$${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c(r+s).}$$عندما تقترب الزاوية θ من π /2، يضيق قاعدة المثلث متساوي الساقين، ويقل تداخل الضلعين r و s . وعندما θ = π /2 ، يصبح المثلث ADB قائم الزاوية، ويكون r + s = c ، وتتحقق نظرية فيثاغورس الأصلية.

تُشير إحدى البراهين إلى أن المثلث ABC له نفس زوايا المثلث CAD ، ولكن بترتيب معاكس. (يشترك المثلثان في الزاوية عند الرأس A ، وكلاهما يحتوي على الزاوية θ ، وبالتالي لهما نفس الزاوية الثالثة وفقًا لمسلمة المثلث ). ونتيجةً لذلك، فإن المثلث ABC يُشابه انعكاس المثلث CAD ، وهو المثلث DAC في الجزء السفلي. وبأخذ نسبة الضلعين المقابل والمجاور للزاوية θ ، $${\displaystyle {\frac {c}{b}}={\frac {b}{r}}.}$$ وبالمثل، بالنسبة لانعكاس المثلث الآخر، $${\displaystyle {\frac {c}{a}}={\frac {a}{s}}.}$$إزالة الكسور وجمع هاتين العلاقتين: $${\displaystyle cs+cr=a^{2}+b^{2},}$$ النتيجة المطلوبة.

تظل النظرية صالحة إذا كانت الزاوية θ منفرجة بحيث لا تتداخل الأطوال r و s .

تُعدّ نظرية بابوس للمساحة تعميمًا إضافيًا ينطبق على المثلثات غير القائمة، باستخدام متوازيات الأضلاع على الأضلاع الثلاثة بدلًا من المربعات (المربعات حالة خاصة بالطبع). يُظهر الشكل العلوي أنه بالنسبة للمثلث المختلف الأضلاع، فإن مساحة متوازي الأضلاع على الضلع الأطول تساوي مجموع مساحتي متوازيي الأضلاع على الضلعين الآخرين، بشرط أن يُرسم متوازي الأضلاع على الضلع الأطول كما هو موضح (الأبعاد المشار إليها بالأسهم متساوية، وتُحدد أضلاع متوازي الأضلاع السفلي). يُشابه هذا الاستبدال للمربعات بمتوازيات الأضلاع نظرية فيثاغورس الأصلية، وقد اعتبره بابوس الإسكندري تعميمًا لها في عام 4  ميلادي. ^{[ 75 ] [ 76 ]}

يوضح الشكل السفلي عناصر البرهان. ركز على الجانب الأيسر من الشكل. متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له نفس مساحة الجزء الأزرق الأيسر من متوازي الأضلاع السفلي، لأن كلاهما لهما نفس القاعدة (b) والارتفاع (h) . ومع ذلك، فإن متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر له أيضًا نفس مساحة متوازي الأضلاع الأخضر الأيسر في الشكل العلوي، لأنهما لهما نفس القاعدة (الضلع العلوي الأيسر للمثلث) ونفس الارتفاع العمودي على ذلك الضلع من المثلث. بتكرار البرهان للجانب الأيمن من الشكل، فإن متوازي الأضلاع السفلي له نفس مساحة مجموع مساحتي متوازيي الأضلاع الأخضرين.

تنص نظرية بطليموس على أنه عندما يكون بالإمكان رسم شكل رباعي داخل دائرة (أي عندما يكون شكلاً رباعياً دائرياً )، فإن حاصل ضرب طولي ضلعين متقابلين زائد حاصل ضرب طولي الضلعين المتقابلين الآخرين يساوي حاصل ضرب طولي قطري الشكل الرباعي. ويُختزل هذا إلى نظرية فيثاغورس عندما يكون الشكل الرباعي مستطيلاً. ^{[ 77 ]} كما يمكن استخدام نظرية بطليموس لإثبات قانون جيب التمام. ^{[ 78 ]}

في مجال الهندسة الفراغية ، يمكن تطبيق نظرية فيثاغورس على ثلاثة أبعاد كما يلي. لنفترض وجود متوازي مستطيلات كما هو موضح في الشكل. يُحسب طول قطر الوجه AC باستخدام نظرية فيثاغورس كما يلي: $${\displaystyle {\overline {AC}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2},}$$

حيث تُشكّل هذه الأضلاع الثلاثة مثلثًا قائم الزاوية. وباستخدام القطر AC والضلع الأفقي CD ، يُمكن إيجاد طول قطر الجسم AD بتطبيق ثانٍ لنظرية فيثاغورس كما يلي: $${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2},}$$ أو القيام بكل ذلك في خطوة واحدة: $${\displaystyle {\overline {AD}}^{\,2}={\overline {AB}}^{\,2}+{\overline {BC}}^{\,2}+{\overline {CD}}^{\,2}.}$$

هذه النتيجة هي التعبير ثلاثي الأبعاد عن مقدار المتجه v (القطر AD ) بدلالة مكوناته المتعامدة { v _k } (الأضلاع الثلاثة المتعامدة): $${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}=\sum _{k=1}^{3}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}.}$$

يمكن اعتبار هذه الصيغة ذات الخطوة الواحدة تعميمًا لنظرية فيثاغورس إلى أبعاد أعلى. مع ذلك، فإن هذه النتيجة في الواقع ليست سوى تطبيق متكرر لنظرية فيثاغورس الأصلية على سلسلة من المثلثات القائمة الزاوية في سلسلة من المستويات المتعامدة.

يُعدّ تعميم نظرية فيثاغورس إلى ثلاثة أبعاد تعميمًا جوهريًا لها، وهو نظرية دي غوا ، نسبةً إلى جان بول دي غوا دي مالفيس : إذا كان للهرم الرباعي زاوية قائمة (مثل زاوية المكعب ) ، فإن مربع مساحة الوجه المقابل لهذه الزاوية القائمة يساوي مجموع مربعات مساحات الأوجه الثلاثة الأخرى. ويمكن تعميم هذه النتيجة كما في " نظرية فيثاغورس ذات الأبعاد n ": ^{[ 79 ]}

يترك${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$لتكن متجهات متعامدة في R ⁿ . لنعتبر المجسم البسيط S ذو البعد n برؤوس ⁠${\displaystyle 0,x_{1},\ldots ,x_{n}}$. (تخيل المجسم البسيط ذو الأبعاد ( ن - 1) برؤوس${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$(باستثناء الأصل باعتباره "وتر" S والوجوه المتبقية ذات الأبعاد ( n - 1) لـ S باعتبارها "أرجلها"). ثم مربع حجم وتر S هو مجموع مربعات أحجام الأرجل n .

يُوضَّح هذا البيان ثلاثي الأبعاد بواسطة الهرم الرباعي في الشكل. يُمثِّل "الوتر" قاعدة الهرم الرباعي في الجزء الخلفي من الشكل، بينما تُمثِّل "الأرجل" الأضلاع الثلاثة المنبثقة من الرأس في المقدمة. مع ازدياد عمق القاعدة من الرأس، تزداد مساحة "الأرجل"، بينما تبقى مساحة القاعدة ثابتة. تُشير النظرية إلى أنه عندما يكون هذا العمق عند القيمة التي تُشكِّل رأسًا قائم الزاوية، يُمكن تطبيق تعميم نظرية فيثاغورس. بصيغة أخرى: ^{[ 80 ]}

بالنظر إلى مجسم بسيط مستطيل الشكل ذي n بُعد ، فإن مربع محتوى ( n - 1) للوجه المقابل للرأس الأيمن يساوي مجموع مربعات محتويات ( n - 1) للوجوه المتبقية.

يمكن تعميم نظرية فيثاغورس لتشمل فضاءات الضرب الداخلي ، ^{[ 81 ]} وهي تعميمات للفضاءات الإقليدية ثنائية وثلاثية الأبعاد المألوفة . على سبيل المثال، يمكن اعتبار دالة ما كمتجه ذي عدد لا نهائي من المركبات في فضاء الضرب الداخلي، كما هو الحال في التحليل الوظيفي . ^{[ 82 ]}

في فضاء الضرب الداخلي، يُستبدل مفهوم التعامد بمفهوم التعامد : يكون المتجهان v و w متعامدين إذا كان حاصل ضربهما الداخلي${\displaystyle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {w} \rangle }$يساوي صفرًا. الضرب الداخلي هو تعميم للضرب القياسي للمتجهات. يُسمى الضرب القياسي بالضرب الداخلي القياسي أو الضرب الإقليدي الداخلي. مع ذلك، توجد أنواع أخرى من الضرب الداخلي الممكنة. ^{[ 83 ]}

يتم استبدال مفهوم الطول بمفهوم معيار ‖ v ‖ للمتجه v ، المعرف على النحو التالي: ^{[ 84 ]}$${\displaystyle \lVert \mathbf {v} \rVert \equiv {\textstyle {\sqrt {\langle \mathbf {v} ,\,\mathbf {v} \rangle }}{\vphantom {\big |}}}.}$$

في فضاء الضرب الداخلي، تنص نظرية فيثاغورس على أنه لأي متجهين متعامدين v و w لدينا $${\displaystyle \left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2}.}$$هنا، يُشبه المتجهان v و w ضلعي مثلث قائم الزاوية، حيث يُعطى الوتر بمجموع المتجهين v + w . هذا الشكل من نظرية فيثاغورس هو نتيجة لخصائص الضرب الداخلي . $${\displaystyle {\begin{aligned}\left\|\mathbf {v} +\mathbf {w} \right\|^{2}&=\langle \mathbf {v+w} ,\ \mathbf {v+w} \rangle \\[3mu]&=\langle \mathbf {v} ,\,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {w} ,\,\mathbf {w} \rangle +\langle \mathbf {v,\,w} \rangle +\langle \mathbf {w,\,v} \rangle \\[3mu]&=\left\|\mathbf {v} \right\|^{2}+\left\|\mathbf {w} \right\|^{2},\end{محاذاة}}}$$ أين${\displaystyle \langle \mathbf {v,\,w} \rangle =\langle \mathbf {w,\,v} \rangle =0}$بسبب التعامد.

يُعد قانون متوازي الأضلاع تعميمًا إضافيًا لنظرية فيثاغورس في فضاء الضرب الداخلي للمتجهات غير المتعامدة : ^{[ 84 ]}$${\displaystyle 2\|\mathbf {v} \|^{2}+2\|\mathbf {w} \|^{2}=\|\mathbf {v+w} \|^{2}+\|\mathbf {vw} \|^{2},}$$

وهذا يعني أن ضعف مجموع مربعي أطوال أضلاع متوازي الأضلاع يساوي مجموع مربعي أطوال قطريه. وأي معيار يحقق هذه المساواة هو بالضرورة معيارٌ يُقابل الضرب الداخلي. ^{[ 84 ]}

يمكن تعميم متطابقة فيثاغورس لتشمل مجموع أكثر من متجهين متعامدين. إذا كانت _v1 ، v2 ، _... ، _vn متجهات متعامدة مثنى مثنى في فضاء الضرب الداخلي، فإن تطبيق نظرية فيثاغورس على أزواج متتالية من هذه المتجهات (كما هو موضح للأبعاد الثلاثة في قسم الهندسة الفراغية ) ينتج عنه المعادلة ^{[ 85 ].}$${\displaystyle {\biggl \|}\sum _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}{\biggr \|}^{2}=\sum _{k=1}^{n}\|\mathbf {v} _{k}\|^{2}}$$

ينطبق تعميم آخر لنظرية فيثاغورس على مجموعات الأشياء القابلة للقياس وفقًا لمقياس ليبيغ في أي عدد من الأبعاد. تحديدًا، مربع قياس مجموعة من الأشياء ذات البعد m في مستوى واحد أو أكثر من المستويات المتوازية ذات البعد m في فضاء إقليدي ذي البعد n يساوي مجموع مربعات قياسات الإسقاطات المتعامدة للأشياء على جميع الفضاءات الفرعية الإحداثية ذات البعد m . ^{[ 86 ]}

بالمصطلحات الرياضية: $${\displaystyle \mu _{ms}^{2}=\sum _{i=1}^{x}\mu _{mp_{i}}^{2}}$$ أين:

• ${\displaystyle \mu _{m}}$هو مقياس في m- أبعاد (طول في بُعد واحد، مساحة في بُعدين، حجم في ثلاثة أبعاد، إلخ).
• ${\displaystyle s}$هي مجموعة من كائن واحد أو أكثر غير متداخل ذي أبعاد m في واحد أو أكثر من المستويات المتوازية ذات أبعاد m في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n .
• ${\displaystyle \mu _{ms}}$هو المقياس الكلي (المجموع) لمجموعة الكائنات ذات الأبعاد m .
• ${\displaystyle p}$يمثل إسقاطًا ذا أبعاد m للمجموعة الأصلية على فضاء إحداثيات متعامد.
• ${\displaystyle \mu _{mp_{i}}}$يمثل مقياس إسقاط المجموعة ذات البعد m على فضاء الإحداثيات الفرعي i ذي البعد m . ولأن إسقاطات الكائنات يمكن أن تتداخل على فضاء الإحداثيات الفرعي، يجب حساب مقياس كل إسقاط كائن في المجموعة بشكل فردي، ثم جمع مقاييس جميع الإسقاطات معًا لتوفير المقياس الكلي لمجموعة الإسقاطات على فضاء الإحداثيات الفرعي المعطى.
• ${\displaystyle x}$هو عدد الفضاءات الإحداثية المتعامدة ذات البعد m في الفضاء ذي البعد n ( R ⁿ ) التي يتم إسقاط الكائنات ذات البعد m عليها ( m ≤ n ) :

$${\displaystyle x={\binom {n}{m}}={\frac {n!}{m!(nm)!}}}$$

تُشتق نظرية فيثاغورس من بديهيات الهندسة الإقليدية ، وفي الواقع، إذا لم تنطبق نظرية فيثاغورس على مثلث قائم الزاوية، فإن المستوى الذي يقع فيه هذا المثلث لا يمكن أن يكون إقليديًا. بتعبير أدق، تستلزم نظرية فيثاغورس، وتُستلزم بدورها، مسلمة التوازي (الخامسة) لإقليدس . ^{[ 87 ] [ 88 ]} وبالتالي، فإن المثلثات القائمة الزاوية في الهندسة غير الإقليدية ^{[ 89 ]} لا تُحقق نظرية فيثاغورس. على سبيل المثال، في الهندسة الكروية ، جميع أضلاع المثلث القائم الزاوية (لنفترض أ ، ب ، ج ) ^الذي يُحيط بثُمن الكرة الوحدة لها أطوال تساوي π /2 ^، وجميع زواياه قائمة، مما يُخالف نظرية فيثاغورس لأن أ² + ب² = ² ج² > ^ج² .

هنا يتم النظر في حالتين من الهندسة غير الإقليدية - الهندسة الكروية والهندسة المستوية الزائدية ؛ في كل حالة، كما هو الحال في الحالة الإقليدية للمثلثات غير القائمة، فإن النتيجة التي تحل محل نظرية فيثاغورس تتبع من قانون جيب التمام المناسب.

ومع ذلك، تظل نظرية فيثاغورس صحيحة في الهندسة الزائدية والهندسة الإهليلجية إذا استُبدل شرط أن يكون المثلث قائم الزاوية بشرط أن يكون مجموع زاويتين منه مساوياً للزاوية الثالثة، أي A + B = C. وتكون العلاقة بين أضلاع المثلث حينها كما يلي: مجموع مساحتي الدائرتين اللتين قطرهما a و b يساوي مساحة الدائرة التي قطرها c . ^{[ 90 ]}

الهندسة الكروية

بالنسبة لأي مثلث قائم الزاوية على كرة نصف قطرها R (على سبيل المثال، إذا كانت γ في الشكل زاوية قائمة)، بأضلاع a و b و c ، فإن العلاقة بين الأضلاع تأخذ الشكل التالي: ^{[ 91 ]}$${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}.}$$

يمكن اشتقاق هذه المعادلة كحالة خاصة من قانون جيب التمام الكروي الذي ينطبق على جميع المثلثات الكروية: $${\displaystyle \cos {\frac {c}{R}}=\cos {\frac {a}{R}}\,\cos {\frac {b}{R}}+\sin {\frac {a}{R}}\,\sin {\frac {b}{R}}\,\cos {\gamma }.}$$

بالنسبة للمثلثات المتناهية الصغر على الكرة (أو بصورة مكافئة، للمثلثات الكروية المحدودة على كرة ذات نصف قطر لانهائي)، فإن العلاقة الكروية بين أضلاع المثلث القائم الزاوية تختزل إلى الصيغة الإقليدية لنظرية فيثاغورس. لفهم ذلك، لنفترض أن لدينا مثلثًا كرويًا بأطوال أضلاع ثابتة a و b و c على كرة نصف قطرها R يتزايد . عندما يقترب R من اللانهاية، تقترب الكميات a / R و b / R و c / R من الصفر، وتختزل متطابقة فيثاغورس الكروية إلى {{{1}}} ، لذا يجب علينا دراسة توسعها التقاربي .

يمكن كتابة متسلسلة ماكلورين لدالة جيب التمام على النحو التالي:${\textstyle \cos x=1-{\tfrac {1}{2}}x^{2}+O{\left(x^{4}\right)}}$مع استخدام ترميز Big O للحد المتبقي . لنفترض${\displaystyle x=c/R}$ليكن ضلعًا من أضلاع المثلث، وباعتبار التعبير بمثابة توسع تقاربي بدلالة R لقيمة ثابتة لـ c ، $${\displaystyle {\begin{aligned}\cos {\frac {c}{R}}=1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\end{aligned}}}$$

وينطبق الأمر نفسه على a و b . وباستبدال التوسع التقاربي لكل من جيوب التمام في العلاقة الكروية للمثلث القائم الزاوية، نحصل على $${\displaystyle {\begin{aligned}1-{\frac {c^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}&=\left(1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\left(1-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}\right)\\&=1-{\frac {a^{2}}{2R^{2}}}-{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.\end{aligned}}}$$

بطرح 1 ثم عكس إشارة كل طرف، $${\displaystyle {\frac {c^{2}}{2R^{2}}}={\frac {a^{2}}{2R^{2}}}+{\frac {b^{2}}{2R^{2}}}+O{\left(R^{-4}\right)}.}$$

بضرب طرفي المعادلة في 2R² ، ^يكون التوسع التقاربي لـ c بدلالة a و b الثابتين و R المتغير هو $${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}+O{\left(R^{-2}\right)}.}$$

العلاقة الإقليدية الفيثاغورية${\textstyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}$يتم استعادتها في النهاية، حيث يختفي الباقي عندما يقترب نصف القطر R من اللانهاية.

لإجراء الحسابات العملية في حساب المثلثات الكروية باستخدام المثلثات القائمة الصغيرة، يمكن استبدال دوال جيب التمام بدوال الجيب باستخدام متطابقة الزاوية المزدوجة.${\displaystyle \cos {2\theta }=1-2\sin ^{2}{\theta }}$لتجنب فقدان الأهمية ، يمكن كتابة نظرية فيثاغورس الكروية بصيغة بديلة على النحو التالي: $${\displaystyle \sin ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}-2\sin ^{2}{\frac {a}{2R}}\,\sin ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$$

الهندسة الزائدية

في فضاء زائدي ذي انحناء غاوسي منتظم −1/ R ² ، بالنسبة لمثلث قائم الزاوية بأرجل a و b ووتر c ، تأخذ العلاقة بين الأضلاع الشكل التالي: ^{[ 92 ]}$${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}}$$

حيث cosh هي دالة جيب التمام الزائدية . هذه الصيغة هي شكل خاص من قانون جيب التمام الزائدي الذي ينطبق على جميع المثلثات الزائدية: ^{[ 93 ]}$${\displaystyle \cosh {\frac {c}{R}}=\cosh {\frac {a}{R}}\,\cosh {\frac {b}{R}}-\sinh {\frac {a}{R}}\,\sinh {\frac {b}{R}}\,\cos \gamma ,}$$ حيث γ هي الزاوية عند الرأس المقابل للضلع c .

باستخدام متسلسلة ماكلورين لجيب التمام الزائدي، cosh x ≈ 1 + x ² /2 ، يمكن إثبات أنه عندما يصبح المثلث الزائدي صغيرًا جدًا (أي عندما تقترب جميع قيم a و b و c من الصفر)، فإن العلاقة الزائدية للمثلث القائم الزاوية تقترب من شكل نظرية فيثاغورس.

بالنسبة للمثلثات القائمة الصغيرة ( a , b ≪ R ) ، يمكن حذف جيوب التمام الزائدية لتجنب فقدان الدلالة ، مما يعطي $${\displaystyle \sinh ^{2}{\frac {c}{2R}}=\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}+\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}+2\sinh ^{2}{\frac {a}{2R}}\sinh ^{2}{\frac {b}{2R}}.}$$

تنطبق نظرية فيثاغورس على المثلثات المتناهية الصغر في الهندسة التفاضلية . في الفضاء ثلاثي الأبعاد، تحقق المسافة بين نقطتين متناهيتي الصغر العلاقة التالية: $${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},}$$

حيث يمثل ds عنصر المسافة، و( dx , dy , dz ) مركبات المتجه الذي يفصل بين النقطتين. يُطلق على هذا الفضاء اسم الفضاء الإقليدي . مع ذلك، في الهندسة الريمانية ، يأخذ تعميم هذا التعبير، المفيد للإحداثيات العامة (وليس فقط الإحداثيات الديكارتية) والفضاءات العامة (وليس فقط الإقليدية)، الشكل التالي: ^{[ 94 ]}$${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j}^{n}g_{ij}\,dx_{i}\,dx_{j}}$$

وهو ما يُسمى موتر القياس . ^{[ ج ]} قد يكون دالةً للموقع، وغالبًا ما يصف الفضاء المنحني . مثال بسيط على ذلك هو الفضاء الإقليدي (المسطح) المُعبَّر عنه بالإحداثيات المنحنية . على سبيل المثال، في الإحداثيات القطبية : $${\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}.}$$