معضلة القاعدة الفرعية لألكسندر

في الرياضيات، وتحديدًا في علم الطوبولوجيا ، تنصّ مبرهنة ألكسندر للقاعدة الفرعية على أنه لكي يكون الفضاء الطوبولوجي متراصًا، فمن الضروري والكافي أن يكون لكل غطاء مفتوح لهذا الفضاء، والمكوّن من مجموعات في قاعدة فرعية (ثابتة)، غطاء فرعي منتهٍ. ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

بالنظر إلى فضاء طوبولوجي${\displaystyle X}$وقاعدة فرعية${\displaystyle S}$لذلك، مجموعة فرعية${\displaystyle K\subset X}$تكون مضغوطة إذا وفقط إذا كان لكل غلاف من${\displaystyle K}$تتكون من مجموعات في${\displaystyle S}$، يوجد غطاء فرعي محدود له.

تُنسب هذه اللمة، التي تُعرف أيضاً باسم نظرية القاعدة الفرعية لألكسندر ، إلى جيمس واديل ألكسندر الثاني . وتُستخدم هذه اللمة عادةً لإثبات نظرية تيكونوف .

لو${\displaystyle K}$بما أن المجموعة متراصة، فإن وجود غطاء منتهٍ يتحقق بحكم التعريف. لذا، سنُثبت العكس، ودون فقدان للعمومية، نستبدل${\displaystyle X}$بواسطة${\displaystyle K}$.

لنفترض جدلاً أن الفضاء${\displaystyle X}$ليست مضغوطة (لذا${\displaystyle X}$(مجموعة غير منتهية)، ومع ذلك فإن كل غطاء فرعي أساسي من${\displaystyle {\mathcal {S}}}$لها غطاء فرعي محدود. ليكن${\displaystyle \mathbb {S} }$يرمز إلى مجموعة جميع الأغطية المفتوحة لـ${\displaystyle X}$التي ليس لها أي غطاء فرعي محدود من${\displaystyle X.}$ طلب جزئي${\displaystyle \mathbb {S} }$باستخدام تضمين المجموعات الجزئية واستخدام ليمّة زورن لإيجاد عنصر${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} }$هذا عنصر أقصى من${\displaystyle \mathbb {S} .}$ لاحظ ما يلي:

1. منذ${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}$بحسب تعريف${\displaystyle \mathbb {S} ,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$هو غلاف مفتوح لـ${\displaystyle X}$ولا توجد أي مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$وهذا يشمل${\displaystyle X}$(وبالتحديد،${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(لا نهائي).
2. أقصى ما يمكن${\displaystyle {\mathcal {C}}}$في${\displaystyle \mathbb {S} }$يشير ذلك إلى أنه إذا${\displaystyle V}$هي مجموعة مفتوحة من${\displaystyle X}$بحيث${\displaystyle V\not \in {\mathcal {C}}}$ثم ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cup \{V\}}$لها غطاء فرعي محدود، والذي يجب أن يكون بالضرورة على الشكل التالي${\displaystyle \{V\}\cup {\mathcal {C}}_{V}}$لبعض المجموعات الجزئية المحدودة${\displaystyle {\mathcal {C}}_{V}}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(تعتمد هذه المجموعة الجزئية المحدودة على اختيار${\displaystyle V}$).

سنبدأ بتوضيح ذلك${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$ليس غلافًا لـ${\displaystyle X.}$ لنفترض أن${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$كانت نسخة غلاف لـ${\displaystyle X,}$وهذا يعني على وجه الخصوص أن${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$هو غلاف لـ${\displaystyle X}$بواسطة عناصر من${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$ فرضية النظرية بشأن${\displaystyle {\mathcal {S}}}$وهذا يعني وجود مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$وهذا يشمل${\displaystyle X,}$والذي سيكون في الوقت نفسه غطاءً فرعياً محدوداً لـ${\displaystyle X}$بواسطة عناصر من${\displaystyle {\mathcal {C}}}$(منذ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {C}}}$لكن هذا يتناقض مع${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} ,}$مما يثبت أن${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$لا يغطي${\displaystyle X.}$

منذ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$لا يغطي${\displaystyle X,}$يوجد بعض${\displaystyle x\in X}$هذا غير مشمول بـ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$(إنه،${\displaystyle x}$لا يتضمن أي عنصر من عناصر${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$). ولكن بما أن${\displaystyle {\mathcal {C}}}$يغطي${\displaystyle X,}$يوجد أيضاً بعض${\displaystyle U\in {\mathcal {C}}}$بحيث${\displaystyle x\in U.}$ ويترتب على ذلك أن${\displaystyle U\neq X}$لأنه بخلاف ذلك سيعني${\displaystyle {\mathcal {C}}}$له غطاء فرعي محدود من${\displaystyle X}$، وتحديداً الغلاف الفرعي${\displaystyle \{U\}=\{X\},}$متناقض${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .}$منذ${\displaystyle U\neq X,}$و${\displaystyle {\mathcal {S}}}$هو أساس فرعي مولد${\displaystyle X}$طوبولوجيا (بالإضافة إلى${\displaystyle X}$) من تعريف الطوبولوجيا التي تم إنشاؤها بواسطة${\displaystyle {\mathcal {S}},}$يجب أن توجد مجموعة منتهية من المجموعات المفتوحة شبه الأساسية${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}\in {\mathcal {S}}}$مع${\displaystyle n\geq 1}$بحيث $${\displaystyle x\in S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U.}$$

سنبين الآن بالتناقض أن${\displaystyle S_{i}\not \in {\mathcal {C}}}$لكل${\displaystyle i=1,\ldots ,n.}$ لو${\displaystyle i}$كان الأمر كذلك لدرجة أن${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}},}$ثم أيضًا${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$لذا فإن حقيقة أن${\displaystyle x\in S_{i}}$وهذا يعني ضمناً أن${\displaystyle x}$مشمول بـ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}},}$وهو ما يتناقض مع كيفية${\displaystyle x}$تم اختياره (تذكر أن${\displaystyle x}$تم اختياره تحديدًا بحيث لا يكون مشمولًا بـ${\displaystyle {\mathcal {C}}\cap {\mathcal {S}}}$).

كما ذكرنا سابقاً، فإن الحد الأقصى لـ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$في${\displaystyle \mathbb {S} }$وهذا يعني أنه لكل${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$توجد مجموعة جزئية منتهية${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {C}}}$بحيث${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$يشكل غطاءً محدودًا من${\displaystyle X.}$ يُعرِّف $${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}:={\mathcal {C}}_{S_{1}}\cup \cdots \cup {\mathcal {C}}_{S_{n}},}$$ وهي مجموعة جزئية منتهية من${\displaystyle {\mathcal {C}}.}$ لاحظ أنه لكل${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$هو غطاء محدود لـ${\displaystyle X}$فلنستبدل كل${\displaystyle {\mathcal {C}}_{S_{i}}}$مع${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}.}$

يترك${\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}$يرمز إلى اتحاد جميع المجموعات في${\displaystyle {\mathcal {C}}_{F}}$(وهي مجموعة فرعية مفتوحة من${\displaystyle X}$) ودع${\displaystyle Z}$يشير إلى مكمل${\displaystyle \cup {\mathcal {C}}_{F}}$في${\displaystyle X.}$ لاحظ أنه لأي مجموعة جزئية${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle \{A\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$أغطية${\displaystyle X}$إذا وفقط إذا${\displaystyle Z\subseteq A.}$ على وجه الخصوص، لكل${\displaystyle i=1,\ldots ,n,}$حقيقة أن${\displaystyle \left\{S_{i}\right\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$أغطية${\displaystyle X}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle Z\subseteq S_{i}.}$ منذ${\displaystyle i}$كان الأمر تعسفياً، لدينا${\displaystyle Z\subseteq S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}.}$ مع التذكير بأن${\displaystyle S_{1}\cap \cdots \cap S_{n}\subseteq U,}$وهكذا لدينا${\displaystyle Z\subseteq U,}$وهو ما يعادل${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$كونها غلافًا لـ${\displaystyle X.}$ علاوة على ذلك،${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}}$هو غطاء محدود لـ${\displaystyle X}$مع${\displaystyle \{U\}\cup {\mathcal {C}}_{F}\subseteq {\mathcal {C}}.}$ هكذا${\displaystyle {\mathcal {C}}}$له غطاء فرعي محدود من${\displaystyle X,}$وهذا يتناقض مع حقيقة أن${\displaystyle {\mathcal {C}}\in \mathbb {S} .}$ لذلك، فإن الافتراض الأصلي هو${\displaystyle X}$إن عدم كونها مضغوطة أمر خاطئ، وهذا يثبت أن${\displaystyle X}$صغير الحجم.${\displaystyle \blacksquare }$

على الرغم من أن هذا البرهان يستخدم ليمّة زورن ، إلا أنه لا يحتاج إلى قوة الاختيار الكاملة. بدلاً من ذلك، يعتمد على مبدأ المرشح الفائق الوسيط . ^{[ 2 ]}

إن نظرية تيكونوف ، التي تنص على أن حاصل ضرب الفضاءات المدمجة غير الفارغة يكون مدمجًا، لها برهان قصير باستخدام اللمة.

بنية المنتج على${\displaystyle \prod _{i}X_{i}}$تحتوي، بحكم تعريفها، على قاعدة فرعية تتكون من مجموعات أسطوانية تمثل الإسقاطات العكسية لمجموعة مفتوحة في عامل واحد. بالنظر إلى عائلة أساسية فرعية${\displaystyle C}$من المنتج الذي لا يحتوي على مجموعة جزئية منتهية تغطي${\displaystyle X}$(لسنا بحاجة إلى)${\displaystyle C}$هو غلاف لـ${\displaystyle X}$)، يمكننا التقسيم${\displaystyle C=\cup _{i}C_{i}}$إلى عائلات فرعية تتكون تحديدًا من مجموعات الأسطوانات التي تتوافق مع فضاء عامل معين. بافتراض،${\displaystyle C_{i}}$لا يمتلك غطاءً محدودًا لـ${\displaystyle X}$وبما أنها مجموعات أسطوانية، فهذا يعني إسقاطاتها على${\displaystyle X_{i}}$ليس لها غطاء محدود من${\displaystyle X_{i}}$بما أن كل${\displaystyle X_{i}}$نظرًا لصغر حجمها، فإن هذه البروزات لا تغطي${\displaystyle X_{i}}$ابحث عن نقطة${\displaystyle x_{i}\in X_{i}}$غير مدرج في أي من إسقاطات${\displaystyle C_{i}}$على${\displaystyle X_{i}}$أكرر هذا للجميع${\displaystyle C_{i}}$ينتج عنه نقطة${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}\in \prod _{i}X_{i}}$وهو أمر غير مشمول بـ${\displaystyle C}$.${\displaystyle \blacksquare }$

لاحظ أنه في الخطوة الأخيرة استخدمنا ضمنيًا بديهية الاختيار (التي تعادل في الواقع معضلة زورن ) لضمان وجود${\displaystyle \left(x_{i}\right)_{i}.}$

• جوبولت-لاريك، جان (2013). طوبولوجيا غير هاوسدورف ونظرية المجال: مواضيع مختارة في طوبولوجيا المجموعات النقطية . مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 978-1-107-03413-6.
• رودين، والتر (1991). التحليل الوظيفي . السلسلة الدولية في الرياضيات البحتة والتطبيقية. المجلد  8 (  الطبعة الثانية). نيويورك، نيويورك: ماكجرو هيل للعلوم/الهندسة/الرياضيات . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277 . 

• https://stacks.math.columbia.edu/tag/08ZP