الفضاء الطوبولوجي

في الرياضيات ، يُعرَّف الفضاء الطوبولوجي ، بشكل عام، بأنه فضاء تُعرَّف فيه خاصية التقارب ، ولكن لا يمكن قياسها بالضرورة بمسافة عددية . وبشكل أكثر تحديدًا، يُعرَّف الفضاء الطوبولوجي بأنه مجموعة عناصرها تُسمى نقاطًا، بالإضافة إلى بنية إضافية تُسمى الطوبولوجيا، والتي يمكن تعريفها بأنها مجموعة من الجوارات لكل نقطة تُحقق بعض البديهيات التي تُضفي طابعًا رسميًا على مفهوم التقارب. توجد عدة تعريفات مكافئة للطوبولوجيا، وأكثرها شيوعًا هو التعريف من خلال المجموعات المفتوحة .

الفضاء الطوبولوجي هو أكثر أنواع الفضاءات الرياضية عموميةً ، ويسمح بتعريف النهايات والاستمرارية والترابط . [ ^{1 ] [ 2 ]} تشمل الأنواع الشائعة للفضاءات الطوبولوجية الفضاءات الإقليدية ^{والفضاءات} المترية والمتشعبات .

على الرغم من عموميتها الشديدة، فإن مفهوم الفضاءات الطوبولوجية أساسي، ويُستخدم في جميع فروع الرياضيات الحديثة تقريبًا. ويُطلق على دراسة الفضاءات الطوبولوجية في حد ذاتها اسم الطوبولوجيا العامة (أو طوبولوجيا المجموعات النقطية).

في حوالي عام 1735، اكتشف ليونارد أويلر الصيغة${\displaystyle V-E+F=2}$ربط عدد الرؤوس (${\displaystyle V}$) الحواف (${\displaystyle E}$) والوجوه (${\displaystyle F}$) للمجسم المحدب ، وبالتالي للرسم البياني المستوي . وقد ساهمت دراسة هذه الصيغة وتعميمها، لا سيما من قبل كوشي (1789-1857) ولويلييه (1750-1840)، في تعزيز دراسة الطوبولوجيا. في عام 1827، نشر كارل فريدريش غاوس كتابه "دراسات عامة للأسطح المنحنية" ، والذي يُعرّف في القسم 3 السطح المنحني بطريقة مشابهة للفهم الطوبولوجي الحديث.

ومع ذلك، "حتى أعمال ريمان في أوائل خمسينيات القرن التاسع عشر، كانت الأسطح تُعالج دائمًا من منظور محلي (كسطوح بارامترية) ولم تُؤخذ المسائل الطوبولوجية في الاعتبار قط". ^{[ 3 ]} " يبدو أن موبيوس وجوردان كانا أول من أدرك أن المشكلة الرئيسية المتعلقة بطوبولوجيا الأسطح (المتراصة) هي إيجاد ثوابت (يفضل أن تكون عددية) لتحديد تكافؤ الأسطح، أي تحديد ما إذا كان سطحان متماثلين طوبولوجيًا أم لا". ^{[ 3 ]}

عرّف فيليكس كلاين هذا الموضوع بوضوح في كتابه " برنامج إرلانجن " (1872): ثوابت الهندسة للتحويلات المستمرة العشوائية، وهو نوع من الهندسة. وقد صاغ يوهان بنديكت ليستينغ مصطلح "الطوبولوجيا" عام 1847، مع أنه استخدمه في مراسلاته قبل ذلك بسنوات بدلاً من مصطلح "تحليل المواقع" الذي كان شائعاً آنذاك. وضع هنري بوانكاريه أسس هذا العلم، لأي فضاء ذي أبعاد، ونُشرت أول مقالة له حول هذا الموضوع عام 1894. ^{[ 4 ]} وفي ثلاثينيات القرن العشرين، طرح جيمس واديل ألكسندر الثاني وهسلر ويتني فكرة أن السطح هو فضاء طوبولوجي يشبه محلياً المستوى الإقليدي .

عرّف فيليكس هاوسدورف الفضاءات الطوبولوجية لأول مرة عام 1914 في كتابه الرائد "مبادئ نظرية المجموعات". وكان موريس فريشيه قد عرّف الفضاءات المترية في وقت سابق عام 1906 ، إلا أن هاوسدورف هو من روّج لمصطلح "الفضاء المتري" ( بالألمانية : metrischer Raum ). ^{[ 5 ] [ 6 ]}

تتجلى فائدة مفهوم الطوبولوجيا في وجود عدة تعريفات متكافئة لهذا البناء الرياضي . لذا، يُختار الترتيب البديهي الأنسب للتطبيق. يُعدّ الترتيب الأكثر شيوعًا هو الترتيب القائم على المجموعات المفتوحة ، ولكن ربما يكون الترتيب القائم على الجوارات أكثر بديهية ، ولذلك يُقدّم أولًا.

التعريف عبر المجموعات المفتوحة

يمكن تعريف الطوبولوجيا على مجموعة X على أنها مجموعة${\displaystyle \tau }$من المجموعات الجزئية من X ، والتي تسمى المجموعات المفتوحة والتي تحقق البديهيات التالية: ^{[ 9 ]}

1. المجموعة الفارغة و${\displaystyle X}$هي نفسها تنتمي إلى${\displaystyle \tau .}$
2. أي اتحاد تعسفي (محدود أو غير محدود) لأعضاء${\displaystyle \tau }$ينتمي إلى${\displaystyle \tau .}$
3. تقاطع أي عدد محدود من أعضاء${\displaystyle \tau }$ينتمي إلى${\displaystyle \tau .}$

بما أن هذا التعريف للطوبولوجيا هو الأكثر استخدامًا، فإن المجموعة${\displaystyle \tau }$يُطلق على مجموعة المجموعات المفتوحة عادةً اسم الطوبولوجيا على${\displaystyle X.}$

مجموعة فرعية${\displaystyle C\subseteq X}$يقال إنه مغلق في${\displaystyle (X,\tau )}$إذا كان مكملها${\displaystyle X\setminus C}$هي مجموعة مفتوحة. لاحظ أنه من هذا التعريف، يترتب أن المجموعة الفارغة و${\displaystyle X}$تكون المجموعتان مفتوحتين ومغلقتين في آن واحد ، أي أنهما متكاملتان، بينما كل منهما مفتوحة في حد ذاتها. وبشكل عام، أي مجموعة جزئية من${\displaystyle X}$يقال إن هذه الخاصية تعني الفتحة المغلقة .

أمثلة على الطوبولوجيا

1. منح${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$الطوبولوجيا التافهة أو غير المنفصلة على${\displaystyle X}$هي العائلة${\displaystyle \tau =\{\{\},\{1,2,3,4\}\}=\{\varnothing ,X\}}$يتألف من مجموعتين فرعيتين فقط من${\displaystyle X}$يشكل ما تتطلبه البديهيات طوبولوجيا على${\displaystyle X.}$
2. منح${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$العائلة$${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{2\},\{1,2\},\{2,3\},\{1,2,3\},X\}}$$من ست مجموعات فرعية من${\displaystyle X}$يشكل بنية طوبولوجية أخرى لـ${\displaystyle X.}$
3. منح${\displaystyle X=\{1,2,3,4\},}$الطوبولوجيا المنفصلة على${\displaystyle X}$هي مجموعة القوى لـ${\displaystyle X,}$وهي العائلة${\displaystyle \tau =\wp (X)}$يتألف من جميع المجموعات الفرعية الممكنة من${\displaystyle X.}$في هذه الحالة الفضاء الطوبولوجي${\displaystyle (X,\tau )}$يُطلق عليه اسم الفضاء المنفصل .
4. منح${\displaystyle X=\mathbb {Z} ,}$مجموعة الأعداد الصحيحة، العائلة${\displaystyle \tau }$من جميع المجموعات الجزئية المنتهية من الأعداد الصحيحة بالإضافة إلى${\displaystyle \mathbb {Z} }$لا تُعدّ هذه المجموعة بحد ذاتها طوبولوجيا، لأن (على سبيل المثال) اتحاد جميع المجموعات المنتهية التي لا تحتوي على الصفر ليس مجموعة منتهية، وبالتالي فهو ليس عضوًا في عائلة المجموعات المنتهية. كما أن اتحاد جميع المجموعات المنتهية التي لا تحتوي على الصفر ليس كل شيء.${\displaystyle \mathbb {Z} ,}$وبالتالي لا يمكن أن يكون في${\displaystyle \tau .}$

يمكن تعريف العديد من الطوبولوجيات على مجموعة لتشكيل فضاء طوبولوجي. عندما تكون كل مجموعة مفتوحة في طوبولوجيا ما${\displaystyle \tau _{1}}$وهو مفتوح أيضًا لطوبولوجيا${\displaystyle \tau _{2},}$يقول أحدهم ذلك${\displaystyle \tau _{2}}$أدق من​${\displaystyle \tau _{1},}$و${\displaystyle \tau _{1}}$أكثر خشونة من${\displaystyle \tau _{2}.}$البرهان الذي يعتمد فقط على وجود مجموعات مفتوحة معينة ينطبق أيضًا على أي طوبولوجيا أدق، وبالمثل، فإن البرهان الذي يعتمد فقط على عدم كون مجموعات معينة مفتوحة ينطبق على أي طوبولوجيا أعم. يُستخدم مصطلحا " أكبر" و "أصغر" أحيانًا بدلًا من "أدق" و"أعم" على التوالي. كما يُستخدم مصطلحا "أقوى" و "أضعف" في المراجع، ولكن مع اختلاف كبير في المعنى، لذا ينبغي دائمًا التأكد من اصطلاح المؤلف عند القراءة.

مجموعة جميع الطوبولوجيات على مجموعة ثابتة معينة${\displaystyle X}$يشكل شبكة كاملة : إذا${\displaystyle F=\left\{\tau _{\alpha }:\alpha \in A\right\}}$هي مجموعة من الطوبولوجيات على${\displaystyle X,}$ثم لقاء​${\displaystyle F}$هو تقاطع${\displaystyle F,}$وانضمام​​${\displaystyle F}$هو نقطة التقاء مجموعة جميع الطوبولوجيات على${\displaystyle X}$التي تضم كل عضو من${\displaystyle F.}$

وظيفة​${\displaystyle f:X\to Y}$يُطلق على العلاقة بين الفضاءات الطوبولوجية اسم العلاقة المستمرة إذا كان لكل${\displaystyle x\in X}$وكل حي${\displaystyle N}$ل${\displaystyle f(x)}$يوجد حي${\displaystyle M}$ل${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle f(M)\subseteq N.}$يرتبط هذا بسهولة بالتعريف المعتاد في التحليل. أو بعبارة أخرى،${\displaystyle f}$تكون الدالة متصلة إذا كانت الصورة العكسية لكل مجموعة مفتوحة مفتوحة. ^{[ 10 ]} هذه محاولة لتجسيد فكرة عدم وجود "قفزات" أو "انفصالات" في الدالة. التشاكل الموضعي هو تقابل متصل وعكسه متصل أيضًا. يُطلق على فضاءين اسم متماثلين موضعيًا إذا وُجد بينهما تشاكل موضعي. من وجهة نظر الطوبولوجيا، فإن الفضاءات المتماثلة موضعيًا متطابقة جوهريًا. ^{[ 11 ]}

في نظرية الفئات ، تُعدّ فئة Top إحدى الفئات الأساسية ، وهي فئة الفضاءات الطوبولوجية التي تكون عناصرها فضاءات طوبولوجية وتشاكلاتها دوال متصلة. وقد حفّزت محاولة تصنيف عناصر هذه الفئة ( حتى التشاكل التام ) باستخدام الثوابت مجالات بحثية عديدة، مثل نظرية التماثل ، ونظرية التماثل ، ونظرية K.

قد تمتلك مجموعة معينة العديد من البنى الطوبولوجية المختلفة. إذا أُعطيت مجموعة ما بنية طوبولوجية مختلفة، فإنها تُعتبر فضاءً طوبولوجيًا مختلفًا. يمكن إعطاء أي مجموعة بنية طوبولوجية منفصلة تكون فيها كل مجموعة جزئية مفتوحة. المتتاليات أو الشبكات المتقاربة الوحيدة في هذه البنية الطوبولوجية هي تلك التي تكون ثابتة في النهاية. كذلك، يمكن إعطاء أي مجموعة بنية طوبولوجية تافهة (تُسمى أيضًا البنية الطوبولوجية غير المنفصلة)، حيث تكون المجموعة الفارغة والفضاء بأكمله فقط مفتوحين. تتقارب كل متتالية وشبكة في هذه البنية الطوبولوجية إلى كل نقطة من نقاط الفضاء. يُبين هذا المثال أنه في الفضاءات الطوبولوجية العامة، لا يلزم أن تكون نهايات المتتاليات فريدة. مع ذلك، غالبًا ما تكون الفضاءات الطوبولوجية فضاءات هاوسدورف حيث تكون نقاط النهاية فريدة.

توجد العديد من التوبولوجيات على أي مجموعة منتهية معطاة . تُسمى هذه الفضاءات بالفضاءات الطوبولوجية المنتهية . تُستخدم الفضاءات المنتهية أحيانًا لتقديم أمثلة أو أمثلة مضادة لفرضيات حول الفضاءات الطوبولوجية بشكل عام.

يمكن إعطاء أي مجموعة طوبولوجيا متممة بحيث _تكون المجموعات المفتوحة هي المجموعة الفارغة والمجموعات التي يكون مكملها منتهيًا. هذه هي أصغر طوبولوجيا T1 على أي مجموعة غير منتهية. ^{[ 12 ]}

يمكن إعطاء أي مجموعة بنية قابلة للعد المشترك ، حيث تُعرَّف المجموعة بأنها مفتوحة إذا كانت إما فارغة أو كان مكملها قابلاً للعد. وعندما تكون المجموعة غير قابلة للعد، تُستخدم هذه البنية كمثال مضاد في كثير من الحالات.

يمكن أيضًا إعطاء الخط الحقيقي بنية الحد الأدنى . هنا، المجموعات المفتوحة الأساسية هي الفترات نصف المفتوحة.${\displaystyle [a,b).}$ هذه الطوبولوجيا على${\displaystyle \mathbb {R} }$تُعدّ هذه البنية أدقّ من البنية الطوبولوجية الإقليدية المعرّفة أعلاه؛ إذ يتقارب أي تسلسل إلى نقطة في هذه البنية الطوبولوجية إذا وفقط إذا كان يتقارب من الأعلى في البنية الطوبولوجية الإقليدية. يُبيّن هذا المثال أن مجموعة ما قد يكون لها العديد من البنى الطوبولوجية المختلفة المعرّفة عليها.

لو${\displaystyle \gamma }$إذا كان عددًا ترتيبيًا ، فإن المجموعة${\displaystyle \gamma =[0,\gamma )}$قد يتم تزويدها بطوبولوجيا الترتيب الناتجة عن الفترات${\displaystyle (\alpha ,\beta ),}$${\displaystyle [0,\beta ),}$و${\displaystyle (\alpha ,\gamma )}$أين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هي عناصر من${\displaystyle \gamma .}$

لكل متعدد شعب طوبولوجيا طبيعية لأنه إقليدي محليًا. وبالمثل، يرث كل مُجَسَّم بسيط وكل مُعَقَّد بسيط طوبولوجيا طبيعية من .

يُعد فضاء سيربينسكي أبسط فضاء طوبولوجي غير منفصل. وله علاقات مهمة بنظرية الحوسبة والدلالات.

يمكن تصنيف الفضاءات الطوبولوجية، حتى التشاكل، تصنيفًا عامًا وفقًا لخصائصها الطوبولوجية . الخاصية الطوبولوجية هي خاصية للفضاءات تبقى ثابتة تحت التشاكل. لإثبات أن فضاءين ليسا متماثلين، يكفي إيجاد خاصية طوبولوجية لا يشتركان فيها. من أمثلة هذه الخصائص: الاتصال ، والتراص ، ومختلف بديهيات الفصل . للاطلاع على الثوابت الجبرية، انظر الطوبولوجيا الجبرية .

• جبر هيتينغ الكامل - نظام جميع المجموعات المفتوحة لفضاء طوبولوجي معين مرتبة حسب الاحتواء هو جبر هيتينغ كامل.
• الفضاء المضغوط – نوع من أنواع الفضاء الرياضي 
• فضاء التقارب – تعميم لمفهوم التقارب الموجود في الطوبولوجيا العامة 
• الفضاء الخارجي
• فضاء هاوسدورف – نوع من الفضاءات الطوبولوجية 
• فضاء هيلبرت – نوع من الفضاءات المتجهة في الرياضيات 
• شبه الاستمرارية - شبه الاستمرارية للدوال متعددة القيم 
• الفضاء الجزئي الخطي - في الرياضيات، الفضاء الجزئي المتجهي 
• طوبولوجيا لا طائل منها
• الفضاء شبه الطوبولوجي – الوظيفة في الطوبولوجيا 
• الفضاء الجزئي المتراص نسبيًا – مجموعة جزئية من فضاء طوبولوجي يكون إغلاقها متراصًا 
• الفضاء (الرياضيات) - مجموعة رياضية ذات بنية إضافية 

• أرمسترونغ، ماجستير (1983) [1979]. الطوبولوجيا الأساسية . نصوص جامعية في الرياضيات . سبرينغر. ISBN 0-387-90839-0.
• بريدون، جلين إي. ، الطوبولوجيا والهندسة (نصوص الدراسات العليا في الرياضيات)، سبرينغر؛ الطبعة الأولى (17 أكتوبر 1997). ISBN 0-387-97926-3.
• بورباكي، نيكولاس ؛ عناصر الرياضيات: الطوبولوجيا العامة ، أديسون-ويسلي (1966).
• براون، رونالد (2006). الطوبولوجيا والمجموعات الجزئية . بوكسيرج. رقم ISBN 1-4196-2722-8.(الطبعة الثالثة من كتب تحمل عناوين مختلفة)
• تشيك، إدوارد ؛ مجموعات النقاط ، دار النشر الأكاديمية (1969).
• فولتون، ويليام ، الطوبولوجيا الجبرية ، (نصوص الدراسات العليا في الرياضيات)، سبرينغر؛ الطبعة الأولى (5 سبتمبر 1997). ISBN 0-387-94327-7.
• غالييه، جان؛ شو، ديانا (2013). دليل لنظرية التصنيف للأسطح المدمجة . سبرينغر.
• غاوس، كارل فريدريش (1827). دراسات عامة للأسطح المنحنية .
• ليبشوتز، سيمور؛ مخطط شوم للطوبولوجيا العامة ، ماكجرو هيل؛ الطبعة الأولى (1 يونيو 1968). رقم ISBN 0-07-037988-2.
• مونكرز، جيمس ؛ الطوبولوجيا ، برنتيس هول؛ الطبعة الثانية (28 ديسمبر 1999). ISBN 0-13-181629-2.
• روندي، فولكر؛ لمحة عن الطوبولوجيا (سلسلة النصوص الجامعية) ، سبرينغر؛ الطبعة الأولى (6 يوليو 2005). ISBN 0-387-25790-X.
• شوبرت، هورست (1968)، الطوبولوجيا ، ماكدونالد التقنية والعلمية، رقم ISBN 0-356-02077-0
• ستين، لين أ. وسيباخ ، ج. آرثر الابن ؛ أمثلة مضادة في علم الطوبولوجيا ، هولت، راينهارت ووينستون (1970). ISBN 0-03-079485-4.
• فايدياناثاسوامي، ر. (1999). طوبولوجيا المجموعات . دار نشر تشيلسي. رقم ISBN 0486404560.
• ويلارد، ستيفن (2004). الطوبولوجيا العامة . منشورات دوفر. ISBN 0-486-43479-6.

• "الفضاء الطوبولوجي" ، موسوعة الرياضيات ، دار نشر EMS ، 2001 [1994]( مؤرشف )