الوظيفة المضادة للهولومورفية

في الرياضيات ، تعتبر الدوال المضادة للهولومورفية (وتسمى أيضًا الدوال المضادة للتحليل ^{[ 1 ]} ) عائلة من الدوال المرتبطة ارتباطًا وثيقًا بالدوال الهولومورفية ولكنها متميزة عنها .

دالة للمتغير المركب${\displaystyle z}$يُقال إن الدالة المعرفة على مجموعة مفتوحة في المستوى المركب مضادة للتماثل إذا كان مشتقها بالنسبة إلى${\displaystyle {\bar {z}}}$يوجد في جوار كل نقطة من نقاط تلك المجموعة، حيث${\displaystyle {\bar {z}}}$هو المرافق المعقد لـ${\displaystyle z}$.

فيما يلي تعريف الدالة المضادة للهولومورفية: ^{[ 1 ]}

"[وظيفة]${\displaystyle f(z)=u+iv}$من متغير واحد أو أكثر من المتغيرات المعقدة${\displaystyle z=\left(z_{1},\dots ,z_{n}\right)\in \mathbb {C} ^{n}}$يُقال إنها مضادة للهولومورفية إذا (وفقط إذا) كانت المرافق المركب لدالة هولومورفية${\displaystyle {\overline {f\left(z\right)}}=u-iv}$"

يمكن للمرء أن يثبت ذلك إذا${\displaystyle f(z)}$دالة تحليلية على مجموعة مفتوحة${\displaystyle D}$، ثم${\displaystyle f({\bar {z}})}$هي دالة مضادة للشكل على${\displaystyle {\bar {D}}}$، أين${\displaystyle {\bar {D}}}$هو انعكاس لـ${\displaystyle D}$عبر المحور الحقيقي؛ بعبارة أخرى،${\displaystyle {\bar {D}}}$هي مجموعة المرافقات المعقدة لعناصر${\displaystyle D}$علاوة على ذلك، يمكن الحصول على أي دالة مضادة للشكلية بهذه الطريقة من دالة شكلية. وهذا يعني أن الدالة مضادة للشكلية إذا وفقط إذا أمكن توسيعها في متسلسلة قوى في${\displaystyle {\bar {z}}}$في جوار كل نقطة في مجالها. وكذلك دالة${\displaystyle f(z)}$مضاد هولومورفي على مجموعة مفتوحة${\displaystyle D}$إذا وفقط إذا كانت الدالة${\displaystyle {\overline {f(z)}}}$هو هولومورفي على${\displaystyle D}$.

إذا كانت الدالة تامة الشكل ومضادة لها في آن واحد، فإنها تكون ثابتة على أي مكون متصل من مجالها. ^{[ 2 ]}