إطار عمل الحجاج

تُعرَّف أطر الحجاج المجردة، والتي تُسمى أيضًا أطر الحجاج على طريقة دونغ ، رسميًا على أنها زوج:

• مجموعة من العناصر المجردة تسمى الوسائط ، ويرمز لها بـ${\displaystyle A}$
• علاقة ثنائية على${\displaystyle A}$، والتي تسمى علاقة الهجوم ، ويرمز لها بـ${\displaystyle R}$

على سبيل المثال، نظام الحجاج${\displaystyle S=\langle A,R\rangle }$مع${\displaystyle A=\{a,b,c,d\}}$و${\displaystyle R=\{(a,b),(b,c),(d,c)\}}$يحتوي على أربعة وسائط (${\displaystyle a,b,c}$و${\displaystyle d}$) وثلاث هجمات (${\displaystyle a}$الهجمات${\displaystyle b}$،${\displaystyle b}$الهجمات${\displaystyle c}$و${\displaystyle d}$الهجمات${\displaystyle c}$).

يُعرّف الروث بعض المفاهيم  :

• حجة${\displaystyle a\in A}$مقبول فيما يتعلق بـ${\displaystyle E\subseteq A}$إذا وفقط إذا${\displaystyle E}$يدافع${\displaystyle a}$، إنه${\displaystyle \forall b\in A}$بحيث${\displaystyle (b,a)\in R,\exists c\in E}$بحيث${\displaystyle (c,b)\in R}$،
• مجموعة من الحجج${\displaystyle E}$يكون خالياً من التعارض إذا لم يكن هناك هجوم بين حججه، بشكل رسمي  :${\displaystyle \forall a,b\in E,(a,b)\not \in R}$،
• مجموعة من الحجج${\displaystyle E}$يكون مقبولاً إذا وفقط إذا كان خالياً من التعارض وكانت جميع حججه مقبولة فيما يتعلق بـ${\displaystyle E}$.

في الحالة العامة عندما يتم حساب عدة امتدادات لدلالة معينة${\displaystyle \sigma }$، يمكن للعامل الذي يستدل من النظام استخدام عدة آليات لاستنتاج المعلومات: ^{[ 6 ]}

• الاستدلال الساذج : يقبل الفاعل الحجة إذا كانت تنتمي إلى واحد على الأقل من الخيارات التالية:${\displaystyle \sigma }$-الامتدادات—في هذه الحالة، يخاطر الوكيل بقبول بعض الحجج التي لا يمكن قبولها معًا (${\displaystyle a}$الهجمات${\displaystyle b}$، و${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$كل منها ينتمي إلى امتداد)
• الاستدلال الشكّي : يقبل الفاعل الحجة فقط إذا كانت تنتمي إلى كل${\displaystyle \sigma }$-امتداد. في هذه الحالة، يخاطر العامل باستنتاج معلومات قليلة جدًا (إذا كان تقاطع الامتدادات فارغًا أو يحتوي على عدد أصلي صغير جدًا).

بالنسبة لهاتين الطريقتين لاستنتاج المعلومات، يمكن تحديد مجموعة الحجج المقبولة، على التوالي${\displaystyle Cr_{\sigma }(S)}$مجموعة الحجج المقبولة بسذاجة في ظل الدلالة${\displaystyle \sigma }$، و${\displaystyle Sc_{\sigma }(S)}$مجموعة الحجج المقبولة بتشكك في إطار الدلالة${\displaystyle \sigma }$(ال${\displaystyle \sigma }$(يمكن تفويتها إذا لم يكن هناك أي غموض محتمل حول الدلالة).

بالطبع، عندما يكون هناك امتداد واحد فقط (على سبيل المثال، عندما يكون النظام راسخًا)، تكون هذه المشكلة بسيطة للغاية: يقبل العامل حجج الامتداد الفريد ويرفض الحجج الأخرى.

يمكن تطبيق نفس المنطق على التصنيفات التي تتوافق مع الدلالة المختارة  : يمكن قبول الحجة إذا كانت ضمن كل تصنيف ورفضها إذا كانت خارج كل تصنيف، بينما تكون الحجج الأخرى في حالة غير محددة (يمكن أن تذكر حالة الحجج الحالات المعرفية للاعتقاد في إطار AGM لديناميكية المعتقدات ^{[ 7 ]} ).

توجد عدة معايير للتكافؤ بين أطر الاستدلال. تتعلق معظم هذه المعايير بمجموعات الامتدادات أو مجموعة الحجج المقبولة. رسميًا، بالنظر إلى دلالات${\displaystyle \sigma }$ :

• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{1}}}}$ إطاران للحجج متكافئان إذا كان لديهما نفس مجموعة${\displaystyle \sigma }$-الامتدادات، أي${\displaystyle S_{1}\equiv _{1}S_{2}\Leftrightarrow Ext_{\sigma }(S_{1})=Ext_{\sigma }(S_{2})}$ ؛
• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{2}}}}$ يُعتبر إطاران من أطر الاستدلال متكافئين إذا قبلا نفس الحجج من منظور التشكيك، أي${\displaystyle S_{1}\equiv _{2}S_{2}\Leftrightarrow Sc_{\sigma }(S_{1})=Sc_{\sigma }(S_{2})}$ ؛
• ${\displaystyle {\mathit {EQ_{2}}}}$ يُعتبر إطاران من أطر الاستدلال متكافئين إذا قبلا نفس الحجج بسذاجة، أي${\displaystyle S_{1}\equiv _{3}S_{2}\Leftrightarrow Cr_{\sigma }(S_{1})=Cr_{\sigma }(S_{2})}$.

ينص مبدأ التكافؤ القوي ^{[ 8 ]} على أن النظامين${\displaystyle S_{1}}$و${\displaystyle S_{2}}$تكون متكافئة إذا وفقط إذا كانت كذلك بالنسبة لجميع الأنظمة الأخرى${\displaystyle S_{3}}$اتحاد${\displaystyle S_{1}}$مع${\displaystyle S_{3}}$يكافئ (لمعيار معين) اتحاد${\displaystyle S_{2}}$و${\displaystyle S_{3}}$[ ^{9 ]​}

في حالة أطر الاستدلال المنطقي، لا تُعتبر الحجة كيانًا مجردًا، بل زوجًا، حيث يُمثل الجزء الأول مجموعة متسقة وبسيطة من الصيغ تكفي لإثبات صيغة الجزء الثاني من الحجة. وبصورة رسمية، تُعتبر الحجة زوجًا.${\displaystyle (\Phi ,\alpha )}$بحيث

• ${\displaystyle \Phi \nvdash \bot }$
• ${\displaystyle \Phi \vdash \alpha }$
• ${\displaystyle \Phi }$هي مجموعة دنيا من${\displaystyle \Delta }$مُرضٍ${\displaystyle \alpha }$أين${\displaystyle \Delta }$هي مجموعة من الصيغ التي يستخدمها الوكيل للاستدلال.

يتصل المرء${\displaystyle \alpha }$نتيجة لـ${\displaystyle \Phi }$، و${\displaystyle \Phi }$دعم من${\displaystyle \alpha }$.

في هذه الحالة، لا تُعطى علاقة الهجوم بشكل صريح، كمجموعة فرعية من الضرب الديكارتي${\displaystyle A\times A}$ولكن كخاصية تشير إلى ما إذا كانت حجة ما تهاجم حجة أخرى. على سبيل المثال،

• مُفسد العلاقات  :${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$الهجمات${\displaystyle (\Phi ,\alpha )}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \beta \vdash \neg (\phi _{1}\wedge \dots \wedge \phi _{n})}$ل${\displaystyle \{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\}\subseteq \Phi }$
• تقويض العلاقة  :${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$الهجمات${\displaystyle (\Phi ,\alpha )}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \beta =\neg (\phi _{1}\wedge \dots \wedge \phi _{n})}$ل${\displaystyle \{\phi _{1},\dots ,\phi _{n}\}\subseteq \Phi }$
• دحض العلاقة  :${\displaystyle (\Psi ,\beta )}$الهجمات${\displaystyle (\Phi ,\alpha )}$إذا وفقط إذا${\displaystyle \beta \Leftrightarrow \neg \alpha }$هو تكرار

بالنظر إلى علاقة هجوم معينة، يمكن للمرء أن يبني رسمًا بيانيًا ويفكر بطريقة مشابهة لأطر الحجاج المجردة (استخدام الدلالات لبناء الامتداد، أو الاستدلال المتشكك أو الساذج)، والفرق هو أن المعلومات المستنتجة من إطار الحجاج القائم على المنطق هي مجموعة من الصيغ (نتائج الحجج المقبولة).

تنبع أطر الحجاج القائمة على القيم من فكرة أنه خلال تبادل الحجج، يمكن أن تكون بعضها أقوى من غيرها فيما يتعلق بقيمة معينة تطرحها، وبالتالي فإن نجاح الهجوم بين الحجج يعتمد على الفرق بين هذه القيم.

بشكل رسمي، إطار الحجاج القائم على القيم هو مجموعة مرتبة${\displaystyle VAF=\langle A,R,V,{\textit {val}},{\textit {valprefs}}\rangle }$مع${\displaystyle A}$و${\displaystyle R}$على غرار الإطار القياسي (مجموعة من الوسائط وعلاقة ثنائية على هذه المجموعة)،${\displaystyle V}$هي مجموعة قيم غير فارغة ،${\displaystyle {\textit {val}}}$هي عملية ربط تربط كل عنصر من${\displaystyle A}$إلى عنصر من${\displaystyle V}$، و${\displaystyle {\textit {valprefs}}}$هي علاقة تفضيل (متعدية، غير انعكاسية، وغير متناظرة) على${\displaystyle V\times V}$.

في هذا الإطار، حجة${\displaystyle a}$يهزم حجة أخرى${\displaystyle b}$إذا وفقط إذا

• ${\displaystyle a}$الهجمات${\displaystyle b}$بالمعنى "القياسي":${\displaystyle (a,b)\in R}$ ؛
• و${\displaystyle ({\textit {val}}(b),val(a))\not \in {\textit {valprefs}}}$هذه هي القيمة التي تقدمها${\displaystyle b}$لا يُفضَّل على ما تم تقديمه بواسطة${\displaystyle a}$.

يلاحظ المرء أن الهجوم ينجح إذا ارتبطت كلتا الوسيطتين بنفس القيمة، أو إذا لم يكن هناك تفضيل بين قيمتيهما.

في أطر الحجاج القائمة على الافتراضات (ABA)، يتم تعريف الحجج على أنها مجموعة من القواعد ويتم تعريف الهجمات من حيث الافتراضات والتناقضات.

بشكل رسمي، إطار الحجاج القائم على الافتراضات هو مجموعة مرتبة${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}},{\mathcal {A}},{\overline {\mathrm {\textvisiblespace} }}\rangle }$، ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ]} حيث

• ${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}}\rangle }$ هو نظام استنتاجي، حيث${\displaystyle {\mathcal {L}}}$هي اللغة و${\displaystyle {\mathcal {R}}}$هي مجموعة قواعد الاستدلال في شكل${\displaystyle s_{0}\leftarrow s_{1},\dotsc ,s_{m}}$، ل${\displaystyle m>0}$و${\displaystyle s_{0},s_{1},\dotsc ,s_{m}\in {\mathcal {L}}}$؛
• ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$، أين${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}}$هي مجموعة غير فارغة، تسمى الافتراضات ؛
• ${\displaystyle {\overline {\mathrm {\textvisiblespace} }}}$هي عملية رسم خرائط كاملة من${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ل${\displaystyle {\mathcal {L}}}$، أين${\displaystyle {\overline {a}}}$يُعرَّف بأنه عكس${\displaystyle a}$.

نتيجةً لتعريف ABA، يمكن تمثيل الحجة في شكل شجري . ^{[ 10 ]} رسميًا، بالنظر إلى نظام استنتاجي${\displaystyle \langle {\mathcal {L}},{\mathcal {R}}\rangle }$ومجموعة من الافتراضات${\displaystyle {\mathcal {A}}\subseteq {\mathcal {L}}}$، حجة ^{[ 10 ]} للادعاء${\textstyle c\in {\mathcal {L}}}$بدعم من${\displaystyle S\subseteq {\mathcal {A}}}$، هي شجرة ذات عقد تحمل أسماء الجمل في${\displaystyle {\mathcal {L}}}$أو بالرمز${\displaystyle \tau }$بحيث:

• يُسمى الجذر بواسطة${\displaystyle c}$
• لكل عقدة${\displaystyle N}$،
  • لو${\displaystyle N}$إذا كانت عقدة طرفية ،${\displaystyle N}$يتم تصنيفها إما بافتراض أو بواسطة${\displaystyle \tau }$
  • لو${\displaystyle N}$إذا لم تكن عقدة طرفية، فهناك قاعدة استدلال${\displaystyle l_{N}\leftarrow s_{1},...,s_{m}}$،${\displaystyle (m\geq 0)}$، أين${\displaystyle l_{N}}$هو اسم${\displaystyle N}$و
    • لو${\displaystyle m=0}$إذاً، ستكون القاعدة هي${\displaystyle l_{N}\leftarrow \tau }$(أي طفل${\displaystyle N}$يكون${\displaystyle \tau }$)
    • خلاف ذلك،${\displaystyle N}$لديه${\displaystyle m}$الأطفال، الذين تم تصنيفهم بواسطة${\displaystyle s_{1},...,s_{m}}$
• ${\displaystyle S}$هي مجموعة جميع الافتراضات التي تصنف العقد الخارجية

حجة ^{[ 10 ]} مع ادعاء${\displaystyle c}$مدعومة بمجموعة من الافتراضات${\displaystyle S}$ويمكن الإشارة إليه أيضاً على النحو التالي:${\displaystyle S\vdash c}$